6. Kommentar zu den von Musil notierten Formeln zu Grenzwerten

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1 Fraz Gustav Kollma: Traskriptio ud Kommetare zu de vo Musil im "Register -Heft otierte Formel. Kommetar zu de vo Musil otierte Formel zu Grezwerte. Akademie der Wisseschafte ud der Literatur Maiz (Hrsg.), 207. URN: ur:b:de:0238-musil-formel-6-grezwerte_4. Dieser Beitrag erscheit uter der Lizez Creative-Commos Attributio 4.0 (CC-BY). 6. Kommetar zu de vo Musil otierte Formel zu Grezwerte 6.. Grudlage Bei Grezwerte wird zwische Grezwerte vo Folge ud vo Fuktioe uterschiede. Eie uedliche Folge { a } besteht aus uedlich viele reelle Zahle, die Elemete der Folge heiße. Jedes eizele Glied a eier uedliche Folge wird eideutig durch seie Ide gekezeichet. Für eie uedliche Folge. Für eie durchläuft der Ide die Mege N der atürliche Zahle ( ) uedliche Folge ka dere Grezwert a ermittelt werde, sofer er eistiert. Da Musil i Heft 37 Register ur Grezwerte vo Fuktioe otiert hat, werde i diesem Kommetar Grezwerte vo Folge icht behadelt. Nach»Brostei«, S. 53, Abschitt gilt folgede Defiitio. Es sei eie Fuktio f ( ) i eier Umgebug eier Stelle Stelle Fraz Gustav Kollma Müche = a defiiert, evetuell mit Ausahme der = a. Da immt die Fuktio a dieser Stelle de Grezwert A a, der mit ( ) f = A a bezeichet wird, we es ach Vorgabe eier beliebig kleie positive Zahl ε eie zweite positive Zahl η derart gibt, dass für alle mit a < η f ( ) A < ε gilt. I der Mathematik kommt es häufig vor, dass der Defiitiosbereich der Fuktio ubeschräkt ist, d. h. dass die zulässige Werte vo i dem Bereich liege. Da eistiert für der Grezwert ( ) f = A we für eie beliebig kleie Zahl ε eie positive Zahl N derart agebe lässt, dass für beliebige > N

2 ( ) A ε < f < A + ε gilt. Eie etsprechede Defiitio des Grezwerts lässt sich agebe für. Regel vo L Hospital Bei der Berechug vo Grezwerte köe ubestimmte Ausdrücke der Form 0, ud 0 vorkomme. Da führt häufig die Regel vo L Hospital (vgl. 0»Brostei«, S. 56, Abschitt Abschitt 2) zum Erfolg. Sie wird für die Fälle vo Ausdrücke der Form 0 0 ud agegebe. Es sei mit gegebee Fuktioe f wie folgt defiiert ϕ ( ) ud ( ) ( ) f ϕ = ψ ψ eie Fuktio ( ) ( ) ( ) Ferer seie dϕ dψ ϕ = ud ψ = d d die erste Ableituge der Fuktioe ϕ ( ) ud ( ) ψ. We a der Stelle = a die Fuktio f ( ) durch Bildug des Grezwertes Ausdrücke der ubestimmte Form ( ) ( ) ϕ a 0 f ( ) = = oder a ψ 0 a liefert, da ka der Grezwert wie folgt berechet werde. ( ) f a = ϕ a ψ a ( ) ( ) (GA-) Es ist erforderlich, dass ψ ( a) 0 ist. Der Prozess ach (GA-) heißt Awedug der Regel vo L Hospital. Sofer sich gemäß (GA-) immer och ei ubestimmter Ausdruck ergibt, wird der Prozess der Regel vo L Hospital durch Bildug der zweite, Vgl. zum Begriff der Ableitug Abschitt 7. zum Kapitel Differezialquotiete dieses Kommetars. 2

3 dritte, -te Ableituge so lage fortgesetzt, bis sich ei bestimmter Ausdruck ergibt. 6.2 Logarithme Es sei b > 0 b eie beliebige reelle Zahl. Der Logarithmus eier positive reelle Zahl > 0 zur Basis b wird mit log b : = a bezeichet. Nach»Brostei«, S. 9, (.8a) gilt a b = (GA-2) ud ach»brostei«, S. 9, (.8b) ergibt sich der Logarithmus der Zahl zur Basis b. log b = a (GA-3) I der Mathematik gibt es zwei sehr häufig agewedete Base ud diese spezielle Base zugeordete Logarithme. Dekadische Logarithme mit der Basis b = 0. Für sie wird ach»brostei«, S. 9, (.2) vereifached geschriebe log0 = lg Da Musil keie Formel mit dekadische Logarithme otiert hat, wird auf diese hier icht weiter eigegage. Natürliche Logarithme mit der Basis e = 2, Die Zahl e ist irratioal ud heißt Eulersche Zahl. Der atürliche Logarithmus eier positive reelle Zahl wird mit l bezeichet. log e = l (GA-4) Bei Musil komme etweder atürliche Logarithme oder Logarithme zu eier beliebige Basis b vor. Musil verwedet für die atürliche Logarithme ei großes geschwugees L. Diese Schreibweise ist ugebräuchlich ud ka i der Traskriptio icht dargestellt werde. Diese Schreibweise fidet sich bei dem bekate Mathematiker Oskar Schlömilch 2 (823-90) 2 Oskar Schlömilch, Hadbuch der Differezial- ud Itegralrechug, Erster Theil, Greifswald, 847, S. XI ud ders. Compedium der Höhere Aalysis, Brauschweig, 853, S. 2 3

