Mathematikaufgaben > Analysis > Funktionenscharen
|
|
- Eduard Waltz
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Michael Buhlmann Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen Augabe: Unersuche die ganz raionale Funkionenschar + 8 mi Parameer > 0 au: Nullsellen, Hoch- und Tiepunke, Monoonie, Wendepunke, Krümmung, Symmerie, Verhalen ür beragsmäßig große. Wie lauen die Orskurven der Tie- und Wendepunke? Lösung: a) Allgemein gil hinsichlich der Funkionsunersuchung (Kurvendiskussion) einer ganz raionalen Funkion () die olgende Vorgehensweise, wenn ein Deiniionsbereich des Funkionserm D R vorausgesez wird: Die Kurvendiskussion ermiel die Besonderheien der aus einer Funkion () sich ergebenden Kurve im -y- Koordinaensysem, des Graphen von (). Hinsichlich einer ganz raionalen Funkion () heiß das: Zenrale Punke der Kurvendiskussion n n Funkion: an + an a + a0 I. Ableiungen (nach Poenz- und Summenregel sowie Regel vom konsanen Fakor): n n '( ) na + ( n ) a +... a ''( ) n ) n n + n n 3 ( n ) an + ( n )( n ) an a n 3 n n( n )( n ) an + ( n )( n )( n 3) an II. Nullsellen (Anzahl maimal n; Gleichung () 0 lösen): () 0 ->,, -> N( 0), N( 0), (Nullsellen mi gerader Vielachhei als Hoch-/Tiepunke ohne Vorzeichenwechsel; Nullsellen mi ungerader Vielachhei mi Vorzeichenwechsel) III. Hochpunke, Tiepunke (Anzahl maimal n-; Gleichung () 0 lösen, Lösungen in () einsezen): a) () 0 ->,, b) ( ) < 0 -> H( ( )) oder ( ) > 0 -> T( ( )); ( ) < 0 -> H( ( )) oder ( ) > 0 -> T( ( )); IV. Wendepunke (Anzahl maimal n-; Gleichung () 0 lösen, Lösungen in () einsezen): a) () 0 ->,, b) ( ) 0 -> W( ( )); ( ) 0 -> W( ( )); IVa. Saelpunke 0 liegen vor, wenn (nach III. und IV.) gil: ( 0 ) 0, ( 0 ) 0, ( 0 ) 0 -> S( 0 ( 0 )) Kurvendiskussion ganz raionaler Funkionen Zusäzliche Punke der Kurvendiskussion V. Monoonie (seigende [wachsende], allende Monoonie [nach III.]; bei abwechselnden Hoch- und Tiepunken,,, n mi < < < n, 0 als Selle im jeweiligen Monoonieinervall): Monoonieinervall (-, ): () monoon seigend ( als Hochpunk, ( 0 )>0) oder monoon allend ( als Tiepunk, ( 0 )<0); Monoonieinervall (, ): () monoon allend ( als Hochpunk, als Tiepunk, vorheriges Inervall mi seigender Monoonie, ( 0 )<0) oder monoon seigend ( als Tiepunk, als Hochpunk, vorheriges Inervall mi allender Monoonie ( 0 )>0); Monoonieinervall ( n, ): () monoon allend ( n als Hochpunk, vorheriges Inervall mi seigender Monoonie ( 0 )<0) oder monoon seigend ( n als Tiepunk, vorheriges Inervall mi allender Monoonie, ( 0 )>0) VI. Krümmung (Links-, Rechskrümmung, Konveiä, Konkaviä [nach [IV.]; bei Wendepunken,,, n mi < < < n, 0 als Selle im jeweiligen Krümmungsinervall): Krümmungsinervall (-, ): () links gekrümm (bei Tiepunk im Inervall, ( 0 )>0) oder rechs gekrümm (bei Hochpunk im Inervall, ( 0 )<0); Krümmungsinervall (, ): () rechs gekrümm (bei Hochpunk im Inervall, vorheriges Inervall mi Linkskrümmung, ( 0 )<0) oder links gekrümm (bei Tiepunk im Inervall, vorheriges Inervall mi Rechskrümmung, ( 0 )>0); Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen a 3
