Die Eckpunkte A und E liegen in der y-z-ebene; Es wird ein dritter Schnittpunkt der y-z-ebene mit dem Körper berechnet.

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Dieter Burgstaller
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1 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie von 9 P Analyische Geomeie. Dasellung de Veoen: BE + FG = BH. C F = AF AF + F = C AF + FC = AC AC FC = AF A ( ;;) B ( ; 4; ) C ( ;; ) D ( ;;) E ( ;;) F ( ; 4; ) G ( ;;) H ( ;;).. Koodinaengleichung von ε BDHF : BD BF = = n = ε BDHF : + y = d B ε BDHF d = + 4 = 4 ε BDHF : + y = 4 Beechnung des Schniwinels: Richungsveo von g CE : u = CE = i un i 8 8 sinα = = = =,98 u n 4 4 α = 4,8.. Die Ecpune A und E liegen in de y-z-ebene; Es wid ein die Schnipun de y-z-ebene mi dem Köpe beechne. Schnipun von y-achse mi g BC : g BC : = OB+ BC = 4 + ys = 4 + R Schnipun mi y-achse S = z S = = S y = S ( ;;) Flächeninhal de Schnifläche: A= AS AE = = = (FE)

. Koodinaengleichung von ε BDHF : BD BF = = n = ε BDHF : + y = d B ε BDHF d = + 4 = 4 ε BDHF : + y = 4 Beechnung des Schniwinels: Richungsveo von g CE : u = CE = i un i 8

2 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie von 9 P Analysis. ( ) = +, R, > Ableiungen: '.. ( ) = + ( ) '' = Beechnung von : ' = 9 ( ) + = 9 = = enfäll, da > gefode und = =.. Beechnung des Eempunes: Eempun im. Quadanen E und ( E) '( ) = + = = 4 E = enfäll und E = '' = = <, da > E is Maimumselle ( E ) ( ) = + = Maimum: E ( ; ) E Ansieg de Geaden: y m = = = 8.. Beechnung de Nullsellen von : = ( ) + = ( ) + = = und = und = Beechnung von : Fläche im. Quadanen Besimmes Inegal muss von bis beechne weden 4 A = ( ) d ( + ) d = + = 4. ( ) + = = = f = a + b, a, b R, a, b.. Begündung, dass a > und b < gil: Fü seb die dageselle Funion gegen lim f ( ) ( ) ( lim a b lim a ) Nullsellen: ( ) f = = + = a >, weil a + b = ( a + b) = fü gegen seb b b = und = und = a a a und b müssen uneschiedliche Vozeichen haben, da dei Nullsellen in de Abbildung vohanden sind und sons die Wuzel nich definie wäe b <

. Beechnung de Nullsellen von : = ( ) + = ( ) + = = und = und = Beechnung von : Fläche im. Quadanen Besimmes Inegal muss von bis beechne weden 4 A = ( ) d ( + ) d = + = 4.

3 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie von 9.. Gleichung fü g : f is die. Ableiungsfunion von g g is eine Sammfunion von f a 4 b a b fab, ( ) d = ( a + b) d = + + c gab, = c R ( ) 4 Unesuchung des Kümmungsvehalens: f is die Sammfunion von h h is die. Ableiungsfunion von f hab, ( ) = fab, '( ) = a + b, a, b R, a >, b < De Gaph von h is eine nach oben offene Paabel. h is onve fü R Alenaive: hab, '( ) = a hab, ''( ) = a > h is onve fü R P Sochasi.. Baumdiagamm und Wahscheinlicheisveeilung:.. i 4 P( X = i ) Beechnung des Mindeseinsazes: E( X ) = = 4 (Cen) De Mindeseinsaz po Spiel muss 4 Cen beagen, dami de Beeibe auf lange Sich einen Velus eziel.. Y Anzahl de gezogenen -Cen-Kugel Y is binomialveeil mi n = und p =.. Beechnung de Wahscheinlichei: 9 8 PY ( ) = PY ( = ) + PY ( = ) + PY ( = ) = + +,.. Beechnung de Anzahl de Ziehungen: PY ( ),9 PY ( = ),9 ( ) n, n ln ln (, ) PY=, n ln (, ) ln,4 n n, n

h is onve fü R Alenaive: hab, '( ) = a hab, ''( ) = a > h is onve fü R P Sochasi.. Baumdiagamm und Wahscheinlicheisveeilung:.

