- PDF Free Download

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download ""

Pia Frei
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Abiurprüfung Mahemaik 013 Baden-Würemberg (ohne CAS) Wahleil - Aufgaben Analysis A 1 Aufgabe A 1.1 Der Querschni eines 50 Meer langen Bergsollens wird beschrieben durch die x-achse und den Graphen der Funkion f mi 4 f(x) = 0,0x 0,8x + 8 ; 4 x 4 (x und f(x) in Meer). a) An welchen Sellen verlaufen die Wände des Sollens am seilsen? Welchen Winkel schließen die Wände an diesen Sellen mi der Horizonalen ein? Nach einem Wassereinbruch seh das Wasser im Sollen 1,7 m hoch. Wie viel Wasser befinde sich in dem Sollen? (6 VP) b) Im Sollen soll in 6 m Höhe eine Lampe aufgehäng werden. Aus Sicherheisgründen muss die Lampe mindesens 1,4 m von den Wänden enfern sein. Überprüfen Sie, ob dieser Absand eingehalen werden kann. c) Ein würfelförmiger Behäler soll so in den Sollen gesell werden, dass er auf einer seiner Seienflächen seh. Wie brei darf der Behäler höchsens sein? Aufgabe A 1. Für jedes 0 is eine Funkion f gegeben durch Für welche Were von besiz f mehr als eine Nullselle? 1 x f (x) = (x 1) (1 e ). 1

a) An welchen Sellen verlaufen die Wände des Sollens am seilsen? Welchen Winkel schließen die Wände an diesen Sellen mi der Horizonalen ein?

2 Abiurprüfung Mahemaik 013 Baden-Würemberg (ohne CAS) Lösungen Wahleil - Analysis A 1 Aufgabe A 1.1 a) Die Wände sind am seilsen in den Wendepunken des Schaubildes von f(x) (bzw. an den Exrempunken der Ableiungsfunkion f (x) ) Lösung mi dem GTR: Die Ableiungsfunkion (reches GTR-Bild) besiz ein Maximum bei x,614 und ein Minimum bei x, 614. Die Wände des Sollens sind ewa,6 m rechs und links von der Sollenmie am seilsen. Der Winkel, den die Wände an dieser Selle mi der Horizonalen einschließen ensprich dem Winkel der Tangenen an diesen Sellen mi der Horizonalen (x-achse). Dieser Winkel wird auch Seigungswinkel genann. Die Seigung der Tangene bei x,614 beräg f (, 614),858 (siehe Y-Wer beim GTR-Schaubild oben rechs) Der Seigungswinkel α einer Geraden wird mi der Formel m= anα berechne. Aus,858 = anα folg α= 70,7. Da das Schaubild von f(x) symmerisch zur y-achse is, beräg der Winkel an den seilsen Sellen des Sollens auf beiden Seien jeweils 70,7. Für die Ermilung des Wasservolumens wird zunächs eine Skizze ersell: Das Volumen des Wassers in dem 50 m langen Sollen wird ermile mi der Formel V= G 50m (G is die Grundfläche des grau gefärben Querschnis)

Die Wände des Sollens sind ewa,6 m rechs und links von der Sollenmie am seilsen.

3 Zur Berechnung der Grundfläche müssen zunächs die Schnisellen des Schaubildes von f(x) mi der Geraden y = 1,7 besimm werden. Lösung mi dem GTR: Die Schnisellen beragen x ± 3,. Grundfläche G = 3, f(x)dx+ A = 0,617+ 6, 4 1,7 = 1,114 m² 4 Recheck (Das Inegral wurde mi dem GTR berechne) V = 1,114 50= 605,7m Wasser 3 Im Sollen befinden sich ca. 606 m³ Wasser. b) Dami die Lampe von den Wänden einen mögilchs großen Absand besiz, muss die Lampe symmerisch zu den Wänden aufgehäng werden. Das heiß der Lampenpunk besiz die Koordinaen L(0/6). Gesuch is nun der minimale Absand zwischen Schaubild von f(x) und dem Punk L. Ein allgemeiner Punk des Schaubildes von f(x) besiz die Koordinaen P(u/f(u)). Der allgemeine Absand zwischen L und P beräg P L P L d(u) = (x x ) + (y y ) = (u 0) + (f(u) 6) Das Minimum von d(u) ensprich dem minimalen Absand von L zum Sollen. 3

b) Dami die Lampe von den Wänden einen mögilchs großen Absand besiz, muss die Lampe symmerisch zu den Wänden aufgehäng werden. Das heiß der Lampenpunk besiz die Koordinaen L(0/6).

4 Das Schaubild von d(u) wird minimal für u 1,3 mi d(1,3) 1, 46 m. Der minimale Absand beräg 1,46 m und dami wird der Mindesabsand von 1,4 m eingehalen. c) Da der Behäler würfelförmig is, muss in dem beracheen Querschni zwischen dem Schaubild von f(x) und der x-achse ein Quadra einbeschrieben werden. Die Seienlängen dieses Quadras ensprechen den maximalen Kanenlängen des würfelförmigen Behälers. Die Seienlängen des Quadras beragen u ( u) = u und f(u) 0= f(u). Dami dies asächich ein Quadra ergib, muss u Lösung mi dem GTR: = f(u) gelen. Die Lösung laue u,. Dami is die Seienlänge des Quadras, = 4,44 m lang. Der Behäler darf höchsens 4,44 m brei sein. 4

Die Seienlängen dieses Quadras ensprechen den maximalen Kanenlängen des würfelförmigen Behälers. Die Seienlängen des Quadras beragen u ( u) = u und f(u) 0= f(u).

5 Aufgabe A 1. Berechnung der Nullsellen von f (x) : f (x) = 0 : 1 x (x 1) 1 e = 0 Mi dem Saz vom Nullproduk ergib sich als eine Lösung x1= 1 (unabhängig von ). 1 x Mögliche weiere Nullsellen ergeben sich für 1 e = 0 Die Lösung x exisier allerdings nur für > 0. x e = x = ln() Nun kann es noch den Sonderfall geben, dass x denselben Wer wie x 1 annehmen kann (und somi gäbe es insgesam nur eine Nullselle): x = x1 ln() = 1 = e Ergebnis: Für alle > 0 und e besiz f (x) mehr als eine Nullselle. 5

Ähnliche Dokumente

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte www.mahe-aufgaben.com Analysis: Ganzraionale Funkionen Analysis Ganzraionale Funkionen Differenzialrechnung, Exrem- und Wendepunke Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mahe-aufgaben.com Juni 0 www.mahe-aufgaben.com