2 Krümmungsinervall ( n, ): () rechs gekrümm (bei Hochpunk im Inervall, vorheriges Inervall mi Linkskrümmung, ( 0 )<0) oder links gekrümm (bei Tiepunk im Inervall, vorheriges Inervall mi Rechskrümmung, ( 0 )>0) VII. Symmerie: a) Achsensymmerie (zur y-achse): (-) () oder: nur gerade Eponenen im Term von () (gerade) b) Punksymmerie (zum Ursprung): (-) -() oder: nur ungerade Eponenen im Term von () (ungerade) c) () achsensymmerisch -> () punksymmerisch -> () achsensymmerisch usw. () punksymmerisch -> () achsensymmerisch -> () punksymmerisch usw. VIII. Verhalen ür beragsmäßig große (->, ->- ) (n als Grad der ganz raionalen Funkion): a n >0 n ungerade n gerade -> () -> () -> ->- () -> - () -> b) I. Die Ableiungen der Parameerunkion + 8 lauen: ' 3 (. Ableiung) ''( ) (. Ableiung) ) (3. Ableiung). II. Die Nullsellen der Funkion z ± z z a n <0 n ungerade n gerade -> () -> - () -> - ->- () -> () -> - Kurvendiskussion ganz raionaler Funkionen + 8 berechnen sich wie olg: z ± 9 ± ± z ± z ± 7 ± ± 3 mi der Subsiuion z und wegen >0. Nullsellen der Funkion sind somi: 3,,, 3 oder: N ( 3 0), N ( 0), N 3 ( 0), N ( 3 0). III. Hoch- und Tiepunke liegen au der Funkion + 8 dor, wo waagereche Tangenen aureen; also gil (die nowendige Bedingung): 3 3 ' ( ) ± Wir überprüen die Eisenz von Erema mi Hile der. Ableiung und erhalen: ''(0) 0 < 0 > 0 Hochpunk mi H(0 8) ''( ± ) > 0 > bzw. T ( 9 ). IV. Wegen der Eremwere mi ihren Eigenschaen: 9 ± Tiepunke mi T ( ), 0, sind die Monoonieinervalle der Funkion Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen
3 (-, ) (, 0) (0, ) (, ) Tiepunk Hochpunk Tiepunk monoon monoon monoon monoon allend seigend allend seigend V. Hinsichlich der Wendepunke berechnen wir (nowendige Bedingung) '' ± und (hinreichende Bedingung): ± ) ± 0 > W ( 3 ). 3 VI. Au Grund der Wendepunke mi ihren Eigenschaen: ± Wendepunke mi W ( 3 3 ) bzw., sind die Krümmungsinervalle der Funkion (-, ) (, ) (, + ) Wendepunk Wendepunk links gekrümm rechs gekrümm links gekrümm (wegen 0 Hochpunk) VII. Hinsichlich des Verhalens ür beragsmäßig große (Verhalen ür gegen ± ) is zu sagen: Der Term is die höchse Poenz in der Polynomunkion mi Koeizienen. D.h., es gil wegen >0: () (). VIII. Symmerie: Die Funkion + 8 is achsensymmerisch bzgl. der y-achse wegen der in der Funkionsgleichung aureenden geraden -Poenzen. Es gil zudem: ( ) ( ) ( ) , womi die Achsensymmerie bewiesen wäre. c) Für spezielle >0 ergeben sich dann von olgende Funkionsgraphen: : 8 Wereabelle: + y () '() ''() ) Besondere Kurvenpunke Nullselle N(-3 0) Tiepunk T( ) Nullselle N( ) Wendepunk W(-.35.7) Schnipunk S y(0 8) Hochpunk H(0 8) Wendepunk W(.3.08) Nullselle N(. -0.) Tiepunk T( ) Nullselle N(3 0) Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen 3
4 Graph: : + 7 Wereabelle: y () '() ''() ) Besondere Kurvenpunke Nullselle N(- 0) Tiepunk T(-.9-9) Nullselle N( ) Wendepunk W(-.7 5.) Schnipunk S y(0 7) Hochpunk H(0 7) Wendepunk W(.7.7) Nullselle N( ) Tiepunk T(.7-9) Nullselle N( 0) Graph: Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen
5 d) I. Wir besimmen zunächs die Orskurve der Tiepunke der Funkionen + 8, 9 >0. Wie oben errechne, sind die Tiepunke von der Form T( ± ) mi der -Koordinae 9 ± und der y-koordinae y. Zur Ermilung der Orskurve sellen wir die - Koordinae nach um und erhalen u.a. durch Quadrieren: ±. Das der y-koordinae ersezen wir dann durch den Ausdruck mi, also: 9 9 > y. 9 Die Orskurve der Tiepunke laue dami: y, 0 (da >0). II. Ensprechend der Orskurve der Tiepunke berechnen wir die Orskurve der Wendepunke der Funkionen + 8, >0. Wie oben errechne, sind die Wendepunke von der Form 3 W( ± ), so dass das Umsellen nach in der -Koordinae des Wendepunks ergib: 3 ±. Einsezen von in die y-koordinae des Wendepunks ühr au die Orskurve: 3 3 > y, 3 so dass 3 y, 0, die Orskurve der Wendepunke darsell. / 03.0 / Augabe 9 Michael Buhlmann, Mahemaikaugaben > Analysis > Funkionenscharen 5
Ganzrationale Funktionenscharen. 4. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr.
