5.5. Konkrete Abituraufgaben zu rationalen Funktionen

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1 5.5. Konkree Abiuraufgaben zu raionalen Funkionen Aufgabe 1: Kurvenunersuchung, Modellbildung, Inegraion (18) Auf kleine, gleich große Versuchsflächen wird jeweils eine besimme Menge Aussaa ausgebrach. Nach der Erne besimm man den Errag. Bei fünf Flächen komm man zu folgenden Ergebnissen: Aussaa in kg 1,,, 4, 5, Errag in kg 47, 7, 85,4 9, 95,9 a) Ein Rechenmodell M 1 soll den Zusammenhang zwischen Aussaa und Errag rechnerisch beschreiben. Man enwirf folgende Zuordnung: 1 f: Aussaa Errag f() mi f() = + 1, Sellen Sie den asächlichen und den mi dem Modell M 1 ermielen Errag in Abhängigkei von der Aussaa in einem Diagramm dar. () Berechnen Sie jeweils die prozenuale Abweichung. Wie enwickel sich der Errag im Modell M 1, wenn immer mehr ausgesä wird? Beweren Sie Ihr Ergebnis. b) Ein Modell M wird durch die Funkion p beschrieben mi. p() =,88 11, + 5, + 5,4. Berechnen Sie dami einen Näherungswer für die Menge der Aussaa, bei welcher die Zuwachsrae des Errages am geringsen is. () Die Abweichungen von den Messweren sind beim Modell M gering. Dennoch ha das Modell Schwächen; erläuern Sie diese. () c) Eine Fläche von. 1 ha bring einen Weizenerrag von ca. 7 kg. Der Verkaufspreis von 1 kg ernefrischem Weizen lieg bei 1 Cen. Der Errag von ha soll verkauf werden. Welchen Erlös erziel man beim soforigen Verkauf? () Höhere Einnahmen erziel man, wenn man den Weizen nach der Erne rockne. Allerdings verlier der Weizen beim Trocknen an Gewich. Erfahrungsgemäß kann man für einen gewissen Zeiraum von folgender Überschlagsrechnung ausgehen: 1 kg Weizen verlier am Tag ewa 7 g Gewich, dafür seig der Preis pro Kilogramm äglich um,1 Cen. Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen die Einnahmen am größen sind. Wie groß sind diese? () Teil a) (6) Tabelle mi prozenualen Abweichungen Aussaa in kg 1,,, 4, 5, Errag in kg 47, 7, 85,4 9, 95,9 Modell M 1 54, ,7 9, 96,8 Abweichung 15, %,9 %, %,1 %,9 % Der Errag im Modell M 1 näher sich dem Grenzwer lim f() = 1 bzw. einer waagrechen Asympoe bei y = 1. Für hohe Aussaamengen simmen Modell und Wirklichkei gu überein. (,5) y f() Diagramm Erklärung: Auch der asächliche Errag näher sich einem gewissen (Wachsums-) Grenze, die durch das begrenze Angebo an Sonne, Wasser und Nährsoffen auf der gegebenen Anbaufläche zu erklären is. Für kleine Aussaamengen liegen die asächlichen Erragswere deulich uner den berechneen Weren. (,5) Erklärung: Einzelne oder versreue Gereidepflanzen können das auf der gegebenen Fläche zur Verfügung sehende Angebo an Sonne, Wasser und Nährsoffen nich vollsändig nuzen und sind Wind und Regen (Erosion!) särker ausgesez. Dami is zu erklären, dass der asächliche Errag für sehr kleine Aussaamengen nur langsam anseig. 1

