13 Tangentenproblem; Ableitung

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1 Tangenenproble; Ableiung Gegeben sei die Funion : x x ; ID IR Proble: Welce Seigung a eine Gerade, die den Grap von i Pun P berür (Tangene); Tangenengleicung? G U die Seigung einer Geraden durc den Pun P zu besien, bräucen wir einen zweien Pun. Dazu wälen wir einen Pun der lins von P lieg und einen der recs von P lieg. Von lins: P l 0 0 y 0 x 0 l Von recs: P r y x r P lieg. besser wäre aber ein Pun, der näer an Von lins: P l 0,5 l y 0,5 0,75 x Von recs: P r,5 r y,5,5 x P lieg. wälen wir einen Pun, der noc näer an Von lins: P l,9 0,905 l 0,975 Von recs: P r,,05 r,05 Ergebnis: Der Wer ür die Tangenenseigung W. Sar; Berulice Oberscule Freising i Pun P wird ier besser, je näer sic der zweie Pun diese au de Grapen von näer.

2 Wälen wir nun den zweien Pun in ewas allgeeiner For: l r P ( ) Von lins: P ( ) Von recs: P l ( ) r P ( ) P und Allgeein gil nun ür die Seigung der Geraden durc die Pune P l ( ) bzw. r P ( ) Von recs : r li li li li li li 0 0 Von lins : l li li li li li 0 0 Die beiderseiigen Grenzwere sind gleic und soi a die Tangene an den P die Seigung. Grapen von i Pun Wie laue die Tangenengleicung? g : y x Übung : Besie die Seigung der Tangene an den Grap von i Pun P 0,5 und gib die Tangenengleicung an. g : y 0,5x 0,5 Übung : Besie die Seigung der Tangene an den Grap von i Pun P,5 und gib die Tangenengleicung an. g : y,5x,5 Übung : Besie die Seigung der Tangene an den Grap von i Pun P und gib die Tangenengleicung an. g : y x Übung : Besie die Seigung der Tangene an den Grap von i Pun P und gib die Tangenengleicung an. g : y x W. Sar; Berulice Oberscule Freising

3 Besien wir nun die Tangenenseigung i Pun Px (x). Dazu verwenden wir als zweien Pun, der sic von recs näer den Pun P x (x ) i 0. x x x x x x x x x x x x li li li li x x r (x ) (x) li li li Übung: Besie die Tangenenseigung i Pun zweien Pun einen Pun wäl, der sic von lins annäer. P x (x ) i 0 ) ( x x P x (x) inde an als x x x x x x x x x x li li li li x x l (x ) (x) li li li l r Insgesa olg soi: x is eine Funion, welce die Seigung des Grapen von in eine Pun x angib. Besie i Hile dieses Ergebnisses die Seigungen des Grapen in olgenden Punen. P : x P 0,5 : x x P,5 : x,5 P : x P : P x (x) und Allgeein gil soi ür die Seanenseigung durc die Pune P x (x ) : (x ) (x) li 0 Dierenzenquoien Dierenzialquoien Durc bilden des Grenzweres ür 0 eräl an scließlic die gesuce Tangenenseigung Für den Dierenzialquoienen screib an: (x ) (x) (x) li 0 W. Sar; Berulice Oberscule Freising

4 Screibweise: dy d(x) d (x) (x) dx dx dx Bedeuung: Leie die Funion nac x ab. Man nenn (x) die Ableiung der Funion (x), sie gib die Seigung der Tangene an der Selle x an. Ableiung einiger Funionen.) : x c; c IR; ID IR (x ) (x) c c (x) li li li Bsp. : (x) (x) 0 G G.) : x x ; ID IR (x ) (x) x x (x) li li li li G G.) : x x ; ID IR (x ) (x) x x x x (x) li li li li li 0 0.) : x x ; ID IR (x ) (x) x x x x x (x) li li li x x li li lix x ) : x ax ; ID IR 0 W. Sar; Berulice Oberscule Freising (x ) (x) a x ax a x x ax (x) li li li ax ax a ax ax a ax a li li li li ax a ax

5 6.) : x x ; ID IR 7.) : x ax ; ID IR Ableiungen; Ableiungsregeln:.) (x) (x) 0.) (x) c (x) 0.) (x) x (x).) (x) x (x) x 5.) (x) x (x) x 6.) (x) x (x) nx n n 7.) (x) x (x) x 8.) (x) x (x) 5x 5 9.) n n (x) a x (x) a n x a IR 0.) (x) x (x) x.) (x) x 5 (x).) n n (x) ax c (x) an x c IR.) (x) x (x) 6x.) (x) x x (x) x 5.) (x) ax bx (x) anx bx n n 6.) (x) x x x (x) 9x 8x 7.) (x) x x 9 (x) x x W. Sar; Berulice Oberscule Freising 5

