VII. Numerische Behandlung von Differentialgleichungen

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1 VII. Numerisce Beandlung von Differentialgleicungen 7.. Gewönlice Diff gleicungen erster Ordnung Aufgabe: Funtion nur implizit gegeben durc Bedingungen an die Ableitung????? Ableitung von nac in jedem möglicen Punt ist gegeben durc Funtion. Diff gleicungsproblem allgemein: Aus Bezieungen zwiscen den Änderungen Ableitungen und den Funtionswerten soll eine gesucte Funtion bestimmt werden!

2 7... Beispiel: Freier Fall Kugel wird aus Höe losgelassen zum Zeitpunt t mit Anfangsgescwindigeit v Erdbescleunigung g. ds v t s& t dt dv g v& t dt d s && s t. dt Diff gleicung für vt: v& t v t g Integration v t t v& τ dτ t gdτ gt;

3 Diff gleicung für st: s& t s t v t gt Integration s t t gτ dτ gt. Aus Anfangswerten t und und aus der Bedingung für die Ableitung wird die Funtion selbst bestimmt. In dieser einfacen Form eplizit lösbar durc Quadratur! Im Allgemeinen ev. Integral nict diret lösbar oder Diff gleicung ann nict auf Integral zurücgefürt werden

4 7... Definition: Anfangswertproblem AWP Aus Anfangswert und Differentialgleicung soll die Funtion für > bestimmt werden. Dabei ist die Diff gleicung ier in epliziter Form gegeben d.. in der Form:... Impliziter Fall:??? Beispiel implizit: *ep

5 7..3. Beispiel für eplizit lösbare Diff gleicung: α und Lösung durc Integration Separation d d α d d αdt α d ln ln α und daer e α

6 7..4. Geometrisce Problemstellung: Von einer Funtion sind alle möglicen Ableitungswerte an allen möglicen Stellen beannt also an allen potentiellen Funtionswerten Dies entsprict einem Vetorfeld von Tangentenrictungen Weiterin beannt ist der Funtionswert an einer Stelle. Gesuct: Kurve deren Tangenten in allen Punten dem vorgegebenen Vetorfeld entsprict:

7 Im Beispiel Freier Fall ist dieses Vetorfeld trivial: v& t g v t In der vt-ebene ist jede Tangentenrictung durc den Vetor v T gegeben also ier durc den Vetor -g T. Die Lösungsurve ist dann die Gerade mit Steigung -g durc den Nullpunt also vt-gt. v : Tangentenvetor T.

8 7..5. Das Eulerverfaren: Gegeben AWP Anfangswertproblem und Gesuct: für Wir wollen bei loal als lineare Funtion g betracten und einen leinen Scritt der Länge zu entlang dieser linearen Näerung geen. Dadurc erält man den Näerungswert g

9 Ersetze wieder Funtion loal durc Tangentengleicung! Dies ergibt die Iterationsvorscrift des Eulerverfarens Vorwärts-Euler: ; ; für... Der Einfaceit alber wälen wir die Scrittweite onstant muss aber nict sein.

10 Euler aus Integration: Betracte die Diff gleicung zwiscen den Stellen und : ] d d. aus Rectecregel indem die Fläce unter der Kurve angenäert wird durc die Fläce des Rectecs mit den Ecen und

11 Eulerverfaren aus Talorentwiclung : z Beannt sind mit Zwiscenstelle z. Der -Term ist lein und wird vernaclässigt Eulerverfaren. Euler aus der Disretisierung des Differentialquotienten: d d ergibt wieder das Eulerverfaren!

12 7..6. Verbesserte Verfaren: Rücwärts-Euler: Der Diff quotient ann natürlic mit derselben Berectigung angenäert werden durc d d Dies fürt zu der Vorscrift Im Unterscied zum einfacen Euler tauct ier die Unbeannte auc noc in der Funtion auf; das mact die Sace omplizierter.

13 Um zu eralten ist die Nullstelle einer Funtion zu bestimmen nämlic von f z z z Die berecnete Nullstelle z ist dann die näcste Näerung! z Solce Verfaren eißen implizite Verfaren im Gegensatz zum einfacen Eulerverfaren das ein eplizites Verfaren ist. Zur Bestimmung von ann man iterative Verfaren wie z.b. das Newtonverfaren verwenden.