2 Teil b) (6) Gesuch is die Aussaamenge, für die die Zuwachsrae = Ableiung p () =,64,4 + 5, minimal is. () Mi GTR oder mi p () = 5,8,4 erhäl man der Wer = 4,4 kg Das Modell M wird durch eine Parabel drien Gerades beschrieben, die für kleine Aussaamengen realisische, für größere Aussaamengen aber zunehmend unrealisische Were liefer. Die Parabel erreich bei = 4,4 kg einen Wendepunk und seig dann wieder seil an, was der naürlichen Wachsumsgrenze infolge des begrenzen Angeboes an Nährsoffen widersprich. () Teil c) (6) c) Erlös beim soforigen Verkauf E() =,1 /kg 7 kg/ha ha = 5 Erlös nach Tagen E() = (,1 +,1)(1 147) =,147 +,6 + 5 () Das Maimum is bei = 11,4 Tagen erreich (GTR oder Scheielpunkform) () E(7,8) = 59, Aufgabe : Funkionsanpassung, Kurvenunersuchung, Inegraion Ein Verlag bring ein neues Buch auf den Mark und erziel im ersen Mona ( = ) einen Absaz von 5 Eemplaren. Im 1. Mona wird der größe Absaz von Eemplaren erreich. Erfahrungsgemäß genügen a die Absazzahlen einer Funkion der Form f() = mi in Monaen. b + (c ) 54 a) Besimmen Sie die Parameer a, b und c für die gegebenen Absazzahlen (Ergebnis f() = ) (4) 7 + (9 ) b) Ermieln Sie, wie viele Bücher nach dieser Funkion innerhalb eines Jahres abgesez werden. () c) In welchem Mona unerschreie nach diesem Modell die monaliche Absazzahl ersmals die Renabiliäsgrenze von Eemplaren? () d) In welchem Mona is nach diesem Modell die särkse Abnahme des Absazes zu erwaren? () e) Wieviele Bücher können bis zum Erreichen der Renabiliäsgrenze insgesam abgesez werden? a) Bedingungen für Unbekanne: a(9 c) f (9) = = c = 9 (1,5) (b + (9 c) ) f(9) = mi c = 9 eingesez a b = (,5) b) a f() = 5 mi c = 9 eingesez = 5 b+ 81 (,5) Mi Einsezen oder Gleichsezen erhäl man b = 7 und a = f () = ,65 mi SUM(SEQ(Y1(X),X,,11) () = 1 oder f ()d = 1641,94 mi CALC 7: Sf()d) als Näherung () c) f() = für = 6,7 Nach 61,7 Monaen (CALC 5:inersec) () d) Särkse Abnahme am WP von f() = TP von f () bei = 1, () e) 6 f () = 64 5,77 mi SUM(SEQ(Y1(X),X,,6) = oder 6,7 f ()d = ,99 mi CALC 7: Sf()d) als Näherung

3 Aufgabe : Kurvenunersuchung, Tangenen, Inegraion 6 Gegeben is die Funkion f durch f() = mi. Ihr Schaubild sei K a) Zeichnen Sie K. () Unersuchen Sie das Verhalen von K für Weisen Sie nach, dass K genau zwei Wendepunke besiz. (4) Nun sell K für 6 6 den Querschni eines 5 m langen Kanals dar ( in Meer, f() in Meer). Die sich anschließende Landfläche lieg auf der Höhe y =. Der Pegelsand wird in Bezug auf den iefsen Punk des Kanals gemessen und beräg maimal,5 m. b) Wie viele Kubikmeer Wasser sind in dem Kanal, wenn er ganz gefüll is? () Zu wie viel Prozen is der Kanal bei einem Pegelsand von 1, m gefüll? () c) An Land seh eine Person mi der Augenhöhe 1,5m. In welcher Enfernung vom Kanalrand darf sie höchsens sehen, dami sie in dem leeren Kanal die iefse Selle des Kanals sehen kann? (6) : a) Zeichnung () 6 5 f() = = 1 sreb für ± gegen den ganzraionalen Haupeil y = f () = ( + 16) 14( + 16) und f () = ( + 16) ha genau zwei VZW bei 1/ = ± 4. K besiz genau an diesen Sellen Wendepunke. () b) Querschnisfläche bei 1 % Füllung A = 6 6 d 1,5564 m (GTR) Volumen V = l A = 6776, m Pegelsand 1, m / = ± 8 (Gleichsezen oder GTR) 8 6 A = d 1, a) Tangene durch T(,5) an K: 16 =,9 m (GTR) ensprechen 4, % () , = ( + 16),5 ( + 16) = = 1/ = ± 4 1/ () = ±,465,5. () (Die Tangene läss sich auch durch Probieren mi dem GTR über DRAW 5:angen eak besimmen!) Augenhöhe 1,5 = (),75 =,465 = 9, Die Person darf höchsens, m vom Kanalrand enfern sehen. ()

