. Es genügt den Energieerhaltungssatz anzuwenden. , die der zweiten mit h 2. bzw. Im ersten Fall sehen wir von Rollreibung ab.

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1 Weollen Zei idenisce Kugeln ollen in gleice Höe los und kommen auf gleice Höe iede ins Ziel Welce de Kugeln is abe zues im Ziel? Dabei sollen beide Kugeln niemals uscen, sonden imme ollen! Die sciefe bene sell naülic eine Zangsbedingung da Jede de Kugeln is als eigenes Sysem zu beacen Im esen Fall seen i on Rolleibung ab Das Höengefälle beage fü die ese Kugel, fü die zeie Kugel > s genüg den negieealungssaz anzuenden laue: mi po mg mgl sin und m + I ω, obei po kons, I 5 mr, ω R is Folglic is m + 5 m 0 m Bezeicnen i die Höe de esen Kugel mi, die de zeien mi Dami egib sic die Gesamenegie de Kugel zu mg mgl sin De negiesaz des Sysems is dami po mg bz mg + m mg 0 nspecend ealen i fü das zeie Sysem: po mg bz 0, ealen i: Kugel: mg + m mg 0 Fü die Gescindigkeien am Fußpunk de sciefen benen, 0 g und Kugel: 0 g Also is 0 g und 0 g Hiebei is nu de Beag de Gescindigkei beücksicig

2 Jez is im Vegleic zu beücksicigen, dass die Kugel noc auf de sciefen bene oll, äend sic die Kugel sic beeis auf de Hoizonalen beeg Recnen i also die Zei fü die Kugel aus, die sie fü Teil : de sciefen bene benöig Da die Gescindigkei übe g zunimm, sind nun das Vozeicen de Gescindigkei und die Anfangsgescindigkei de Kugel zu beücksicigen Mi d folg d d d d d 0 0 g ( g Kugel ( 0 Die Zeidiffeenz de Kugel fü die Höendiffeenz 0 g beäg somi ( und duc Inegaion ( obei 0 g < < 0 is Wi ealen am Fußpunk de ( 0 g Da die Gescindigkei auf de Hoizonalen konsan bleib, a somi die Kugel mi ( den Weg 0 g ( ( ( 0 g auf de Hoizonalen zuückgeleg, äend die Kugel am Fußpunk angelang is Das enspic de Secke ( co de Kugel Die Länge de Hoizonalen fü die Kugel beage Da die Gescindigkei de Kugel nun auc konsan is, beäg die Zei fü diese Secke diese Zei a die Kugel die Secke zuückgeleg Die Kugel muss nun iede auf die Höe aufseigen Die Zei, die dafü benöig id, is dieselbe ie fü den Absieg Die Kugel leg folglic iede den Weg ( zuück Da sie jez auc die Gescindigkei de Kugel a, id sic am Absand de beiden Kugeln nics me änden bleib konsan In Fassen i die gebnisse zusammen De oizonale Weg, de zu beacen is, id duc die Kugel nac dem Aufsieg fesgeleg beäg co + + ( co co ( ( co 4( Die Kugel a in diese Zei den Weg zuückgeleg De Wegospung de o de Kugel auf de Zielgeaden beäg somi: ( co + ( 4(

3 Beecnen i einen konkeen Fall s sei 4 Dann is de Wegospung Is < 56,, so is 6co 4 0 ( co ( + 4( 6 co + 0,5 4 (6co 4 + 0,5 Im zeien Fall nemen i eine Rolleibung µ (Sal auf Sal 0,0 an F De negiesaz laue fü das Sysem ( Kugel ie: po µ mg bz mg + m + µ 0 F s mg nspecend fü das Sysem ( Kugel: po µ mg bz mg + m + µ F s mg Die omalkaf F se senkec auf de 0 Rollsecke Den Sysemen id negie in Fom on Wäme enzogen Fü die sciefe bene gil: F mg cos Die Secke de sciefen bene is fü die Kugel s sin, die fü die Kugel s sin Fü die Gescindigkei auf de sciefen bene in de Höe gil folglic fü die Kugel: lang Hieaus folg F s mg co bz F s mg co 0 0 ( g ( co ( ( co ( g g Fü die Kugel gil enspecendes Die Gescindigkeien am jeeiligen Fußpunk de sciefen benen sind folglic: Kugel: 0 µ co ( 0 g, Kugel: 0 µ co ( 0 g Beecnen i die Zei, die äend des Rollens auf de sciefen bene ege Aus d d d 0 d (0 µ co ( co ( g g folg ( ( (0 Fü die Kugel is die Zei co g (0 µ co ( 0 egangen, enn sie die Hoizonale eeic Fü die Kugel is die Zei ( 0 enn sie die Hoizonale des Sysems eeic g (0 µ co g egangen, Bis zum Zeipunk is die Kugel auf de Hoizonalen eine Secke geoll Zu beacen is, dass die Gescindigkei aufgund de Reibung eie abnimm Demnac is ( g, da F G F is Beecnen i den Weg de Kugel auf de Hoizonalen beäg

4 ( g τ d τ ( ( g Demnac leg die Kugel folgenden Weg zuück: 0 µ co ( g (0 µ co g (0 µ co g und ( µ ( 4 g µ g (0 µ co g (0 µ co g 4 µ ( 0 µ co 4 µ ( Insgesam a folglic die Kugel den Weg ( 0 µ co Gescindigkei beäg dann g ( auf de Hoizonalen zuückgeleg, enn die Kugel den Fußpunk eeic Die 0 µ co g g g g (0 µ co (0 µ co 0 µ co g 0 co 0 co Zu diesem Zeipunk befinde sic die Kugel, bezogen auf die Hoizonale de Kugel, an de Selle ( co Längs des Weges einge sic auc die Gescindigkei de Kugel eie Die Zei fü diese Secke sei Dann is die Gescindigkei am nde de Secke ( g s is Secke beäg die Gescindigkei de Kugel g d g ( τ τ nac ( g τ d τ g zuückgeleg Beecnen i im inzelnen 0 0 aufzulösen Dies liefe g ( g g ( g Am nde de Die Kugel a in diese Zei den Weg 4

5 ( µ g ( µ g µ µ ( g g ( g ( µ g g + g ( µ g Also is ( µ g + µ g + ( ( µ g Die Kugel muss nun noc aufseigen De negiesaz laue: Die Zei, die dafü ege is mg + m + µ 0 F s m 0 5

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