Neues zum Analysisunterricht in Grundkursen

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1 Neues zum Analysisunterrict in Grundkursen Peter Baumann, Dr. Tomas Kirski, Helmut Wunderling Berlin 9. April 2012 Zusammenfassung Nac der Verkürzung der Sculzeit bis zum Abitur auf 12 Jare stet für den Grenzwertbegriff im Grundkurs keine Zeit mer zur Verfügung. Die aktuellen Lerpläne der Bundesländer seen stattdessen einen inaltlic-anscaulicen Grenzwertbegriff (oder Änlices) vor. Vielen Lerkräften ist unklar, wie damit die Grundlagen der Differenzial- und Integralrecnung unterrictet werden sollen. Der vorliegende Beitrag entält einen Vorsclag für einen Unterrictsgang mit ganzrationalen Funktionen, durc den mit geringem Zeitaufwand eine fundierte Einfürung aller Grundlagen der Differenzialrecnung (für Grundkurse) erreict werden kann. Dabei kommt man völlig one Grenzwertbegriff aus. Darauf aufbauend lassen sic auc alle weiteren Funktionsklassen beandeln. Vorwort Die aktuellen Lerpläne in den Bundesländern verlangen ganz überwiegend den Grenzwert nur noc intuitiv, wobei unklar bleibt, was das bedeuten soll. Letztlic ist den Autoren wol klar, dass es das nict gibt, und dass eine gründlice Beandlung im Grundkurs (unter den gegebenen Umständen) unmöglic ist. Die vorliegende Scrift ist ein Vorsclag, wie Lererinnen oder Lerer iren Unterrict aufbauen können, um den beördlicen Vorgaben so zu entsprecen, dass ire Scülerinnen und Scüler fundierte Vorstellungen entwickeln können, die für die Differenzialrecnung tragfäig sind. Dabei gilt es zu beacten, dass für Grundkurse kein Grenzwertbegriff mer zur Verfügung stet. Daer wird ein Weg bescrieben, der anscließend zwar auc in Leistungskursen mit Grenzwerten one Bruc fortgesetzt werden kann, der aber vor allem Grundkursscülern ilft, sic intuitiv und dennoc korrekt in der Analysis zu bewegen. Für Scüler bzw. Scülerinnen der 10. Klasse ist das Differenzieren neu, so dass es für sie keine Rolle spielt, welce didaktisce Variante ir Lerer wält. Der ier vorgesclagene Weg kommt fast one öere Matematik aus und wird desalb leict verstanden. One großen Zeitaufwand kann der Lernende üblice Aufgaben mit ganzrationalen Funktionen selbständig bearbeiten, wofür das ganze 10. Sculjar zur Verfügung stet. Es wird keine Zeit etwa damit verscwendet, dennoc so etwas wie einen Grenzwert zu etablieren. Dafür muss sic der grenzwertgeprägte Unterrictende bereits beim Lesen des Artikels auf eine ganz andere, psycologisce Weise anstrengen. Wie die Autoren aus eigener Erfarung wissen, fällt der ausgebildete Matematiker vollautomatisc in das dynamisce Denken mittels Grenzwert, wenn nur irgend ein Tema an Analysis erinnert. Diese Art der inneren Einstellung verträgt sic nict mit der ier vorgestellten algebraisc-statiscen Metode. Daer unsere dringende Bitte an die Lererin oder den Lerer: Macen Sie sic bereits für die Lektüre des vorliegenden Artikels frei von Irer lieb gewordenen Denkweise in Grenzwertkategorien und wünscen Sie sic die unbescwerte Neugier eines Anfängers. Öffnen Sie sic bitte für die neuartigen Gedanken und widersteen Sie dem natürlicen Hang, bei jeder Gelegeneit das Neue an dem Gewonten zu messen. 1

2 Diese Anstrengung wird nict mer notwendig sein, wenn man mindestens einmal auf diese Weise bei den Scülern erfolgreic war. Die Grundaufgabe der Differenzialrecnung ist das Bestimmen der momentanen Änderung von Funktionswerten f(x) bzw. der Steigung des zugeörigen Funktionsgrapen. Mittelpunkt ist und bleibt die Steigungsformel (zur -Metode ): m(x; ) = f(x+) f(x) Neu ist also nict die notwendige Algebra, sondern nur der Umgang mit dem Problem, auf welce Weise man sic von dem störenden befreit. Hier jedenfalls durcläuft keine Nullfolge. Aber was gesciet stattdessen? Das wird vorgestellt werden. Leitgedanke ist es, von den Praktikern für die Matematik zu lernen. Die einzelnen Teile sind in Stunden gegliedert, damit sie als Möglickeit für eine Unterrictsreie geseen werden können.. Annäerung an das Differenzieren in Klasse 10 Stunde 1: Geraden Diese Stunde dient dem Aufgreifen bekannten Wissens über Geraden im Koordinatensystem und ebt dabei vor allem auf den Begriff Anstieg bzw. Steigung ab. Grundlage für die erste Stunde könnte das Arbeitsblatt auf Seite 3 sein, an dem die Verbindung zwiscen Geometrie und Algebra für Geraden in der x-y-ebene wiederolt werden kann. Damit nict alles scon bekannt und also langweilig ist, entält es außer dem Koordinatensystem nur zwei Geraden g 1 und g 2 und drei Punkte A, B, C. (Hellgrau inzugefügt sind die Geraden, die eingezeicnet werden sollen.) Von Vorteil ist es, wenn die Lerkraft das Arbeitsblatt mit Geogebra 1 interaktiv mit den Scülern bearbeiten kann. Zunäcst get es also stellvertretend für alle Ursprungsgeraden um die Gerade g 1. Ire Scräglage wird vom Winkel mit der Größe α gekennzeicnet, zusammen mit dem Ursprung U (Scnittpunkt von g 1 mit der x-acse) ist die Gerade festgelegt. Winkel werden mittels Kreisbögen gemessen. Das ist zum Recnen nict so einfac. Leicter ist es, rectwinklige Dreiecke zu benutzen, deren Kateten parallel zu den Koordinatenacsen verlaufen. Welces der angebotenen Dreiecke mit Spitze U benutzt wird, ist egal, weil alle Steigungsdreiecke einander änlic sind. Der Geradenpunkt X in Geogebra auf g 1 beweglic liegt auf dem Blatt an der Stelle x im Abstand y von der x-acse. Als er sic genau über U befand, war dieser Abstand 0. Bei der Bewegung auf der Geraden bis zur Stelle x ist er also um y gestiegen. Diese Eigenscaft der Geraden drückt man so aus: y Die Gerade g 1 besitzt den Anstieg x. Benutzt man das kleinere Dreieck, das an der Stelle 2 endet, so lässt sic im Gitternetz ablesen, dass dort der Geradenpunkt um eine Eineit nac oben von der Horizontalen entfernt ist. Der Anstieg ist also y zalenmäßig erfasst: x = 1 2. Weil jeder Stelle x genau ein Wert y zugeordnet wird, screibt man die Gleicung in der Form y = 2 1 x; so lässt sic zu jedem x das passende y leict berecnen. Nun zur Geraden g 2. Sie ist dadurc entstanden, dass g 1 um den Punkt U um 90 Grad gedret wurde. Die beiden Geraden steen also senkrect aufeinander. Folgende Aufgaben sollten die Scüler nun, ggf. als Hausaufgabe, bearbeiten können: 1. g 1 get durc den Punkt ( 4 ; 2). Zeicnen Sie Steigungsdreiecke mit dieser Spitze und überzeugen Sie sic, dass auc mit diesen der bekannte Anstieg berecnet werden kann. 1 Diese freie Software stet unter für alle Recnerplattformen zum Download zur Verfügung. 2

