Mathematik - Oberstufe
|
|
|
- Jacob Hoch
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Matematik - Oberstufe Aufgaben und Musterlösungen zu Ableitungen, Tangenten, Normalen Zielgruppe: Oberstufe Gymnasium Scwerpunkt: Differenzenquotient, Differenzialquotient, Ableitung, Tangente, Normale Aleander Scwarz Letzte Aktualisierung: November 9 Datei: Übungsaufgaben zu Ableitungen, Tangenten, Normalen
2 Übungsaufgaben zu Ableitungen Tangenten, Normalen Definition Ableitung: f( f(a f (a a a f(a f(a f (a (-Metode (-Metode Ableitungsregel: f( a n f ( a n n Punkt-Steigungs-Form: y y m ( Normalensteigung: m m Tangente Normale Aufgabe : Bestimme mit Hilfe der -Metode und der -Metode die Tangentensteigung an der Stelle von folgenden Funktionen: a f( b f ( c f ( Aufgabe : Die Funktion s(t t t 6 bescreibe für ein Farzeug den zurückgelegten Weg in Meter an nac t Minuten. a Welcen Weg at das Farzeug nac Minuten zurückgelegt? b Welce Durcscnittsgescwindigkeit besitzt das Farzeug in den Zeitintervallen t bzw. t? c Berecne die Momentangescwindigkeit des Farzeugs nac 8 Minuten mit Hilfe des Differenzialquotienten und prüfe dein Ergebnis durc direktes Ableiten. Aufgabe : Bestimme die Gleicung der Tangente und der Normale an das Scaubild von f( im an der Stelle. Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f(. a Berecne die Ableitungsfunktion von f mit Hilfe des Differenzialquotienten mit der - Metode an der Stelle b Welcer Punkt auf dem Scaubild von f besitzt eine Tangente mit der Steigung 7? c Bestimme die Gleicung der Tangente aus a.
3 Aufgabe : Leite einmal ab: 6 a f( 6 b f(t t 7 c t d f ( 6 t e g(r s z r f g(s (s f( Aufgabe 6: Bestimme die Ableitung folgender Funktionen: a 8 f(, 8 b c ( 7 g( d f(a a b e f(b b a f f(a b a g i f (q p s q r f( f( a b 6 Aufgabe 7: August 999: In der Stowe-Kurve in Silverstone versagen Micael Scumacer die Bremsen und die Lenkung an der Stelle - an dem durc die Funktion f mit f( gegebenen Streckenverlauf. a Bestimme die Gleicung der Funktion, die den weiteren Fartverlauf nac dem Versagen der Bremsen und der Lenkung bescreibt. b Im Punkt A(/ trifft der Ferrari auf die aufgestapelten Autoreifen, die den Aufprall auf die Mauer dämpfen sollen. Beim Aufprall fliegt das linke Vorderrad im recten Winkel zur Aufprallrictung davon. Bestimme die Gleicung der Funktion, die die Flugban des Reifens bescreibt. Aufgabe 8: Gegeben sind die Funktionen f ( und g (. Die senkrecte Gerade g mit der Gleicung a scneidet das Scaubild von f im Punkt P und das Scaubild von im Punkt Q. Bestimme a so, dass die Tangenten in P und Q parallel sind. Aufgabe 9: Gegeben ist die Funktion f mit f(,. Bestimme die Scnittpunkte der Tangente und der Normalen im Punkt P(-/f(- mit der -Acse. Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f( ( (. Bestimme die Tangentensteigungen in den Scnittpunkten mit den Koordinatenacsen.
4 Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f (. Die Tangente an das Scaubild von f im Punkt P(-/f(- scneidet das Scaubild von f in einem weiteren Punkt Q. Bestimme die Koordinaten von Q eakt. Aufgabe : Zeige, dass sic die Scaubilder von f( und ga ( a im Punkt S(/ für jeden Wert von a rectwinklig scneiden.
5 Musterlösungen zu Ableitungen, Tangenten, Normalen Aufgabe : a -Metode: 9( 6 ( 7 6 f( f( 9 6 (die Faktorzerlegung im Zäler erfolgt mit Polynomdivision -Metode: (7 6 ( ( f( f( 8 ( 8 ( 8 b -Metode: f( f( ( ( ( -Metode: (7 8 ( f( f( 9 7 8( ( (7 9 7 ( c -Metode: ( ( 9 ( ( ( ( ( f( f( 6 ( ( ( Bei Wurzelfunktionen muss mit Hilfe der. binomiscen Formel der Bruc erweitert werden.