4 Aufgabe 4. Kurvenunersuchung, Verschiebung, Opimierungsaufgabe, Inegraion (18) Gegeben is die Funkion f durch f() = mi 5. Ihr Schaubild sei K. (+ 5) a) Unersuchen Sie K auf Asympoen. Zeichnen Sie K. () 1 Wie geh das Schaubild von K aus dem Schaubild der Funkion g mi g() = mi hervor? b) Eine Parallele zur -Achse schneide K in den Punken P und Q. Die Srecke PQ, die Parallelen zur y-achse durch P bzw. Q und die -Achse begrenzen ein Recheck. Besimmen Sie den Punk P so, dass der Umfang des Rechecks minimal wird. (5) c) Eine weiere Parallele zur -Achse schneide K in den Punken R und S und die y-achse im Punk T. Besimmen Sie S so, dass die Srecke RT von S halbier wird. (5) In einer Badewanne mi einem Fassungsvermögen von Liern befinden sich 5 Lier Wasser mi der Temperaur C. Läss man heißes Wasser von 6 C zufließen, so kann die Änderungsrae der Temperaur des Wannenwassers durch f() = für 15 beschrieben werden. Dabei gib die zugeflossene (+ 5) Wassermenge in Lier und f() die Temperauränderungsrae in Grad pro Lier an. a) Die Temperaur des Wassers in der Wanne kann durch einen Term T() beschrieben werden ( gib dabei die zugeflossene Wassermenge in Lier, T() die Temperaur des Wannenwassers in C an). Besimmen Sie einen solchen Term T(). () Könne man die Temperaur des Wannenwassers auf 45 C erhöhen, bevor es überläuf? (4) a) Waagreche Asympoe y =, da f() für ± (,5) Senkreche Asympoe ohne VZW = 5, da doppele Nennernullselle (,5) Zeichnung () Verschiebung um = 5 in -Richung und Sreckung um den Fakor in y-richung b) Man berache das Problem zunächs für h() = und verschieb anschließend alles um = 5 in - Richung. Die Gerade y = schneide h, wenn = 1/ = ±. (,5) Der Umfang is also U() = b() + h() = 4 + mi U () = und >. () Er ha in diesem Bereich ein relaives und absolues Minimum (VZW von nach +) an der Selle = = 1. (,5) Die zugehörigen -Were sind 1/ = ± = ± = ± 1 4. (,5) Durch Verschiebung um = 5 in -Richung erhäl man die gesuchen Koordinaen des Punkes P( ) (,5) c) RT wird von S halbier, wenn RS = ST d) T() = + f ()d = + 5 = 5 = = 6 in C für Lier () + 5 T() = 45 = 15 = = 8, Lier zugeflossene Wassermenge bzw. 1, Lier insgesam. Die Wanne läuf also nich über. () (5) 4

5 Aufgabe 5: Funkionsanpassung, Opimierungsaufgabe, Inegraion (18) 1( 1) a) Gegeben is die Funkion f durch f() = mi 1. Ihr Schaubild sei K. ( 1) + 7 Skizzieren Sie K. () Das Schaubild C einer weieren Funkion g mi g() = a + b + c enhäl die Punke P l ( 95), P (1 95) und P ( 9). Besimmen Sie die Koeffizienen a, b und c. () Skizzieren Sie C im ersen Feld des vorhandenen Koordinaensysems. (Teilergebnis: g() =,15 +, ) Eine Skisprunganlage beseh aus Sprungschanze und Aufsprunghang. Das Schaubild K beschreib das Profil des Aufsprunghangs, die Kurve C die Flugbahn eines Skispringers. Der Absprung erfolg bei =. (Alle Angaben in Meer) b) Besimmen Sie die Koordinaen des Punkes, an dem der Springer auf dem Aufsprunghang aufsez. () Wie groß is die maimale verikal gemessene Höhe des Springers über dem Aufsprunghang? () c) Der Wendepunk W(71 4) von K ensprich dem kriischen Punk" des Aufsprunghangs. Mögliche Flugbahnen des Skispringers werden nun durch Schaubilder der Funkionen g k mi g k () =,15 + k + 95 beschrieben. Welchen Wer darf der Parameer k höchsens annehmen, dami der Springer mi dieser Flugbahn nich hiner dem kriischen Punk lande? (4) d) Beim Umbau dieser Schanze soll das Profil des Aufsprunghangs veränder werden. Er soll nach dem Umbau durch die Funkion h mi h() =,1 (1, ) mi 1 beschrieben werden. Muss zur Realisierung des neuen Profils insgesam Erde weggefahren oder angeliefer werden, wenn angenommen wird, dass der Aufsprunghang überall gleich brei is? (4) a) Skizzen () Einsezen der Punke liefer das LGS c = 95 1a + 1 b + c = 95 4a + b + c = 9 mi der a =,15; b =,15 und c = 95 (GTR) b) Der Skispringer sez im Schnipunk S(6 5) (GTR) von K und C im ersen Feld auf () Er ha die maimale verikale Höhe h() = g() f() bei 6,1 mi h(6,1) 1,6 (GTR) () c) Dami der Springer nich hiner dem kriischen Punk lande, muss gelen g k (71) 4 (), k liefer k,615,9 () 71 Die Flächenbilanz der Profile 1 (f () h())d 1,6 is posiiv () Daher ha das ale Profil f eine größere Querschnisfläche als das neue Profil. Es muss also Erde weggefahren werden. () 5