3 g C 3 B 2 1 y x X y U α x 1 2 g A g 2 get durc den Punkt(3 ; 6). Zeicnen Sie Steigungsdreiecke mit dieser Spitze und berecnen Sie mermals den Anstieg der zweiten Gerade. (Hinweis: g 2 steigt nict an, sondern fällt ab. Dennoc sprict man von Anstieg, berecnet in nac derselben Metode, erält aber einen negativen Wert.) 3. Dreen Sie das (gedruckte) kleine Steigungsdreieck von g 1 in die Position von g 2. Berecnen Sie mit den beiden eraltenen Dreiecken (Es gibt zwei möglice Dreungen!) den Anstieg von g Zeicnen Sie die parallele Gerade zu g 1, welce durc den Punkt (0 ; 1) verläuft. Bestimmen Sie deren Anstieg und Gleicung, die von der Form y = m x + n ist. 5. Zeicnen Sie die parallele Gerade zu g 2, welce durc den Punkt (0 ; 2) verläuft. Bestimmen Sie deren Anstieg und Gleicung. 6. Zeicnen Sie die Geraden U A und UB. Ermitteln Sie ire Anstiege und die zugeörigen Gleicungen y =. Was fällt Inen auf? 7. Zeicnen Sie zu UA und zu UB die Parallelen durc C. Ermitteln Sie ire Anstiege und Gleicungen. 8. Zeicnen Sie durc A die Senkrecten zu den beiden Koordinatenacsen. Ermitteln Sie ire Anstiege und Gleicungen. 3

4 9. Zeicnen Sie zu den folgenden Gleicungen die entsprecenden Geraden in ein neues Koordinatensystem. Bevor Sie zeicnen, bescreiben Sie (für sic), wie die jeweilige Gerade liegen muss, auc im Vergleic zu den anderen. y = 4x, y = 4x, y = 1 4 x, y = 4 x, y = 4x+ 2, y = 4x 3, y = 4x+3, y = 1 4 x+3, y = 0 x+1, y = 2, y = 0, y = 2 4x, y = x, x = 3. Stunde 2: Funktionen 1. Grades Diese Stunde dient dem Übergang zum Funktionsbegriff. Nac dem Sammeln der Ergebnisse der letzten Aufgaben kann z. B. mit folgendem Arbeitsbogen das Augenmerk auf die versciedenen Umgangsweisen zur Berecnung von Anstiegen gelenkt werden Q 9 8 y Q y P 7 P 6 x Q x P 5 X 1 X f(x+) f(x) H f(x+) f(x) 1 5 G f x 1 x Abgebildet sind drei parallele Geraden. Ir gemeinsamer Anstieg m kann einfac an der obersten abgelesen werden. Das Längenverältnis v : der vertikalen zur orizontalen Katete beträgt 2 : 3, es ist also m = 3 2. Weil die oberste Gerade die y-acse bei 13 scneidet, lautet ire Gleicung y = 2 3 x+ 13. Entsprecend ist die Gleicung der mittleren Gerade y = 3 2 x+8. Weil zwei Punkte, z. B. P und Q, die Gerade bestimmen, benötigt man stets zwei Punkte, um ire Steigung zu berecnen. Sind x P, y P und x Q, y Q die Koordinaten der beiden Punkte, so berecnet sic der 4

5 Anstieg m zu m = y Q y P x Q x P, m = 4 6 = 2 3. An der unteren Geraden soll eine andere Sictweise geklärt werden. Sie besitzt y = 3 2 x+ 3 als Geradengleicung. Die Gleicung erlaubt es, zu jedem x das zugeörige y zu bestimmen. Nimmt man z. B. für x die Zal 3, so ergibt sic für y die Zal 5, nämlic y = = 5. Und tatsäclic ist (3 ; 5) ein Punkt der Geraden. Die Gleicung ist nämlic die Vorscrift, nac der jeder Zal x eindeutig die entsprecende Zal y zugeordnet wird. Zuordnungen dieser Art nennt man Funktionen und benutzt gern den Bucstaben f als Abkürzung. In Zeicen: f : x 2 x+ 3, 3 R R Weil für x jede reelle Zal genommen werden kann, wird durc diese Funktion die ganze Menge R auf sic selbst abgebildet; das bedeutet der Zusatz R R. Der Blick wandert also von der geometriscen Geraden, die mit Punkten und anderen Geraden geometrisce Figuren bilden lässt, zu der Menge aller Punkte, deren Koordinatenpaare (x ; y) jeweils durc die Funktion f verbunden sind. Sie wird lediglic zur Veranscaulicung der Funktion f erangezogen und wird der Grap von f bezeicnet. Im Bild stet desalb die Bezeicnung G f an der Geraden. Bleibt nur noc das aus der Geometrie stammende und nun störende y zu ersetzen. Betractet man nämlic mer als eine Funktion, so kann man natürlic für jede ein x vorgeben, es muss aber dafür gesorgt werden, dass die y-ergebnisse auseinanderzualten sind. Das wird durc die Screibweise f(x) anstelle von y gewärleistet, y = f(x). Man sprict auc nict mer von der y-koordinate eines Punktes, sondern vom Funktionswert f(x) an der Stelle x. Die Geradengleicung y = 3 2 x+ 3 wird zur Funktionsgleicung zu f, f(x) = 2 3 x+3, denn sie beinaltet die Recenvorscrift für f. Die Fragestellung nac dem Anstieg eines Funktionsgrapen an einer Stelle x ist jedoc der Angelpunkt der gesamten Differenzialrecung. Daer lont es sic, eine Metode zum Aufbau eines Steigungsdreiecks zu betracten, die mit geringstem Aufwand Ergebnisse liefern kann obwol das natürlic im vorliegenden Fall gar nict nötig wäre. Start ist die Vorgabe einer Stelle x auf der x-acse. Sie bestimmt den Punkt X auf dem Grapen, X : (x ; f(x)). Man benötigt nun einen zweiten, von X versciedenen Punkt X 1 auf dem Grapen. Dazu get man am besten von X aus ein orizontales Stück weiter und erreict zunäcst den 2. Punkt des nötigen Dreiecks, H. Er befindet sic an der Stelle x +, d.. H : (x + ; f(x)). Zu dieser Stelle geört drittens der Punkt X 1 auf dem Grapen, X 1 : (x+ ; f(x+)). Das Dreieck ist gebildet. Die Länge der vertikalen Katete ist f(x + ) f(x), die der orizontalen einfac eine Differenz ist bei der Berecnung des Anstiegs m gespart und das vereinfact vor allem Bucstabenrecnungen. Wird noc vermerkt, dass m an der Stelle x mitilfe von berecnet wurde, so screibt man: m(x; ) = f(x+) f(x) Damit kann ganz allgemein gerecnet werden. Gegeben sei eine beliebige ganzrationale Funktion 1. Grades, d.. eine Funktion f, deren Zuordnungsvorscrift genau so gebildet ist wie die des letzten Beispiels: f : x a x+b, R R. Gesuct wird der Anstieg ires Grapen an einer nict näer bestimmten Stelle x. Natürlic ist das Ergebnis bereits bekannt, aber man tut so, als ob man neu anfangen müsste. Warum? Weil man mit dem neuen Vorgeen das bereits Bekannte bestätigen sollte. Um die Formel für m(x; ) anwenden zu können, muss man in Gedanken einen wärend der Recnung festen Wert für wälen, für den nur eine einzige Bedingung gilt: = 0, denn durc diese Zal muss. 5

