Abiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe 1

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1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe.. Skizzier man sich mi Hilfe des GTR drei Schaubilder der Schar (z.b. für =, = und = 4) ergeben sich folgende Skizzen: Anhand dieser Schaubilder können folgende gemeinsame Eigenschafen ennommen werden: Sreng monoon wachsend keine Exrempunke keine Wendepunke genau eine Nullselle eine waagreche Asympoe für x.. Für die gesuche Parabelfunkion gil der Ansaz x Es is g (x) = e mi g (x) = x e h(x) = ax + bx + c mi h (x) = ax + b G schneide die y-achse im Punk P(0/), da g (0) = is. Die Seigung der Scharkurve im Punk P beräg g (0) = Die Berührung der Parabel und der Scharkurve im Punk P bedeue: h(0) = g(0) = c = h (0) = g (0) = b = Schnipunk von G mi der x-achse: e = 0 e = x = ln Der Schnipunk laue N( ln / 0). ln() Daher gil auch: h(ln ) = 0 a ( ln ) + ( ln ) + = 0 a = 0,64 (ln) Gleichung der gesuchen Parabel: x x h(x) = 0,64x + x + 5

2 .. Das an der y-achse gespiegele Schaubild besiz die Funkion Schnipunkberechnung der beiden Funkionen: x x g (x) = g (x) e = e x x e = e x = x x = 0 x = 0 Der Schnipunk laue S(0 / ) g (x) = g ( x) = e Dami die Schaubilder sich an der Selle x = 0 rechwinklig schneiden, müsse gelen: g (0) g (0) = x Es gil x = e und g (x) x = e. g (x) Daraus folg g (0) g (0) = ( ) =. Dami is der rechwinklige Schni in S bewiesen...4 Berechnung des Schnipunkes von x x g (x) = 0 e = 0 e = x = ln() G mi der x-achse: Berechnung der Fläche zwischen dem Schaubild 0 ln() 0 x x 0 ln() ln() G und den Koordinaenachsen: ( e )dx = x e + = 0 + e ( ln() + e ) = + ln() Nun soll gelen: + ln() = (ln() ) = 0 Mi dem Saz vom Nullproduk folg = 0 oder = e. Da > vorausgesez wird, is = e die einzige Lösung... Es gil f 0,5(x) = 0,5 sin(x) und f (x) = sin(x) 6

3 Berechnung der Fläche: Zunächs wird der Schnipunk der beiden Schaubilder benöig: f (x) = f 0,5(x) sin(x) = sin(x),5 sin(x) =,5 sin(x) = Die Sinusfunkion nimm im Bereich 0 < x < π den Wer - bei x =,5 π an. Somi schneiden sich die Schaubilder an dieser Selle. Berechnung der Fläche:,5 π,5 π ( ) [ ] A = 0,5 sin(x) (0,5 sin(x) dx = (,5 +,5 sin(x))dx =,5x,5 cos(x) 0,5π 0,5π =,5π,5 0 (0,75π,5 0) =,5 π,5 π 0,5π.. Die Eckpunke des Dreiecks besizen die Koordinaen R(0/), P(u / f (u)) und Q(u / f 0,5(u)). 7

4 Die Fläche des Dreiecks beräg A = g h, wobei die Grundseie g der Srecke PQ ensprich und die Höhe h dem Absand des Punkes R von der Grundseie. Es is g = PQ = f 0,5(u) f (u) = 0,5 sin(u) (0,5 sin(u)) =,5 +,5 sin(u) Die Dreieckshöhe beräg h = u. A(u) =,5 +,5 sin(u) u Somi gil: ( ) Gesuch is nun der Wer von u mi 0 < u < π, für die die Funkion A(u) maximal wird. Mi Hilfe des GTR ergib sich: Für u =,7 wird die Dreiecksfläche maximal mi A =,07 Flächeneinheien... Die Grundfunkion g(x) = a sin(x) mi Ampliude a besiz im Inervall 0 < x < π π π Einen Hochpunk bei H( / a) und einen Tiefpunk bei T( / a). Die Funkion h(x) = a sin(x) sell eine Spiegelung des Schaubildes von g(x) an der x-achse dar. Hierdurch wird der bisherige Hochpunk zum Tiefpunk und umgekehr. π π Die Funkion h besiz den Hochpunk H( / a) und den Tiefpunk T( / a). Um von h(x) auf die Funkion f a (x) = a sin(x) zu kommen, wird das Schaubild noch um a nach oben verschoben. a π Der Hochpunk dieser Funkion lieg somi bei H( / a + ) und der Tiefpunk bei a π T( / a + ). a Dami das Schaubild y-wer besizen. K a oberhalb der x-achse lieg, müssen die Tiefpunke einen posiiven Bedingung: a + > 0 a (a is größer 0 gemäß Voraussezung) a a + > 0 a < 0 < a < 8

5 Für alle Were von a zwischen 0 und lieg das Schaubild komple oberhalb der x-achse. Für a = 0,5 sieh man dies an obigem gesrichelen Schaubild... Das Schaubild L gehör zu der Sammfunkion H. Das Schaubild N gehör zu der Funkion h. Das Schaubild M gehör zu der Funkion h. Begründung: An den Sellen, wo das Schaubild von H Exrempunke besiz (bei x = - und x =,5) besiz das Schaubild von h Nullsellen mi dem ensprechenden Vorzeichenwechsel. Somi muss h die Ableiungsfunkion von H sein. An den Sellen, wo das Schaubild von h Exrempunke besiz (bei x = 0, und x = 4,8) besiz das Schaubild von h Nullsellen mi dem ensprechenden Vorzeichenwechsel. Somi is h die Ableiungsfunkion von h... Zu berechnen is näherungsweise Es gil,5,5 (h(x)dx. (h(x)dx = H(,5) H( ) = 0 (,7) =,7 Die Were H(,5) und H(-) können direk am Schaubild L abgelesen werden. Somi beräg der Inhal näherungsweise,7 Flächeneinheien. 9