4 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie 4 von 9 W Analysis ( ) ( ) f =, R, + +. Beechnung de Tangene: f ( ) ( ) = R, f ( ) ' ( ) ( ) ( ) = = T ( ; ) Nullselle von : 4 + = = 4 = + n 4 Flächeninhal des Deiecs: 89 A= n= = (FE) 4 4. ( ) ( ) f = = 4 m = f ' ( ) = = ( ) n = : 4 y = + Schniselle von G und G : ( ) = ( ) = ( ) = ( ) f f ( ) = = = 49 S = Beechnung des Volumens: Die Fläche, die von dem Gaphen G, de -Achse und de Geaden = S eingeschlossen wid, enspich de Fläche, die von dem Gaphen G, de -Achse und de Geaden = S eingeschlossen wid, da die Schniselle S genau in de Mie zwischen den beiden Nullsellen und de Gaphen lieg, die von den Gaphen beschiebenen Halbeise denselben Radius = besizen und die Mielpune de Halbeise auf de -Achse liegen. V = π f ( ) d π = d = π ( ) d = π. 4 8 V π = + = π (VE) 4 4 Ecpune des Deiecs: O ( ;) P( u; u ) Q( u; u ) gleichschenliges Deiec mi de Gundseie u und de Höhe u auf die Gundseie Beechnung des maimalen Flächeninhals: u u u u A( u) = u u A' ( u) = u + u = = u u u 4uMa A'' ( uma ) = < fü u > uma u A' ( u ) = = u = u Ma = = (LE) u Nenne von A' ( u ) fü u Ma = is göße Null; u = < enfäll, da leine Null

( ) ( ) f = = 4 m = f ' ( ) = = ( ) n = : 4 y = + Schniselle von G und G : ( ) = ( ) = ( ) = ( ) f f ( ) = = 4 + 49 4 = 49 S = Beechnung des Volumens: Die Fläche, die von dem Gaphen G, de -Achse und

5 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie von 9.4 Beechnung von : f g Alenaive: ( ) = ( ) ( ) = + 9 ( ) = ( + 9) 8 8 ( ) + = + + ( ) ( ) =, ( 9 ) 9 = ± 8 4 f beüh g Es gib genau eine Lösung f ( ) ' = ( ) 9 = = ( 9 ) 8 = = =, = 9± 8 = 9+,9 und = 9, 9 enfäll ( ) ( ) ( ) f ' = B ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = + = f + = g + f = g, = ± +, + = = ± = = 9 enfäll = + 9 = + 9 = 9+

9 ) 9 = ± 8 4 f beüh g Es gib genau eine Lösung f ( ) ' = ( ) 9 = + 8 + + = ( 9 ) 8 = 4 8 8+ = + 8 + =,

6 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie von 9 W Analyische Geomeie A ( ;;) B ( ;;) C ( ;; ) D ( ;;) E ( ; ;) F ( ;;) G ( ;;) H ( ;;) I 9 4;;. J 9 ;; Koodinaengleichung de Dachebene ε : EF EI = = nε = 4 ε : + 4z = d E ε d = + 4 = ε : + 4z = Koodinaengleichung de Dachebene ε : FG FI = = 4 nε = 8 ε : y+ z = d F ε d = + = ε : y+ z = Beechnung des Winels: i nε i n ε cosα = = = = α 9,9 nε 9 9 nε 4 β = 8 α = 8 4 = 4. P ( 4;;) R ; ;.. Beechnung de Höhe: U ha die -Koodinae von P und die y-koodinae von R U 4; ; z u De Duchsoßungspun Z ha die - und y-kodinaen von U Z 4; ; h Z ε 8 + h = h = = 4, (m)

= 8 ε : y+ z = d F ε d = + = ε : y+ z = Beechnung des Winels: i nε i n ε 4 4 8 cosα = = = = α 9,9 nε 9 9 nε 4 β = 8 α = 8 4 = 4. P ( 4;;) R ; ;.