6 dividiert werden. Ferner werden die beiden Funktionswerte an den Stellen x sowie x +, d.. f(x) und f(x+) benötigt. Wie sie gebaut sind, liest man an der Zuordnungsvorscrift ab. f(x) = a x+b, f(x+) = a (x+)+b. Nun ist alles beisammen 2, und man kann die Formel anwenden: m(x; ) = f(x+) f(x) = (a (x+)+b) (a x+b) = a Diese Recnung ist leicter überscaubar als mit Zalenwerten für a, b, x und. Man kann auc Scüler leict davon überzeugen, wenn sie mit a = 32, 41 und b = 0, 85 den Anstieg m(7, 3; 0, 021) berecnen sollen. Viel wictiger noc ist die Interpretation des Resultats m(x; ) = a. Welce Funktion 1. Grades auc immer vorliegt. Es ist klar, dass ir Grap eine einzige Steigung besitzt, die an allen Stellen x berecnet werden kann, mit welcer Scrittweite = 0 zur Hilfsstelle x + auc immer. Und diese Steigung gibt der Koeffizient a von x direkt an. Die Steigung ist auc unabängig vom Summanden b wegen b = f(0) gibt b die Zal auf der vertikalen Acse an, bei der sie von G f gescnitten wird. Daer aben Funktionen, deren Gleicungen sic nur in diesem Summanden untersceiden, parallele Grapen. Es kann sic bei inen also nur um Geraden andeln. Alles, was scon vorer bekannt war, lässt sic also allein aus der Gleicung von f ablesen. Jede (ganzrationale) Funktion 1. Grades mit f(x) = a x+b besitzt eine Gerade als Grap. Aber Actung! Nict jede Gerade ist Grap einer Funktion 1. Grades! Woran das liegt, sollte nict unerwänt bleiben. In den Aufgaben zu Stunde 1 sind solce Geraden als Beispiele entalten. = a. Stunde 3: Die Parabel und das Steigungsproblem Die einfacste Funktion f, x f(x), welce keinen geraden sondern einen gekrümmten Grap at, muss eine Gleicung besitzen, die x etwas mer als nur in der 1. Potenz entält. Ganzrationale Funktionen 2. Grades besitzen daer Gleicungen der Form f(x) = a x 2 + b x+c. Für a = 1, b = c = 0 erält man die einfacste Gleicung: f(x) = x 2. Sie soll stellvertretend für die übrigen Funktionen dieser Art insictlic ires Steigens bzw. Fallens untersuct werden. Naeliegend ist die Idee, den Anstieg einer Geraden zu benutzen, um auc bei Kurven sagen zu können, wie scräg sie an einer vorgegebenen Stelle verlaufen. Aber eindeutig Zalenwerte zu finden, die voll überzeugen, ist scwer, weil es nict so leict gelingt, passende Geraden zu finden. Zum Probieren stellt man z.b. folgende Aufgabe: 1. Füllen Sie die Funktionstabelle aus, zeicnen Sie die 7 Punkte (x ; x 2 ) in ein Koordinatensystem und verbinden Sie diese mittels einer Kurve. x x Ire Kurve kann keinen einzelnen Anstieg besitzen, sondern fällt bzw. steigt an jedem Punkt untersciedlic. Zeicnen Sie daer durc jeden der 7 Punkte eine Gerade, von der Sie überzeugt sind, dass deren Anstieg das Steigungsveralten der Kurve gut bescreibt. 3. Zeicnen Sie zu jeder der 7 Geraden ein Steigungsdreieck, messen Sie deren Katetenlängen und berecnen Sie die 7 Anstiege m(x). Tragen Sie sie in die folgende Tabelle ein. (Drei (freiändig!) mit Geogebra bestimmte Geraden entält die Abbildung auf Seite 7.) 2 Man kürzt den Aufwand gerne ab, indem man statt der Funktion f nur ire Funktionsgleicung f(x) = a x+b angibt. 6

7 x m(x) 0 4. Was können Sie daraus ablesen? Wie gut stimmen Ire Messwerte mit denen Irer Mitscüler/innen überein? f Wann passt eine Gerade? Sie muss auf jeden Fall mit der Kurve den Punkt gemeinsam aben, an dem der Anstieg bestimmt werden soll. Andererseits darf sie keinen weiteren Kurvenpunkt mer gemeinsam aben 3, denn jede Kurve untersceidet sic grundsätzlic von einer Geraden. Verliefe die Gerade durc zwei Kurvenpunkte, dann würde sie das Kurvenstück zwiscen den beiden Punkten so abscneiden wie ein Messer es bei einem Apfel tut. Verbindungsgeraden zweier Kurvenpunkte eißen deswegen auc Sekanten (lat.: secare scneiden). Die Steigung jeder Sekante kann daer prinzipiell das Veralten einer Kurve nict wiedergeben. Gesuct sind deswegen Tangenten (lat.: tangere berüren), wie sie vom Kreis bekannt sind. Hier weiß man auc, wie die Tangente zu einem Punkt bei jedem beliebigen Kreis konstruiert werden kann und daer lässt sic ir Anstieg berecnen 4. Glücklicerweise ist der Grap zu f(x) = x 2 eine seit alters er bekannte Kurve, die den ebenso alten Namen Parabel trägt. Hier weiß man, wie man Tangenten konstruiert. Daraus folgt dann auc eine leicte Berecnung des Tangentenanstiegs, das Problem ist ier gelöst. Das allgemeine Problem für andere Kurven bleibt aber weiterin offen: Es ist zunäcst zu klären, was dort Tangenten sein sollen. Kreis und Parabel sind nur Hilfen zur Entwicklung von Gedanken. Benutzt man dieses Wissen, so ergibt sic das Problem der Tangentenfindung in aller Scärfe: Genau einen Kurvenpunkt soll die gesucte Tangente besitzen, aber zwei Geradenpunkte benötigt man zur Berecnung des Anstiegs einer Geraden und damit des Anstiegs der Kurve in diesem Punkt. Als einziger Ausweg bleibt, einen zweiten Punkt zu Hilfe zu nemen, durc den die Gerade geen soll. Dabei gilt es zu entsceiden: Soll dieser Hilfspunkt auf der Kurve liegen oder nict? Folgende drei Metoden füren zum Erfolg. 1. (bescränkt auf Parabeln): Geometrisce Konstruktion aus der uralten Erfarung mit Sonnenlict, die auc eute überall als Empfangsscüsseln für Satellitenfernseen sictbar ist. 3 Zumindest nict in unmittelbarer Näe. 4 Liegt der Mittelpunkt eines Kreises im Ursprung und ist P : (x K ; y K ) ein Kreispunkt, so ist y K xk der Anstieg der zugeörigen Radiusgeraden. Weil die Tangente senkrect darauf stet, muss x K y ir Anstieg sein, der zugleic als Anstieg des Kreises am K Punkt P bezeicnet werden soll. Weil aber Kreise keine Funktionsgrapen sind und selbst Halbkreise nict durc ganzrationale Funktionen bescrieben werden können, wird dies ier nict weiter verfolgt. 7