6 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe. 4 Ansaz für die Funkion 4.Grades: f(x) = ax + bx + c (Lauer gerade Hochzahlen, da das Schaubild symmerisch zur y-achse is) Es gil f (x) = 4ax + bx Die Bedingungen lauen folgendermaßen: f(0) = c = (da S(0/) auf dem Schaubild lieg) f () = 4 4a + b = 4 (Seigung bei x = is -4) f ( ) = 0 4a + b = 0 (Exrempunk bedeue Seigung is 0) 8a + b = 0 (bei Division der Gleichung durch ) Folgendes lineares Gleichungssysem wird mi dem GTR gelös: Die Lösung laue a =, b = -4 und c =. Die Funkionsgleichung laue c = 4a + b = 4 8a + b = 0 4 f(x) = x 4x Es is f 6(x) = x 4x Um den Nachweis der Monoonie zu führen, werden zunächs die Exremsellen der Funkion besimm. Es is f (x) x 8x 6 = und 6 = f (x) x 8 Hinreichende Bedingung: f 6 (x) = 0 und f 6 (x) 0. f 6(x) = 0 x 8x = 0 x x 8 0 = Als Lösung folg x = 0 oder x 8 = 0 x = x = ± Es is f 6 ( ) = 8 = 6 > 0 und dami lieg an der Selle x = ein Tiefpunk vor. Da rechs von x = keine weieren Exrempunke exisieren und rechs von einem Tiefpunk das Schaubild sreng monoon wächs, gil die srenge Monoonie für x >. 0

7 .. Zeichnung von K 6 Berechnung der Wendepunke von K 6 : Es gil f (x) x 8x 6 = und 6 = und 6 f (x) x 8 f (x) = 4x Hinreichende Bedingung für Wendepunke: f 6 (x) = 0 und f 6 (x) 0 6 = = = ± f (x) x 8 0 x 9 f 6() = 8 0 W ( / f 6()) = W ( / ) Wegen der Symmerie des Schaubildes zur y-achse (Funkionsgleichung besiz lauer 9 gerade Hochzahlen) folg als zweier Wendepunk W ( / ). Berechnung der Wendeangene im Berührpunk W : Allgemeine Tangenengleichung: y = f (u) (x u) + f(u) Mi u = folg: 9 y = f () (x ) + f() y = (x ) y = x + 5 Schnipunk der Tangene mi der x-achse: = x + 5 x = also S ( / 0) Aus Symmeriegründen folg, dass die Wendeangene im Berührpunk W die Gleichung y = x + 5 besiz Schnipunk der Tangene mi der x-achse: 0 = x + 5 x = also S ( / 0).

8 .. Berechnung von (f 6(x) f (x))dx und f 6(x) f (x) dx mi dem GTR: (f 6(x) f (x))dx = 8,4 und f (x) f (x) dx, 6 Geomerische Bedeuung des ersen Inegrals: Die Inhale der grauen Flächen für x < -,86 und x >,86 laufen als negaive Were in das Inegral ein, da die obere Randkurve f und die unere Randkurve f 6 is. Der Inhal der mileren Fläche fließ als posiiver Wer in das Inegral ein. Die grauen Flächen links und rechs sind dami um 8,4 Flächeneinheien größer als die milere Fläche. Geomerische Bedeuung des zweien Inegrals: Durch die Beragssriche innerhalb des Inegrals fließen die Inhale aller drei Flächen als posiive Were in das Inegral mi ein. Der gesame Flächeninhal zwischen den Schaubildern im Bereich x = - bis x = beräg ungefähr, Flächeneinheien...4 Zunächs müssen von der allgemeinen Funkion f die Tiefpunke berechne werden. 4 f (x) = x 4x + +

9 4 Berechnung der Ableiungen: f (x) = x 8x und f (x) = x 8 Hinreichende Bedingung für Tiefpunk: f (x) = 0 und f (x) > f (x) = x 8x = 0 x x 8 0 = Daraus folg x = 0 oder x = ± Da f (0) = 8 < 0 is, lieg bei x = 0 ein Hochpunk vor. Es gil f ( ± ) = 6 > 0 Somi besiz jedes Schaubild zwei Tiefpunke: Es gil f ( ± ) = = + Somi besiz jedes Schaubild zwei Tiefpunke: T ( / + ) und T ( / + ) Gleichung der Kurve, auf der T lieg: () x = und () y = + Aus () folg = x und dies in () eingesez ergib y = x + Gleichung der Kurve, auf der T lieg: () x = und () y = + Aus () folg = x und dies in () eingesez ergib y = x + Somi liegen alle Tiefpunke auf der Parabel y = x +.. Wie enseh G a aus der Funkion h(x) = cos(x)? cos(x) a cos(x) a cos(x) a cos(x) + 4.Umformung: Sreckung des Schaubildes mi dem Fakor a in y-richung.umformung: Sreckung des Schaubildes mi dem Fakor in x-richung.umformung: Verschiebung des Schaubildes um 4 nach oben Ampliude von g a is a. Periode von g a is π p = = π Die Funkion y cos(x) 4 = + (mi a = ) nimm y-were an im Werebereich von [ ; 5]. Für a = wäre der Werebereich [ ; 6]. Für a = wäre der Werebereich [ ; 7] Für a = 4 wäre der Werebereich [0 ; 8]. Dami das Schaubild oberhalb der x-achse verläuf, muss 0 < a < 4 sein.

