Taylorentwicklung. Manfred Hörz. Polynomfunktionen sind sehr leicht zu differenzieren und zu integrieren und sind wieder Polynomfunktionen: k a k

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1 Tayloretwiclug Mafred Hörz Die Liearombiatio vo Potezfutioe et ma Polyomfutioe oder gazratioale Futioe P ( : P (=a +a +a +...+a = a, heißt der Grad der Polyomfutio, a die Koeffiziete der Polyomfutio. Beispiel : P (= ist eie Polyomfutio 3. Grades mit ratioale Koeffiziete. Beispiel : s(t= a t +v t+s ist eie Polyomfutio. Grades mit reelle Koeffiziete, die die Bewegugsgleichug (Weg-Zeit-Futio für gleichmäßige Bewegugsabläufe (etwa freier Fall i der Nähe der Erdoberfläche agibt. Polyomfutioe sid sehr leicht zu differeziere ud zu itegriere ud sid wieder Polyomfutioe: P ' ( =a + a a = P (=c+a + a a + a + = + a + +c Eie Polyomfutio -te Grades ist durch ihre Koeffiziete eideutig festgelegt. Ma öte sie also auch als +-dimesioale Vetor bzgl. der Basis {,,,..., } darstelle: (. Die Koeffiziete sid wiederum durch die Ableituge P a der Stelle ud gewisse (blau geschriebee Zahle gegebe, die durch das Ableite etstehe. P (=(a a a a Beispiel : P (= P (=P ( (= P ' ( = +4 +( 3 P ' ( = P ' ' (=4 +( 3 P ' ' ( = 8 =4

2 P ' ' ' ( =( 3 P ' ' ' ( 3 =. Ma eret hier im Neer die Faultät. Isgesamt hat ma = P (! = P ' (! 4= P ' ' (! = P ' ' ' ( 3!, sodass das Polyom auch i der Form P (= P(! + P ' ( + P ' ' ( + P ' ' ' (!! 3! 3 3 = P ( ( geschriebe werde a. Das Erstauliche ist u, dass ma beliebige Futioe mit geüged hohe Ableituge durch solche eifache Polyome aäher a. Beispiel: f ( =si( ist uedlich oft differezierbar. f ' ( =cos( f ' ' (= si ( f ' ' ' (= cos( f (4 (=si(,... Ich bilde u das Polyom. Grades ud das Polyom 3. Grades als Näheruge der Siusfutio um die Stelle : f ( ( =si (+cos( = 3 f ( ( =si (+cos( si( cos( 6 3 = 6 3 Das Polyom 5.Grades schmiegt sich och besser a: 3 f ( ( =si (+cos( si( cos( si( cos( 5 =

3 Sei f : I R R eie Futio aus C + (d.h. + mal stetig differezierbar, da heißt das Polyom T f = f ( ( ( das -te Taylorpolyom vo f a der Etwiclugsstelle. Ma sagt, dass die Futio f bis zur -te Ordug durch das Taylorpolyom etwicelt (epaded wurde. Dabei gilt für alle I ud jede beliebige Etwiclugsstelle I f ( = f ( ( ( ( z! f (+ ( zdz (* Dabei heißt das Itegral das itegrale Restglied R f, das agibt wie sehr sich die Futio f vo dem Polyom uterscheidet. Ist f C ud overgiert die Folge vo Taylorpolyome gege f (, so heißt die Reihe f ( ( ( für f f (= ( ( ( die Taylorreihe vo f. Ist = so et ma die Reihe auch Maclauri-Reihe. Beweis vo (* über vollst. Idutio: ( + ( z! Das ist der Hauptsatz der Differezial-ud Itegralrechug. IA: = f (= f ( (! f ' ( zdz f ( = f ( + f ' (zdz. IS: + : IV: IB: f (= + f ( ( f (= f ( ( ( ( z + (+! ( ( z! f (+ ( zdz f (+ ( zdz Beweis: Das Itegral der IB wird über die partielle Itegratio umgeschriebe: ( z + (+! f (+ ' (zdz=[ ( z+ (+! f (+ ( (+( z f z] (+ ( zdz= (+!