8 2. (bescränkt auf Lösungsverfaren für quadratisce Gleicungen): Hilfspunkt nict auf der Kurve, algebraisces Verändern seiner Lage, bis die Gerade die Kurve nict in einem zweiten Punkt scneidet. 3. (bescränkt auf ganzrationale Funktionen): Hilfspunkt auf der Kurve, Untersucung der eigentlic unbraucbaren Sekantensteigungen, bewusster Umgang mit Felern. Folgende Recerce-Aufgabe könnte zum Einstieg gestellt werden: Versucen Sie, eine der Metoden über das Internet kennenzulernen, und wenden Sie diese auf die Parabel zu f(x) = x 2 an. Warum will man eigentlic Anstiege bei Kurven bestimmen? Menscen möcten wissen, wie sic etwas entwickelt (z. B. das Wetter). Sie bilden daer matematisce Modelle irer Wirklickeit, und Funktionen sind das Ergebnis irer Bemüungen. Das Änderungsveralten wird durc die Anstiege irer Grapen bescreibbar. Stunde 4: Bestimmung der Tangentensteigung einer Parabel Die erste Metode stammt aus der Blütezeit der antiken Matematik. Sie wird mit 4 Bildern erzält (siee Seite 9). Bild 1: Parallel zur Symmetrieacse treten Lictstralen in die nac oben geöffnete Parabel. Denkt man sic die Kurve verspiegelt, so reflektiert sie jeden dieser Lictstralen zu einem einzigen Punkt in. NEWTON kannte natürlic Bild 1 als reine geometrisce Tatsace. Die Idee mit der Verspiegelung kam im zusätzlic, weil er mit seinem Linsenteleskop nict zufrieden war. Und so baute er das erste Spiegeltelskop, das je nac Größe viel Lict sammeln kann. Mit einer Lupe musste er nur den ell leuctenden Punkt betracten und sa damit Sterne, die viel zu lictscwac leucten, um mit bloßem Auge geseen zu werden. Derselbe Verstärkungseffekt wird beim Satellitenfernseen genutzt. Erst wenn man viele Stralen sammelt und auf die Antenne leitet, kommt ein Fernsebild zustande. Auc die Sonne scickt parallele Stralen zu uns. In einem paraboliscen Spiegel wird dann der Punkt, in dem sic alle gesammelten Sonnenstralen bündeln, so eiß, dass man damit z. B. Holz anzünden kann. Deswegen eißt dieser Punkt inneralb der Parabel ir Brennpunkt oder lateinisc Focus, ganz wie bei Linsen auc. Bild 2: Einer der Lictstralen ist erausgegriffen, um seine Reflexion genauer zu untersucen. Bei Reflexion an ebenen Spiegeln gilt das Reflexionsgesetz. Daer ist eine Spiegelstrecke genau so scräg eingezeicnet, dass der Stral nac seiner Reflexion durc den Fokus verläuft. Sie musste daer so gedret werden, dass die Winkelmaße α und β übereinstimmen (Reflexionsgesetz). Verfolgt man die Rictung des Lictstrals one Spiegel bis zum Punkt L, so entstet ein dritter Winkel, dessen Größe γ ebenfalls mit α übereinstimmen muss, weil beide Winkel Sceitelwinkel sind. Zur Überprüfung von α = γ eignet sic jedes gleicscenklige Dreieck. Deswegen ist L genau so weit entfernt von der Reflexionsstelle gezeicnet wie der Fokus von ir entfernt ist. Die Gerade durc L, senkrect zur Symmetrieacse, eißt seit alters er Leitgerade. Dies ergibt eine Möglickeit, Parabelpunkte zu konstruieren, z.b. mit folgender Aufgabe: Zeicnen Sie eine beliebige Gerade l und einen Punkt F etwas abseits dieser Geraden. Zeicnen Sie um F den Kreis mit dem Radius z. B. 3 cm und zusätzlic im Abstand von 3 cm die Parallele zu l, die den Kreis scneidet. Sie eralten dann zwei Punkte, die nac Bild 2 Reflexionspunkte sein müssen. Wälen Sie statt der 3 cm andere Abstände und zeicnen Sie die Punkte, bis Sie ein Bild der entsteenden Kurve freiändig zeicnen können. Diese Kurve bestet also aus allen Punkten, für die sic der Abstand zum Fokus und der zur Leitgeraden gleicen. Genau daer kommt ir Name PARABEL, denn es ist das griecisce Wort für GLEICHNIS. Es bleibt zu klären, ob diese Parabel auc wirklic der Grap der Funktion mit f(x) = x 2 ist, dann lässt sic auc der Anstieg in jedem irer Punkte berecnen ein besseres Argument für eine Tangente gibt es gar nict als dass sie dasselbe Reflexionsveralten zeigt wie die Kurve selbst. 8

9 α Re f lexion β γ 1 2 y Focus Leitgerade y L P (x; y) (x; x 2 ) y F 1 e M 2 x x e 3 L 4 x Bild 3: Hier wird die Zeicnung in ein Kordinatensystem gestellt, um sie mit einem Funktionsgrapen vergleicen zu können. Zu jedem Parabelpunkt P gibt es das gleicscenklige Dreieck PFL. Es wird durc seine (spiegelnde) Symmetrieacse PM in zwei kongruente Dreiecke geteilt. Punkt M ist der Mittelpunkt der Basis FL. Er albiert auc das Intervall [0; x] auf der x-acse, weil L in der Entfernung e genau so weit unter ir liegt wie F oberalb. Das bei M rectwinklige Dreieck PML besitzt zwei Hypotenusenabscnitte, deren Längen mit e und y bezeicnet sind. Der Höensatz liefert dann y e = ( ) x 2. 2 Daraus ergibt sic für die Gleicung der Parabel y = 4e 1 x2. Wält man wie in den Bildern gesceen e = 0, 25, so erält man für die gezeicnete Parabel die Gleicung y = x 2. Es stimmt also y = f(x); die Parabel ist Grap der Funktion f, dieser trägt seinen Namen zurect. Bild 4: Da nun bekannt ist, dass die Parabelpunkte die Koordinatenpaare (x; x 2 ) besitzen, kann man direkt aus dem Steigungsdreieck für den Spiegel, d.. die Tangente, ablesen: Anstieg der Parabeltangente: f(x) = x 2 = m(x) = x2 x 2 = 2x 9

10 Aufgabe: Überprüfen Sie iermit Ire Ergebnisse der Aufgabe 3 aus der 3. Stunde. Die zweite Metode ist rein algebraisc und löst die konkrete Frage nac dem Anstieg der Parabel zu f(x) = x 2 an der Stelle x = 1. Dazu stelle man sic Bilder im Kopf vor oder fertige sic Skizzen an. Grundidee ist: Eine Gerade durc (1 ; 1) scneidet im allgemeinen die Parabel in noc einem zweiten Punkt, sie kann jedenfalls nict an der Parabel vorbeigeen (Passante). Sind (x ; y) die Koordinaten der Geradenpunkte, so ist für x = 1 ir Anstieg y 1 x 1 = m. Lässt man m offen, so kann man jeden geradlinigen Grapen durc(1 ; 1) bescreiben mittels y(x) = m x m+1. Für Scnittpunkte mit der Parabel muss gelten: f(x) = y(x). Daer wird die quadratisce Gleicung x 2 = m x m+1 oder x 2 mx = 1 m nac x aufgelöst. Es ergibt sic x 1/2 = m 2 ± 1 2 m 2 4m+4. Im allgemeinen gibt es also zwei Lösungen, d.. zwei Scnittpunkte der Geraden mit der Parabel. Wenn aber der Radikand null ist, dann fallen beide Lösungen zu einer zusammen. Das ist für m = 2 der Fall und zwar bei x = m 2 = 1. Das Ergebnis mittels der ersten Metode m(x) = 2x liefert dasselbe: m(1) = 2. Das übereinstimmenden Ergebnisse der beiden Metoden elfen ser, die dritte Metode zu beurteilen. Anregung Wer ganz modern an die alten Vorstellungen der ersten Metode kommen möcte, könnte mit Geogebra ervorragend experimentieren. Die folgende Abbildung zeigt ein möglices Ergebnis. 1. Wälen Sie zunäcst zwei beliebige Punkte A und B, die auf dem Blatt beliebig versciebbar sind. Zu inen definiere man die Mittelsenkrecte a und aktiviere bei deren Eigenscaften den Modus Spur anzeigen. Nun bewegen Sie gemäclic einen der beiden Punkte. Versucen Sie den Punkt freiändig auf bestimmten Wegen zu alten (z.b. Dreieck, Kreis, Gerade). 2. Definieren Sie zwei Scieberegler für die Koordinaten X M und Y M eines Kreismittelpunktes M, den Sie mittels der Regler auc weit außeralb des Bildscirms plazieren können. Ein weiterer freier Punkt C wird zur Definition des Kreises um M und durc C benötigt. Löscen Sie B und wälen Sie B erneut auf dem Kreisumfang. Mit einer neuen Mittelsenkrecten zu A und B können Sie mit B auf dem Kreis experimentieren und erstaunlice Bilder der Matematik erstellen. (Der Kreisbogen wurde nun ganz verständlic Leitlinie genannt.) 10