6 -Metode: f( f( ( ( 9 ( ( 9 ( 9 ( 9 9 Bei Wurzelfunktionen muss mit Hilfe der. binomiscen Formel der Bruc erweitert werden. Aufgabe : a Es gilt s( 6 8 Nac Sekunden at das Farzeug m zurückgelegt. b Die Durcscnittsgescwindigkeit entsprict der Steigung der Sekante: Zeitintervall t : Zeitintervall t : s( s( m s s( s( 6 6, 7 Durcscnittsgescwindigkeit m 6, s c Momentangescwindigkeit nac 8 Sekunden: (8 (8 6 s(8 s(8 Durcscnittsgescwindigkeit 6 (6 (6 m 6 s Momentangescwindigkeit Direktes Ableiten: s (t t m Es gilt: s (8 8 6 Momentangescwindigkeit s Aufgabe : Der Punkt an der Stelle at den y-wert y f(, also P(/-. Es gilt f ( 8. Steigung der Tangente in P: f ( Aufstellen der Tangentengleicung mit der Punkt-Steigungs-Form: y ( ( y Tangentengleicung. Steigung der Normale: mnormale mtangente Aufstellen der Normalengleicung mit der Punkt-Steigungs-Form: y ( ( y, Normalengleicung 6
7 Aufgabe : f( f( ( ( ( a Es gilt f ( 6 (6 (6 6 b Es gilt f ( 6 (durc direktes Ableiten oder mit a. Aus f ( 7 folgt 7 6 Wegen f( lauten die Koordinaten des Punktes P(/. c Tangentengleicung mit der Punkt-Steigungs-Form: y 7 ( y 7 Aufgabe : a f( 6 f ( b 6 8 f(t t t 7 f (t t c g(s s s g (s 8s d f ( 8 e g (r f f( 6 f ( 6 8 Aufgabe 6: a f 7 ( 7 6 b g( g ( c ( a b 7 d f(a f (a b a e f(b b a f (b a b f f (a b g f (q q i f ( a b f( 7 ( 9 f (, 7
8 Aufgabe 7: a An der Stelle - färt das Farzeug entlang der Tangente im Kurvenpunkt P(-/f(-, also in P(-/. Es gilt f ( und damit ist die Tangentensteigung in P f (. Tangentengleicung mit Punkt-Steigungs-Form: y ( y 6 b Der Punkt A(/ liegt auf der Tangente aus a. Das Vorderrad fliegt auf einer Gerade, die ortogonal zur Tangente verläuft und den Punkt A(/ entält. Für die Steigung m der gesucten Geraden gilt m m Tangente m Punkt-Steigungs-Form: y ( y, Flugban des Reifens Aufgabe 8: Die Tangenten in P(a/f(a und Q(a/g(a sind parallel, wenn gilt: f (a g (a. Es gilt f ( und g (. Somit soll gelten: a a a a, 97 a a 6 6 8
9 Aufgabe 9: Aufstellen der Tangentengleicung im Punkt P(-/: Aus f (, 6 folgt m Tangente f (. Punkt-Steigungs-Form: y ( y Tangentengleicung Scnittpunkt der Tangente mit der -Acse:, also S(-/. Aufstellen der Normalengleicung im Punkt P(-/: Es gilt mnormale mtangente Punkt-Steigungs-Form: y ( y Normalengleicung Scnittpunkt der Normale mit der -Acse:, also R(/. Aufgabe : Berecnung der Scnittpunkte mit der -Acse: f( ( ( Die Lösungen der Gleicung können direkt abgelesen werden: oder Die Scnittpunkte mit der -Acse lauten P(/ und Q(/. Berecnung des Scnittpunktes mit der y-acse: f( 9 und somit R(/-9. Für die Ermittlung der Steigung wird die Ableitungsfunktion benötigt. f( ( ( f ( Steigung in P: f ( Steigung in Q: f ( Steigung in R: f ( 9
10 Aufgabe : Tangentengleicung im Punkt P(-/-: Mit f ( folgt m Tangente f (. Punkt-Steigungs-Form: y ( y Tangentengleicung Scnittpunkt der Tangente und des Scaubildes von f: Die Lösung der Gleicung erfolgt mit Hilfe der Polynomdivision. Eine Lösung der Gleicung lautet - (da die Tangente das Scaubild an der Stelle - berürt, ist diese Lösung scon gegeben. Polynomdivision: ( : ( Die Gleicung liefert mit der Mitternactsformel die Lösungen - und. Damit lautet der Punkt Q(/f( also Q(/8. Aufgabe : Es gilt f( ga ( und damit liegt der Punkt S(/ auf den Scaubildern von f und von g a für jeden Wert von a. Damit sic die Scaubilder in S rectwinklig scneiden, muss gelten: f ( g ( Es gilt f ( und ( a g a f ( g a( ( also rectwinkliger Scnitt für jeden Wert von a.
Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente 2 Analysis Ableitung, Änderungsrate, Tangente Teil 2 Gymnasium Klasse 10
www.mathe-aufgaben.com Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente Analysis Ableitung, Änderungsrate, Tangente Teil Gymnasium Klasse 0 Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 06 www.mathe-aufgaben.com
Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente 1 Analysis Ableitung, Änderungsrate, Tangente Teil 1 Gymnasium Klasse 10
www.mate-aufgaben.com Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente Analysis Ableitung, Änderungsrate, Tangente Teil Gymnasium Klasse 0 Alexander Scwarz www.mate-aufgaben.com April 0 www.mate-aufgaben.com
Analysis: Ableitung, Änderungsrate,Tangente Analysis Klausur zu Ableitung, Änderungsrate, Tangente Gymnasium Klasse 10
Analysis Klausur zu Ableitung, Änderungsrate, Tangente Gymnasium Klasse 10 Aleander Scwarz www.mate-aufgaben.com Dezember 01 1 Teil 1: one Hilfsmittel Aufgabe 1: Ermittle die Steigung von f() = + 4 an
Mathematik GK 11 m3, AB 06 Klausurvorbereitung Differentialq. Lsg x 3 9x 4 2x 2 x 4. 4x 3 9x 4 : 2x 2 x 4 =2x 1 x 3 2x 2 8x
Aufgabe : Berecne a) 4x 5x 5x 4x b) 4x 9x 4 x x 4 4x 5x 5x : 4x x x 4x x 4x 5x 4x x 4x 4x 4x 9x 4 : x x 4 x x x 8x x x 4 x x 4 c) 4x 4 x 8x 4x 4 x 4x 4 x 4 x 4x x : x x x x 4 4x 4x x x x x Aufgabe : Bestimme
Mathematik LK 11 M2, AB 13 Funktionsuntersuchungen Lösung h h
Matematik LK 11 M2, AB 1 Funktionsuntersucungen Lösung 14.0.2016 Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f (x)=x x 2 1.1 Berecne die ersten drei Ableitungsfunktionen der Funktion f mit Hilfe des Differentialquotienten,
Analysis: Klausur Analysis
Analysis Klausur zu Ableitung, Extrem- und Wendepunkten, Interpretation von Grapen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Scwarz www.mate-aufgaben.com
Übungsaufgaben zur Kursarbeit
Übungsaufgaben zur Kursarbeit I) Tema Funktionen. Gib jeweils die maximale Definitionsmenge der Funktion an f(x) = (x ) D f = R (x) = x D = {x R /x } g(x) = (x ) D = {x R /x } g k(x) = x D = {x R /x >
Tangentensteigung. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2.
Tangentensteigung Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P( ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P( ) und Q( ). Q soll so beweglic sein, dass
N a c h s c h r e i b k l a u s u r
N a c s c r e i b k l a u s u r Aufgabe Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f (x) an der Stelle x 0, indem Sie den Grenzwert des Differenzenquotienten berecnen. a) f (x) = 4 x 2 x 2 x 0 = 4 b) f (x)
Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Aufgaben ab Seite 4
Klasse / Augaben ab Seite 4 rundlagen und Begrie der Dierenzialrecnung Die Zeicnungen und Erklärungen sind etwas ausürlicer als notwendig u versciedene Screibweisen und Darstellungen auzuzeigen. Steigung
Differenzialrechnung Was du nach den Ferien kannst! Klasse 10
Differenzialrecnung Was du nac den Ferien kannst! Klasse 10 Zeicne die Tangenten an den Stellen x=-4, x=-1 und x=3 an den abgebildeten Funktionsgrap, und bestimme die Tangentengleicung. Zeicne die Sekanten
Jgst. 11/I 1.Klausur
Jgst. /I.Klausur..00 A. Bestimme den Scnittpunkt und den Scnittwinkel der beiden folgenden Geraden: g : x y = 5 : + y = 5x Zunäcst müssen die beiden Geraden auf Normalform gebract werden: x y = 5 y = x
Mathematik GK m3, 2. KA gebr. rat. Funktionen / Steigungen Lösung
Aufgabe 1: Gebrocen rationale Funktion Gegeben ist die folgende gebrocen rationale Funktionen f (x)= 0.5x4 +2 x 3 16x 2 x 3 6x 2 +12x 8 1.1 Berecne die Nullstellen der Funktion. (Kontrolllösung: x 1 =0
= (Differenzenquotient).
Micael Bulmann Matematik > Analysis > Ableitungen > Änderungsrate Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate Für zwei versciedene Punkte P( 1 y 1 und Q( y auf der Zalenebene ergibt sic die Steigung
Skript für die Oberstufe und das Abitur 2011 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium
Skript für die Oberstufe und das Abitur 011 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Analysis (Lerbuc) (Tascenrecner Teas Instruments und Sarp) Dipl.-Mat. Aleander Scwarz Im Weinberg 9 7489 Cleebronn E-Mail:
Übungsaufgaben zur Differential-Rechnung
Übungsaufgaben zur Differential-Recnung Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen gibt es z.b. in Brauc/Dreyer/Haacke, Papula, Stingl, Stöcker, Minorski usw.. Bestimme allgemeines Folgen-Element, Eigenscaften
Diagramm 1 Diagramm 2
Zweijärige zur Prüfung der Facsculreife fürende Berufsfacscule (BFS) Matematik (9) Hauptprüfung 008 Aufgaben Aufgabe 1 A. 1. Bestimmen Sie die Gleicungen der Geraden g und.. Geben Sie die Koordinaten der
Schülerbuchseite 8 11
Scülerbucseite 8 I Sclüsselkonzept: Ableitung Funktionen Seite 8 Die andere Person muss nict notwendig dieselbe Strecke gefaren sein, nur weil sie denselben Farpreis bezalt at. Es gibt versciedene Verbindungen,
mathphys-online DIFFERENTIALRECHNUNG BEI GANZRATIONALEN FUNKTIONEN y-achse x-achse Graph von f Graph von f ' Graph von f ''
matpys-online DIFFERENTIALRECHNUNG BEI GANZRATIONALEN FUNKTIONEN 5 Grap von f Grap von f ' Grap von f '' matpys-online bei ganzrationalen Funktionen Inaltsverzeicnis Kapitel Inalt Seite Der Ableitungsbegriff.
