Facharbeit über die Berechnung von Fässern mit Beweis bzw. Herleitung der Berechnungsformeln.

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1 Facarbeit über die Berecnung von Fässern mit Beweis bzw. Herleitung der Berecnungsformeln. erfaßt von Ing. Walter Hölubmer im ai 00 und ergänzt im Juni 00, Juni 00 und Dez. 009

2 Ein besonderer geometriscer Körper Ein besonderer geometriscer Körper Ein besonderer geometriscer Körper Parabolisces Faß Berecnung des paraboliscen Fasses Herleitung der Formel für die olumsberecnung eines paraboliscen Fasses Herleitung der Formel für die Oberfläcen- (antelfläcen-) berecnung eines paraboliscen Fasses Berecnung des nict onveen paraboliscen Fasses 5 Elliptisces Faß 5 Berecnung des elliptiscen Fasses 6 Herleitung der Formel für die olumsberecnung eines elliptiscen Fasses 7 Herleitung der Formel für die Oberfläcen- (antelfläcen-) berecnung eines elliptiscen Fasses 7 Berecnung des nict onveen elliptiscen Fasses 8 Herleitung der Formel für die olumsberecnung eines nict onveen elliptiscen Fasses 9 Herleitung der Formel für die Oberfläcen- (antelfläcen-) berecnung eines nict onveen elliptiscen Fasses 9 Sclußwort Kurzer Lebenslauf Es gibt zwei rten von Fässern: parabolisce Fässer und elliptisce Fässer. Im folgenden werden beide Typen beandelt. ls erstes beandeln wir das eer selten vorommende parabolisce Faß. Parabolisces Faß Die Wand von paraboliscen Fässern stellt eine Kurve dar, welce onform mit folgender allgemeinen Funtionsgleicung ist: f ( )= a + b+ c. Wir ennen vom Faß folgende Größen: die Höe, den inneren Radius (am Boden und am Decel meßbar) und den äußeren Radius (in der itte über den Umfang meßbar); Im folgenden vereinbaren wir entsprecende Formelbezeicner die Höe der innere Radius r der äußere Radius R Berecnung des paraboliscen Fasses Für unsere Berecnung betracten wir das Faß als Rotationsörper, der um die -cse rotiert, und durc die beiden Ordinaten, welce die Höe als bstand aben begrenzt ist. Daer ermitteln wir vorerst die Funtionsgleicung, welce mit unseren gegebenen Größen übereinstimmt. allgemein: f ( )= a + b+ c I: f II: f = r a + b + c= r r a b c r = + + = III: f ( 0) = R a * 0 + b * 0+ c= R von Ing. Walter Hölubmer Seite im ai 00, Juni 00 und Juni 00

3 Ein besonderer geometriscer Körper = ist; und aus dem ganzen folgt, daß us I und II folgt, daß b=0 ist, und aus III folgt, daß c R ( r R) ( R r) a = ; daer lautet unsere Funtionsgleicung: f ( ) = * + R weiters folgt aus der Funtionsgleicung die erste bleitung: 8( R r) f ( ) = * ; Herleitung der Formel für die olumsberecnung eines paraboliscen Fasses Für die olumsberecnung gilt: = π * ( ( )) f d ( R r) ( R r) ( R rr) + R d = π 6 8 = π * * 6 = π * ( R r) 8( R rr) R + C ; + R d Da die Stammfuntion ausscließlic ungerade Potenzen aufweist, wir im bestimmten Integral Scranen verwenden, welce sic nur durc das orzeicen untersceiden, ann dies damit vereinfact werden, daß einfac das Doppelte genommen wird; die Integrationsonstante fällt bei bestimmten Integralen immer weg; 5 ( R r) 8( R rr) 6 = π * + R * * * 5 8 = π * ( + ) ( ) R rr r R rr R + 0 ( + ) 0( ) R rr r R rr 5* R = π * = π * * + + = * * ( ( R rr r ) 0( R rr) 5R ) π ( 8R rr r ) π = * * R + rr+ r 5 ( 8 ) Herleitung der Formel für die Oberfläcen- (antelfläcen-) berecnung eines paraboliscen Fasses Für die antelfläcenberecnung gilt: = π * ( ) * + ( ( )) f f d Für die Oberfläcenberecnung gilt: = + r π 0,5* ( R r) 8( R r) = π * R * + + d O von Ing. Walter Hölubmer Seite im ai 00, Juni 00 und Juni 00