11 3. Ersetzen Sie den Kreis durc eine Gerade mittes zweier beweglicer Geradenpunkte. Wälen Sie darauf einen neuen Punkt B usw. Mit dieser Geraden als Leitlinie gelangen Sie zu Parabeln jedweder Lage bzw. Öffnung. Wenn Sie die Frage lösen, welce Punkte es sind, die die (parabelförmige) Grenze der Ebene bestimmen, von der ab keine Tangente 5 inein gezeicnet werden kann, kommen Sie zu den vier Bildern aus der Antike vom Anfang dieser Stunde. Stunde 5: Anstiegsbestimmung bei ganzrationalen Funktionen Nun zur dritten, gänzlic neuen Metode, die bei allen ganzrationalen Funktionen anwendbar ist. Sie lässt sic außerdem leict auf alle reellen Funktionen der Differenzialrecnung erweitern. Die Grundidee ist altbekannt. Man wält einen Hilfspunkt auf dem Funktionsgrapen und berecnet nac der bekannten Formel f(x+) f(x) m(x; ) = zwar eine Sekantensteigung, die bestimmt keine Tangentensteigung ist, deren Feleraftigkeit aber offentlic dennoc braucbare Resultate ermöglict. Neu ist, wie man dazu gelangen kann, und das ist überrascend einfac. Beispiel 1: Anand der einfacen Musterfunktion mit f(x) = x 2, deren (Tangenten-)Steigung man kennt, kann man die Güte des neuen Vorgeens messen. Berecne man also m(2, 34; 0, 21) für f(x) = x 2. Die Steigungsformel liefert m(2, 34; 0, 21)= 2, 552 2, , 21 = 1, , 21 = 4, 89. Von diesem Ergebnis ist nur bekannt, dass es die gesucte Steigung m(2, 34) für die Parabeltangente NICHT ist! Wüsste man nict aus der Antike, dass 4, 68 der rictige Zalenwert ist und das ist die Situation bei allen Funktionen, deren Grap keine Parabel ist so käme man nict weiter, weil offen bleibt, wie groß der zu berücksictigende Feler ist. Ein dornenvoller Weg sytematiscer Untersucungen kann zum Ziel füren, dazu folgende Aufgabe 6 : Berecnen Sie für x = 2, 34 die Sekantensteigungen zu den -Werten der Tabelle auf 2 Stellen inter dem Komma genau und tragen Sie Ire Ergebnisse dort ein. Lässt sic daraus etwas ablesen? -3,00-2,00-1,00-0,50-0,01 +0,01 +0,50 +1,00 +2,00 +3,00 m(2, 34; ) Für die Praxis ist dieses Verfaren durcaus praktikabel. Brauct jemand den Anstieg der Kurve nur auf 3 Stellen inter dem Komma genau, so genügt es, = 0, zu wälen, weil die Stellen ab der vierten Dezimalen als überflüssig fortgelassen werden. Der Feler, den die Sekante mit sic bringt, fällt gar nict auf. Eine viel kürzere und zugleic leictere Überlegung beseitigt den Feler grundsätzlic. Dazu soll offen bleiben, welcer Wert für gewält wird, positiv oder negativ, aber natürlic = 0. m(2, 34; )= (2, 34+ )2 2, 34 2 = (2, , ) 2, 34 2 = 4, 68+. Der Feler, der gegenüber der eigentlic gesucten Tangentensteigung wegen entstet, gibt sic nun zu erkennen. Hier liegt eine ser komfortable Situation für den Umgang mit Felern vor: a) Man weiß: das Ergebnis ist feleraft. Der Feler aber muss zunäcst in Kauf genommen werden. b) Man weiß: der Feler stammt von der Benutzung einer Sekante statt der Tangente. 5 Weil all die Mittellote die Kontur einer Parabel so einwandfrei darstellen, ist es rictig, sie Tangenten zu nennen. 6 Man sollte die Aufgabe bei Zeitnot übergeen, sie wird nur zur Vorbereitung von Grenzwertverfaren tragend, die für Grundkurse one Bedeutung sind. 11

12 c) Der Feler gibt sic also durc das Auftreten des Summanden zu erkennen. d) Der Feler ist der Unterscied zwiscen der Sekanten- und der Tangentensteigung. Die Konsequenz lautet: Feler = m Sekante m Tangente, also m Tangente = m Sekante Feler oder als Rezept : Nimm der feleraften Sekantensteigung iren Feler weg! Die felerbereinigte Steigung m(2, 34) ist die aus der Antike bekannte Zal 2 2, 34, also 4, 68. Die Gerade, die durc den Parabelpunkt (2, 34; 2, 34 2 ) verläuft und diese Steigung besitzt, wird auc eute Tangente genannt. Das antike Ergebnis war allgemeiner: y = 1 4e x2 oder abgekürzt y = ax 2. Recnet man damit ganz allgemein, so findet man: m(x; ) = a(x+)2 ax 2 = a (x2 + 2x+ 2 ) x 2 = 2ax+a = m(x) = 2ax, denn mit ist auc a ein Feler. Beispiel 2: Gegeben sei die Funktion dritten Grades mit f(x) = x 3 3x 2 x+3. Gesuct ist die Tangentensteigung m(x) für jede Stelle x. Zunäcst werden die Sekantensteigungen m(x; ) für = 0 berecnet. m(x; ) = f(x+) f(x) = ((x+)3 3(x+) 2 (x+)+3) (x 3 3x 2 x+ 3) = 3x2 + 3x x 3 2 = (3x 2 6x 1)+(3x+ 2 3) Hier ist bereits nac Summanden mit und one sortiert worden. Daer zeigt sic im Ergebnis scon der Sekantenfeler als (3x+ 2 3). Bereinigt erält man also m(x) = 3x 2 6x 1. Da man bei dieser Funktion gar nicts über Tangenten oder deren Anstiege weiß, werden die Werte m(x), die diese Gleicung liefert, als Anstiege des zugeörigen Grapen an den Stellen x definiert und die zugeörigen Geraden durc(x ; f(x)) mit dem Anstieg m(x) werden Tangenten genannt 7. Aufgabe: Die Gleicung m(x) = 3x 2 6x 1 für die Steigung ist wieder eine Funktionsgleicung. Weil der Bucstabe f bereits für die Funktion vergeben ist, von der sie stammt, man aber doc zum Ausdruck bringen möcte, dass diese neue Funktion aus f abgeleitet wurde, bleibt man bei diesem Bucstaben und screibt als Untersceidungsmerkmal lediglic einen kleinen Stric eran, f. (Man nennt f die Ableitung(-sfunktion) von f.) Geen Sie von f (x) = 3x 2 6x 1 aus und bestimmen Sie die Gleicung für deren Tangentenanstiege, f (x) =. Zeicnen Sie die Grapen zu f, f und f in ein Koordinatensystem und versucen Sie, Zusammenänge zwiscen den drei Grapen aufzudecken. 7 Ein Vorgeen, das annimmt, man wüsste scon, was ier Tangenten sind, deren Steigung lediglic zu ermitteln ist, nennt man einen Zirkelscluss. So etwas muss auf jeden Fall vermieden werden. Würde man die Kenntnisse über Parabeltangenten vorer nict erarbeiten, müsste man selbst bei Parabeln erst die Steigung bestimmen, um damit Tangenten definieren zu können. Man begäbe sic damit aber der Absicerung des neuen Verfarens der Felerbereinigung. 12