10 .. Es is g 4(x) = 4cos(x) + 4 Da das Schaubild von G 4 komple oberhalb der x-achse verläuf, kann von durchinegrier werden. π π A (4 cos(x) 4)dx [ sin(x) 4x] π sin( ) ( sin( ) ) 4 π = + = + = π + π π π = π π π bis.. 4

11 Das Recheck PQRS besiz folgende Eckpunkkoordinaen: P(u / g (u)) Q(u / 0) R( u / 0) S( u / g (u)) 4 4 Gesuch is der Wer von u, so dass der Umfang des Rechecks exremal (das heiß maximal bzw. minimal) wird: Der Umfang des Rechecks besiz die Formel U = PQ + QR Mi PQ = g 4(u) und QR = u folg: π U(u) = g 4(u) + 4u U(u) = 8 cos(u) u wobei gil 0 u Gesuch is nun der Wer von u, für die die Funkion U(u) maximal bzw. minimal wird. Mi dem GTR ergib sich: Der Umfang wird maximal für u = 0,6 und minimal für u =,444 Rechecksfläche für u = 0,6: A = PQ QR = 7,87 0,5 =,98 Flächeneinheien Rechecksfläche für u =,444: A = PQ QR = 0,8,888 = 0,7 Flächeneinheien Da,98 Flächeneinheien ungefähr das Fünffache von 0,7 Flächeninheien sind, is die Behaupung dami gezeig. 5

12 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Anwendungsorieniere Aufgabe Teil, Lösung Aufgabe. Das Schaubild zeig einen linearen Ansieg. Das bedeue, dass in gleichen Zeiabschnien die Wasserhöhe um den gleichen Wer seig. Für das Gefäß bedeue dies, dass der Querschni des Gefäßes konsan sein muss. Dies riff nur auf den zylindrischen Eimer zu. Daher gehör das Schaubild zum Eimer. Die Höhe des Eimers beräg 60 cm, da das Schaubild bei h = 60 cm in eine waagreche Gerade übergeh. Schaubild der Funkion w(): Die Höhe seig zunächs seil an, anschließend is die Kurve ewas flacher. Gegen Ende wird die Kurve wieder seiler. Für den Querschni des Gefäßes heiß dies, dass der Querschni zunächs klein is, dann größer wird und bei einer gewissen Füllhöhe wieder kleiner wird. Dies riff auf die Kugel zu. Folglich gehör die Tabelle zum kegelsumpfförmigen Kolben. Da jeder Behäler mi einem Lier pro Sekunde befüll wird, ha derjenige Behäler das kleinse Volumen, der am schnellsen gefüll is. Der Eimer is gemäß des Schaubildes nach 4,5 Sekunden gefüll. Die Kugel is gemäß der Funkion nach 5 Sekunden gefüll. Der Kegelsumpf is gemäß der Tabelle nach 54,6 Sekunden gefüll. Somi ha die Kugel das kleinse Volumen.

13 . Die Geschwindigkei des Ansiegs des Wasserspiegels im Kolben wird mi Hilfe der Ableiungsfunkion ermiel. Da die Tabelle zu dem Kolben gehör, muss zunächs eine geeignee Funkionsgleichung für die Wasserhöhe des Kolbens gefunden werden. Hierzu biee sich eine Regression an mi den Punken (0/0); (,/); ; (54,6/40) die sich aus der Tabelle ergeben. Lediglich der leze Punk (60/40) wird bei der Regression nich verwende. Um feszusellen, mi welcher Funkion eine Regression durchgeführ werden soll, müssen zunächs die Punke mi Hilfe des GTR veranschaulich werden: Veranschaulichung der Punke Da eine lineare Funkion (Gerade) nich sinnvoll is, wird eine quadraische Regression (Parabel) angesez. Da R² fas is, is die quadraische Regression brauchbar. Die Funkion für die Wasserhöhe abhängig von der Zei laue h() = 0, , , 475 Anhand der Funkion kann nun berechne werden, zu welchem Zeipunk die Höhe 8 cm erreich wird: h() = 8 44, 4

14 Mi h () = 0, ,775 folg h (44,) = 0,97 Bei einer Höhe von 8 cm seig der Wasserspiegel im Kolben um ca. 0,97 cm/s.. Nun is der Wasserzufluss nich mehr konsan. Zu Beginn beräg der Wasserzufluss Lier pro Sekunde. Nach Sekunde beräg der Zufluss 0,98 = 0,98 Lier pro Sekunde. Nach Sekunden beräg der Zufluss Nach Sekunden beräg der Zufluss 0,98 Lier pro Sekunde. 0,98 Lier pro Sekunde. Der Zufluss wird daher durch die Funkion g() = 0,98 beschrieben. Da der Zufluss eine Änderungsrae der Volumenfunkion ensprich, ergib sich die Besandsfunkion als Inegral der Funkion g(). Für die Volumenfunkion gil daher V() = g(u)du 0 (da die Variable auf dem Inegral seh, muss bei der Funkion g die Variable umbenann werden. Da der Eimer 4,5 Lier fass is der Wer von gesuch, so dass gil: 4,5 = g(u)du 0 Hinweis: Durch die Einsellung Xres = wird das Schaubild schneller gezeichne. Der Eimer is nach ca. 97 Sekunden gefüll. 5

15 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Anwendungsorieniere Aufgabe Teil, Lösung Aufgabe. Da von der Kosenfunkion 4 Punke bekann sind, kann als Ansaz eine Funkion.Grades genuz werden: K(x) = ax + bx + cx + d Die Funkion wird mi dem GTR miels einer kubischen Regression ermiel: Die Kosenfunkion laue K(x) = 0,00097x 0,0986x +,58x Dami die y-were der Erlös- und Kosenfunkion nich zu groß werden, wird die Einhei der beiden Funkionen in 000 US-Dollar umgerechne. K(x) = 0,00x 00x +,6x + 00 und G * (x) E * (x) K * (x) 000 =