4 Wichtig sid folgede Recheregel für Logarithme mit beliebiger Basis b, s.»brostei«, S. 9, (.8c) mit (.9b). logb = 0 für log 0 = b b > für b < ( ) log y = log + log y (GA-5) b b b logb logb logb y y = (GA-6) Die Umrechug vo Logarithme zur Basis b i Logarithme zur Basis a erfolgt ach»brostei«, S. 9, (.20) gemäß logb loga = M log b mit M : log a = = log a (GA-7) b Die Größe M wird auch als Trasformatiosmodul bezeichet. 6.3 Formel vo Musil b Musil gibt zuächst eiige allgemeie Formel für die Berechug vo Grezwerte a. Soda folge Formel für spezielle Grezwerte Allgemeie Formel I de Formel (G-) mit (G-9) gibt Musil eiige allgemeie Formel zur Berechug vo Grezwerte a. Allerdigs ist seie Schreibweise mathematisch icht präzise. Formel (G-): Behauptug: ( ) Φ ± Ψ = Φ ± Ψ = Φ ± Ψ (G-) Bemerkug: I (G-) bleibt offe, ob es sich bei de Größe 4 Φ ud Ψ um Glieder eier Folge oder aber um Fuktioe (dere uabhägige Variable icht agegebe wird) hadelt. Da Musil ab Gl. (G-8) ausschließlich Grezwerte vo Fuktioe behadelt, wird

5 vermutet, dass es sich auch bei de vorstehed aufgeführte Größe icht um Glieder vo Folge soder um Fuktioe hadelt. Weiter gibt Musil icht a, a welcher Stelle (z. B. = a ) die Grezwerte berechet werde solle. Der Ide ist hierfür icht aussagefähig. Die vo Musil agegebee Reihefolge ist isofer icht sivoll, als die Größe Φ ud Ψ die ermittelte Grezwerte sid, die logischer Weise am Ede der Formel stehe müsse. Nachweis: Richtig lautet daher die Gl. (G-) ach»brostei«, S. 55, (2.22) wie folgt. wobei die Beziehuge ( ) ( ) ( ) ( ) Φ ± Ψ = Φ ± Ψ = Φ ± Ψ, a a a ( ) ( ) Φ = Φ ud Ψ = Ψ a a gelte. Bei de Formel (G-2) bis (G-7) erfolge die Richtigstelluge im obige Si kommetarlos. Formel (G-2): Behauptug: ( ) Φ Ψ = ΦΨ = Φ Ψ Richtigstellug: ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Φ Ψ = Φ Ψ = Φ Ψ a a a Nachweis:»Brostei«, S. 55, (2.23) 5

6 Formel (G-3): Behauptug: Φ Φ Φ = = Ψ Ψ Ψ Richtigstellug: ( ) ( ) ( ) ( ) Φ Φ a Φ = = a Ψ Ψ Ψ a Nachweis:»Brostei«, S. 55, (2.24) mit der Voraussetzug, dass ( ) Formel (G-4): Behauptug: cφ = c Φ Richtigstellug: Ψ 0 ist. a ( ) ( ) c Φ = c Φ a a Nachweis: Folgt direkt aus»brostei«, S. 55, (2.2) mit ( ) Ψ = c ud c = cost. Zwischebemerkug: Es ist zweckmäßig, zuächst die Formel (G-8) ud (G-9) zu kommetiere ud aschließed die Formel (G-5) mit (G-7). De diese sid Spezialfälle vo (G9). Formel (G8-): Die Formel (G-8) ist keie eigestädige Formel soder eie Voraussetzug für (G- 9). 6