13 Kommentar Die Aufgabe, alle zunäcst notwendigen Terme mit zum Verscwinden zu bringen, ist der Kern der Differenzialrecnung. Die einface Metode der Felerbeseitigung durc Subtraktion lässt sic stets bei den Sekantensteigungen der Form m(x, ) = Felerfrei(x) + Feler(x; ) anwenden. Dies trifft bei allen ganzrationalen Funktionen zu und deswegen genügt das einface Fortlassen des Felers für Klasse 10 vollauf. Aber das ist keine Sackgasse, sondern lässt sic sowol über Grenzwerte als auc mittels infinitesimaler Hilfszalen zur üblicen Analysis ausbauen. Denn nur die Begründungen, sic von den unerwünscten Termen mit zu befreien, sind jeweils anders, didaktisc untersceiden sie sic jedoc ereblic im Scwierigkeitsgrad für den Lernenden. Stunde 6: Anwendungsaufgaben Beispiel 1: (aus der offiziellen Handreicung des LISUM Berlin-Brandenburg 8 ) Ein Bergbaubetrieb fördert eine bestimmtes Mineral. Dieses wird zur Zeit auf dem Weltmarkt mit 10 Tausend e pro Tonne geandelt. Bei vollem Einsatz aller im Förderscact nutzbaren Mascinen und Arbeitskräfte beträgt die Kapazitätsgrenze der Anlage 18 t pro Tag. Die bei der Förderung täglic anfallenden Kosten lassen sic mit der folgenden Gleicung berecnen: k(x) = 0, 2x 3 4x x+6, mit x = täglice Fördermenge in Tonnen, y = k(x) = Kosten (in Tausend Euro). Die Einnamen errecnen sic bei einem Preis von 10 Tausend e / Tonne mit e(x) = 10 x. Somit ergibt sic für den Tagesgewinn g(x) als Tageseinnamen minus Tageskosten : g(x) = e(x) k(x) = 0, 2x 3 + 4x 2 12x 6. Aufgaben: a) Die Förderanlage kann eine Tagesförderung von 0 bis 18t erbringen. In welcem Bereic treten Verluste auf? b) Was ist für diese Anlage ungefär die optimale Fördermenge? c) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn der Anlage. d) In welcem Bereic wirkt sic eine Eröung der Fördermenge besonders stark aus? e) Wie könnte man die optimale Fördermenge bzw. den maximalen Gewinn berecnen, wenn die Gleicung der Ableitungsfunktion bekannt ist? f) Angenommen, der Weltmarktpreis fällt auf 3 Tausende pro Tonne. Die Kostenfunktion bleibt unverändert. Stellen Sie ierzu die Gewinnfunktion auf! Unter welcen Bedingungen ist dann noc Gewinn zu erwirtscaften, welce Fördermenge ist nun optimal? Hinweis: Stellen Sie den Grapen der Gewinnfunktion g er und beantworten Sie damit die Fragen a) bis d). Für e) und f) bestimmen Sie vorer zusätzlic die Gleicungen der Ableitungen g und g und zeicnen sie deren Grapen ebenfalls ein. Kommentar Mit Aufgaben wie dieser lässt sic die Relevanz der gelernten Metoden erfarbar macen. Man könnte sie aber auc vor diesem Analysiswissen zur Motivation der Suce nac Tangentensteigungen eranzieen. Interessant ist dabei die Frage, wie viel es dem Bergbaubetrieb bringt, wenn er die Scätzdaten aus dem Grapen von g mittels der Recnungen präzisiert. Auf jeden Fall bleibt rictig, dass einem Computer leicter das Recnen als das Scätzen beigebract werden kann. Das Bild auf Seite 14 ist eine Momentaufname einer dynamiscen Geogebraseite. Hiermit lassen sic für alle ganzrationalen Funktionen bis zum Grade 3 die Zusammenänge erleben, die zwiscen Sekanten und Tangente besteen. 8 Ganzrationale Funktionen Veränderungen mit Funktionen bescreiben; ttp://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin /bbb/unterrict/faecer/naturwissenscaften/matematik/hr_funktionen_22_02_2009.pdf 13

14 Scläft ein Lied in allen Dingen... (Eicendorf) Verbirgt sic eine Tangente in jeder Sekante! Wenn, wie im Beispiel, x eine Zeitgröße ist, betractet man die Kurven nict unter geometriscen Aspekten. Statt dessen interessiert die Veränderung der Funktionswerte mit fortlaufender Zeit. Daer sprict man statt von Steigung bei Kurven von der Änderungsrate für die Funktionswerte. Einer Sekantensteigung entsprict eine mittlere Änderungsrate, einer Tangentensteigung eine lokale Änderungsrate a = 0.2 b = 4 c = 12 d = 6 P Q 2 Q s1 s g = 0.7 g g Beispiel 2 (Freier Fall aus der Pysik): Ein wissbegieriger Mensc stet an einem Abgrund mit senkrect abfallenden Felsen. Er möcte erausbekommen, (a) wie tief der Abgrund ist und lässt dazu einen Stein in den Abgrund fallen. Er stoppt die Zeit, bis er den Aufsclag unten ört. Außerdem interessiert in, (b) mit welcer Gescwindigkeit der Stein unten ankommt. Zu (a): Der Mensc erinnert sic, dass ein fallender Stein etwa zen Meter in einer Sekunde zurücklegt. Weil er vier Sekunden gemessen at, berecnet er die Tiefe des Abgrundes zu vierzig Metern. Er scaut nocmals inunter und weiß, dass er sic geirrt aben muss, der freie Fall ist ja nict gleicförmig! Der Stein fällt nac und nac immer scneller. Nac welcer Gesetzmäßigkeit das vor sic get, at scon 14

15 GALILEO GALILEI ( ) experimentell untersuct und gefunden: s(t) = 5 m s 2 t2, geometrisc in einem t-s-system eine Parabel. Hierin ist t die Flugzeit vom Augenblick des Loslassens und s(t) die Länge des zugeörigen Fallweges. Mit diesem Gesetz erält er die rictige Tiefe zu s(4 s) = 5 16 m = 80 m. Zu (b): Würde der Stein in den 4s die 80m gleicförmig zurücklegen, so erielte man gemäß Gescwindigkeit = Weg / Zeit = 20 m/s. Geometrisc wird eine gleicförmige Bewegung von einer Geraden dargestellt; in diesem Fall von der Parabelsekante durc die beiden Punkte (0 ; 0) und (4 s ; 80 m). Der Wert 20 m/s ist also die Sekantensteigung, die Ortsänderung beträgt im Mittel 20 m/s (mittlere Änderungsrate), oder die Durcscnittsgescwindigkeit ist 20 m/s, denn ier werden Änderungsraten seit alters er mit Gescwindigkeit bezeicnet. Die Steigungsformel wird also mit anderen Bucstaben zur Formel für die Durcscnittsgescwindigkeit v(t ; t): 9 m(x; ) = f(x+) f(x) wird zu v(t; t) = s(t+ t) s(t) t Für den freien Fall erält man v(t; t) = 5 m (t+ t)2 t 2 s 2 t = 5 m 2t t+ t2 s 2 t = 5 m (2t+ t). Mit t = 0 s und t = 4s ergibt sic die obige Durcscnittsgescwindigkeit von 20 m/s. 2 Aber der Mensc möcte keine Durcscnittsgescwindigkeit sondern die Gescwindigkeit im Augenblick des Aufpralls. Bei einer solcen Momentangescwindigkeit v(t) tritt nun dasselbe Problem auf wie bei einer Tangentensteigung. Hier ist t das Kennzeicen für den Feler, der auftritt, weil man eine Durcscnittsgescwindigkeit berecnet at. Nun ist aber bereits bekannt, wie man den Feler beebt. Man erält v(t) = 5 m s 2 2t = 10 m s 2 t. Nac vier Sekunden beträgt also die Aufprallgescwindigkeit 40 m/s = 144 km/.. Stunde 7: Hilfen für Aufgaben, bei denen differenziert werden muss Im Beispiel 1 der Stunde 6 sollte die Ableitung der Funktion g, g(x) = e(x) k(x) = 0, 2x 3 + 4x 2 12x 6, gegeben sein. Eigentlic muss aber der Bearbeiter der Aufgabe über den Bergbaubetrieb diese Arbeit selbst erledigen. Damit für diesen tecniscen Teil nict unnötig viel Zeit investiert werden muss, sollen einige ilfreice Regeln zusammengestellt werden, so dass g (x) = 0, 6x 2 + 8x 12 direkt aus der Gleicung von g(x) abgelesen werden kann. Weil die Terme für ganzrationale Funktionen stets aus Summanden besteen, beginnt man mit der Summe f 1 + f 2 zweier Funktionen f 1 und f 2 und bearbeitet ein Stück weit die Steigungsformel für die Summenfunktion f. m(x; ) = f(x+) f(x) = ( f 1+ f 2 )(x+) ( f 1 + f 2 )(x) = f 1(x+)+ f 2 (x+) ( f 1 (x)+ f 2 )(x)) = f 1(x+) f 1 (x) Aus der letzten Zeile ist sofort ablesbar die + f 2(x+) f 2 (x) 9 t ist die Zeitspanne zwiscen den beiden notwendigen Zeiten t und t+ t. 15