Linear. Halbkreis. Parabel
Vom Parabolspiegel zur Ableitungsfunktion Im Folgenden get es darum erauszufinden, was ein Parabolspiegel ist und wie er funktioniert. Das fürt uns auf wictige Fragen eines Teilgebietes der Matematik,
Der Ableitungsbegriff
GS - 24.08.04 - abl_01_grundbegr.mcd Der Ableitungsbegriff - Die Steigung von Graphen - 1. Einführung in die Problematik: Bekannt ist der Funktionswert einer Funktion f an einer bestimmten Stelle x 0.
( ), und legen deshalb eine Ebene fest. Als Aufpunkt dient ein beliebiger Punkt von g oder h, als Spannvektoren
Lösungen zur analytiscen Geometrie, Buc S. 9f. a) E in die Parameterform umwandeln: x = x + x + Wäle: x = ; x = x = + E : X = x x x = + + = + In F einsetzen: + + = + = = In E einsetzen: s: X = + + ( )
15 / 16 I GK EF Übung 2 Dez.15
1 / 16 I GK EF Übung Dez.1 Nr. 1: Ableitungsdefinition - Tangentenberecnung Gegeben ist die ganzrationale Funktion. Grades mit: f(x) = x - x a) Bestimmen Sie die durcscnittlice Änderungsrate (Sekantensteigung)
Mathematik Klassenarbeit Nr. 3. Die Ableitungsfunktion, Eigenschaften und Anwendungen
0. Für Pflict- und Walteil gilt: saubere und übersictlice Darstellung, klar ersictlice Recenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeicnungen mit spitzem Bleistift bringen dir bis zu 3 Punkte. /3 1. Erkläre
Geometrisch ergibt sich deren Graph als Schnitt von G mit der senkrechten Ebene y = b bzw. x = a:
Fläcen im Raum Grap und Scnittkurven Im ganzen Artikel bezeicnet D eine Teilmenge des R 2 und eine skalarwertige Funktion in zwei Veränderlicen. Der Grap f : D R 2 R : (x, y) z = f(x, y) G = { (x, y, z)
9. Differentialrechnung 133. t t. ist besser bekannt unter dem Namen Geschwindigkeit, abgekürzt mit v. Für die Einheit gilt bekanntlich km. 5.
9. Differentialrecnung 33 9 Von derr Änderrungsrratte zurr Diifffferrenttiiallrrecnung 9.. Gerradensttei igung als Änderrungsrratte Beispiel 9. Das nebensteende Zeit- Weg-Diagramm zeigt eine gleicförmige
Abiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Lösung Aufgabe A
www.mate-aufgaben.com Abiturprüfung Matematik 5 (Baden-Württemberg) Beruflice Gymnasien one TG Analysis Gruppe I, Lösung Aufgabe A f () ( ) ( ) ( ) f () ( ) f () ( ) und f () Wendepunkte: f () ( ) f (
Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern NACHTERMIN Mathematik 2015 Geometrie Ausbildungsrichtung Technik
MK.. B5_T_NB_MK_Loes.xmcd Absclussprüfung an Facobersculen in Bayern NACHTERMIN Matematik 5 Geometrie Ausbildungsrictung Tecnik BE. Ein an den Seiten offener Pavillon aus Holz at die Form eines Quaders,
Rudolphs Schlitten. Aufgabe. Autor: Jochen Ricker
Rudolps Sclitten Autor: Jocen Ricker Aufgabe Endlic ist es wieder soweit: Weinacten stet vor der Tür! Diesmal at der Weinactsmann sic ein ganz besonderes Gescenk für seine Rentiere einfallen lassen. Sie
Produktregel (Ableitung von f g)
Produktregel (Ableitung von f g) f f g 0 f 0 g g 0 Wir aben die Hoffnung, dass die Ableitung von f g mit Hilfe der Ableitungen von f und g ermittelt werden kann. f ( 0 ) = lim 0 f( 0 +) f( 0 ) g ( 0 )
Einstiegsphase Analysis (Jg. 11)
Einstiegspase Analysis (Jg. 11) Ac Geradengleicungen: Eine Gerade g verlaufe durc P(-3/-2) und Q(4/3). Eine Gerade gee durc R(1/y) und stee senkrect auf g. Zeicne diese Geraden und stelle ire Gleicungen
Lösungen zu delta 6. Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 6 und 7
Kann ic das noc? Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) L = { ; } b) L = {0; } c) L = {} d) ( + )( + ) = 0; L = { ; } e) ( 6)( ) = 0; L = {; 6} f) L = {0}; 0,7 G g) ( 8)( + ) = 0; L = { ; 8} ) ( + )( + ) =
(1) gegeben. Für x a (und stetige f ) nähert sich (x,f(x)) dem Punkt (a,f(a)), und die Sekante
88 III. Grundlagen der Differential - und Integralrecnung III. Grundlagen der Differential- und Integralrecnung 8. Differenzierbare Funktionen 88 9. Maima und Minima 93 0. Mittelwertsätze und Anwendungen
Klasse 9 a/b/c 4. Schulaufgabe aus der Mathematik
Klasse 9 a/b/c 4. Sculaufgabe aus der Matematik 14. 06. 00 (WWG) Gruppe A 1. Von einem Würfel der Kantenlänge a wird wie unten eingezeicnet eine Pyramide abgescnitten. Berecne das Volumen der Pyramide.