16 .. Die Gewinnfunkion laue ergib. E(x) K(x) G(x) = wobei G(x) den Gewinn in 000 US-Dollar ( ) G(x) = 0,x + 0x 0,00x 0,x +,6x + 00 G(x) = 0,00x + 6,4x 00 Von dieser Gewinnfunkion wird das Maximum mi dem GTR besimm: Der maximale Gewinn wird erreich für x = Sück mi einem Gewinn von G = US-Dollar... Die Kosen für 4000 Kugelschreiber beragen K(4) = 864 US-Dollar. Ein Kugelschreiber müsse dann mindesens 864 = 8, US-Dollar kosen, um keinen 4000 Verlus zu machen...4 Aufgrund der neuen Fixkosen in Höhe von US-Dollar laue die neue Kosenfunkion K * (x) = x 00x + 600x Die neue Erlösfunkion laue E * (x) = 950 x (x in 000 Sück) Die neue Gewinnfunkion beräg G * (x) = E * (x) K * (x)

17 Der maximale Gewinn beräg nur noch 5908 US-Dollar und wird bei einer Sückzahl von 64 erreich. Da der Einzelpreis gesunken is gegenüber der Aufgabe.., müssen nun mehr Kugelschreiber verkauf werden (ca. 7%) und der Gewinn reduzier sich auf 7% des ursprünglichen Gewinns. 4

18 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Anwendungsorieniere Aufgabe Teil, Lösung Aufgabe.. Skizze von f():.. Anhand des Schaubildes erkenn man, dass der särkse Ansieg im Inervall [0;5] exisier. Da der Ansieg durch die Funkion f () beschrieben wird, is das Maximum der Ableiungsfunkion im Inervall [0;5] gesuch. Im Inervall [0;5] gil f () = Die Förderrae is maximal nach,5 Tagen.

19 .. Da es sich bei der Funkion f() um eine Förderrae, also um eine momenane Änderungsrae handel, muss man zur Ermilung der geförderen Menge Öl die Fläche zwischen der Funkion f() und der -Achse besimmen. Menge in den ersen 5 Tagen: Menge vom 5. bis 8.Tag: d = (GTR) d = 845 (GTR) 5 Menge vom 8. bis 0. Tag: d 86,67 + = 4 (GTR) Die gesame Menge in den 0 Jahren beräg ,67 = 56,67 Millionen Barrel. 5 5 C x A 5-x Die Pipeline beseh aus drei Teilsrecken AB, AC und CR. AB = 5 + x (Saz des Pyhagoras) mi Kosen AC = 5 mi Kosen K (x) = = CR = 5 x mi Kosen K (x) = (5 x) K (x) = x Die Gesamkosen beragen Gesuch is x, so dass die Kosen minimal werden. K(x) = x (5 x) 40000

20 Mi dem GTR ergib sich: Die Kosen werden minimal für x =, km. Die minimalen Kosen beragen

21 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Haupprüfung 0 Teil 4, Lineare Opimierung, Lösung zu Aufgabe Baden-Würemberg. Die Berechnung des maximalen Gewinns erfolg mi Hilfe des Simplex-Algorihmus: x = Anzahl der Packungen nussig y = Anzahl der Packungen fruchig Da 50 Packungen von 50spezial hergesell werden, reduzieren sich die zur Verfügung sehenden Mengeneinheien der einzelnen Nüsse/Früche auf folgende Größen: Paranüsse: = 750 ME Walnüsse: = 450 ME Mango: = 50 ME Rosinen: = 400 ME Folgende einschränkenden Bedingungsungleichungen sind nun zu erfüllen: x + y 750 () x 450 () x + y 50 () y 400 (4) Zu maximieren is der Gewinn: 4x+ 5y= G Für die zeichnerische Lösung muss das Ungleichungssysem () bis (4) folgendermaßen umgeform werden: y,5x x 450 y x y 800 Die Maximierungsgleichung wird umgeform zu 4 G y= x+ 5 5 Nun werden die einzelnen Geraden in ein Koordinaensysem eingezeichne und die beschriebene Fläche schraffier. Die Gerade der Maximierungsgleichung is gesrichel eingezeichne.

22 Aus dem Schaubild ergib sich, dass der Eckpunk der Fläche, in dem sich die Geraden y = x und y=,5x schneiden, die opimale Mengenkombinaion darsell. Die beiden Geraden schneiden sich bei x = 50. Daraus folg y=, = 650. Der Gewinn wird maximal, wenn das Unernehmen 50 Packungen nussig und 650 Packungen fruchig verkauf. Der Gewinn der Packungen fruchig und nussig beräg G= = 850 Der Gewinn der Packungen 50spezial beräg G= 5 50= 750 Der Gesamgewinn beräg G= = 4600 GE. Wenn von den 700 ME Rosinen 80 ME verdorben sind, führ das zu keiner Änderung des Gesamgewinns. Begründung: Es werden nur 650= 950 ME Rosinen für fruchig benöig, für nussig werden gar keine Rosinen benöig und für 50spezial werden 50= 00 ME benöig, insgesam also = 50 ME. Somi sind ohnehin = 450 ME Rosinen übrig.

23 . Inerpreaion Zielfunkionszeile des vorliegenden Tableaus: Der Gewinn der Produkion beräg 500 GE. Wird zusäzlich eine Packung 50spezial produzier (z = ) ohne weiere Änderungen, verringer sich der Gewinn um ca. 4, GE. Wird eine Mengeneinhei der Mangos weniger verarbeie ( u = ) ohne weiere Änderungen, dann sink der Gewinn um GE. Wird eine Mengeneinhei der Rosinen weniger verarbeie ( u4 = ) ohne weiere Änderungen, erhöh sich der Gewinn um ca. 0, GE. Da in der lezen Zeile (Zielfunkionszeile) noch eine posiive Zahl exisier, kann der bisher errechnee Gewinn von 500 GE noch weier vergrößer werden, d.h. der maximale Gewinn is noch nich erreich. x y z u u u u Erg. Quoien Die größe posiive Zahl in der lezen Zeile seh in der 7.Spale. Der kleinse Quoien seh in der.zeile. G-500 Somi is 5 6 das Pivoelemen. Division der.zeile durch 5 6 : Nr. x y z u u u u 4 Erg. Umformung () 0 0 -, 0 -,8 00 () () () () 0 (4) 0 (5) () + () 900 (4) () G-500 (5) () 4

