VII. Numerische Behandlung von Differentialgleichungen

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1 VII. Nmerisce Beadlg vo Differetialgleicge 7.. Gewölice Diff gleicge erster Ordg Afgabe: Ftio r implizit gegebe drc Bedigge a die Ableitg????? Ableitg vo ac i jedem möglice Pt ist gegebe drc Ftio. Diff gleicgsproblem allgemei: As Beziege zwisce de Äderge Ableitge d de Ftioswerte soll eie gescte Ftio bestimmt werde!

2 7... Beispiel: Freier Fall Kgel wird as Höe losgelasse zm Zeitpt t mit Afagsgescwidigeit v Erdbescleigg g. ds v t s& t dt dv g v& t dt d s && s t. dt Diff gleicg für vt: v& t v t g Itegratio v t t v& τ dτ t gdτ gt;

3 Diff gleicg für st: s& t s t v t gt Itegratio s t t gτ dτ gt. As Afagswerte t d d as der Bedigg für die Ableitg wird die Ftio selbst bestimmt. I dieser eiface Form eplizit lösbar drc Qadratr! Im Allgemeie ev. Itegral ict diret lösbar oder Diff gleicg a ict af Itegral zrücgefürt werde

4 7... Defiitio: Afagswertproblem AWP As Afagswert d Differetialgleicg soll die Ftio für > bestimmt werde. Dabei ist die Diff gleicg ier i epliziter Form gegebe d.. i der Form:... Impliziter Fall:??? Beispiel implizit: *ep

5 7..3. Beispiel für eplizit lösbare Diff gleicg: α d Lösg drc Itegratio Separatio d d α d d αdt α d l l α d daer e α

6 7..4. Geometrisce Problemstellg: Vo eier Ftio sid alle möglice Ableitgswerte a alle möglice Stelle beat also a alle potetielle Ftioswerte Dies etsprict eiem Vetorfeld vo Tageterictge Weiteri beat ist der Ftioswert a eier Stelle. Gesct: Krve dere Tagete i alle Pte dem vorgegebee Vetorfeld etsprict:

7 Im Beispiel Freier Fall ist dieses Vetorfeld trivial: v& t g v t I der vt-ebee ist jede Tageterictg drc de Vetor v T gegebe also ier drc de Vetor -g T. Die Lösgsrve ist da die Gerade mit Steigg -g drc de Nllpt also vt-gt. v : Tagetevetor T.

8 7..5. Das Elerverfare: Gegebe AWP Afagswertproblem d Gesct: für Wir wolle bei loal als lieare Ftio g betracte d eie leie Scritt der Läge z etlag dieser lieare Näerg gee. Dadrc erält ma de Näergswert g

9 Ersetze wieder Ftio loal drc Tagetegleicg! Dies ergibt die Iteratiosvorscrift des Elerverfares Vorwärts-Eler: ; ; für... Der Eifaceit alber wäle wir die Scrittweite ostat mss aber ict sei.

10 Eler as Itegratio: Betracte die Diff gleicg zwisce de Stelle d : ] d d. as Rectecregel idem die Fläce ter der Krve ageäert wird drc die Fläce des Rectecs mit de Ece d

11 Elerverfare as Taloretwiclg : z Beat sid mit Zwiscestelle z. Der -Term ist lei d wird veraclässigt Elerverfare. Eler as der Disretisierg des Differetialqotiete: d d ergibt wieder das Elerverfare!

12 7..6. Verbesserte Verfare: Rücwärts-Eler: Der Diff qotiet a atürlic mit derselbe Berectigg ageäert werde drc d d Dies fürt z der Vorscrift Im Uterscied zm eiface Eler tact ier die Ubeate ac oc i der Ftio af; das mact die Sace omplizierter.

13 Um z eralte ist die Nllstelle eier Ftio z bestimme ämlic vo f z z z Die berecete Nllstelle z ist da die äcste Näerg! z Solce Verfare eiße implizite Verfare im Gegesatz zm eiface Elerverfare das ei eplizites Verfare ist. Zr Bestimmg vo a ma iterative Verfare wie z.b. das Newtoverfare verwede.

14 Weitere Talorpolom-Verfare: Berücsictigg öerer Terme i der Taloretwiclg: 6 3 z mit Zwiscestelle z. Hier tact aber die beate Ableitg af. Sie a berecet werde as d d d d d d Beötigt: Partielle Ableitge Nacdiffereziere Ketteregel

15 Also ] ] d damit Af diese Art öe beliebig oe Ableitge der Lösgsftio a eier Stelle af Ableitge der Ftio zrücgefürt werde. Die äcste Iterierte erält ma as dem Afag der Taloretwiclg a der letzte Stelle. Ma sprict ier ac vo Eiscrittverfare da stets Modifizierg: Rge-Ktta; vermeide öere Ableitge.