6 Augaben:. Gegeben is die Funion : x x x ; ID IR. Berecne die Gleicung der Tangene i Pun A 0 g : y x a) A? b) B? B g : y. Besie die Gleicung der Tangene i Kurvenpun T: : x x x T 0? g : y x a) b) c) : x x 6x x T? g : y 0x 5 : x x x T? g : y 0x. Berecne den Scniwinel uner de der Grap der Funion die x-acse scneide. a) : x x x 5; ID IR 8,87 an b) : x x x ; ID IR 7 0 ; 80,5 c) : x x x x; ID IR 6, ; 5 d) : x x x x ; ID IR 0 ; 75,96 ; 8,66. In welce Pun is die Tangene an den Grapen von parallel zur gegebenen Geraden? a) : x x x ; ID IR g : y 8x P,5 6,5 b) : x x x 5x ; ID IR g : y x P ; P,5 5. In welcen Punen P 0 erüllen die Tangenen an den Grapen von die angegebene Bedingung? a) : x x x ; P b) : x x x ; Tangene is parallel zur Geraden g : y x P c) : x x,5x ; Tangene is parallel zur x Acse P 0 ; P 6. Zeige, dass sic die Grapen der beiden Funionen und g senrec scneiden. 5 a) : x x ; g : x x 8 ( ) g ( ) ; () g () W. Sar; Berulice Oberscule Freising 6

7 b) : x x; g : x x x 7 (,5) g (,5) ; (,5) g (,5) 7. In welce Pun berür eine Parallele zur Winelalbierenden des II. und IV. Quadranen den Grapen von : x x 7x? P 0 8. Gegeben is die Funion : x x x. Besie IR so, dass die Tangene an ; P 5 6 G i Pun P? parallel verläu zur Geraden g : x x Zeige, dass sic die Grapen der Funionen : x x x ; ID IR und g a : x ax 0,5x ; ID g IR i Pun S0? ür jeden Wer von a a orogonal scneiden. (0) g (0) S 0 a (x) x (0) g a (0) ( 0,5) G Gg i Pun S g a (x) ax 0,5 0. Gegeben is die Scar von Funionen : x ax x ; ID IR ; a IR. a) Für welcen Wer von a verläu die Tangene in a P? a G durc den Ursprung des Koordinaensyses? : y (a )x a a b) Wie laue die Gleicung der Noralen durc P ür beliebige Were von a? a a a : n : y x a a a : n : x c) Für welce Were von a bilden Tangene und Norale durc P i der y-acse ein recwinliges Dreiec i der Hypoenusenlänge,5 LE? a ; a Berace wird die Scar von Funionen : x x x; ID IR; IR und den zugeörigen Grapen G. a) Zeicne G 0 und G i LE c! b) Zeige recnerisc, dass sic alle Grapen G in genau eine Pun scneiden! S 0 0 c) Berecne allgeein die Abszissen der Scnipune der Grapen G i de Grapen G p der Funion p : x x ; ID p IR und rage G p in das bereis vorliegende Koordinaensyse ein. x d) Zeige, dass alle Grapen G den Grapen G p recwinlig scneiden. W. Sar; Berulice Oberscule Freising 7

8 .0 Ein Körper äll aus einer Höe von5 rei erab. Die Bewegung des Körpers wird durc die Zei-Ors-Funion y() 5,9 bescrieben.. Welce Höe über de Boden a er nac einer Zei von 0s, s, s, s, s, 5s und 6s? in s in 5 0, 05, 80,9 6,6,5-5, v in 0-9,8-9,6-9, -9, -9 s. Nac welcer Zei ri der Körper au de Boden au? y() 5,9 0,9 5 5,05. Welce Moenangescwindigei a der Körper nac 0s, s, s, s, s und 5s? y() 5,9 0 v () y() 9,8 y. Mi welcer Gescwindigei ri der Körper au de Boden au? v (5,05) y(5,05) 9,8 5,05 9,9 y.5 Welce Bescleunigung erär der Körper? a() v () () 9,8 y.6.0 Ein Körper wird nun senrec nac oben geworen. Seine Bewegung wird durc die Zei-Ors-Funion s() 0,9 bescrieben..6. Nac welcer Zei ri er wieder au de Boden au? Mi welcer Gescwindigei ri er au de Boden au?.6. Nac welcer Zei a er seine axiale Höe erreic? Wie Hoc is er gelogen?.0 Die Bewegung eines Farzeugs erolg i Zeiinervall 0 60 nac der Zei- 5 Ors-Funion y(). Die Maßzal der Zei bezie sic au die Einei s, 8 die des Weges (Ores) au die Einei.. Welcen Weg a das Farzeug nac einer Zei von 0s zurücgeleg und welce Moenangescwindigei a es zu diese Zeipun?. Nac welcer Zei a es eine Moenangescwindigei von 0? Welcen s Weg a es zu diese Zeipun zurücgeleg?.0 Der zeilice Verlau der Wassersoperoxid-Zersezung H O H O O ann durc olgende Funion angenäer werden: c() , 0 0 Die Maßzal der Zei bezie sic au die Einei in, die der Zersezung c au ol die Einei.. Wie groß is der Grad der Zersezung zu Beginn der Reaionszei? Wie groß is er nac in? c(0) 700 c() 6 W. Sar; Berulice Oberscule Freising 8