Ganzraionale Funkionenscharen. Grades Umfangreiche Aufgaben Lösungen ohne CAS und GTR Alle Mehoden ganz ausführlich Daei Nr. 7 Sand 3. Sepember 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
MehrStammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat
Fachag Mahemaik: Kurvenscharen Ablauf: 1. Sunde Gemeinsame Einsiegsaufgabe. Sunde Sammgruppenaufgaben Sammgruppen (a bis 6 Schüler) Jedes Gruppenmiglied erhäl eine unerschiedliche Aufgabe A, B, C, D in
MehrAufgabensammlung Teil 2: Funktionen mit Parametern Funktionenscharen. Aufgaben im Abiturstil
ANALYSIS Gebrochen raionale Funkionen Aufgabensammlung Teil : Funkionen mi Parameern Funkionenscharen Aufgaben im Abiursil Die Lösungen aller verwendeen Abiuraufgaben sammen von mir Neu eingerichee Sammlung
MehrFit für die Q-Phase? Mathematiktraining für die Schüler und Schülerinnen des Beruflichen Gymnasiums Gelnhausen
Fi für die Q-Phase? Mahemaikraining für die Schüler und Schülerinnen des. Gleichungen (mi und ohne Parameer) Löse folgende Gleichungen:. 4 7.6 e ( e )..7 4 4 k k. 6.8 6 0.4 4 4 4 49.9 cos..0 4.6. e e.7
MehrÜbungen zur Klausur 11M1 21/05/2008 Seite 1 von 5
Seie von 5 Aufgabe : Eine ganzraionale Funkion. Grades habe die Nullsellen ; ;. Ihr Schaubild gehe durch P( 6). Besimme die Exremsellen. Skizziere den Graphen der Funkion. allgemeine Form einer Funkion.
MehrAbiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1
Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion
MehrAnalysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte
www.mahe-aufgaben.com Analysis: Ganzraionale Funkionen Analysis Ganzraionale Funkionen Differenzialrechnung, Exrem- und Wendepunke Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mahe-aufgaben.com Juni 0 www.mahe-aufgaben.com
MehrAnalysis: Exponentialfunktionen Analysis
www.mahe-aufgaben.com Analysis: Eponenialfunkionen Analysis Übungsaufgaben u Eponenialfunkionen Pflich- und Wahleil gesames Soffgebie (insbesondere Funkionsscharen) ohne Wachsum Gymnasium ab J Aleander
MehrAbiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und
MehrBerechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von f 1. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f 1 an der Stelle 2.
Miniserium für Schule und Berufsbildung 05 Bei der Bearbeiung der Aufgabe dürfen alle Funkionen des Taschenrechners genuz werden. Aufgabe : Analysis Gegeben is eine Funkionenschar durch f () = e mi R;
Mehrf ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion)
R. Brinkmann hp://brinkmann-du.de Seie.. Tangene und Normale Tangenenseigung Die Seigung eines Funkionsgraphen in einem Punk P ( f ( ) ) is gleichbedeuend mi der Seigung der Tangene in diesem Punk. Nachfolgend
Mehr5.5. Abstrakte Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen
5.5. Absrake Abiuraufgaben zu Eponenialfunkionen Aufgabe : Kurvenunersuchung, Inegraion, Opimierungsaufgabe Gegeben is die Funkion f() ( ) e,5. a) Unersuchen Sie das Schaubild von f auf Achsenschnipunke,
MehrAnalysis 3.
Analysis 3 www.schulmahe.npage.de Aufgaben. Ermieln Sie die erse Ableiung. Vereinfachen Sie. a) fx) = e x x 3) b) fx) = ln x x + 4. Ermieln Sie die folgenden unbesimmen Inegrale. e x 5 a) e x dx b) dx
Mehr4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung
4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmerie und Verschiebung Aufgabe : Symmerie (6) Unersuche die folgenden Funkionen auf Punk- oder Achsensymmerie: a) f() = 6 6 + 4 + 8 + 7 b) f() = 8 5 5 + 5 c) f() = (a 5 b +
MehrAbiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff
Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion
MehrGanzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) - Berechnung von Nullstellen, Gleichungen höheren Grades -
GS - 3.0.05 - gara_0_berechnenns.mcd Ganzraionale Funkionen (Polynomfunkionen) - Berechnung von, Gleichungen höheren Grades -. Gleichungen höheren Grades Gegeben is der Funkionserm f( ) a n n + a n n +...
MehrAbituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.
Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(
MehrAbiturprüfung Mathematik 2010 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 ( )( ) und der Normalen von K
Abiurprüfung Mhemik (Bden-Würemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe. Für jedes * is die Funkion f gegeben durch f (x) = x x + x +, x Ds Schubild von f is K. ( )( ).. (4 Punke) Zeichnen Sie K und K
Mehrmathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2009 Mathematik 12 Technik - A I - Lösung Teilaufgabe 1.0 Gegeben ist die reelle Funktion f( x)
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 9 Mahemaik Technik - A I - Lösung Teilaufgabe. Gegeben is die reelle Funkion f( x) in der Definiionsmenge ID f = IR. Teilaufgabe. (4 BE) Unersuchen Sie das Verhalen
MehrDemo-Text für Funktionen und Kurven. Differentialgeometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel.
Funkionen und Kurven Differenialgeomerie Tex Nummer: 5 Sand: 9. März 6 Demo-Tex für www.mahe-cd.de INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mahe-cd.de 5 Differenialgeomerie Vorwor Das Thema Kurven is
Mehrgegeben durch x 4 in dasselbe Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm). Zur Kontrolle: ft
KA LK M2 13 18. 11. 05 I. ANALYSIS Leisungsfachanforderungen Für jedes > 0 is eine Funkion f gegeben durch f (x) = x + 1 e x ; x IR. Der Graph von f sei G. a) Unersuche G auf Asympoen, Nullsellen, Exrem-
MehrLösung - Serie 8. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Was für eine Kurve stellt die Parametrisierung
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Seiger Lösung - Serie 8 MC-Aufgaben Online-Abgabe 1. Was für eine Kurve sell die Paramerisierung sin1 r = cos1, R dar? a Ein Kreis. Es gil x + y = sin 1 + cos
MehrLösung Abiturprüfung 1994 Leistungskurs (Baden-Württemberg)
Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Analysis I.1. a) D f = IR / { 1 } f x= = K besiz keine Nullsellen 1x f ' x= 8 1x = 8 K besiz keine Exremsellen senkreche Asymoe : x= 1 waagereche
MehrA.24 Funktionsscharen 1
A.4 Funkionsscharen A.4 Funkionsscharen ( ) Bemerkung: Im Buch Kurvenprobleme gib es viel Aufgaben zu Funkionen, die einen Parameer enhalen. Falls Sie hier also nich genug kriegen... A.4.0 Orskurven (
MehrA.24 Funktionsscharen 1
A.24 Funkionsscharen Das Buch: Dieses Kapiel is Teil eines Buches. Das vollsändige Buch können Sie uner www.mahe-laden.de besellen (falls Sie das möchen). Sie werden in diesem Buch ein paar Sachen finden,
Mehr1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung
Schülerbuchseie Lösungen vorläufig I Inegralrechnung Lokale Änderungsrae und Gesamänderung S. S. b h = m s ( s) + m s s + m s ( s) = 7 m Fläche = 7 FE a) s =, h km h +, h km h +, h km h +, h km h +,, h
MehrAufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann
Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann Aufgabe Im abgelaufenen Jahr haen einige große deusche Firmen hohe prozenuale Gewinnzuwächse. Gleichzeiig wurden eilweise massiv
Mehr4.6. Aufgaben zu rationalen Funktionen
Aufgabe : Raionale Funkionen Formuliere jeweils ein Beispiel für eine a) ganzraionale Funkion 0. Grades b) ganzraionale Funkion. Grades c) ganzraionale Funkion. Grades d) raionale Funkion mi Nennergrad
Mehr4. Quadratische Funktionen.
4-1 Funkionen 4 Quadraische Funkionen 41 Skalierung, Nullsellen Eine quadraische Funkion is von der Form f() = c 2 + b + a mi reellen Zahlen a, b, c; is c 0, so sprechen wir von einer echen quadraischen
Mehrum (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen
Mahemaik I Übungsaufgaben 8 Lösungsorschläge on T. Meyer Era-Mahemaik-Übung: 005--06 Aufgabe Berechnen Sie die Ableiung der Funkion f an einer beliebigen Selle 0 ohne Verwendung irgendwelcher Vorkennnisse
MehrZentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 9: Radioakiver Zerfall Beim radioakiven Zerfall einer Subsanz S 1 beschreib m 1 () die Masse der noch nich zerfallenen Subsanz zum Zeipunk mi
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis www.mhe-ufgben.com Hupprüfung Abiurprüfung 04 (ohne CAS) Bden-Würemberg Anlysis Hilfsmiel: GTR, Formelsmmlung berufliche Gymnsien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Alexnder Schwrz
MehrSerpentine DEMO. Text Nr Stand FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.