ANALYSIS Differenzialrechnung Kapitel 1 5
TELEKOLLEG MULTIMEDIAL ANALYSIS Differenzialrecnung Kapitel 5 Ferdinand Weber BRmedia Service GmbH Inaltsverzeicnis Jedes Kapitel beginnt mit der Seitenzal.. Das Tangentenproblem. Steigung einer Geraden
Übungsblatt 5 (Gleichungen 1)
Facocscule Nordwestscweiz (FHNW) Hocscule für Tecnik Institut für Matematik- und Naturwissenscaft Übungsblatt 5 (Gleicungen ) Roger Burkardt 208 Matematik. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden
Lösungen zu delta 10 H
Kann ic das noc? Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) T () = ( ) + ( + ) + = = + + 4 + 4 + + = = + + 6 b) T () = ( + a) a(a + ) = = + a + a a a = = c) T () = ( ) ( + ) ( ) = = 4 + 9 6 4 = = d) T 4 () = (
2. Unterrichtsvorhaben in der E-Phase Änderungsraten und Ableitung
0 2. Unterrictsvoraben in der E-Pase Änderungsraten und Ableitung Jörn Meyer j.meyer@fals-solingen.de www.maspole.de 1 Inaltsverzeicnis 1 Einfürung in die Differenzialrecnung... 2 2 Mittlere Änderungsraten...
Übungen zum Mathematik-Abitur. Geometrie 1
Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/8 Übungen zum atematik-abitur Geometrie Gegeben sind die Punkte ( 4 ) und ( 5 6 4) P und die Gerade 7 4 g: x= + r 4 Aufgabe : Die Ebene E entält g und Bestimmen
Basisaufgaben - Lösungen
Arbeitsplan: Trigonometrie am rectwinkligen Dreieck Jargangsstufe 9 Aufgabe 1 Basisaufgaben - Lösungen a) sin δ k m l ; cos δ l m q l ; tan δ k l q, sin ε l m k ; cos ε k m p k ; tan ε l k p b) sin μ 1
Ferienkurs Theoretische Mechanik SS 2011
Ferienkurs Teoretisce Mecanik SS Lösungen Freitag Aufgabe : Rotation eines Quaders um die Raumdiagonale Die Hauptacsen verlaufen durc den Scwerpunkt des Quaders parallel zu den Kanten. Die Kante der Länge
Anleitung zur Berechnung von Ableitungsfunktionen
Matematik 11d 7..009 Stefan Krissel Anleitung zur Berecnung von Ableitungsfunktionen Prolog Es gibt nict das Verfaren zur Berecnung der Ableitungsfunktion, genausowenig wie es das Verfaren zum Screiben
Aufgabenzettel. Löse rechnerisch mit Hilfe geeigneter Funktionsgleichungen. Überprüfe deine Lösung mit einer Zeichnung.
Matematik Klasse 11 1 Zylinder Zwei Zylinderförmige Gefäße werden mit Wasser gefüllt (siee unten). Jedes Gefäß at einen Grundfläceninalt von 1dm 2 und ist 85cm oc. Erreict der Wasserspiegel des zweiten
Grundlagen der Differentialrechnung
Grundlagen der Differentialrecnung Wolfgang Kippels 26. Oktober 2018 Inaltsverzeicnis 1 Vorwort 2 2 Grundprinzip der Differenzialrecnung 3 3 Ableiten von Funktionen 7 3.1 Ableitungen wictiger Grundfunktionen:..................
Analysis I. Vorlesung 18. Differenzierbare Funktionen. f: D K
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 18 Differenzierbare Funktionen In dieser Vorlesung betracten wir Funktionen, wobei D K eine offene Menge in K ist. Das ist eine Menge derart,
7. Teil: Differentialrechnung
7 Teil: Differentialrecnung Differenzierbarkeit und Differentiation Definition: Sei f(x) eine für x [a,b] D f stetige Funktion Dann eisst die für x (a,b) durc f(x+) f(x) lim oder lim f(x) f(x ) oder lim
1. Fall: 2. Fall: Lösungsblatt zu: Differentialquotient. Tipp: Nullstellen. Tipp: Es reicht, wenn einer der Faktoren Null wird.
