Einführung in die Integralrechnung

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1 Ler-Olie.et Matematiportal Eifürug i die Itegralrecug Eifürug i die Itegralrecug Bestimme der Fläce uter der Kurve I de Naturwissescafte (z.b. i der Pysi) ist es macmal ötig, de Fläceialt zu ermittel, de ei Grap mit der -cse über eiem bestimmte Itervall eiscließt. Wir wolle us das a drei Beispiele verdeutlice: Gegebe seie die Futioe f, g ud mit f(), g() ud ()². Bestimme Sie für alle drei Futioe die Fläce uter der Kurve über dem Itervall [; ] ud gebe Sie dabei auftretede Probleme a. Begie wir mit der Futio f (rot). Würde wir davo die Fläce brauce, öte wir so vorgee: der Grap stellt zusamme mit de cse ud eier Parallele zur y-cse i ei Rectec dar. Die Fläce eies Recteces ergibt sic aus Breite mal Höe, also für das gegebee Itervall: f f De: ist die Breite des Itervalls, ud die Höe ist der Futioswert a dieser Stelle. Da die Futio ostat ist, ist auc f ostat. Wollte ma also die Fläce über dem Itervall [;], so würde ma rece. Soviel zu dieser Futio. Scaue wir us u die Futio g (blau) a. Es adelt sic ier um eie Ursprugsgerade. uc ier ist der Gedae, eie Parallele zur y-cse i als Begrezug zu verwede, sodass ei Dreiec etstee würde. Für de Fläceialt eies Dreiecs gilt, dass er gleic der Hälfte der Grudseite mal der Höe ist, i eier Formel also: c g( ) g c uc ier ist ict wirlic vo eier Scwierigeit zu sprece. We ma das Itervall vo ebe immt, würde sic ergebe: 8. Soweit, so gut. Komme wir u aber zur Futio (grü): für die Normalparabel gibt es eie Fläceberecugsformel, öcstes i eiem Tafelwer. Wir öe aber sco mal eie Vermutug aufstelle. Biser atte wir folgedes festgestellt: f() g() We ma als Futio see würde, fällt etwas auf: leitet ma ab, so erält ma die usgagsfutio: ' ' Usere Vermutug öte also dai gee, dass die abgeleitete Formel für die Fläce gleic ist mit der usgagsfutio. llerdigs öe wir oc ict wirlic vo Sicereit sprece, solage wir ur zwei - vielleict zufällig - futioierede Beispiele gefude abe. Uter- ud Obersumme Wir brauce also eie Pla B. We wir sco die gegebee Fläce ict oe weiteres berece öe, versuce wir doc zumidest eie lterative: f g - by Kevi Kaatz Seite vo

2 Ler-Olie.et Matematiportal Eifürug i die Itegralrecug - by Kevi Kaatz Seite vo Gedae: Wir teile die Fläce i Rectece ei, dere Fläceialt wir problemlos berece ud da addiere öe. Die Summe diet da als Näerugswert für die gesucte Fläce. Diesmal mace wir das aber zuerst am orete Beispiel. Wieder eme wir das Itervall [;]. Usere Kästce solle eie Breite vo eier Lägeeieit ( LE) abe. Die Höe wird dem Futioswert a der etsprecede Stelle agepasst. I der Zeicug eret ma bereits, dass wir zuäcst mit zwei Kästce arbeite (bzw. geau geomme mit drei, das erste [;] at lediglic die Höe ()², ist daer ict sictbar). Das erste sictbare Kästce at die Breite LE ud die Höe ()² LE. Der Fläceialt beträgt damit FE LE LE (FE: Fläceeieit). Das zweite sictbare Kästce at wieder die Breite LE, diesmal aber die Höe ()² LE. Die Fläce ist somit FE LE LE. Die Summe der beide Kästcefläce beträgt FEFEFE. Das ist somit user erster Näerugswert. Da wir die Kästce uter dem Grape agebract abe, et ma dieses Verfare Ermittlug der Utersumme. Hätte wir die Kästce über de Grape gee lasse, würde wir mit der Obersumme arbeite. Nu ist dieses Verfare ict wirlic geau, da bereits im Grape ersictlic ist, dass eie ser große Fläce eifac ict mit berecet wurde, usere Näerug also wesetlic zu lei sei wird. User Ziel ist es aber, möglicst geau zu bestimme, wie groß die Fläce tatsäclic ist. Dazu gee wir älic vor wie ebe, verriger aber diesmal die Kästcebreite auf, damit wir mer Kästce abe ud die ict mit berecete Fläce geriger wird. Es gilt da: FE 8 7 Warum diese umfagreice Recug? Gaz eifac: usere äcste Näerug wird ser geau werde, ud dazu ist die Recug obe ei guter Erlärasatz. Diesmal sei usere Kästcebreite, wobei gege uedlic strebe soll, damit uedlic viele Kästce etstee.

3 Ler-Olie.et Matematiportal Eifürug i die Itegralrecug - by Kevi Kaatz Seite vo Da wir ict wisse, wie viele Summade wir abe, abe ic sie durc abgeürzt. Das Ede der Reie ist aber i jedem Falle beat: es ist der Kerwert der Kästcebreite (), multipliziert mit der obere Itervallgreze, also im Beispiel. Da wir aber die ict ilusive abe wolle, müsse wir davo abziee. Das Ede der Reie ist also:. Wir abe das bereits bei gesee (also als die Kästcebreite, war):, bis dai gig ja auc die Recug. Wir sclussfolger somit: Die Frage lautet: brigt us das irgedwie weiter? Hier müsse wir tatsäclic auf eie Formelsammlug zurücgreife (der Beweis wäre ier zu umfagreic): Für alle atürlice Zale gilt: Damit wäre user Problem sco gelöst: wir sage eifac, dass ist, ud screibe: Die letzte beide Terme strebe gege Null, da gege uedlic strebt. Es bleibt ur oc die 9 übrig. Es adelt sic dabei um de gesucte Fläceialt über dem Itervall [;].