14 Weitere Talorpolnom-Verfaren: Berücsictigung öerer Terme in der Talorentwiclung: 6 3 z mit Zwiscenstelle z. Hier tauct aber die unbeannte Ableitung auf. Sie ann berecnet werden aus d d d d d d Benötigt: Partielle Ableitungen Nacdifferenzieren Kettenregel

15 Also ] ] und damit Auf diese Art önnen beliebig oe Ableitungen der Lösungsfuntion an einer Stelle auf Ableitungen der Funtion zurücgefürt werden. Die näcste Iterierte erält man aus dem Anfang der Talorentwiclung an der letzten Stelle. Man sprict ier auc von Einscrittverfaren da stets Modifizierung: Runge-Kutta; vermeide öere Ableitungen.

16 Merscrittverfaren: Hier wird aus mereren scon berecneten Iterierten das näcste gewonnen also -m -. Solce Verfaren önnen ser einfac aus Quadraturregeln ergeleitet werden z.b. ] d d unter Verwendung der Mittelpuntsregel. Also

17 7..7. AWP für Diff gleicungen erster Ordnung im R n : Sei T n L Also T n n n T n L L mit vorgegebenem Startvetor T n L Lösung genauso durc Euler: n n n n n M M M

18 7..8. AWP für Diff gleicungen öerer Ordnung: Gegeben eine Bedingung für die j-te Ableitung der Funtion d d j j j j K Ψ mit Anfangswerten j j M M

19 Umformulieren in Diff gleicung erster Ordnung im R j : Definiere dazu Vetorfuntion u u... u j T und setze u : u : u j : j-. Damit eralten wir für u... u u u u u u u u u j j j j Ψ M M

20 mit Anfangsbedingungen j j j u u u M M M Eulerverfaren auf Vetor: u u u

21 7..9. Feleranalse: Start bei a Gesucter Wert b n Bei äquidistanter Einteilung ist Scrittweite : b-a/n Damit j j j...n Definition loaler Disretisierungsfeler: An der Stelle ist der loale Dis.-Feler gegeben durc also der Feler der in einem Scritt von nac entstet. ist dabei der eate Wert einer Lösung nict! e

22 Definition globaler Disretisierungsfeler: Für das AWP zur Bestimmung der Lösung an der Stelle b ist der globale Dis.-Feler gegeben durc b n Definition der Konvergenz: n Die durc unser Lösungsverfaren erzeugte Folge eißt onvergent wenn gilt b n lim n n g n

23 Wenn also in eater Aritmeti bei immer feineren Unterteilungen der Näerungswert gegen den eaten Wert onvergiert. Das bedeutet natürlic auc dass der globale Feler gegen geen muß!

24 An jeder Stelle treten neue loale Feler auf und addieren sic zum globalen Feler. Um insgesamt Konvergenz zu eralten muss also das Verfaren so sein dass - loal ein genügend leiner Feler entstet Konsistenz und - sic diese loalen Feler nur zu einem leinen globalen Feler aufsummieren Stabilität. Definition Konsistenz: Ein Verfaren eißt onsistent wenn der loale Disretisierungsfeler mindestens von der Ordnung ist also O

25 Ist p O mit p so eißt das Verfaren von der Ordnung p. Offensictlic ist das Eulerverfaren onsistent von Ordnung da gilt z mit einer Zwiscenstelle z. Zur Untersucung der Stabilität bescränen wir uns auf den linearen Spezialfall λ mit Lösung epλ

26 7... Stabilität bei Diff gleicungen im R n : Für die berecneten Näerungslösungen gilt beim Eulerver. auf und λ mit Lösung : e λ. λ λ λ λ λ λ Für λ > wird daer die Näerungslösung immer größer.