Lösungsblatt zu: Differentialquotient Aufgabe 1: Gegeben: f(x) = 0,5x 3 1,5x² a) Bestimmen Sie die Nullstellen: Nullstellen f(x) = 0 0,5x 3 1,5x 2 = 0 ( 0,5x 2 ausklammern) 0,5x 2 (x + 3) = 0 Es reicht,
Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 2 c 2016 A. Kersch
Differentialrechnung. Definition Vorkurs Mathematik-Physik, Teil c 06 A. Kersch Geometrische Interpretation Die Ableitung einer Funktion f() an einer Stelle = 0 ist über den Grenzwert des Differenzenquotienten
V6 Lösungsvorschläge
V6 Lösungsvorscläge 2 V6-Lösungsvorscläge Aufgabe 1 Die Aufgabe ist ein einfaces, nict so ganz realistisces Beispiel für lokale Änderungsrate, die bei Weg/Zeit-Zusammenängen die Gescwindigkeit bescreibt
Einführung in die Differentialrechnung
Reiner Winter Einfürung in die Differentialrecnung. Das Tangentenproblem als ein Grundproblem der Differentialrecnung Wir betracten im folgenden die quadratisce Normalparabel, d.. den Grapen GI f der Funktionsgleicung
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Aufgabe 2 Wetterstation Aufgabe aus der scriftlicen Abiturprüfung Hamburg 05. In einer Wetterstation wird die Aufzeicnung eines Niedersclagmessgeräts vom Vortag (im Zeitraum von 0 Ur bis Ur) ausgewertet.
Numerische Differenziation
In vielen Anwendungen ist es notwendig, Funktionen näerungsweise mit Hilfe eines numeriscen Verfarens zu differenzieren: Die analytisce Berecnung der Ableitung ist zum Beispiel unmöglic, wenn die zu differenzierende
Differentialrechnung
6 Differentialrecnung 6.1 Einfürung Newton und Leibniz Ableitung Maxima und Minima Newton sces Verfaren Die Differentialrecnung wurde von Newton (1643-1727) und von Leibniz (1646-1716) unabängig voneinander
www.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik 00 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit Aufgabe : ( VP) f() e =. Bestimmen Sie eine Stammfunktion
Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale
Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion
Orientierungsaufgaben für die BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG ab 2015 MATHEMATIK
Orientierungsaufgaben für die BESONDERE LEISTUNGSFESTSTELLUNG ab 2015 MATHEMATIK Im Auftrag des TMBWK erarbeitet von den Facberaterinnen und Facberatern Matematik Gymnasium. Hinweise für Prüfungsteilnemerinnen
5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion
5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion 5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion Ein kurzer Rückblick erleictert die Bescreibung des Neuen: Im ersten Lernabscnitt
Analytische Geometrie
nalytisce Geometrie. Vektoren Mitte einer Strecke B M B Verbindunsvektor B B B Mittelwert der zwei Ortsvektoren ( 6 ) B( 5 ) m B ( a + b) M( ( ) ( + 5) ( + 6) M( ) Spitze nfan: B b a ( 6 ) B( 5 ) 6 B Scwerpunkt
5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
5 Differenzialrecnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomisce Funktion, so ist oft wictig zu wissen, wie sic die Funktion bei kleinen Änderungen verält. Bescreibt etwa f einen Wacstumsprozess,
Ein immer wiederkehrendes Konzept in der Mathematik ist die Zurückführung auf Bekanntes, beziehungsweise auf besonders
Vorlesung 14 Differentialrecnung Ein immer wiedererendes Konzept in der Matemati ist die Zurücfürung auf Beanntes, bezieungsweise auf besonders einface Fälle. Besonders einfac sind lineare Funtionen in
4.3.2 Ableitungsregeln
Vorbereitungskurs auf die Aufnameprüfung der ETH: Matematik 4.3.2 Ableitungsregeln Der Differentialquotient [s. 43] zur Definition der Ableitung beinaltet eine Grenzwertbildung Limes), welce meist dadurc
Einstieg in die Differenzialrechnung
Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Einstieg in die Dierenzialrecnung Einstiegsbeispiel: Der ideale Kasten Augabenstellung: Ein DIN-A4-Blatt soll zu einem (deckellosen) Kasten
C(5 1) 1 Ballmaschine Netzhöhe 0,91 m Netz Spieler
Aufträge Modellieren mitilfe der Ableitung. Modellieren mit Parabeln Auftrag Tennis Ein Spieler stet beim Training 5 m inter dem Netz. Er muss einscätzen, ob er den von einer Ballmascine gescossenen Ball
Mathematik für berufliche Gymnasien
Boner Ott Deusc Matematik für beruflice Gymnasien Lineare Alebra Vektoreometrie Merkur Verla Rinteln Wirtscaftswissenscaftlice Bücerei für Scule und Praxis Beründet von Handelsscul-Direktor Dipl.-Hdl.