Serpenine Te Nr. 560 Snd 6.3.6 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 560 Serpenine Vorwor Die Serpenine is eine lgebrische Kurve 3. Grdes, die mn uf einer geomerischen Eigenschf definieren
MehrAbiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1. gegeben durch. auf der y-achse und schneidet G
wwwmhe-ufgbencom Abiurprüfung Mhemik 0 (Bden-Würemberg) Berufliche ymnsien Anlysis, Aufgbe Für jedes mi > is die Funkion g gegeben durch x g (x) = e, x Ds Schubild von g is ( Punke) Nennen Sie drei gemeinsme
MehrMATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik
Fachabiuiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichung Technik Diensag, 4. Juni 2013, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler
MehrIntegralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals
1/8 Grundidee der Inegralrechnung Inegralrechnung Die Inegralrechnung is neben der Differenialrechnung der wichigse Zweig der Analysis. Sie is aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung ensanden.
Mehr22 Stetigkeit von Funktionen
Abschni 22 Seigkei von Funkionen R Plao 47 22 Seigkei von Funkionen 221 Einührung Deiniion 221 Sei W D!Reine Funkion mi Deiniionsbereich D R a) an nenn die Funkion im Punk o 2 D seig, alls lim / D o /!
MehrSchriftliche Abiturprüfung Mathematik 2013
Schrifliche Abiurprüfung Mahemaik 03 Aufgabe (NT 008, Nr) Pflicheil Bilden Sie die Ableiung der Funkion f mi f(x) = 3x e x+ und vereinfachen Sie so wei wie möglich ( VP) Aufgabe (HT 008, Nr ) G is eine
MehrLösung Abiturprüfung 2000 Grundkurs (Baden-Württemberg)
Lösung Abiurprüfung 2 Grundkurs (Baden-Würemberg) Analysis, Aufgabe I.1. a) ( x) = 1 [( x)3 9 ( x)]= 1 ( x3 + 9x)= 1 ( x3 9x) = ( x) Somi is (x ) punksymmerisch zum Ursprung. ( x) = 1 (x3 9x)= x(x 2 9)=
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Bden-Würemberg: Abiur 05 Anlysis www.mhe-ufgben.com Hupprüfung Abiurprüfung 05 (ohne CAS) Bden-Würemberg Anlysis Hilfsmiel: GTR, Formelsmmlung berufliche Gymnsien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Alexnder Schwrz
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2011
Karlsruher Insiu für Technologie KIT) Insiu für Analysis Dr. A. Müller-Rekowski Dipl.-Mah. M. Uhl Sommersemeser Höhere Mahemaik II für die Fachrichungen Elekroingenieurwesen und Physik inklusive Komplee
MehrKurven in der Ebene und im Raum
Kapiel 9 Kurven in der Ebene und im Raum 9. Parameerdarsellung von Kurven Aufgabe 9. : Skizzieren Sie die folgenden Mengen und beureilen Sie jeweils, ob es sich um eine abgeschlossene oder offene Menge
MehrElementare Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen
454 Erforderliche Kennnisse: Höhere Analysis Elemenare Lösungsmehoden für gewöhnliche Differenialgleichungen Was is eigenlich eine Differenialgleichung? Eine Differenialgleichung is eine Gleichung, in
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Michael Ho, M. Sc. M. Sc. SS 6 9.7.6 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zur Übungsklausur Aufgabe
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 5. Semester ARBEITSBLATT 6 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN
ARBEITSBLATT PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Eine Gerade sell man im R ensprechend zum R auf, nur daß eine z-koordinae hinzukomm: Definiion: Parameerdarsellung einer Gerade durch die Punke A und B:
MehrAbiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe 1
Abiurprüfung Mahemaik 7 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe. Der Funkionsansaz laue f(x) ax bx cx dx e f(x) ax bx cx d f(x) ax 6bx c Da im Ansaz Parameer enhalen sind,
Mehr4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen
... Eonenialfunkionen Definiion:.. Eonenial- und Logarihmusfunkionen Die Funkion f() = c a mi D = R, c und a R + \{}heiß Eonenialfunkion zur Basis a. Die Eonenialfunkion zur Basis a = e mi der Eulerschen
Mehr7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen
7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus
MehrI. II. I. II. III. IV. I. II. III. I. II. III. IV. I. II. III. IV. V. I. II. III. IV. V. VI. I. II. I. II. III. I. II. I. II. I. II. I. II. III. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.
