Kapitel 2 Dynamik eines Massenpunktes

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1 1 Kpiel Dnmik eines Mssenpunkes

2 Mechnik eines Mssenpunkes Ielisiees Gebile : lle Msse es Köpes in einem Punk konenie Keine Beücksichigung e Ausehnung eines Köpes Ausehnung sei iel kleine ls ie Dimensionen e Bhn Länge, Rius Bewegung on Mssenpunken uf Bhnkue im ei-imensionlen Rum Bhn = Viion e Kooinen,, es Köpes mi e Zei O :

3 Geschwinigkei = Äneung es Oes wähen Zeieinhei.h. ie Geschwinigkei is ie ese Ableiung e Bhn nch e Zei Beschleunigung = Äneung e Geschwinigkei wähen Zeieinhei.h. ie Beschleunigung is ie weie Ableiung e Bhn nch e Zei 3

4 o o 1 3 Pinipielles Vogehen u Anlse on Bewegungen eines Mssepunkes : 1 Bescheibung e Bhnkue : Beechnung e Ableiungen : 4 oe umgekeh,.h. gegeben is ie Beschleunigung bw. Kf Beechne ween uch Inegion ie Geschwinigkei un ie Bhnkue ;

5 Beispiel 1 : Gleichfömige, linee chspllele Bewegung o o P Geschwinigkei : Beschleunigung :.h. ie Geschwinigkei is konsn, ie Beschleunigung Null gleichfömig konsne linee Geschwinigkei 5

6 Beispiel : Gleichfömig beschleunige Bewegung Gleichfömig beschleunig konsne Beschleunigung Beschleunigung :. cons Inegion liefe ie Geschwinigkei :,,, Geschwinigkei iie line in e Zei. Anfngs-Geschwinigkei weiee Inegion liefe ie Bhn-Gleichung :,, 1,, 1,, 1 1 O iie quisch in e Zei. Anfngs-O 6

7 Beispiel 3 : Gleichfömige Keisbewegung -imensionl gleichfömig uf Keisbhn konsne Winkelgeschwinigkei Geschwinigkei : R cos Rsin R cos Rsin sin R cos.h. Beg e Geschwinigkei is konsn nich be ie Richung! Beschleunigung : Beg e Geschwinigkei : R cos sin sin R cos R.h. Beschleunigung nch,.h. um Zenum hin Zenipelkf 7

8 geschickeweise knn mn u Bescheibung e Keisbewegung mi Zline-Smmeie um ie -Achse uch Zline-Kooinen benuen : 8 R Geschwinigkeis-Komponene in -Richung : Geschwinigkeis-Komponene in -Richung : De Punk beweg sich mi konsne Winkelgeschwinigkei in -Richung, nich be in -Richung Absn um Zenum konsn Anmekung : Winkelgeschwinigkei = Winkeläneung po Zeieinhei; egleiche : Geschwinigkei linee Bewegung = Seckenäneung po Zeieinhei

9 9 Fge : Is ie Keisbewegung eine beschleunige Bewegung? s Rsin R s Beg e Geschwinigkei : s R R Winkelgeschwinigkei [/s] Gleichfömige Keisbewegung : cons. ; R = cons. = cons. be : Offensichlich äne ie Richung Beschleunigung

10 Zwischenbemekung : Vekobeiehungen bei e Keisbewegung : ' ˆ ˆ e ' e offensichlich sin ie gewählen Einheisekoen eibhängig Richung iie in e Zei! beche Äneung e Einheisekoen : ˆ e ' ˆ e fü kleine Winkel infiniesimle Äneungen gil : e ˆ mn sieh : Richung e e un -e R 1

11 Fü ie weiee mhemische Bescheibung nüliche Dsellung : Beschleunigung : R R mi en Einheisekoen in ngenilun Rilichung n e Keisbhn; es gil : es gil fü ie oho-nomieen Einheisekoen : 1 e 1.h. ie eiliche Ableiung eines Einheisekos seh senkech uf em Einheiseko Beschleunigung uf Keisbhn is senkech u Geschwinigkei,.h. in ile Richung e R e R 11

12 1 Gleichfömige Keisbewegung : Beschleunigung : mi : e ˆ bw. ˆ e R ˆ e R Beg e Beschleunigung : R Richung Beschleunigung = Richung on e = engegengese um ilen Einheiseko e R = engegengese u Richung on R R R ˆ Zenipel-Beschleunigung

13 Vekobeiehungen bei e Keisbewegung : 13 Winkelgeschwinigkei mch Angbe u Geschwinigkei e Dehung beche : Dehung muss uch chkeisie ween uch Richung e Dehchse = Veko! Roionseko ˆ es gil : insbesonee gil : un: mi em Beg Winkelgeschwinigkei un e Richung e Dehchse ˆ.h. ie Dehchse e Keisbewegung is senkech u Geschwinigkei ; ˆ R e

14 Allgemeine kummlinige Bewegung gl. gleichfömige Keisbewegung : Bei e gleichfömigen Keisbewegung äne sich nu Richung, nich be Beg e Geschwinigkei. Im llgemeinen Fll können sich sowohl Richung ls uch Beg e Geschwinigkei änen. Es gil be uch uf beliebige Bhnkue : Geschwinigkei is ses ngenil. Abe : Beschleunigung h ngenil- un Rilkomponene Noml-Komponene,.h. bgl. es loklen/momennen Nomlenekos 14 Ziel : llgemeine Ausuck fü ie Beschleunigung uf beliebige Bhn

15 Beschleunigung : N beche : Im llg. is / ngenil-komp. Nomlile-Komp. Anm. : Wi bechen im Folgenen leiglich -imensionle Bewegungen.h. = sei gegeben Winkel u e n Punk P uf e Bhnkue : Einheisekoen : N cos sin cos sin 15

16 cos sin es folg : mi egib sich ie Nomlbeschleunigung : sin cos N N N Wi bechen infiniesimles Kuensück mi loklem Kümmungsius Bogenelemen : mi egib sich : s s 1 s s N N gesme Beschleunigung : N N 16

17 Beg e Beschleunigung : N 4 Beschleunigung häng on /, un b Die Beschleunigung is lso popoionl u Geschwinigkeisäneung / offensichlich un ines popoionl um Kümmungsius enn : Je kleine e Rius, umso säke muss ie Beschleunigung sein, ie en Mssepunk uf seine gekümmen Bhn häl Speilfll : gleichfömige Keisbewegung : = R = cons. = R = cons. / = R R Anmekung : Bishe hen wi nu eine kinemische Diskussion uchgefüh wie sieh ie Bhnkue us? Welche Konsequenen fü Beschleunigung? es bleib ie Fge : Ws bewik Äneung e Geschwinigkei? Käfe 17