24 Nr. x y z u u u u 4 Erg. () 0 0 -, 0 -,8 00 () 0 0 -, 0, () 0, 0-0, (4) 0 -, 0, (5) , 0-4, 0 G-5600 Da nun keine Zahl in der Zielfunkionszeile mehr posiiv is, kann der Gewinn nich weier opimier werden. Es gil: x= 600 x= 00 y= 400 y= 800 z = 0 u = u = 0 u = 900 u = u = 00 Der maximale Gewinn beräg G= 5600 : = 500 GE. Hierfür müssen 00 ME nussig, 800 ME fruchig und 0 ME 50spezial hergesell werden. Übrig bleiben 450 ME Walnüsse und 00 ME Rosinen. Da z = 0 is, is es also für die Firma nich sinnvoll, die neue Mischung 50spezial in die reguläre Produkpalee mi aufzunehmen. 5

25 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Haupprüfung 0 Teil 4, Lineare Opimierung, Lösung zu Aufgabe Baden-Würemberg.. x = Anzahl der -Personen-Bungalows y = Anzahl der 4-Personen-Bungalows Es gelen folgende Einschränkungen: x + y 90 60x + 80y 6400 x + 4y 00 Zu maximieren sind die Einnahmen E = 45x + 60y Um das Planungsvieleck zu zeichnen, müssen die Ungleichungen jeweils nach y aufgelös werden: () y 90 x () y 80 x 4 () y 75 0,5x Planungsvieleck:

26 Um die maximalen Einnahmen zu besimmen, werden die einzelnen Eckpunke des Planungsvielecks in die Erlösformel eingesez. Punk P(0/75): E = = 4500 Euro Punk A(0/65): E = = 4800 Euro Punk B(40/50): E = = 4800 Euro Punk D(90/0): E = = 4050 Euro Die maximalen Einnahmen beragen 4800 Euro. Hierfür gib es mehrere Möglichkeien. Zum Beispiel den Bau von 0 -Personen- Bungalows und 65 4-Personen-Bungalows. Oder den Bau von 40 -Personen-Bungalows und 50 4-Personen-Bungalows... x = Anzahl der -Personen-Bungalows y = Anzahl der 4-Personen-Bungalows z = Anzahl der 6-Personen-Bungalows Es gelen folgende Einschränkungen: x + y + z 90 60x + 80y + 90z 6400 x + 4y + 6z 00 Zu maximieren sind die Einnahmen 45x + 60y + 90z = E Einführung von Schlupfvariablen ergib folgendes Gleichungssyem x + y + z + u = 90 60x + 80y + 90z + u = 6400 x + 4y + 6z + u = 00 Aufsellen des Simplex-Tableaus: x y z u u u Ergebnis Quoien () () /9 () Zielfk E Die größe posiive Zahl in der Zielfunkion is in der.spale. Der kleinse Quoien is in der.zeile. Daher is 6 das Pivoelemen

27 Division der.zeile durch 6: x y z u u u Ergebnis Umformung () () () () () 90 () () Zielfk E Zielfk 90 () x y z u u u Ergebnis Quoien () () / () Zielfk E-4500 Die größe posiive Zahl in der Zielfunkion is in der.spale. Der kleinse Quoien is in der.zeile. Daher is das Pivoelemen. Division der.zeile durch : x y z u u u Ergebnis Umformung () 0,5 0,5 0-0,5 60 () () 0 () () () () 6 Zielfk E-4500 Zielfk 5 () x y z u u u Ergebnis () 0,5 0,5 0-0,5 60 () ,5 00 () 0,5 -,5 0 0,75 90 Zielfk. 0-7,5 0 -,5 0 -,5 E-5400 Ein weierer Schri is nich erforderlich, da in der Zielfunkionszeile alle Zahlen negaiv sind. Die maximalen Einnahmen beragen 5400 Euro. Es gil x = 60, y = 0, z = 0, u = u = 0 und u = 00. Es müssen 60 -Personen-Bungalows, und 0 6-Personen-Bungalows sowie keine 4- Personen-Bungalows gebau werden. Hierbei werden u = 00 m² der Fläche nich ausgeschöpf. 4

28 . Zunächs wird das LGS auf Sufenform gebrach. Hierzu muss der Ausdruck x auf Null gebrach werden. 4x + x + (k 4)x = ( ) x 6x + (k )x = k (k k 6)x = k 4 4x + x + (k 4)x = x + ( k + 9)x = 6 + k (k k 6)x = k 4 Wenn vor. k k 6 = 0 ergib, lieg ein Sonderfall (das heiß unlösbar oder mehrdeuig lösbar) ± + 4 ± 5 k k 6 = 0 k, = = und dami k = oder k = -. Für k = laue die leze Zeile: 0x = 5, was zu einem Widerspruch führ. Daher besiz das LGS für k = keine Lösung. Für k = - laue die leze Zeile 0x = 0, was zu einer wahren Aussage 0 = 0 führ. Daher besiz das LGS für k = - unendlich viele Lösungen. Für alle anderen Were von k besiz das LGS eine eindeuige Lösung. 5