27 Für λ < get die Näerungslösung gegen. Stimmt dieses Veralten mit der tatsäclicen Lösung überein? Für die tatsäclice Lösung epλ gilt λ > λ < : : lim lim Im Fall λ > zeigen also eate und Näerungslösung dasselbe Veralten. Kritisc ist der Fall λ < : Die eate Lösung get gegen die Näerungslösung aber nur dann wenn λ < gilt d.. nur wenn < / λ

28 Dies ist die Stabilitätsbedingung die garantiert dass eine bescränte eate Lösung auc durc eine bescränte Näerungslösung approimiert wird und der globale Feler nict zu star anwacsen ann. Also ist für λ < das Eulerverfaren nur onvergent wenn die Scrittweite so gewält ist dass < / λ gilt! Füren wir dieselbe Untersucung für das implizite Rücwärts Euler Verfaren durc so erält man die Näerungslösungen von der Form λ

29 Im ritiscen Fall λ < gilt ier unabängig von lim lim λ Das implizite Eulerverfaren erfüllt für alle die Stabililtätsbedingung nämlic dass eate und Näerungslösung für λ < bescränt bleiben!

30 Beispiel -dim linear: A d d λ λ oder λ λ Dies entsprict zwei unabängigen Diff gleicungen die ier zusammen in vetorieller Form z.b. mittels Euler gelöst werden: λ λ λ λ

31 Die Stabilitätsbedingung ängt ier also von beiden λ s ab: < / λ i für i oder < min { / λ / λ } Gilt nun λ << λ < so wird die erlaubte Scrittweite bestimmt von λ also < / λ. Andererseits ist die dazugeörige Komponente in der Lösung const ep λ scon nac wenigen Scritten verscwindend lein und spielt dann für die eigentlice Lösung eine Rolle mer!

32 λ bestimmt dann also die Lösung nur in einem leinen Bereic die Scrittweite beim Eulerverfaren aber überall! Man sprict ier von steifen Diff.-gleicungen. Offensictlic ist in solcen Fällen das implizite Eulerverfaren wesentlic besser geeignet da es eine Einscränung der Scrittweite durc die λ i beinaltet.

33 7.. Anwendungsbeispiele: 7... Räuber-Beute-Modell Einfaces Modell das die Populationsänderung in einem Primitiv-Öosstem besteend aus genau einer Räuberspezies und einer Beutespezies bescreibt. Viele Räuber Beute nimmt ab Wenig Räuber Beute nimmt zu Viel Beute Räuber nemen zu Wenig Beute Räuber nemen ab

34 Änderung der Anzal Beutetiere t ist zum einen durc die Geburtenrate a proportional der Anzal Beutetiere und zum anderen fürt eine Begegnung eines Beutetiers mit einem Räuber t zu einer Verringerung mit Sterberate b: & t a b Andererseits eröt sic die Räuber-Geburtenrate durc viele Beutetiere wärend die Abname der Räuber von irer Sterberate d abängt: & t c d Man erält also zur Bescreibung der zeitlicen Änderung der Population von Räuber und Beute ein DGL-Sstem:

35 t d t t c t t t t für t t b t a t n & & mit Startwerten t und t Eulerverfaren mit Scrittweite τ liefert dafür die Formel: i i i i i i i i i i d c b a τ τ

36 Fipunte dieser Vetoriteration: d/c a/b Populationsverlauf: Parameter: a.3 b.5 c.5 d. Beute Räuber

37 7... Lorenzattrator: Diff gleicungssstem a 3 b c 3 3 aus Modell für Bescreibung der Luft-zirulation in der Erdatmospäre.

38 Wie bei der logistiscen Parabel eistieren zwei Attratoren zwiscen denen die Lösungsurve caotisc wecselt. Daer fürt eine minimale Änderung z.b. der Anfangsdaten dazu dass nac urzer Zeit die Lösung sic an einer völlig anderen Position befindet

39 Der Flügelsclag eines Scmetterlings in Cina genügt um nac einiger Zeit zu einer völlig anderen Lösung zu füren z.b. einen Sturm in Europa auszulösen. Daer ist es prinzipiell unmöglic über längeren Zeitraum eate Vorersagen zu gewinnen da leicteste Änderungen in den Anfangsdaten zu gänzlic anderem Lösungssveralten füren. Caotisces Veralten!

40 7..3. Beispiel für caotisces Veralten: Logistisce Parabel Iteration mit Startwert [] und Funtion Φ : 4 Vergleice Orbit bei Startwert mit Orbit für Startwert ^-6 Numerisces Ergebnis in MATLAB: liefert 44.9 und

41 Grund: Wiederolte Auslöscung Caos Sclect onditioniert Beispiel Wintersturm Lotar: Ignorieren eines Messwertes Falsce Wetterprognose