3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung
42 3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung Ein Punkt z = a + bi der Gaußscen Zalenebene ist durc seine kartesiscen Koordinaten a und b eindeutig festgelegt. Man kann jedoc auc zwei andere Grössen
Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln
Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln Ableitung einer Funktion f an einer Stelle, Begriff der Ableitungsfunktion Bilden einiger Ableitungsfunktionen Ableitungsregeln und Möglickeiten irer Herleitung
Mathematik 7. Jahrgangsstufe
Probeunterrict 2014 Haupttermin Lösungsinweis M 7 - Zalenrecnen Probeunterrict 2014 an Wirtscaftssculen in Bayern Matematik 7. Jargangsstufe Punkte- und Notensclüssel Zalenrecnen (25 Punkte) und Textrecnen
Lösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Anreas Steiger Lösung - Serie 3. MC-Aufgaben (Online-Abgabe). Es sei ie Funktion f : [0, ) [0, ) efiniert urc f() = ln( + ), wobei er Logaritmus ln zur Basis e ist. Welce
Anwendungsaufgaben - Größen und Einheiten 1 Gib jeweils die Messgenauigkeit und die Anzahl der gültigen Ziffern an.
Anwendungsaufgaben - Größen und Eineiten 1 Gib jeweils die Messgenauigkeit und die Anzal der gültigen Ziffern an. Messgerät Messwert Messgenauigkeit gültige Ziffern Maßband Lineal Messscieber Mikrometer
Anwendungen der Potenzreihenentwicklung: Approximation, Grenzwerte; Wachstum
Anwendungen der Potenzreienentwicklung: Approximation, Grenzwerte; Wacstum Lokale Näerung einer Funktion durc ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktionen aben viele angeneme Eigenscaften. Man weiß
e-funktion und natürlicher Logarithmus
e-funktion und natürlicer Logaritmus. Die Differentialgleicung y=y' Gibt es eine Funktion, die mit irer Ableitung identisc ist, d.. dass f = f ' für alle gilt? Wenn die Ableitung trigonometriscer Funktionen
Winkel an sich schneidenden Geraden So wird s gemacht!
Winkel an sic scneidenden Geraden So wird s gemact! 1. So gest du vor: bedeutet, dass die Geraden g und parallel sind. g α 1 1 1 1 60 Bestimme alle Winkel. α 60 Sceitelwinkel sind gleic groß: α 60 Stufenwinkel
5.2. Aufgaben zur Differentialrechnung
Aufgabe : Mittlere und momentane Geschwindigkeit Bestimme graphisch a) die mittleren Geschwindigkeiten [;] [;] [;6] [8;9] [;] [4;6] [5;7] [6;8] b) die Momentangeschwindigkeiten () () () () (4) (5) (9)
Repetitorium der Mathematik. StR Markus Baur
Repetitorium der Matematik StR Markus Baur 2011 11 20 Repetitorium der Matematik für die bayerisce Oberstufe Markus Baur Studienrat für Matematik und Pysik Werdenfels-Gymnasium Wettersteinstraße 30 82467
Einführung Differenzialrechnung
Einführung Differenzialrechnung Beispiele: (1 Ein Auto fährt fünf Sekunden lang mit konstanter Geschwindigkeit Wertetabelle: Zeit in Sekunden 1 2 3 4 5 Strecke in Meter 28 56 84 112 14 Graph (s-t-diagramm:
Übungsaufgaben zu Analysis 2 Lösungen von Blatt V vom 07.05.15. f(x, y) = 2(x + y) + xy + 3x 2, g(x, y) = xy + e xy.
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Matematik Sommersemester 015 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Analysis Lösungen von Blatt V vom 07.05.15 Aufgabe V.1 + Punkte) Gegeben seien die Funktionen
Differenzialrechnung Einführung 1
0.0.06 Änderungstendenz einer Funktion Differenzialrechnung Einführung Eines der wichtigsten Merkmale einer Funktion ist die Änderungstendenz, womit angegeben wird, wie stark die Funktionswerte f() zu-
Vorlesung für Schüler
Universität Siegen Facbereic Matematik Vorlesung für Scüler 1.12.2 Emmy-Noeter-Campus Prof. Dr. H. J. Reinardt Computerlösungen dynamiscer Probleme Zusammenfassung Es werden zunäcst einface dynamisce Probleme
9 Anhang. 9.1 Verhältnisgleichungen. 9.2 Strahlensätze. Elemente der Geometrie 22
Elemente der Geometrie 9 Anang 9.1 Verältnisgleicungen Verältnisgleicungen sind spezielle Formen von Gleicungen. Es a werden zwei Quotienten gleic gesetzt. Die Gleicung! b = c d kann man auc screiben als!a:b
Ist die Funktion f auf dem Intervall a; b definiert, dann nennt man. f(b) f(a) b a
. Einführung in die Differentialrechnung ==================================================================. Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 08 Dr. Anreas Steiger Lösung - Serie 5 MC-Aufgaben (Online-Abgabe). Es sei f : [a, b] R eine Funktion. Welce er folgenen Aussagen ist rictig? (a) (b) f ist stetig f ist ifferenzierbar.
Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...
Pflichtteil Wahlteil Analysis 7 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 7 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 8 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte
2. Kubatur (Aufgaben 56 bis 110)
. Kubatur (Aufgaben 56 bis 110) 56) a) Wie viele Punkte aben die Ellipse ell [ell.: b x + a y = a b ] und die Parabel par [par.: y b = b x ] a gemeinsam? Ermittle die entsprecenden Koordinaten und gib
19 Aufstellen von Funktionstermen
9 Austellen von Funktionstermen 9 Austellen von Funktionstermen Kert man die Kurvendiskussion um, so ordert man jetzt, dass aus voreebenen Eienscaten eines Funktionsraen die entsrecende Funktion eunden
TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1
TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik Lösung zur Aufgabe 4 (a) des 9. Übungsblattes größtmöglicer Definitionsbereic: Die Funktion ist überall definiert, außer an der Stelle = 3
Vorkurs Mathematik Herbst Skript Teil VI
Vorkurs Matematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript Teil VI. Stetigkeit Definition. Eine Funktion f : R R eißt stetig im Punkt p, wenn für alle konvergente Folgen x : N R, n x n mit gleicen Grenzwert
Grundlegende Aufgaben zu Tangenten. Teil 1: Alle wichtigen Methoden ausführlich erklärt Spezielle Methoden für CAS-Rechner
Grundlegende Aufgaben zu angenten ANALYSIS Ganzrationale Funktionen eil : Alle wichtigen Methoden ausführlich erklärt Spezielle Methoden für CAS-Rechner eil : rainingsaufgaben mit sehr ausführlichen Lösungen
iek Institut für Entwerfen und Konstruieren
Grundlaen der Darstellun Institut für Entwerfen und Konstruieren Prof. José Luis Moro Heiko Stacel Mattias Rottner 1 Konstruktion der senkrecten Axonometrie 2 Mertafelprojektion B(A) A B A Aufriss Seitenriss
5.2. Differentialrechnung
.. Differentialrechnung... Die mittlere Steigung einer Funktion zwischen zwei Punkten Die mittlere Steigungder Funktion f() zwischen zwei Punkten P( f()) und Q( + Δ f( + Δ)) ist definiert als der Differenzenquotient
Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...
Pflichtteil... Wahlteil Analysis... 7 Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analytische Geometrie... 9 Wahlteil Analytische Geometrie... 008 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 008: Pflichtteil
Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi
Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi Hessen Prüfungsaufgaben Grundkurs 2012 Grafikfähiger Taschenrechner (GTR), Computeralgebrasystem (CAS) Dieses Heft enthält Übungsaufgaben für GTR und CAS sowie die GTR-
Übungen zur Differentialrechnung I Klasse 10 Hilberg. 12. f(x) = x3. a = 4, b = f(x) = x f(x) = f(x) = x (3x + 11) a = 4, b = 1
Übungen ur Differentialrechnung I Klasse 10 Hilberg Berechne für jede Funktion in Aufgabe A) und B): a) Berechne die mittlere Änderungsrate m S wischen Punkt Aa fa)) und Punkt Bb fb)) der Funktion f).
Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential und Integralrecnung Micael Karkulik, Stepan Scmeissl Präsentation für Logik als Arbeitssprace ê Präsentationstecnik 2 Inalt: 1.0 Zusammenfassung 2.0 Einleitung 3.0 Der Hauptsatz
Differenzial- und Integralrechnung IV
Differenzial- un Integralrecnung IV Rainer Hauser September 202 Einleitung. Ableitung un Integral Die Ableitung einer Funktion f: R R, f() ist efiniert urc en Differenzialquotienten als f () = f() = f(
Neues zum Analysisunterricht in Grundkursen
Neues zum Analysisunterrict in Grundkursen Peter Baumann, Dr. Tomas Kirski, Helmut Wunderling Berlin 9. April 2012 Zusammenfassung Nac der Verkürzung der Sculzeit bis zum Abitur auf 12 Jare stet für den
3 Differenzialrechnung
Differenzialrechnung 3 Differenzialrechnung 3.1 Ableitungsregeln Übersicht Beispiel Vorgehen Potenzfunktionen f(x) = x 4 f (x) = 4 x 3 f(x) = x f (x) = 1 x 0 = 1 f(x) = x Hochzahl f (x) = Hochzahl x Hochzahl
Realschulabschluss/Sekundarabschluss I 2013 Mathematik
Realsculabscluss/Sekundarabscluss I 0 Matematik Lösung Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacer. Sie ist keine offizielle Lösung des Niedersäcsiscen Kultusministeriums. Hauptteil. a) Zur Berecnung
Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2013/2014
Landeswettbewerb Matematik aden-württemberg Musterlösungen 1. Runde 01/014 ufgabe 1 Wolfgang will die Zalen 1,,,, 8 an die Ecken eines ctecks screiben und jede Zal einmal verwenden. abei soll die Summe