6 Aufgabe 6: Kurvenunersuchung, Tangene, Roaionskörper (18) 4 Gegeben is die Funkion f durch f() = mi. Ihr Schaubild sei K a) Skizzieren Sie K. () Unersuchen Sie K auf Asympoen. Weisen Sie nach, dass K genau einen Hochpunk besiz. () Das Schaubild K, die -Achse und die Geraden = und = schließen eine Fläche ein. Diese roier um die -Achse. Der dabei ensehende Drehkörper sell die Designsudie einer Flasche dar (Koordinaenangaben in cm). b) Solche Flaschen sollen späer gefüll und in einem gepolseren, zylinderförmigen Karon verkauf werden. Dabei seh eine Flasche so in einem cm hohen Zylinder, dass sie an ihrer breiesen Selle 1 cm Absand vom Zylindermanel ha und dass der Flaschenboden 1 cm Absand vom Zylinderboden ha. Der die Flasche umgebende Hohlraum is mi Holzwolle gefüll. Besimmen Sie das Volumen des Hohlraumes. (6) c) Aus Gründen des Markeings soll eine gefülle Flasche jez in einem kegelförmigen Karon ohne Holzwolle verkauf werden. Besimmen Sie den Öffnungswinkel desjenigen Kegels, der die Flasche möglichs eng umschließ. (7) a) Skizze () Waagreche Asympoe y =, denn f() für ± ( 16) f () = = ha genau einen VZW von + nach bei = 4 ( + 16) ( + 16) () (Anselle des VZW kann auch mi der Punksymmerie am Ursprung argumenier werden.) b) Die breiese Selle befinde sich am Hochpunk H(4 5) Der Zylinder ha also den Radius r = 6 cm und das Volumen V Z = r h 56, cm Die Flasche ha das Volumen V F = (f ()) d = 781,4 cm () Der Hohlraum ha das Volumen V Z V F = 1574,8 cm. 4 1 f () f () c) Die Tangene durch P( f()) berühr K, wenn = f () ( 16) =. ( + 16) Mi dem GTR erhäl man die 4,57. Die Seigung is f (4,57) 1,44 und der Öffnungswinkel is = arcan( 1,44) = 8,1 (7) Aufgabe 7: Kurvenunersuchung, Inegraion, Verschiebung, Symmerie (18) + 16 Gegeben is die Funkion f mi f() =. Ihr Schaubild is K. + a) Unersuchen Sie K auf Asympoen und skizzieren Sie K (4) b) Die Gerade mi der Gleichung y = 1 1 und K schließen im Inervall [; ] mi > eine Fläche mi dem Inhal A() ein. Für welchen Wer gil A( ) = 1? Besimmen Sie denjenigen Punk von K, der den geringsen Absand vom Ursprung besiz. (5) + 17 c) Die Funkion g ha die Gleichung g() =. Ihr Schaubild is K*. Zeigen Sie, dass man K aus K* durch Verschiebung um eine Einhei nach links und eine Einhei nach unen erhäl. Unersuchen Sie K* auf Symmerie. Schließen Sie daraus auf die Symmerieeigenschafen von K. (4) d) Eine zylinderförmige Geränkedose is 16 cm hoch und seh auf ihrer Bodenfläche. Der Term f() beschreib für 16 die Höhe des Schwerpunkes der Geränkedose in Abhängigkei von der Höhe der Dosenflüssigkei. Dabei sind und f() in cm angegeben. Wie hoch seh die Flüssigkei in der Dose, wenn sich der Schwerpunk 4 cm über der Bodenfläche befinde? Wie viel Prozen muss aus der anfangs vollsändig gefüllen Dose abgerunken werden, dami der Schwerpunk möglichs ief lieg? (5) 6

7 a) f() = Schiefe Asympoe g() = 1 1, da (f() g()) = lim ± lim ± 17 + = Senkreche Asympoe mi VZW bei = 1, da einfache NST nur im Nenner Schaubild b) A() = (f () g())d = d = ln( + 1) = 17 ln( + 1) + () A( ) = 1 = 17 e 1,4 Der Absand des Punkes P(u f(u)) vom Ursprung is d(u) = u + (f (u)) Er wird minimal für u 1,85 (GTR) mi f(1,85) =,41 (GTR) P(1,85,41) ha minimalen Absand c) K* enseh aus K durch Verschiebung um = 1 nach links und y = 1 nach unen, da g( ) + y = (+ 1) g( + 1) 1 = 1 = (+ 1) + () K* is punksymmerisch zum Ursprung, da g( ) = g() K is punksymmerisch zu S( 1 1), denn es enseh aus K durch Verschiebung um = 1 nach links und y = 1 nach unen. d) f() = 4 gil für 1 1,17 und 6,8 (GTR) () f besiz an der Selle,1 ein Minimum (GTR). () 16 cm -,1 cm Der Aneil der abgerunkenen Flüssigkei is dann 16 cm 81 % 7