9 . Wie groß is die oenane Reaionsgescwindigei nac in? c() 0 c() 7. Nac welcer Zei o die Reaion zu erliegen? (Reaionsgescwindigei 0!) c() Die Bewegung eines Farzeuges ann durc olgende Zei-Ors-Funion bescrieben werden: s() 5,5 Die Maßzal der Zei bezie sic au die Einei s, die des Weges (Ores) au die Einei. 5. Welcen Weg a das Farzeug nac s, s, 5s bzw.8s zurücgeleg? 5. Wie groß is die ensprecende Gescwindigei zu diesen Zeien? 5. Wie groß is die Anangsgescwindigei? 5. Nac welcer Zei is die Gescwindigei 0? Welcen Weg a der Körper zu diese Zeipun zurücgeleg? 5.5 Wie groß is die Bescleunigung des Körpers? Handel es sic u einen Bescleunigungs- oder Bresvorgang? Die Gescwindigei eines Körpers is durc die Zei-Gescwindigeis- Funion v() 5 0,5 gegeben Was läss sic über die Bewegung aussagen? 5.6. Nac welcer Zei se der Körper? 5.6. Welcen Weg a der Körper bis zu Sillsand zurücgeleg? 6.0 Eine Scnece riec au einer lacen Sraße vo Sarpun aus geradlinig ier in dieselbe Ricung. Modella wird angenoen: Die Funion s i 0 s : s() 0 ; 0 gib den zurücgelegen Weg s (geessen 9 in Zenieern) in Abängigei von der Zei (geessen in Minuen) wieder. Die. Ableiung der Funion s nac der Variablen is die Gescwindigei der Scnece zu ensprecenden Zeipun. (Au Benennungen wird bei den olgenden Recnungen verzice) 6. Berecnen Sie den zurücgelegen Weg und die jeweilige Gescwindigei der Scnece zu den Zeipunen und. 6. Erieln Sie nac welcer Zei die Scnece ire größe Gescwindigei erreic a. Wie groß is die axiale Gescwindigei? 7. Gegeben is die reelle Funion : x x x x i ID IR. Erieln 7 9 Sie die x-koordinaen aller Pune, in denen der Grap G waagrece Tangenen besiz. x ; x,5 8. Zeigen Sie, dass sic die Grapen der Funionen : x x x ; ID IR und g : x x x ; ID g IR i Pun P? orogonal scneiden. 6 W. Sar; Berulice Oberscule Freising 9

10 9. Gegeben is die Funion : x x x x, ID 6 IR. In welcen Punen is die Tangene an den Grap der Funion parallel zur Geraden g : x,5x 7? 0. Gegeben is die Funion : x x x 5, ID IR. Geben Sie die Gleicung P 5 senrec der Geraden an, die den Grap der Funion i Pun scneide. Zeicnen Sie den Grap der Funion und die Gerade in ein Koordinaensyse ein. x 5. In welcen Pune P 0 sind die Tangenen an parallel zur Geraden g i g : x x? P 7, P 0,5 G i : x x,5x 5x. Zeigen Sie, dass sic die Grapen der Funionen : x x und g : x x,5 senrec scneiden!.0 Erieln Sie diejenigen Pune in denen der Grap G eine waagrece Tangene besiz.. : x x x 6x A 8 B. : x x 8x A 77 B 0 C 77. : x x 6x 5x A 9 97 B : x x x A 0 B.5 : x x 6x 5x 5 A 60 B : x x x 8x A 8 B 0.7 : x x x A B.8 : x x x x 6 A 0 6 B0,5 6 C,5 5,8.9 : x x x A 0 6 B W. Sar; Berulice Oberscule Freising 0

11 .0 Berecne uner welce Winel sic die Grapen der beiden Funionen scneiden.. : x x g : x x x x 8,. : x x g : x x x x 0,6 x 0,6. : x x x g : x x x x 0 0. : x x x g : x x x x 0 90 x 5,5 5 g : x x 7x 6.5 : x x x 6 7 : x x 7 x g : x x x x 0 89, x 8,8 x 6,5 : x x x g : x x x.7 an arcan : x x x x ; IR und Gegeben sind die beiden Funionen g : x x x, i axialer Deiniionsenge. Die beiden Funionsgrapen aben ür jedes IR eine Selle an der sie sic senrec scneiden. W. Sar; Berulice Oberscule Freising