16 Summenregel: Funktionssummanden können einzeln differenziert werden. Die Ableitung einer Summe ist gleic der Summe der Ableitungen. Jeder Summand einer ganzrationalen Funktion ist von der Form a x n, bestet also aus einem konstanten Faktor a und einem Funktionsterm, den man allgemein f(x) screibt. Analog wird für die näcste Regel ein Stück weit die Steigungsformel für die Funktion a f bearbeitet. m(x; ) = a f(x+) a f(x) = a f(x+) f(x) Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren eralten. Weil jede Differenz a b mittels des Faktors 1 in eine Summe verwandelt werden kann [ a b = a + ( 1)b ] und der Faktor 1 beim Differenzieren eralten bleibt, gilt die Summenregel auc für Funktionsdifferenzen. Eine Konstante a kann auc one einen Funktionsterm als einzelner Summand auftreten. Hier wird m(x; ) = a a = 0 Konstantenregel: Ein konstanter Summand verscwindet beim Differenzieren. Die biserigen Regeln nemen keinen Bezug auf die Form x n der Funktionsterme f(x). Sie gelten daer universell, nict nur für ganzrationale Funktionen, und das war der Grund für die Benutzung der allgemeinen Screibweise f(x). Nunmer soll für die Terme x n eine Regel erarbeitet werden, die spezifisc für ganzrationale Funktionen ist. Für jede natürlice Zal n ist x n die Abkürzung des Produkts aus n Faktoren x. Entsprecend ist(x+ ) n das Produkt aus n Klammern (x + ). Solce Binome werden multipliziert, indem jeder Summand mit jedem anderen multipliziert wird und diese Produkte wieder zu einer Summe zusammengefürt werden. Zum Beispiel ganz sytematisc (x+)(x+)(x+) = x 3 +(x 3 1 +x x+ x 3 1 )+(x 2 + x + 2 x)+ 3 = x 3 + 3x (3x+). An diesem Ergebnis ändert sic prinzipiell nicts, wenn statt nur 3 Faktoren nunmer n Faktoren betractet werden. (x+) n = x n + nx n (Restklammer mit x und ). Mit diesem Wissen kann man mit der Steigungsformel die Ableitung für alle Potenzen x n bestimmen. m(x; ) = (x+)n x n = xn + nx n (Restklammer mit x und ) x n = nxn (Restklammer mit x und ) = n x n 1 + (Restklammer mit x und ) Vom Feler-Summanden (Restklammer mit x und ) befreit erält man die Potenzregel: Die Potenz x n liefert beim Differenzieren die Ableitung n x n 1. 16

17 Diese vier Regeln erlauben es, jede ganz rationale Funktion rein formal zu differenzieren, indem man iren Funktionsterm einfac abliest und entsprecend umformt. g(x) = 0, 2x 3 + 4x 2 12x 6 = 0, 2 x x 2 12 x 6 g (x) = 0, 2 3x x 12 0 = 0, 6x 2 + 8x 12 g (x) = 1, 2x+8 g (x) = 1, 2 g (x) = 0 Diese Tecnik ist einfac und kostet kaum Zeit, so dass man sic dann auptsäclic auf die Interpretation für den Bergbaubetrieb konzentrieren kann. Stunde 8: Grenzen der biserigen Metode zum Differenzieren Voraussetzung für das Felerbeseitigungsverfaren ist, dass es sic nur um Summanden als Feler andelt. Ist es nict möglic, m(x, ) in diese Form zu bringen, kann das Verfaren nict mer benutzt werden. Dazu als Beispiel f(x) = x, m(x; ) = x+ x. 2 y Y P t 1 1 M O C X x 2 In diesem Fall kann man sic aber leict elfen. Die Funktion f : x x ist nämlic die Umkerfunktion zu x x oder, für y 0, y y 2, wenn man y := x definiert. Die Koordinaten eines Punktes P auf dem Grapen werden lediglic im ersten Fall von X aus über P nac Y gefunden und im zweiten Fall umgekert von Y aus über P nac X. Der Grap der Wurzelfunktion ist also eine (albe) Parabel. Diese besitzt in jedem Punkt eine Tangente t. Beim Steigungsdreieck werden lediglic Gegenkatete und Ankatete vertausct. Was die Maßzalen anget, bleibt alles unverändert. Man kann also ablesen: m(x) = PC 1 CM = 2 x = 1 x 2 x = f (x). Wenn man dieses Ergebnis auswendig gelernt at, kann man sofort die Ableitung z. B. an der Stelle 4 1 angeben:. Das get viel scneller als wenn erst eine Formelsammlung bemüt werden muss 2 4 = 1 4 (man vergleice mit der Abbildung). 17

18 Aber nun ein Beispiel, bei dem man nict auf eine bekannte Funktion zurückgreifen kann. Es soll sic zwar weiterin um Potenzen andeln, jedoc mit vertauscten Rollen von Basis und Exponent, statt x 2 also 2 x. Funktionen dieser Art eißen Exponentialfunktionen. Hier liefert die Steigungsformel m(x; ) = 2x+ 2 x = 2 x 2 1 Spätestens für solce Funktionen brauct man anstelle der Felerbereinigung eine neue Idee für den Umgang mit.. Stunde 9: Über die Ideen von NEWTON, LEIBNIZ und ROBINSON Grundlage für eine neue Idee ist folgende Überlegung: Wenn ic den Feler nict beseitigen kann, muss ic in so klein alten, dass er nict stört. Dieser Gedanke wird bis zum eutigen Tag von Ingenieuren wörtlic genutzt. Falls für ein neuartiges Problem noc keine matematisce Formel existiert, so berecnet man aus Messdaten (x i ; f(x i )) Sekantensteigungen. Wie dict die Messdaten gewält werden, ängt von den Anforderungen an die Genauigkeit ab. Man recnet dabei auf mer Stellen genau, als eigentlic gebrauct werden, und lässt anscließend überzälige Stellen fort. Felerbeaftete Ergebnisse befriedigen einen Matematiker jedoc grundsätzlic nict. NEWTON sprac desalb davon, die Formeln in dem Moment zu eralten, wenn die Feler gerade im Verscwinden begriffen sind 10. Für diesen scwammigen Begriff wurde er von der Kirce verönt, atte er doc die Klareit der Matematik veräctlic über das Unklare in der Religion eroben. LEIBNIZ ging von der Vorstellung aus, dass Feler nict mer stören, wenn sie unendlic klein oder infinitesimal sind. Was das aber präzise eißen soll, konnte er auf dem Stand der damaligen Matematik nict formulieren. Der intuitive Umgang mit dem Unendlicen bracte daer auc falsce Resultate zu Tage, sodass seine Idee scließlic nict mer verfolgt wurde. Dennoc wurde seine Infinitesimalrecnung ein Erfolg, vor allem wegen seiner ausgefeilten Screibweise mit Differenzialen, die durc ire Struktur elfen, zu rictigen Ergebnissen zu kommen. Erst 1961 at ROBINSON die Idee infinitesimaler Elemente in seiner Nonstandard-Analysis auf eine solide Basis gestellt. Von Ingenieuren inspiriert, mit denen er im Krieg zusammenarbeitete und die zunäcst mit einer größeren Zalenmenge arbeiten und anscließend das Ergebnis auf die geforderte Form bringen, kam er auf die Idee, den Körper R der reellen Zalen zu erweitern. In dieser Erweiterung konnte er zusätzlice infinitesimale Zalen unterbringen. Dabei ließ er sic von der LEIBNIZ-Idee leiten, dass die Recenregeln im Unendlicen mit denen im Endlicen übereinstimmen. Sein Ziel war also, den umfassenderen Körper R der yperreellen Zalen zu erfinden. Häufig wird angezweifelt, dass dieses Ziel überaupt erreict werden kann, weil der Körper der reellen Zalen doc vollständig (angeordnet) sei. Das bedeutet aber nur, dass die Wiederolung des Prozesses, 10 Diese Grundvorstellung wurde später mit dem Grenzwertbegriff präzisiert. 18