4 = ( z! f (+ ( zdz ( + (+! f (+ ( ud auf das Itegral die IV agewadt. Also gilt + f ( ( ( ( z + (+! f (+ ( zdz= + f ( ( = ( ( + (+! f (+ ( + ( z (! f ( + ( zdz= IV = f ( ( ( ( z (! f (+ ( zdz= IV f ( we die beide erste Terme (schwarz ud blau zur leiere Summe zusammegefasst werde. Bemerug: Die Taylorreihe muss erstes icht für jede Futio overgiere, (bspw. icht für l a der Stelle ud zweites, falls sie das tut, icht gege f overgiere ( bspw. f (={ e a der Etwiclugsstelle. Für die übliche Futioe der Physi tut = sie das aber im Allgemeie. Philosophische Bemerug: Es besteht eie gewisse Ählicheit zwische dem Verhältis vo ratioale Zahle zu irratioale auf der eie Seite ud dem Verhältis vo Taylorpolyome zu de traszedete Futioe wie bspw. die trigoometrische oder die Epoetialfutio. Die irratioale Zahle sid im Allgemeie geometrisch defiiert so ählich wie auch die trigoometrische Futioe. Ma ähert die irratioale Zahle über ratioale a, idem ach eier Dezimalstelle abgebroche wird ebeso wie ma traszedete Futioe über Polyomfutioe, also ratioale, aähert. Es solle och die wichtigste ud eifachste traszedete Futioe mit ihre Taylorpolyome a der Etwiclugsstelle = agegebe werde (MacLauri-Reihe: si = = ( + (+! für alle cos = = ( (! für alle e = = für alle Ud für de Logarithmus a der Etwiclugsstelle = : l =( ( + ( = ( + ( = für alle ],]

5 Besoders schö ist, dass die Etwicluge auch für Futioe mit mehrerer Variable möglich sid. Es solle Futioe mit zwei uabhägige Variable, y betrachtet werde. Sei f :G R R, wobei G ei Gebiet sei soll. Die Etwiclug vo f bis zum Taylorpolyom. Grades a der Stelle (, y : f (, y f (, y + f (, y ( y y + ( y y ( H f (, y ( y y, wobei der Gradiet ud H f die Hessematri ist (also das Aalogo des Gradiete für die. Ableituge oder ausgeschriebe: f (, y f (, y +( (, y y (, y ( y y + ( (( y y f (, y f y (, y f y (, y f y (, y ( y y Beispiel: f (, y=si( si( y a der Etwiclugsstelle (, ud (π /, π /. Zuächst die Ableituge: =cos(si( y f =si( cos( y y f = si (si ( y f = si (si ( y y Gradiet vo f ist f = ( cos( si( y si( cos( y ud H f =( a (,: f (, y + ( ( y + ( y(( f y = =cos( cos( y, sodass der y si( si ( y cos ( cos( cos( cos( y si (si ( y ( y = ( y( y =y=t f (, Gradiet ist Null. Hessedetermiate ist egativ (-. Hier liegt also ei Sattelput vor.

6 b (π /, π /: f (, y + ( ( π/ y π/ + π ( y π/(( ( π/ y π/ = = ( π/ ( y π/ =T f (π/,π/ Gradiet ist Null, Hessedetermiate ist positiv (, also Etremput. Weiter ist (π/,π /= <. Hier liegt also ei loales Maimum. Bemerug: Approimiert ma die Futio f durch das Taylorpolyom. Grades, so et ma dieses Taylorpolyom auch die Schmiegequadri vo f. Ist die Futio f eie Futio mit mehrere Variable, so ist ihre Schmiegequadri folgede: T f = f ( + f ( T ( + ( T (H f ( ( Dabei ist ( f ( =( ud ( H f ( =( f ( ( oder f ( ( die Matrizemultipliatioe ausgerechet f ( f ( + = ( ( + i, = f i ( ( i i (