4 Ein besonderer geometriscer Körper 0,5* ( R r) ( ) 6 R r = π * R * + d + Da es sic ier um eine zusammengesetzte Funtion andelt, bestimmen wir zunäcst die Stammfuntion: f ( ) = a + b* + a Bestimmung der Stammfuntion ; mit = + + = f ( d ) a b * a d ( ) 8 R r a= und b= R ( ) * + + * + * a a d b a d Bestimmung des ersten Teilintegrals a * + a d= a * + d= a = a + ln ln C = a 8a a a a a = a + ln ln C = a 8a a 8a a a = a + + ln ln C = 8a a 8a a a a = arsin ( a) + C 8 6 a 6a Bestimmung des zweiten Teilintegrals ( b ) * + a d= ab * + d= a = ab * + + ln ln C = a a a a ab b ab b = + + ln ln( a) + C = + + arsin( a) + C a a a a a von Ing. Walter Hölubmer Seite im ai 00, Juni 00 und Juni 00

5 Ein besonderer geometriscer Körper Zusammenfürung der beiden Teilintegrale ( ) = + * + = f d a b a d a = arsin ( a) + ab + + b arsin ( a) + C + C 8 6 a 6a a a Jetzt fassen wir so weit wie möglic zusammen und ersetzen beide Integrationsonstanten durc eine. ( ) = + * + = f d a b a d ab a b ( ) = arsin a + C 8 6 a 6a a = + + = f ( d ) a b * a d + 8ab = ( 8ab a ) + + arsin ( a) + C 6 a 6a bzw. = + + = f ( d ) a b * a d 8ab a + 8ab = + a + arsin ( a) + C 6a 6a Jetzt setzen wir unsere Terme ( ) 8 R r a= und b R = ein: 0,5* ( R r) ( ) 6 R r = π * R * + d + ( R r) 6( ) R R r + 8( R r) = π * 6R( R r) + 8( R r) + arsin + C 0( R r) 0,5* Da die Stammfuntion ausscließlic ungerade Teilfuntionen aufweist, wir im bestimmten Integral Scranen verwenden, welce sic nur durc das orzeicen untersceiden, ann dies damit vereinfact werden, daß einfac das Doppelte genommen wird; die Integrationsonstante fällt bei bestimmten Integralen immer weg; R ( R r) 6( R r) 6R( R r) + ( R r) = π * + + arsin 8( R r) 8 0( R r) von Ing. Walter Hölubmer Seite im ai 00, Juni 00 und Juni 00