16 Merscrittverfare: Hier wird as merere sco berecete Iterierte das äcste gewoe also -m -. Solce Verfare öe ser eifac as Qadratrregel ergeleitet werde z.b. ] d d ter Verwedg der Mittelptsregel. Also

17 7..7. AWP für Diff gleicge erster Ordg im R : Sei T L Also T T L L mit vorgegebeem Startvetor T L Lösg geaso drc Eler: M M M

18 7..8. AWP für Diff gleicge öerer Ordg: Gegebe eie Bedigg für die j-te Ableitg der Ftio d d j j j j K Ψ mit Afagswerte j j M M

19 Umformliere i Diff gleicg erster Ordg im R j : Defiiere daz Vetorftio... j T d setze : : j : j-. Damit eralte wir für... j j j j Ψ M M

20 mit Afagsbedigge j j j M M M Elerverfare af Vetor:

21 7..9. Feleraalse: Start bei a Gescter Wert b Bei äqidistater Eiteilg ist Scrittweite : b-a/ Damit j j j... Defiitio loaler Disretisiergsfeler: A der Stelle ist der loale Dis.-Feler gegebe drc also der Feler der i eiem Scritt vo ac etstet. ist dabei der eate Wert eier Lösg ict! e

22 Defiitio globaler Disretisiergsfeler: Für das AWP zr Bestimmg der Lösg a der Stelle b ist der globale Dis.-Feler gegebe drc b Defiitio der Kovergez: Die drc ser Lösgsverfare erzegte Folge eißt overget we gilt b lim g

23 We also i eater Aritmeti bei immer feiere Uterteilge der Näergswert gege de eate Wert overgiert. Das bedetet atürlic ac dass der globale Feler gege gee mß!

24 A jeder Stelle trete ee loale Feler af d addiere sic zm globale Feler. Um isgesamt Kovergez z eralte mss also das Verfare so sei dass - loal ei geüged leier Feler etstet Kosistez d - sic diese loale Feler r z eiem leie globale Feler afsmmiere Stabilität. Defiitio Kosistez: Ei Verfare eißt osistet we der loale Disretisiergsfeler midestes vo der Ordg ist also O

25 Ist p O mit p so eißt das Verfare vo der Ordg p. Offesictlic ist das Elerverfare osistet vo Ordg da gilt z mit eier Zwiscestelle z. Zr Uterscg der Stabilität bescräe wir s af de lieare Spezialfall λ mit Lösg epλ

26 7.3. Partielle Differetialgleicge Beispiel Diffsio: Die Strömg j ervorgerfe drc Dictetersciede - erfolgt i Rictg des egative Gradiete der Kozetratio j t D t Masseeraltg: Äderg der Kozetratio i eiem Volmeelemet a r drc Strömg erfolge t t div j j j j 3

27 D Zsamme: div t Im isotrope Fall ist D eie ostate Zal z.b. D: Δ t im zweidimesioale Fall; Δ eißt Laplace-Operator.

28 Eiteilg Partieller Diff gleicge: Gleicgewictsgl. elliptisce PDE: Δ Wärmeleitgsgl. parabolisce PDE: Δ t Wellegleicg perbolisce PDE: Δ tt f

29 Elliptisce PDE: Gegebe sid zsätzlic Radwerte. Also Δ f af Gebiet Ω d af Γ dem Rad vo Ω Ω Γ Parabolisce PDE: Gegebe sid Afags- d Radwerte. Also Δ t af Gebiet Ω d af Γ zm Zeitpt t Γ Γ d t vorgegebe af Γ dem Ω Rad vo Ω. t Γ

30 Lösgsmetode am Beispiel Laplacegleicg Δ f af Gebiet Ω d af Γ Differezeverfare: Ersetze Differetialqotiet drc Differezeqotiete. Das Gebiet Ω wird disretisiert d.. drc ei Ptegitter j j......m dargestellt: j j am eifacste äqidistat mit ostater Scrittweite.

31 -dimesioaler Fall: - f für a < < b av; bw; a.... i- i i. b d d i i i i d d i i i i i f i

32 ergibt lieares Gleicgssstem: b f f f a f M M L O O M O O O M O L Mase: [ - - ] I D: - Mase: etsprict Differezfilter -