Mehr1.) Integralrechnung a) Ermitteln Sie das Marktgleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage:
Übungen: Mahemaik zur Klausurvorbereiung (erweier) Jürgen Meisel Mahemaik.) Inegralrechnung a) Ermieln Sie das Markgleichgewich zwischen Angebo und Nachfrage: pa x x = + ( ) = + und p ( x) x b) Ermieln
MehrGrundlagenfach Mathematik. Prüfende Lehrpersonen Alitiloh Essodinam
Schrifliche Mauriäsprüfung 017 Fach Grundlagenfach Mahemaik Prüfende Lehrpersonen Aliiloh Essodinam essodinam.aliiloh@edulu.ch Mikova Teodora eodora.mikova@edulu.ch Zuidema Roel roel.zuidema@edulu.ch Klassen
Mehr3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) AR(p)-Prozesse
3. Auoregressive Prozesse (AR-Modelle 3.. AR(-Prozesse Definiion: Ein sochasischer Prozess ( heiß auoregressiver Prozess der Ordnung [AR(-Prozess], wenn er der Beziehung (3.. genüg. ( is darin ein reiner
MehrLernen ist wie rudern gegen den Strom. Sobald man aufhört, treibt man zurück. (Benjamin Britten)
Lernen is wie rudern gegen den Srom. Sobld mn uhör, reib mn zurüc. (Benjmin Brien) Die qudrische Funion Die qudrische Funion Funionen der llgemeinen Form x bx c, b, cir; 0 nenn mn qudrische Funionen. Den
MehrABITURPRÜFUNG 2002 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN)
ABITURPRÜFUNG 00 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeiszei: Hilfsmiel: 70 Minuen Taschenrechner (nich programmierbar, nich grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungseilnehmer wähl von den Aufgaben A1 und
MehrSystemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner
Sysemheorie eil A - Zeikoninuierliche Signale und Syseme - Muserlösungen Manfred Srohrmann Urban Brunner Inhal 3 Muserlösungen - Zeikoninuierliche Syseme im Zeibereich 3 3. Nachweis der ineariä... 3 3.
Mehr5.5. Konkrete Abituraufgaben zu rationalen Funktionen
5.5. Konkree Abiuraufgaben zu raionalen Funkionen Aufgabe 1: Kurvenunersuchung, Modellbildung, Inegraion (18) Auf kleine, gleich große Versuchsflächen wird jeweils eine besimme Menge Aussaa ausgebrach.
MehrMathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I
Michael Buhlmann Mathematik-Aufgabenpool > Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen I Einleitung: Eine gebrochen rationale Funktion (Polynom) f: D f -> R (mit maximaler Definitionsbereich D f)
MehrFunktionen und Kurven. Gleichungsformen und Umrechnungen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel. Text Nummer: 54010
Funkionen und Kurven Gleichungsformen und Umrechnungen Te Nummer: 500 Sand: 5. Mai 06 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mahe-cd.de 500 Kurvengleichungen Vorwor Das Thema Kurven is sehr umfangreich.
MehrLernen ist wie rudern gegen den Strom. Sobald man aufhört, treibt man zurück. (Benjamin Britten)
Lernen is wie rudern gegen den Srom. Sobld mn uhör, reib mn zurüc. (Benjmin Brien) Die qudrische Funion Die qudrische Funion Funionen der llgemeinen Form x bx c, b, cir; 0 nenn mn qudrische Funionen. Den
MehrDifferentialgleichungen
Ein einfaches Modell (Domar) Im Domar Wachsumsmodell reffen wir die folgenden Annahmen: Kapiel Differenialgleichungen () Erhöhung der Invesiionsrae I() erhöh das Einkommen Y(): dy d = s di (s = konsan)
MehrUniversität Ulm Samstag,
Universiä Ulm Samsag, 5.6. Prof. Dr. W. Arend Robin Nika Sommersemeser Punkzahl: Lösungen Gewöhnliche Differenialgleichungen: Klausur. Besimmen Sie die Lösung (in möglichs einfacher Darsellung) folgender
Mehr1. Schularbeit (6R) 24. Okt. 1997
. Schularbei (6R). Ok. 997. Vereinfache und selle das Ergebnis mi posiiven Hochzahlen dar. Es sind dabei alle Rechenschrie anzugeben: 7 x x y 8 : x x y. Löse die folgende Wurzelgleichung ohne Verwendung
MehrAbiurprüfung Mahemaik 007 Baden-Würemberg (ohne CAS) Pflicheil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erse Ableiung der Funkion f mi f () + = ( sin ). Aufgabe : ( VP) ln Berechnen Sie das Inegral e
MehrDie Exponentialfunktion
Die Eponenilunkion Deiniion Es sei eine posiive reelle Zhl,,. Eine Funkion R + R R : heiß Eponenilunkion. Die posiive reelle Zhl heiß Bsis und die reele Zhl R Eponen der Funkion. Mnchml heiß uch Wchsumskor.
Mehr(x) 2tx t 2 1, x R, t R 0.