6 Ein besonderer geometriscer Körper ( R r) 6( R r) R ( R r) = π * R arsin ( R r) ( R r) 56( R r) = + r π O Im Folgenden beandeln wir das eer unüblice parabolisce Faß, deren Wand nict nac außen sondern nac innen gerümmt ist. Per definitionem werden solce Körper als nict onve bezeicnet. Berecnung des nict onveen paraboliscen Fasses Für unsere Berecnung betracten wir das Faß als Rotationsörper, der um die -cse rotiert, und durc die beiden Ordinaten, welce die Höe als bstand aben begrenzt ist. Daer ermitteln wir vorerst die Funtionsgleicung, welce mit unseren gegebenen Größen übereinstimmt. allgemein: f ( )= a + b+ c I: f II: f = r a + b + c= r r a b c r = + + = III: f ( 0) = R a * 0 + b * 0+ c= R = ist; und aus dem ganzen folgt, daß us I und II folgt, daß b=0 ist, und aus III folgt, daß c R ( r R) ( r R) a = ; daer lautet unsere Funtionsgleicung: f ( ) = * + R weiters folgt aus der Funtionsgleicung die erste bleitung: 8( r R) f ( ) = * ; Hier erennen wir, daß die Formeln des onveen paraboliscen Fasses auc für das nict onvee parabolisce Faß gelten, bis auf den Unterscied, daß R< r gilt. Im Folgenden beandeln wir das äufig vorommende elliptisce Faß, deren Berecnung, duc die Tatsace, daß auc der Kreis eine Rolle spielt, etwas omplizierter ist. Elliptisces Faß Die Wand von elliptiscen Fässern stellt einen Kreisbogen dar, welcer onform mit folgender allgemeinen Funtionsgleicung ist: f ( )= r. Wir ennen vom Faß folgende Größen: die Höe, den inneren Radius (am Boden und am Decel meßbar) und den äußeren Radius (in der itte über den Umfang meßbar); Zusätzlic zum paraboliscen Faß benötigen wir ier auc den Radius der Wandrümmung, welcen wir durc die anderen Größen ermitteln önnen. Weiters benötigen wir eine Größe, welce uns angibt, wieviel wir von der Kreisgleicung abzieen bzw. inzuaddieren müssen: es wird ier nict davon ausgegangen, daß das Faß eine Kugel mit abgescnittenen Kugelsegmenten ist - das wäre ein trivialer Spezialfall. ; von Ing. Walter Hölubmer Seite 5 im ai 00, Juni 00 und Juni 00

7 Ein besonderer geometriscer Körper Im folgenden vereinbaren wir entsprecende Formelbezeicner die Höe der innere Radius r der äußere Radius R die Differenzgröße d der Radius der Wandrümmung Berecnung des elliptiscen Fasses R Für unsere Berecnung betracten wir das Faß als Rotationsörper, der um die -cse rotiert, und durc die beiden Ordinaten, welce die Höe als bstand aben begrenzt ist. Daer ermitteln wir vorerst die Funtionsgleicung, welce mit unseren gegebenen Größen übereinstimmt. allgemein: f ( )= R + d I: f II: f = r R + d = r = r R d r + = III: f ( 0) = R R 0 + d = R us I und II folgt: R us III folgt: R + d = R = r rd + d Wir aben ier ein Gleicungssystem mit zwei Gleicungen in zwei ariablen, welces folgende Lösungen für d und R liefert: d = ( R+ r), R ( ) 8( R r) = R r + 8( R r) Bedingung für den Krümmungsradius Jetzt muß der Krümmungsradius allerdings eine Bedingung erfüllen: R > ( R r) + > ( R r) ( R r) + > 0 ( ( R r) ) > 0 ( R r) ( R r) > 0 > ( R r) Quod erat demonstrandum Wir betracten für unsere weiteren Berecnungen und Herleitungen die Funtionsgleicung: f ( )= R + d einfacer Handabbar wird. und substituieren erst am Scluß unsere Lösungen, soweit die Formel damit us der Funtionsgleicung folgt die erste bleitung: f ( ) = ; von Ing. Walter Hölubmer Seite 6 im ai 00, Juni 00 und Juni 00