19 reelle Zalen aus den rationalen Zalen erzustellen, nict weiterfürt, wenn man von reellen Zalen ausget. Z. B. liefert die bekannte Intervallscactelung zur Frage der (positiven) Lösung von x 2 = 2 kein rationales Ergebnis und kann daer zur Definition der neuen Zal 2 genutzt werden. In R aber liefert jede Intervallscactelung bereits eine reelle Zal. Es kann also mit dieser Metode kein neues Objekt definiert werden. Damit ist aber nict gesagt, dass es keine andere Metode geben kann, die zusätzlice Zalen erzeugt. Man denke nur daran, wie bereits im 16. Jarundert zagaft die komplexen Zalen erfunden wurden. Man sucte nac Zalen, mit denen man auc Gleicungen der Art x = 0 lösen kann. Und die mutige Forderung, es möge wenigstens die Zal 1 geben, fürte bis zur eutigen (komplexen) Funktionenteorie. Stunde 10: Einfürung infinitesimaler yperreeller Zalen Abweicend von ROBINSONs Originalarbeit, die für die Scule viel zu scwierig ist, sollen ier auf einface Weise nur die infintesimalen Zalen eingefürt werden. Sie scaffen zugleic auc die endlicen oder finiten yperreellen Zalen und damit alles, was zum Differenzieren gebrauct wird. Wenn man mit LEIBNIZ an infinitesimale Zalen denkt, at man es mit einer Vorstellung von Zalen zu tun, die von den biser bekannten reellen Zalen grundsätzlic verscieden sind. Dennoc muss man mit inen recnen können und zwar zusammen mit den reellen Zalen nac deren Recenregeln. Jede dieser erträumten Zalen muss unendlic klein sein, d.. derart winzig, dass jede reelle Zal im Vergleic zu ir ein Riese ist. Ausgenommen die Null, die irer Größe nac natürlic nict zu unterbieten ist. Ganz entsprecend den Erfarungen mit den komplexen Zalen wird also gefordert: Es möge eine von Null versciedene Zal α 0 geben, die kleiner ist als jede positive reelle Zal und zugleic größer als jede negative reelle Zal. Alle Recenarten sollen auc zwiscen α 0 und einer reellen Zal nac den bekannten Regeln möglic sein. Ausgeend davon, dass die Existenz der waraftig winzigen neuen Zal α 0 gesicert ist, soll zunäcst das Recnen mit ir untersuct werden. Die erste Frage soll sein: Ist die mit einem (großen) reellen Faktor r vergrößerte Zal r α 0 immer noc infinitesimal oder aber bereits größer als eine angebbare reelle Zal s? (Eigentlic sollte das Produkt von unendlic klein mal endlic groß weiterin unendlic klein sein, sonst würde ja ein endlices Werkzeug das Unendlice zerstören können.) Die Argumentation erfolgt indirekt. Voraussetzung: x R + : x < α 0 < x. Beauptung: x R +, r R : x < r α 0 < x. Anname: Für r > 0 : s R + : s < r α 0. (Für r < 0 analog.) Folgerungen aus der Anname: s < r α 0 = (α 0 > r s r s R+ ) im Widerspruc zur Voraussetzung. Die Anname muss also falsc sein und daer die Beauptung rictig. Das bedeutet: Es gibt zu jeder reellen Zal r eine infinitesimale Zal, nämlic r α 0. D.. es gibt mit α 0 unendlic viele infinitesimale Zalen. Alle liegen sie in infinitesimaler Näe der Null, welce die einzige reelle Infinitesimalzal ist, weil auc sie sic zwiscen allen positiven und allen negativen reellen Zalen befindet. Die Null at sozusagen eine infinitesimal dünne Haut aus den neuen Zalen bekommen. Inneralb dieser Haut kann addiert und auc multipliziert werden. Summen und Produkte zweier infinitesimaler Zalen sind nämlic wieder infinitesimal. Denn seien α und β infinitesimale Zalen und z. B. 0 < α < β, dann ist α+β < 2β. Die Summe ist also kleiner als eine infinitesimale Zal, muss daer selbst auc infinitesimal sein. (Andere Konstellationen von α und β können analog beandelt werden.) 19

20 Weil α und β dem Betrage nac jeweils kleiner als 1 sind, ist der Betrag ires Produkts kleiner als jeder dieser (infinitesimalen) Faktoren und daer auc selbst infinitesimal. Die wictigsten Zalen für das Differenzieren sind Summen von zwei Summanden, einem reellen und einem infinitesimalen: r + α. Für : α = 0 sind sie also weder reell noc infinitesimal. Man nennt sie yperreelle Zalen, genauer finite yperreelle Zalen, weil sie in unmittelbarer (infinitesimaler) Näe der endlicen (finiten) Zal r liegen. Die finiten yperreellen Zalen besitzen eine entsceidende Eigenscaft: sie lassen sic nur auf eine einzige Weise als Summe r+α screiben. Wäre nämlic s + β eine zweite Screibweise für dieselbe Zal, dann müsste r + α = s + β gelten. Umgeformt ergibt sic daraus: r s = β α. Links stet dann eine reelle, rects eine infinitesimale Differenz. Es gibt aber nur die Zal 0, welce beide Eigenscaften auf sic vereint. Demnac muss r = s und β = α gelten, die beiden Darstellungen können sic nict untersceiden. Jede finite yperreelle Zal m besitzt also iren eigenen reellen Teil r und iren eigenen infinitesimalen Teil α, m = r+α. Hier lont sic der Vergleic mit der Zusammenfassung im Kommentar zur 5. Stunde: m(x, ) = Felerfrei(x)+Feler(x; ). Man erkennt, wie gut die Struktur der finiten yperreellen Zalen der Erfarung beim Differenzieren ganzrationaler Funktionen entsprict. Der entsceidende Vorteil der yperreellen Zalen bestet darin, dass jedes Ergebnis beim Differenzieren diese Form besitzen muss (sonst ist das Bestimmen einer Tangentensteigung oder einer lokalen Änderungsrate prinzipiell unmöglic). Das Eingangsbeispiel aus Stunde 5 zeigt, wie gering der Unterscied ist, wenn infinitesimale Abstände, = 0, benutzt werden: Man berecne zu f(x) = x 2 die Tangentensteigung an der Stelle 2,34 (vgl. Stunde 5). m(2, 34 ; ) = (2, 34+ )2 2, 34 2 = (2, , ) 2, 34 2 = 4, 68+. Bislang ieß es: Nimm der feleraften Sekantensteigung iren Feler weg! Nunmer: Nimm der yperreellen Sekantensteigung iren infinitesimalen Teil weg! Dem Herauspicken des felerfreien Anteils als Tangentensteigung entsprict also der Rückgang von m auf seinen reellen Teil. Es gibt desalb dafür auc eine Kurzscreibweise in algebraiscen Ausdrücken: RT(m) = RT(r+α) = r, wobei RT für reeller Teil von stet. Auc die üblicen reellen Zalen lassen sic als yperreelle deuten, nämlic als diejenigen, die mit irem reellen Teil übereinstimmen oder deren infinitesimaler Teil 0 ist. (Das entsprict dem Erkennen rationaler Zalen im Reellen an irer Dezimalperiodizität.) Daer sei nun auc das Beispiel 2 aus der 5. Stunde als Muster wiederolt. Gegeben sei also die Funktion dritten Grades mit f(x) = x 3 3x 2 x+3. Gesuct ist ire Ableitung f (x) für jede Stelle x. Äußerlic ändert sic gar nicts; es werden die Sekantensteigungen m(x, ) für = 0 berecnet. m(x, ) = f(x+) f(x) = ((x+)3 3(x+) 2 (x+)+3) (x 3 3x 2 x+ 3) = 3x2 + 3x x 3 2 = (3x 2 6x 1)+(3x+ 2 3) Innerlic aber wird alles yperreell interpretiert Das ist möglic, weil dieselbe Recenstruktur weiterin bestet. 20