29 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG, TG) Haupprüfung 0 Teil, Sochasik, Lösung Aufgabe Baden-Würemberg. Als Urnenmodell beschrieben handel es sich hier um eine Ziehung mi einem Griff (ohne Berücksichigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung) aus einer Urne mi Kugeln P(A) = = = Erklärung Zähler: Von den 8 Kreuzkaren sollen gezogen werden, von den reslichen 4 Karen keine. Erklärung Nenner: Von den gesamen Skakaren werden gezogen P(B) = = = Erklärung Zähler: Von den 4 Assen wird keines gezogen, von den reslichen 8 Karen zwei P(C) = = = 496 Erklärung Zähler: Von den 4 Buben wird genau einer gezogen, von den reslichen 8 Karen ebenfalls genau eine. D: Eine Kare im Ska is ein Bube. Wie groß is die Wahrscheinlichkei, dass auch die andere Kare ein Bube is? Hinweis: Diese Frage is leider nich eindeuig gesell. Es gib hier zwei Lösungsmöglichkeien mi unerschiedlichen Ergebnissen hinsichlich der Wahrscheinlichkei..Inerpreaion: Es handel sich um eine bedinge Wahrscheinlichkei mi der Bedingung. Die Bedingung Eine Kare im Ska is ein Bube wird so inerpreier, dass mindesens eine Kare im Ska ein Bube is. Das heiß, dass ein angenommener Spielleier sich beide Karen im Ska anschau und dann die Informaion gib, dass mindesens eine Kare ein Bube is. Folgende Ereignisse werden hierfür definier: E: Im Ska liegen zwei Buben F: Im Ska lieg mindesens ein Bube.

30 P(E F) Gesuch is die bedinge Wahrscheinlichkei P F(E) = wobei P(E F) = P(E) P(F) Es gil P(E) = = = und 7 59 P(F) = P(C) + P(E) = + = Daraus folg P(E F) P(E) 48 P(D) = P F(E) = = = = P(F) P(F) Inerpreaion: Es handel sich um eine bedinge Wahrscheinlichkei mi der Bedingung. Die Bedingung Eine Kare im Ska is ein Bube wird so inerpreier, dass die.kare im Ska ein Bube is. Das heiß, dass ein angenommener Spielleier sich nur die.kare im Ska anschau und dann die Informaion gib, dass die.kare ein Bube is. Folgende Ereignisse werden hierfür definier: E: Im Ska liegen zwei Buben F: Die.Kare im Ska is ein Bube P(E F) Gesuch is die bedinge Wahrscheinlichkei P F(E) = wobei P(E F) = P(E) P(F) Es gil P(E) = = = und 4 P(F) = Daraus folg P(E F) P(E) 48 P(D) = P F(E) = = = = P(F) P(F) 4. P( ein Spieler ha alle Buben auf der Hand ) = = = 0,

31 . Insgesam gib es in dem Karenspiel Luschen ( Luschen für jede der 4 Farben) und 0 Nich-Luschen. Nun werden n Nich-Luschen (wobei n is) auf die Seie geleg. Übrig bleiben n Karen, in denen noch Luschen und 0-n Nich-Luschen enhalen sind. Nun werden zwei Karen auf einmal (mi einem Griff) gezogen. 0 n (0 n) 4 (0 n) P("genau eine Lusche")= = = n ( n) ( n) ( n) ( n) Erklärung Zähler: Von den Luschen soll eine gezogen werden und von den 0-n Nich- Luschen soll ebenfalls eine gezogen werden. Erklärung Nenner: Von den insgesam n Karen werden zwei gezogen. Gesuch is nun der Wer von n, so dass gil: Mi dem GTR erhäl man: 4 (0 n) 0,5 ( n)( n) Anhand der Wereabellen erkenn man, dass die Wahrscheinlichkei 0,5 überseig für n. 4

32 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG, TG) Haupprüfung 0 Teil, Sochasik, Lösung Aufgabe Baden-Würemberg.. Urne Urne blau ro weiß blau ro weiß Es gil 5 9 P(ro) = + = P(A) = 0, B: Mindesens zwei Kugeln haben dieselbe Farbe Gegenereignis B : Alle drei Kugeln haben verschiedene Farben Es gil P(blau) = + = und P(weiß) = + = P(B) = 6 P(ro,blau,weiß) = 6 = Der Fakor 6 enseh dadurch, dass man die Farben ro, blau, weiß in 6 unerschiedlichen Aren sorieren kann P(B) = P(B) = = Der Einsaz von Moriz sei x. Das Spiel heiß dann fair, wenn die erwaree Auszahlung dem Einsaz ensprich. Max zahl 0x bei zwei weißen Kugeln. P(zweimal weiß) = =

33 Max zahl x bei zwei blauen Kugeln. P(zweimal blau) = = Max zahl x bei zwi roen Kugeln. P(zweimal ro) = 5 = Max zahl 0 bei verschiedenfarbigen Kugeln. P(verschiedenfarbig) = 5 = Der Erwarungswer der Auszahlung beräg 0x + x + x + 0 = x Da der Einsaz von Moriz x beräg, is der Erwarungswer der Auszahlung ( = x) genau so groß wie der Einsaz. Dami spiel die konkree Höhe des Einsazes keine Rolle, das Spiel is immer fair.

34 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, TG) Haupprüfung 0 Teil 4, Vekorgeomerie, Lösung zu Aufgabe Baden-Würemberg. Geradengleichung des Poiners von Maike: m: 4 x = + r 0,, 4 0, Nun muss der Schnipunk der Gerade m mi der xx -Ebene besimm werden. Für den Schnipunk gil x = 0. 4 r = 0 r = 4 Sez man r = 4 in die Gerade ein, ergib sich der Schnipunk S(0/0,8/,). Der Mielpunk Z der Scheibe lieg 0,5m unerhalb von A(0//,5) Dami lauen die Koordinaen des Mielpunkes Z(0//). Für den Absand des Punkes S von Z gil: 0 SZ = SZ = 0, = 0, + 0, 0,8m 0, Da der Absand geringer is als der Radius der Scheibe, muss S innerhalb der Scheibe liegen. Der Poiner von Jan riff die Zielscheibe im Punk T(0/,8/). Für den Absand des Punkes T von Z gil: 0 TZ = TZ = 0, = 0, = 0,m 0 Der Srahl von Jans Poiner riff die Zielscheibe näher am Zenrum als der Srahl von Maikes Poiner... Die Geradengleichung von Maikes Poiner laue nun: 4 x = + r, 4 0, Die Geradengleichung von Jans Poiner laue: x = 4 + s, 0