7 Beispiel: f (, y, z= + y e z = f = f y = f z = f z = f z y =e z f y = y =ez f y = z = y ez H f =( e z e z ye z f (, y,z f (, y, z + ( +e z ( y y + y e z (z z + z = y e z f T =(, e z, y e z f y z =ez + ( ( +( ( y y +( (z z + ( y y ( + ( y y +e z ( y y (z z + +( z z ( +e z (z z ( y y + y e z ( z z Speziell für die Etwiclugsstelle (, y, z =(,, : f (, y, z + e+( +e ( y + e (z + (e ( y ( z +e (z ( y + e(z f (, y,z +e z( y+z +e. oder für de Ursprug: f (, y,z + y+y z Das -te Taylorpolyom vo f = f (,..., a der Etwiclugsstelle uter de etsprechede Voraussetzuge ist: T f = f ( + + 3! i, j, = +! i,..., i = i= i ( ( i i +! i, j = 3 f i j ( ( i i ( j j ( f i... i ( ( i i...( i i f i j ( ( i i ( j j + Für die Variatiosrechug: Bezeichet das Differezial d die ifiitesimale Äderug des Wertes, so bezeichet df die damit eihergehede ifiitesimale Äderug des Futioswertes f ( : df = f (+d f (. Ist f eie Futio i mehrere Veräderliche f (,...,,t ud erfahre die Koordiate eie ifiitesimale Äderug d,...,d,dt, so ist die etsprechede Äderug der Futioswertes df = f ( +d,..., +d,t+dt f (,...,,t= d d + t dt.

8 Im Uterschied zu eier wirliche, physialische (zeitliche Äderug, versteht ma uter eier Äderug, die die Zeit fest lässt, eie virtuelle Äderug. Dadurch ist dt= ud die Äderug des Futioswertes schreibt ma ach Lagrage mit δ f sowie die etsprechede Koordiateäderuge mit δ,...,δ. Somit ergibt sich etspreched: δ f = f ( +δ,... +δ,t f (,...,,t= δ δ. Ma et de Ausdruc δ f = δ δ die erste Variatio der Futio. Ma a auch die ifiitesimale Elemete δ i durch edliche ausdrüce: δ i =ϵa i, wobei a i die Richtugsosius sid ud ϵ eie positive Zahl, die ma gege Null strebe lässt. Ma hat da δ f = ϵ a ϵa =ϵ( a a oder δ f ϵ = a a die Äderugsrate der Futio i die gegebee Richtug, durch die Richtugsosius ausgedrüct. We die Futio eie statioäre Wert hat, so muss die Äderugsrate i jeder Richtug Null sei, also muss gelte a a = für alle Richtuge (a,..., a (ud also auch δ f =. Da müsse die Koeffiziete auch alle Null sei: =. Umgeehrt ist =, da ist δ f = ud auch die Äderugsrate i jede Richtug Null. Also ist = oder δ f = hireiched ud otwedig für eie statioäre Wert vo f. Die zweite Variatio der Futio ist δ f :=ϵ f a i, = i i a Weise:. Ma erhält dies auf folgede f ( y= f ( y,..., y = f ( +ϵa,..., +ϵa y = =(,..., mit ϵ=. f ( y werde a der Stelle y durch das Taylorpolyom. Grades approimiert: f ( y f ( y + = ( y y ( y y + i, = f y i y ( y ( y i y i ( y y.

9 Aufgrud der Ketteregel gilt = d ( +ϵa = y d y ud f = y i y i, sodass wege y y = +ϵ a =ϵa gilt f ( y f ( y = ( ϵa + i, = f i ( ϵa i ϵa oder f ( y f ( y ϵ = ( a + ϵ i, = f i ( a i a ud da f ( y f ( y = f ( +ϵa,..., +ϵa f (,..., =δ f gilt weiter δ f ϵ = ( a + ϵ i, = f i ( a i a We u eie statioäre Stelle ist, da ist =,also fällt der erste Summad weg ud es bleibt auf der rechte Seite f ϵ (a i, = i i a übrig. Für sehr leie ϵ öe die höhere als die. Glieder (die ja i 3. ud höherer Potez vo ϵ voromme ohehi verachlässigt werde. Es bleibt also die Variatio i zweiter Potez erhalte ud die wird mit δ f bezeichet: δ f =ϵ f (a i, = i i a Ist u zusätzlich δ f > für alle Richtuge a=(a,..., a, da ist f ( +ϵ a,..., +ϵa f (,..., > ud muss mithi eie loale Miimumstelle sei. Ist zusätzlich δ f < für alle Richtuge a=(a,..., a, da ist f ( +ϵ a,..., +ϵa f (,..., < ud muss eie loale Maimumstelle sei. Das Vorzeiche der zweite Variatio liefert also ei Kriterium für die Art des Etremum, vorausgesetzt, dass δ f i jeder Richtug. Es ist jedoch icht immer otwedig, die zweite Variatio zu bemühe, falls aufgrud des Problems lar ist, dass etwa ei Miimum vorliege muss. Da reicht die statioäre Stelle aus.