Aufgaben zu Geradenscharen. Folgende Funkionen beschreiben Geradenscharen. Sellen Sie diese Scharen dar, inde sie die Geraden für k = -, k = 0, k = und k = 3 zeichnen. a) f k (x) (k )x, x R, k R b) f k
MehrBESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN
BESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN ab Ende der 1. Schulsufe Kreuze zu jedem angeführen Beispiel das richige mahemaische Modell an, begründe deine Enscheidung und beschreibe die Bedeuung der in den Modellen
MehrExponential- und Logarithmusfunktionen
. ) Personen, Personen bzw. Personen ) Ewas weniger als Minuen. (Nach,... Minuen sind genau Personen informier.) ) Ja. Bereis um : Uhr sind (heoreisch) Personen informier. ) Informiere Miarbeierinnen und
MehrTyp A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl
Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) =
MehrThema: Singuläres, skalares Problem 2. Ordnung - Lösbarkeit Seminararbeit aus Numerik von Differentialgleichungen
Thema: Singuläres, skalares Problem 2. Ordnung - Lösbarkei Seminararbei aus Numerik von Differenialgleichungen Michael Hubner, Sefan Wurm 8. Juli 22 Inhalsverzeichnis. Problemdefiniion 2 2. Einführende
MehrMathematikaufgaben > Analysis > Kurvendiskussion/Funktionsuntersuchung
Michael Buhlmann Mathematikaufgaben > Analysis > Kurvendiskussion/Funktionsuntersuchung Aufgabe: a) Führe für die Sinusfunktion f ( x) = sin( x ) eine Kurvendiskussion durch, wobei die Funktion auf Definitions-
Mehrt,t Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase l von 6 Mathematik 'f(x) f '(x) zkm (mit CAS) \ ro Aufgabenstellung
zkm (mi CAS) Miniserium für Landes Nordrhein-Wesfalen Seie 'les l von 6 Zenrale Klausur am Ende der Einführungsphase 202 Mahemaik Aufgabensellung Aufgabe : Unersuchung ganzraionaler Funkionen Gegeben is
MehrAbschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik mit CAS 2015 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik
MK.7.05 B5_T_A MK_Loes.xmc Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mahemaik mi 05 Analysis A Ausbilungsrichung Technik.0 Gegeben sin ie reellen Funkionen f a : x --> x x x Definiionsmenge D fa R
MehrAufgaben zu Geradenscharen
Aufgaben zu Geradenscharen. Folgende Funkionen beschreiben Geradenscharen. Sellen Sie diese Scharen dar, inde sie die Geraden für k = -, k = 0, k = und k = 3 zeichnen. a) f k (x) = (k )x, x R, k R b) f
Mehr14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge
Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und
MehrMATLAB: Kapitel 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen
4. Einleiung Eine der herausragenden Särken von MATLAB is das numerische (näherungsweise) Auflösen von Differenialgleichungen. In diesem kurzen Kapiel werden wir uns mi einigen Funkionen zum Lösen von
MehrProbeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten!
Universiä Regensburg, Winersemeser 3/4 Examenskurs Analysis (LGy) Dr. Farid Madani Probeklausur Thema Nr. (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeien! Aufgabe (5 Punke). Man
MehrZeit (in h) Ausflussrate (in l/h)
Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen
Mehrmathphys-online Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2015 Mathematik 13 Technik - A I - Lösung mit CAS Teilaufgabe 1 mit f a ( x)
mhphys-online Abiurprüfung Berufliche Oberschule 05 Mhemik 3 Technik - A I - Lösung mi CAS Teilufgbe Gegeben is die Funkion f mi f ( ) Definiionsmenge D f IR. e e mi IR\ {0} und der mimlen Teilufgbe. (7
MehrAbiurprüfung Mahemaik 013 Baden-Würemberg (ohne CAS) Wahleil - Aufgaben Analysis A 1 Aufgabe A 1.1 Der Querschni eines 50 Meer langen Bergsollens wird beschrieben durch die x-achse und den Graphen der
MehrHamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2
Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung
MehrLösungen zu Übungsblatt 4
Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Lösungen zu Übungsbla 4 Aufgabe 2 Punke a Geben Sie eine Funkion f
MehrLineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur
Insiu für Mahemaik Winersemeser 0/3 Universiä Würzburg 0 Februar 03 Prof Dr Jörn Seuding Dr Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Aufgabe : (0 Punke) Zeigen
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. D. Casrigiano Dr. M. Prähofer Zenralübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zenrum Mahemaik Mahemaik 3 für Physik (Analysis ) hp://www-hm.ma.um.de/ss/ph/ 49. Eine reguläre Kurve ha keinen Knick
MehrMathematikaufgaben > Analysis > Kurvendiskussion/Funktionsuntersuchung
Michael Buhlmann Mathematikaufgaben > Analysis > Kurvendiskussion/Funktionsuntersuchung Aufgabe: Untersuche die Sinusfunktion f ( x) + für xε[-8;8] auf: Wertebereich, Achsenschnittpunkte, Hoch- und Tiefpunkte,
Mehrexistiert. In der Regel wird zusätzlich zum oben gegebenen System von Differentialgleichungen noch eine Anfangsbedingung
0 Eine Anwendung der Jordan-Normalform in der Analysis In vielen physikalischen Anwendungen is es nowendig, Syseme von Differenialgleichungen der Form: y ( = b y ( + b 2 y 2 ( + + b n y n ( + f ( y 2(
MehrZUU AUUFFGGAABBEE :: Die Wann läuft zunächst voll. Nach einiger Zeit wird etwas Wasser abgelassen und dann wird etwas zugeführt.