35 Der Schnipunk der beiden Geraden ergib sich durch Gleichsezen: s, = + r 0, 4 0, Aus.Zeile: =, 4 + 0, r r = Aus.Zeile: + s = 4 r + s = 4 s = Aus.Zeile: 4 +, ( ) = + = 0,4 Die beiden Srahlen reffen sich für = 0,4. Einsezen von S(/, / ) s = in die Gerade von Jans Poiner ergib den Schnipunk.. Zunächs wird der vom Parameer abhängige Schnipunk der Gerade von Maikes Poiner mi der xx -Ebene besimm: Gleichung von Maikes Poiner: 4 x = + r, 4 0, Seze x = 0 4 r = 0 r = 4. Einsezen von r = 4 in die Gerade ergib P(0 / + 4 /,) 0 0, Absand von P zu Z: ( ) PZ = PZ = 4 = 4 + 0, Gesuch is der Wer von, so dass der Wurzelerm minimal wird: Für = 0,5 ergib sich ein Minimum. Der minimale Absand beräg dann 0,.

36 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, TG) Haupprüfung 0 Teil 4, Vekorgeomerie, Lösung zu Aufgabe Baden-Würemberg. Zunächs wird das LGS auf Sufenform gebrach. Hierzu muss der Ausdruck x auf Null gebrach werden. 4x + x + (k 4)x = ( ) x 6x + (k )x = k (k k 6)x = k 4 4x + x + (k 4)x = x + ( k + 9)x = 6 + k (k k 6)x = k 4 Wenn vor. k k 6 = 0 ergib, lieg ein Sonderfall (das heiß unlösbar oder mehrdeuig lösbar) ± + 4 ± 5 k k 6 = 0 k, = = und dami k = oder k = -. Für k = laue die leze Zeile: 0x = 5, was zu einem Widerspruch führ. Daher besiz das LGS für k = keine Lösung. Für k = - laue die leze Zeile 0x = 0, was zu einer wahren Aussage 0 = 0 führ. Daher besiz das LGS für k = - unendlich viele Lösungen. Für alle anderen Were von k besiz das LGS eine eindeuige Lösung. Eine Lösung für x = 0 erhäl man dadurch, dass man x = 0 in das LGS direk einsez: 4x + x = x = 6 + k 0 = k 4 Aus der.zeile ergeben sich zwei mögliche Lösungen: k = ± Für k = erhäl man aus der.zeile x = 0 und aus der.zeile x = 0,5. Eine Lösung laue also (0,5/0/0). Für k = - erhäl man aus der.zeile x = und aus der.zeile x = 0. Eine andere Lösung laue also (0//0).

37 .. Die Gleichung der Gerade g laue: x = + r 4. Da der gesuche Schnipunk in der xx -Ebene liegen soll, wird zunächs der Punk auf g ermiel, der in dieser Ebene lieg. Bedingung: x = 0 + r = 0 r =. Der Punk auf g, der in der xx -Ebene lieg, laue P(0//) (r = - in g einsezen) Nun muss der Parameer der Ebene E so gewähl werden, dass der Punk P(0//) auf der Ebene lieg. Einsezen des Punkes P in die Ebene ergib: 0 + = = =,5 Der Durchsoßpunk is der Punk P... Aus Aufgabe..: Gleichung der Gerade g: x = + r 4 Die Länge des Richungsvekors von g beräg 4 = + ( 4) + = Die Punke P und P sind somi Richungsvekorlängen vom Geradenpunk Q enfern. Um die Koordinaen von P und P zu besimmen, werden die Orsvekoren der Punke berechne. X P X Q X P O 0 Berechnung von P: OP = OQ + 4 = + = also P(/-0/7) 0 Berechnung von P: OP = OQ 4 = + = also P(-/4/-5)

38 Berufliches Gymnasium (TG) Haupprüfung 0 Teil 4, Vekorgeomerie, Lösung zu Aufgabe Baden-Würemberg.. Ein Dreieck is gleichschenklig, wenn zwei der drei Dreiecksseien die gleiche Länge besizen. Es gil AC = 6. Da das Dreieck ABC gemäß der Aufgabensellung gleichseiig is, gil AB = AC = BC = 6. Für die Länge der Seienkanen gil: AD = AD = = = 48 6 BD = BD = 0 = = 48 6

39 CD = CD = = = 48 6 Dami sind alle drei Seienkanen der Pyramide gleich lang und die Seiendreiecks sind alle gleichschenklig.. Für das Volumen einer Pyramide gil: V = G h Die Grundfläche is das gleichseiige Dreieck ABC mi der Kanenlänge 6. Für die Fläche eines gleichseiigen Dreiecks gil: a A =, also 4 6 G = A = = 9 4 Die Höhe der Pyramide beräg h = 6. (Begründung: Die Grundfläche ABC lieg auf der Höhe x = (da alle Punke ABC diese x -Koordinae besizen). Der Punk D besiz die x -Koordinae 5, somi is der senkreche Absand von der Grundfläche bis zur Spize D gleich 6. V = 9 6 = 8.4 Der Punk D ha von allen Punken A, B und C den gleichen Absand, wie in Teilaufgabe. bereis gezeig wurde. Die Menge aller Punke, die von A, B und C gleich wei enfern lieg, liegen auf einer Gerade, die den Punk D enhäl und orhogonal auf der Grundfläche ABC seh. 0 Die Gleichung dieser Gerade laue: g: x = + r 0. 5 Ein allgemeiner Punk auf g laue P( / / 5 + r). Dami der Punk P von A, B, C und D die gleiche Enfernung ha, muss folgende Bedingung erfüll sein: PA = PD