8 Ein besonderer geometriscer Körper Herleitung der Formel für die olumsberecnung eines elliptiscen Fasses Für die olumsberecnung gilt: = π * ( ( )) f d ( ) π ( ) = π * R + d d = * + d R + R + d d d = π * + ( R + d ) + R + R arcsin + C R Da die Stammfuntion auc ier ausscließlic ungerade Teilfuntionen aufweist, wir im bestimmten Integral Scranen verwenden, welce sic nur durc das orzeicen untersceiden, ann dies damit vereinfact werden, daß einfac das Doppelte genommen wird; die Integrationsonstante fällt bei bestimmten Integralen immer weg; π * ( R d ) d = R + R arcsin R = π * + ( R + d ) + d R + dr arcsin( ) R mit d = ( R+ r), R ( ) 8( R r) = R r + 8( R r) ; 0,5* Herleitung der Formel für die Oberfläcen- (antelfläcen-) berecnung eines elliptiscen Fasses Für die antelfläcenberecnung gilt: = π * ( ) * + ( ( )) f f d Für die Oberfläcenberecnung gilt: = + r π O = π * ( R + d) + * d ( R d) = π * + * + d ( R d) = π * + * R + R d R = π * ( R + d) * d = π * dr + R d von Ing. Walter Hölubmer Seite 7 im ai 00, Juni 00 und Juni 00

9 Ein besonderer geometriscer Körper = π * R + dr arcsin + C R 0,5* Da die Stammfuntion auc ier ausscließlic ungerade Teilfuntionen aufweist, wir im bestimmten Integral Scranen verwenden, welce sic nur durc das orzeicen untersceiden, ann dies damit vereinfact werden, daß einfac das Doppelte genommen wird; die Integrationsonstante fällt bei bestimmten Integralen immer weg; = π * R + dr arcsin R = π * R + d arcsin R mit d = ( R+ r), R ( ) 8( R r) = R r + 8( R r) = + r π O Im Folgenden beandeln wir das eer unüblice elliptisce Faß, deren Wand nict nac außen sondern nac innen gerümmt ist. Per definitionem werden solce Körper als nict onve bezeicnet. Berecnung des nict onveen elliptiscen Fasses Für unsere Berecnung betracten wir das Faß als Rotationsörper, der um die -cse rotiert, und durc die beiden Ordinaten, welce die Höe als bstand aben begrenzt ist. Daer ermitteln wir vorerst die Funtionsgleicung, welce mit unseren gegebenen Größen übereinstimmt. allgemein: f ( )= R + d I: f II: f = r R + d = r r R d r = + = III: f ( 0) = R R 0 + d = R us I und II folgt: R us III folgt: R + d = R = d rd + r Wir aben ier ein Gleicungssystem mit zwei Gleicungen in zwei ariablen, welces folgende Lösungen für d und R liefert: d = ( r+ R) +, R ( ) 8( r R) = r R + 8( r R) Bedingung für den Krümmungsradius Jetzt muß der Krümmungsradius allerdings eine Bedingung erfüllen: R > von Ing. Walter Hölubmer Seite 8 im ai 00, Juni 00 und Juni 00

10 Ein besonderer geometriscer Körper ( r R) + > ( r R) ( r R ) + > 0 ( ( r R) ) > 0 ( r R) ( r R) > 0 > ( r R) Quod erat demonstrandum Wir betracten für unsere weiteren Berecnungen und Herleitungen die Funtionsgleicung: f ( )= R + d einfacer Handabbar wird. und substituieren erst am Scluß unsere Lösungen, soweit die Formel damit us der Funtionsgleicung folgt die erste bleitung: f ( ) = ; Herleitung der Formel für die olumsberecnung eines nict onveen elliptiscen Fasses Für die olumsberecnung gilt: = π * ( ( )) f d ( ) π ( ) = π * R + d d = * d R + R + d d d = π * + ( R + d ) R + R arcsin + C R Da die Stammfuntion auc ier ausscließlic ungerade Teilfuntionen aufweist, wir im bestimmten Integral Scranen verwenden, welce sic nur durc das orzeicen untersceiden, ann dies damit vereinfact werden, daß einfac das Doppelte genommen wird; die Integrationsonstante fällt bei bestimmten Integralen immer weg; π * ( R d ) d = + + R + R arcsin R π * = + ( R + d ) d R dr arcsin R mit d = ( r+ R) +, R ( ) 8( r R) = r R + 8( r R) ; 0,5* Herleitung der Formel für die Oberfläcen- (antelfläcen-) berecnung eines nict onveen elliptiscen Fasses Für die antelfläcenberecnung gilt: = π * ( ) * + ( ( )) f f d Für die Oberfläcenberecnung gilt: = + r π O von Ing. Walter Hölubmer Seite 9 im ai 00, Juni 00 und Juni 00