7 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie von 9.. Püfung de Sichbaei:.. T ha die dieselben - und y-koodinaen wie P und die z-koodinae : T ( 4;;) Die Geade g MT daf die Dachebene ε nich schneiden: g MT : = + R g MT = ε ( ) ( ) Die y-koodinae is leine als die von E + 4+ = = ; ; S ε Schnipun lieg nich innehalb de Dachebene. Sichbaei nich gesö Beechnung de maimalen Höhe: De Schaen fäll genau in die -z-richung. De Schaen ann also nu übe die Dachane FI hinausgehen. Zu beechnen is also, bei welche Höhe die Geade duch T( 4;; h ) mi dem Richungsveo u die Kane FI schneide. Außedem muss unesuch weden, bei welche Höhe die Geade duch Richungsveo u die Kane FI schneide. 4 4 g Tu : = + s g Uu : = + h h U 4; ; h + 4z = s, R g FI : y+ z = mi dem g Tu = g FI ( s) ( h s) ( s) ( h s) = + + = s+ 4h = 48 s+ h = 4 s+ h = 4 h s = h + 4h = 48 h 4 + h = 4 h =,8 (m) g Uu = g FI ( ) ( h ) ( ) ( h ) = + + = + 4h = 48 + h = 8 + h = 8 h 8 = h 8 + 4h = 48 h h = Die Höhe h daf maimal, m beagen. h = =, (m) 4

= = ; ; S ε Schnipun lieg nich innehalb de Dachebene. Sichbaei nich gesö Beechnung de maimalen Höhe: De Schaen fäll genau in die -z-richung. De Schaen ann also nu übe die Dachane FI hinausgehen.

8 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie 8 von 9 W Analyische Geomeie und Analysis P ( 4; ) P ( ;) Q ( ; ) Q ( ; ).. Geade g(p ; P ): y mg = = = 4 P g(p ; P ) = 4 + n n = g(p ; P ): y = Beechnung von R: Keis um L ( ;) mi = : : ( y ) K = g(p ; P ) ( ) y R R + = mi, y R, >, y > + = 4+ 4= 48= R = ± + 48 = ± 8, R = ( R = < enfäll) = = 8 = R ( 8;) Beechnung des Winels: y mrl = = = 8 4 anα = m = α = 4 g g g anα RL = mrl = α RL,8 β = αg αrl 4,8 = 8, 4.. Geade n senech zu g duch L: mn = = = m L n n: y = + g Beechnung des Absandes: n = g = + =. d = FL = + = (sm) ( 4 ; ) Q ( ; ) P.. Beechnung des Oes: d PQ 9 F y = + = F ( ; ) + R, > d = PQ = = ( + ) + ( + ) = 9 ( ) ( ) = F = = =, = ± 4 9 4, = ±, = ± 4 = =, 4 und = = P (,8;,8 ) und P ( ;9 ) P is de gesuche O, da fü die -Koodinae von P göße als die von P is und die Schiffe eine Richung haben, bei de sich die -Koodinaen veingen.

R = < enfäll) = = 8 = R ( 8;) Beechnung des Winels: y mrl = = = 8 4 anα = m = α = 4 g g g anα RL = mrl = α RL,8 β = αg αrl 4,8 = 8, 4.

9 Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie 9 von 9.. Beechnung des minimalen Absandes: d( ) = ( + ) + ( + ) De Absand wid minimal, wenn de Quada des Absandes minimal wid, weil die Wuzelfunion eine monoon wachsende Funion is.. ( ) = ( + ) + ( + ) ( ) = ( + ) + ( + ) = ( ) d d ' 94 d '( ) = 94 = d '' = > Minimum 4 Min = = 4, d = ( + ) ( ), = = (sm) ( ) = g ( ) f = + R, B Beechnung von B : f ( ) = g( ) + + 4= + = B = Beechnung des Flächeninhals: B ( ( ) ( )) ( 4 ) ( ) A = f g d = + + d= + d 4 9 A= +,4 4 = + = (sm²) 4 4

Wuzelfunion eine monoon wachsende Funion is.

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