Lineare Funkionen. Lösungen Lö LÖÖSSUUNNGGEENN ZZUUM.. KPPI IITTEELL ZZUU UUFFGGEE..: : a) as Pfeildiagramm zeig keine Funkion, da von h kein Pfeil ausgeh und von a zwei Pfeile. b) Is eine Funkion, denn
MehrAnalysis II Musterlösung 12. für t [ 0, 2π). y
.. Saz von Green Die Randkurve des, in unensehender Figur dargesellen, umerangs kann paramerisier werden durch 4 cos ( + cos( sin( für, π..75.5.5 -.5 3 4 5 6 -.5 -.75 - Zur erechnung des Flächeninhales
MehrAufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen
Aufgaben zu den verschiedenen Wachsumsmodellen 1. Beispiel: Spezialdünger Durch den Einsaz von Spezialdünger kann der Errag von Feldfrüchen verbesser werden. Erräge können aber nich grenzenlos geseiger
MehrMathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen
Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils
MehrAnalysis Funktionen mit Parametern (Funktionenscharen)
Analysis (Funkionnscharn) Alandr Schwarz Juli 8 Aufgab : Bsimm di Nullslln dr ggbnn Funkionnschar. a) b) 4 4 Aufgab : Bild di rs Abliungsfunkion. a) ) 4 4 b) 4 d) ( ) Aufgab : Bsimm di Ermpunk in Abhängigki
MehrTraktrix DEMO. Text Nr Stand 11. Mai 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.
Trkri Te Nr. 540 Snd. Mi 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mhe-cd.de 540 Trkri Vorwor Die Trkri is eine Kurve für gehobenemhemische Ansprüche. Ineressn is schon ihre mechnische
MehrEinführung in gewöhnliche Differentialgleichungen
Einführung in gewöhnliche Differenialgleichungen Jonahan Zinsl 25. Mai 202 Definiionen Definiion.(Gewöhnliche Differenialgleichung. Ordnung) Uner einer gewöhnlichen Differenialgleichung. Ordnung verseh
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen
Prof. Dr. Guido Sweers WS 08/09 Jan Gerdung, M.Sc. Gewöhnliche Differenialgleichungen Übungsbla Die Lösungen müssen in den Übungsbriefkasen Gewöhnliche Differenialgleichungen (Raum 0 im MI) geworfen werden.
MehrZwischenwerteigenschaft
Zwischenwereigenschaf Markus Berberich Ausarbeiung zum Vorrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemeser 2009, Leiung PD Dr. Gudrun Thäer) Zusammenfassung: In dieser
MehrBinomische Formeln Für beliebige Zahlen a und b gelten die binomischen Formeln: (a + b) 2 = a a b + b 2
Erraa.03.06 3 Grundlagen Saz.5 (Binomischer Saz) Für jede naürliche Hochzahl n und beliebige Zahlen a und b gil die Formel (a + b) n = a n + ( n ) an b + ( n ) an b +... + ( n n ) a bn + b n n = ( n k
MehrMathematik für das Ingenieurstudium. 4. Juli 2011
Mahemaik ür das Ingenieursudium Jürgen Koch Marin Sämple 4. Juli 0 .6 Beweise 43 Beispiel.3 (Ungleichungen) a) Die Ungleichung + 4 < 6 is ür alle -Were deinier. Zur Besimmung der Lösungsmenge berechnen
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Dipl.-Mah. Sebasian Schwarz SS 015 17.05.015 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zum 6. Übungsbla
MehrWiederholung Exponentialfunktion
SEITE 1 VON 9 Wiederholung Eponenialfunkion VON HEINZ BÖER 1. Regeln und Beispiele Der Funkionserm Eponenialfunkionen haben die Form f() = b a. Die y-achse wird bei b geschnien, denn f(0) = 0 b a = b 1
Mehr2.2 Rechnen mit Fourierreihen
2.2 Rechnen mi Fourierreihen In diesem Abschni sollen alle Funkionen als sückweise seig und -periodisch vorausgesez werden. Ses sei ω 2π/. Wir sezen jez aus Funkionen neue Funkionen zusammen und schauen,
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)
Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes
Mehr