11 Ein besonderer geometriscer Körper = π * ( R + d) + * d ( R d) = π * + * + d ( R d) = π * + * R + d ( R d) R = π * + * d = π * dr R d = π * R + dr arcsin + C R 0,5* Da die Stammfuntion auc ier ausscließlic ungerade Teilfuntionen aufweist, wir im bestimmten Integral Scranen verwenden, welce sic nur durc das orzeicen untersceiden, ann dies damit vereinfact werden, daß einfac das Doppelte genommen wird; die Integrationsonstante fällt bei bestimmten Integralen immer weg; = π * R + dr arcsin R = π * R + d arcsin R mit d = ( r+ R) +, R ( ) 8( r R) = r R + 8( r R) = + r π O von Ing. Walter Hölubmer Seite 0 im ai 00, Juni 00 und Juni 00

12 Ein besonderer geometriscer Körper Sclußwort Hier aben wir geseen, wie ompliziert es sein ann, triviale Körper, welce wir im tägl. Leben beobacten, zu berecnen. Ein usblic für folgende Problemstellung, welce mit einem relativ einfacen erfaren berecnet werden ann: Ein Tan in Zylinderform liegt quer, man ennt die Höe (in diesem Fall Länge) und den Radius und soll an Hand eines eßstabes, welcer die Füllstandsöe anzeigt, bestimmen, wieviel im Tan ist. Kurzer Lebenslauf Geboren: utter: ater: 0. ugust 97 in Wien XIII; nna Hölubmer (Pensionistin), Walter Stettner (pensionierter Postbeamter); Grundscule: olsscule I in Griesircen von 98 bis 985; Gymnasium: Realgymnasium Bad Iscl (Internat im.. Semester des. Jarganges); Realgymnasium nton Brucnerstr. 6 in Wels von 986 bis 99 (bis zum. Semester des 7. Jarganges); Berufsausbildung bzw. Tecnisce Leranstalt: Höere Tecnisce Leranstalt f. ED und Organisation in Leonding von 99 bis 997 (scloß die HTL erfolgreic mit atura ab); Beruflicer Werdegang: seit 997 als Systemprogrammierer im Recenzentrum beim mt d. oö. Landesregierung; Ic erannte bereits wärend der Unterstufe im Gymnasium (. und. Jargang) mein Interesse und gleiczeitig auc meine Begabung in eine matematisce Rictung; mic interessierte scon damals der Lerstoff für die öeren Jargänge; borgte mir im. Jargang das atematibuc des. Jargangs aus, sowie dann im Laufe des. Jargangs, dann die Bücer der gesamten Oberstufe; Im 5. Jargang (Oberstufe) nam ic an der atemati-olympiade teil, belegte dort unter den Kursteilnemern den. Platz (. Platz war ein Scüler aus dem 7. Jargang und die weiteren Plätze belegten Scüler aus dem 6. Jargang). Da ic mic in der Freizeit neben der rbeit ser gerne mit matematiscen Knobeleien und Tüfteleien sowie auc Beweisen bescäftige, belegte ic in den Jaren 00 bis 006 neben der rbeit merere Kurse des Diplomstudiums der atemati mit Nebenfac Informati mit bsclußziel atematisce Systemanalyse an der Fernuniversität/Gesamtocscule Hagen (Nordrein-Westfalen, Deutscland). von Ing. Walter Hölubmer Seite im ai 00, Juni 00 und Juni 00