4 Ler-Olie.et Matematiportal Eifürug i die Itegralrecug - by Kevi Kaatz Seite vo Wolle wir u see, ob wir das ict verallgemeier öe. Statt zu setze, rece wir eifac mit weiter: Nacdem wir das jetzt gezeigt abe, scaue wir us doc mal a, was abgeleitet ergibt:! Usere Vermutug at sic also auc ier bestätigt. Wir werde ict weiter a dieser Stelle darauf eigee, ud eifac ieme, dass gilt: Zur Berecug eies Fläceialtes beötigt ma die ufleitug der usgagsfutio f(). Diese et ma eie Stammfutio F() der usgagsfutio f(). Itegral ud Fläceialt berece Zur Fläceberecug bedarf es so geate Itegrale, das sid die uedlic viele Kästce, die ma zusammeaddiert. Ei Itegral a über eiem gegebee Itervall berecet werde. Sei f() die usgagsfutio ud das zu bestimmede Itegral über dem Itervall [a;b], da screibt ma formal: [ ] b a b a F() ()d f Zur Erläuterug: das lag gezogee S am fag et sic Itegralzeice. Darüber ud daruter stee die Itervallgreze, obe die Obere (b), ute die Utere (a). Daac ommt die zu itegrierede Futio f(), gefolgt vo d. Das ist ict etwa ei Produt aus eiem oc ubeate Fator d ud der Variable, soder eifac eie Screibweise, die festlegt, ac welcer Variable itegriert werde soll. Nac dem Gleiceitszeice ommt da i ecige Klammer die Stammfutio. der recte ecige Klammer stee ocmals die Itervallgreze a ud b. Ei Beispiel soll dies verdeutlice: Gegebe sei die Futio f(). Es soll das Itegral über dem Itervall [;] otiert werde: [ ] d

5 Ler-Olie.et Matematiportal Eifürug i die Itegralrecug Wie berecet ma u aber das Itegral? Nicts eifacer als das: es gilt: b a f()d b [ F() ] F(b) F(a) a Bezieugsweise für user Beispiel vo ebe: d [ ] Ma setzt also erst die Obergreze i die Stammfutio ei ud ziet da davo die Stammfutio mit der eigesetzte Utergreze ab. Betracte wir eie Soderfall: es soll das Itegral der Futio f()³ über dem Itervall [-;] bestimmt werde: ( ) d ( ) Das Itegral a also durcaus auc Null sei. llerdigs utzt ma das Itegral doc auc zur Fläceberecug, ud eie Fläce zwisce Grape ud -cse bei der Futio über diesem Itervall sollte doc ict Null sei. Das at eie simple Grud: die Futio at a der Stelle eie Nullstelle ud sie ist symmetrisc. Das bedeutet oret: lis vo der y-cse befidet sic die egative Fläce, rects davo die positive, vom Betrage er gleic große Fläce. Würde ma beide addiere, äme isgesamt Null eraus. Zur Fläceberecug mere wir us also: Bevor ma die Fläce zwisce Grap ud -cse berece a, muss ma erst erausfide, ob Nullstelle im Itervall liege. Ist das der Fall, müsse die Beträge aller Itegrale über de Itervalle vo der eie Nullstelle zur äcste bzw. zur Itervallgreze addiert werde. Was für ei Satz! Scaue wir us das lieber a eiem pratisce Beispiel a: es bleibt bei f()³ ud dem Itervall [-;]. Die Nullstelle liegt bei. Wir ermittel zuerst das Itegral über dem Itervall [-;]: ( ) d ( ) Nu zum Itegral über [;]: ( ) d Die Gesamtfläce ist die Summe der beide Teilfläce, also: Gesamt Wir mere us: Soll eie Fläce berecet werde, utzt ma immer de Betrag des Itegrals, damit ei positiver Wert für die Fläce erausommt. Eiige Futioe ud ire Stammfutioe Wir werde us eiige gägige Futioe ud ire Stammfutioe asee, damit wir us zum eie de Begriff der Stammfutio ocmals erscließe ud ebebei auc eie leie Übug abe. - by Kevi Kaatz Seite vo

6 Ler-Olie.et Matematiportal Eifürug i die Itegralrecug f() F() f() F() e l() r e l r r l weduge der Itegralrecug Wie bereits weiter obe agedeutet, ist es macmal isbesodere für die Naturwissescafte iteressat, die Fläce uter der Kurve zu ermittel. Scaue wir us dazu das Beispiel der eletrisce Ladug a. Diese ist i der Pysi wie folgt defiiert: dq I dt dq Idt Gee wir der Eifaceit davo aus, dass die Stromstäre ostat beträgt. Wir see us da die Ladugsveräderug ieralb dieses Zeititervalls [;] a: Q Q dq Idt [Q] Q Q Q Q [I t] Q C t t I t ( t t ) Q I Q I t Q s s Q s t t I t Ma eret dort auc oc mal de Si vo (obe bezeicet als) d: auf der lie Seite der Gleicug gig es um die Variable Q, auf der Recte um die Zeit t. Daer stet lis dq ud rects Idt, um zu zeige, was itegriert werde soll. Ei letztes Beispiel oc: die rbeit i der Pysi ist folgedermaße defiiert: W Fds Neme wir die Strece vo Kilometer bis Kilometer 7 i Wegrictug bei eier Kraft F vo,n: 7m W Fds m 7m [ F s],n 7m,N m 7.J.J 7.J m - by Kevi Kaatz Seite vo