40 Es gil PA = PA = = ( 6 r) = r + r = r + r r und 0 PD = PD = 0 = r r Es muss also gelen: r + r + 48 = r r + r + 48 = r r = 48 r = 4 Somi laue der gesuche Punk P( / / ). 4

41 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Haupprüfung 0 Teil 4, Wirschafliche Anwendungen, Lösungen Aufgabe Baden-Würemberg. Anhand des Diagramms wird eine Inpu-Oupu-Tabelle ersell: U V W Mark Produkion U V W Der Produkionsvekor laue 50 x = Die Inpumarix laue 0 0,5 0,7 A = 0, 0 0,04 0,6 0, 0 Die Diagonalelemene bedeuen die Aneile, die die Unernehmen jeweils als Eigenverbrauch ihrer jeweiligen Produkion benöigen. Da die Were hier alle 0 sind, heiß dies, dass die Unernehmen von ihrer Produkion nichs selbs verbrauchen. Das Elemene a = 0, bedeue, dass das Unernehmen W an das Unernehmen V einen Aneil von 0% bezüglich der Produkion von V liefern muss.. Der neue Produkionsvekor laue x x x = 0, 00 = 40 x x (Die Produkion von V wird um 80% reduzier, also produzier V nur noch 0% des ursprünglichen Weres) 8 Der neue Markabgabevekor laue y = y 80

42 Aufsellen der Leonief-Gleichung: y = (E A) x 8 0,5 0,7 x y = 0, 0, ,6 0, x Muliplizier man das ganze aus ergib sich folgendes Gleichungssysem: x 0,7x = 48 0,x 0,04x y = 40 0,6x + x = 88 Als Lösung mi dem GTR ergib sich x = 75 und x = 00 und y = U produzier Waren im Wer von 75 GE, W produzier Waren im Wer von 00 GE und V gib Waren im Wer von GE an den Mark ab.. Dami A eine Inpumarix is, müssen alle Marixeinräge zwischen 0 und liegen. Die Bedingung laue daher () 0 0,5 0,0 und () 0 0, 6. Aus () folg 0, 6,87 5 Aus () folg 0 Insgesam handel es sich um eine Inpumarix, wenn 5 0, gil. Der einzige ganzzahlige Wer in diesem Inervall wäre =, für den nun geprüf werden soll, ob für diese Marix jede Nachfrage erfüll werden kann. Dami dies so is, müssen alle Einräge der Leonief-Inversen (E A) nich-negaiv sein. Mi dem GTR kann die Leonief-Inverse (E A ) berechne werden:,4 0, 4 0,6 (E A ) = 0,6.5 0, 0,9 0,5,4 (gerundee Were in der Marix) Da alle Einräge in dieser Inversen nich-negaiv sind, kann für = jede beliebige Nachfrage erfüll werden.

43 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Haupprüfung 0 Teil 4, Wirschafliche Anwendungen, Lösungen Aufgabe Baden-Würemberg. Gegeben is die Rohsoff-Zwischenprodukmarix A = und die Zwischenproduk-Endprodukmarix B = 0 Berechnung der Rohsoff-Endprodukmarix C: C = A B = Gegeben is der Produkionsvekor Gesuch is der Rohsoffvekor r. 40 p = r = C p = = Von R müssen = 50 ME besorg werden. Von R müssen = 660 ME besorg werden. Von R müssen = 7080 ME besorg werden.. Es sei 700 p = Anzahl der benöigen Rohsoffe: r = C p = =

44 Anzahl der benöigen Zwischenproduke: z = B p = 600 = Die Rohsoffkosen beragen KR = , , ,04 = 095. Die Ferigsellungskosen vom Zwischenproduk zum Endproduk beragen K = = E T Für die Ferigungskosen der Zwischenproduke gil kz = ( x x,5x ) Die Ferigsellungskosen vom Rohsoff zum Zwischenproduk beragen K = 500 x x + 000,5x = 00x Z Der Verkaufserlös beräg = Die Gesamkosen beragen K + K + K + K = x = x R Z E Fix Da der Gewinn 6500 beragen soll, muss gelen: ( x) = 6500 Daraus folg x =. T Dami gil kz = ( 6 ). Die Ferigungskosen je ME der Zwischenproduke beragen bzw. 6 bzw.... Um ME von Z herzusellen, benöig man 8 r = 9 7 als Rohsoffe. v = als Vorproduke und Kosen für Rohsoffe: 8 0, , ,04 = 0,95 Euro. Kosen für Vorproduke: 0,7 + 0, 6 =,9 Euro. Die Gesamkosen für ME von Z inklusive Rohsoffkosen beragen 0,95 +,90 + =,85 Euro. Die Innovaion is mi,85 Euro eurer als bisher mi,95 Euro. 4

45 Um ME von Z herzusellen, benöig man 9 r = 7 als Rohsoffe. v = als Vorproduke und Kosen für Rohsoffe: 9 0, ,0 + 0,04 =,0 Euro. Kosen für Vorproduke: 0,7 + 0, 6 =,7 Euro. Die Gesamkosen für ME von Z inklusive Rohsoffkosen beragen,0 +,70 + = 5,80 Euro. Die Innovaion is mi 5,80 Euro günsiger als bisher mi 7,0 Euro. Um ME von Z herzusellen, benöig man 0 r = 0 0 als Rohsoffe. v = als Vorproduke und Kosen für Rohsoffe: 0 0, , ,04 =,0 Euro. Kosen für Vorproduke: 0,7 + 0,6 =,6 Euro. Die Gesamkosen für ME von Z inklusive Rohsoffkosen beragen,0 +,60 + = 4,80 Euro. Die Innovaion is mi 4,80 Euro eurer als bisher mi 4,0 Euro. Fazi: Nur für Z wird es billiger, die Hersellkosen der anderen Zwischenproduke werden durch die Innovaion größer. 5

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