7 Formel (G-9): Behauptug: Es sei z = f ϕ ( ) Fuktio der uabhägige Variable. Ferer sei y = f ( z) Fuktio eier Variable z, die ihrerseits eie Fuktio z = ϕ ( ) der uabhägige Variable ist. Ferer sei die Fuktio ( ) = stetig ud besitze dort de Grezwert ( ) ϕ ( ) ϕ a der Stelle ϕ = = z (G-8) Schließlich sei die Fuktio f ( z) a der Stelle z Grezwert f z z z ( ) = f ( z ) = z stetig ud besitze dort de Da gilt f ( z) = f ϕ ( ) z z (G-9) Nachweis: aufgerufe am , 0:0 Formel (G-0): Behauptug: f ϕ ( ) f ϕ ( ) = Nachweis: Adere Schreibweise vo (G-9), wobei die Defiitio ϕ( ) = z verwedet wird. Bemerkug: Die Aussage vo Gl. (G-0) hat Musil wie folgt verbalisiert: Der Limes eier Fuktio = Fuktio des Limes. Dies muss wie folgt präzisiert werde: 7

8 Es sei eie Fuktio f ( z ) eier Variable z gegebe, die ihrerseits Fuktio ( ) z = ϕ eier weitere Variable ist. Uter de Voraussetzuge, dass der Grezwert z = ϕ ( ) = Φ eistiert ud die Fuktio ( ) f z a der Stelle z = z stetig ist, ka der Grezwert der Fuktio ( ) des Grezwertes ϕ ( ) = Φ berechet werde. f z a der Stelle z z = als Fuktio f ( Φ ) Formel (G-5): Behauptug: log = Φ = log Φ b b ϕ = Nachweis: Spezialfall vo Formel (G-9) mit ( ) log b Formel (G-6): Behauptug: Ψ ( Φ ) = ( Φ ) Ψ Nachweis: Spezialfall vo Formel (G-9) mit ( ) ( ) z = ϕ ψ Formel (G-7): Behauptug: Φ We = a ist, da gilt Ψ Φ = Ψ a Nachweis: Eifache Umkehrug vo Formel (G-3) 8

9 6.3.2 Spezielle Grezwerte Vorbemerkug zu de Formel (G-) ud Formel (G-2) : Zuächst werde die Formel (G-2) betrachtet, weil sich Formel (G-) aus (G-2) herleite lässt. Formel (G-2) : Behauptug: a + = ep a ± Es werde die beide folgede Fälle uterschiede, wobei N =, 2, der atürliche Zahle ist. Fall : a N die Mege Fall 2:, a N Nachweis für Fall : Diese Formel fidet sich z. B. i aufgerufe am , 0:0 Es wird och agemerkt, dass (D-2) für alle reelle Werte der Größe a ud damit für egative Werte vo a<0 gültig ist. Beweis vo Fall 2: Setze a = b. Da folgt aus der Behauptug für a b + epa = = = = = b b ep( b) 9

10 Formel (G-2) 2 : Behauptug. = 0 l ( + ) Awedug der Regel (GA-) vo L Hospital liefert mit der Ableitug des atürliche Logarithmus d l = d ud der Ketteregel (DA-7) (vgl. hierzu Abschitt 5..3) = = 0 l( + ) 0 + Formel (G-): Behauptug: + = e ± Nachweis: Diese Formel ergibt sich als Soderfall für a = aus Formel (G-2). Formel (G-3) : Behauptug: 0 ( a ) / + = epa Die Substitutio : z = liefert 0

11 ( ) a + a = + = epa 0 z z wobei Formel (G-2) berücksichtigt wurde. Formel (G-3) 2 : Behauptug: z b = lb 0 Nach Formel (GA-2) ud (GA-3) lässt sich darstelle als ( epl ) ep ( l ) b b b b mit Hilfe des atürliche Logarithmus = = () Der eigetliche Beweis erfolgt mit der Regel (GA-) vo L Hospital. Für ihre Awedug werde die Ableitug (DA-9) (vgl. Abschitt 5..3) der Epoetialfuktio ep ud die Ketteregel (DA-7) beötigt. Durch Eisetze vo () i die Behauptug ud darauf folgeder Awedug der Regel (GA-) vo L Hospital ergibt sich ( b) b ( b) b ep l l ep l = = = lb Formel (G-4) : Behauptug: logb ( + a) a = lb Zuächst wird der Logarithmus zur Basis b mit Hilfe vo Gl. (GA-7) i de etsprechede atürliche Logarithmus umgerechet.

12 ( + a) l logb ( + a) = lb Damit wird aus der Behauptug ( + a) ( + a) logb l = 0 0 lb Als ächstes wird die Regel vo L Hospital agewedet. Dazu wird die Ableitug des Zählers beötigt, die hier ohe Beweis mitgeteilt wird [vgl. hierzu Kommetar zu Formel (D-25) ] ( + ) d l a a = () d + a Die Awedug der Regel (GA-) vo L Hospital liefert schließlich a l( + a) a = + a = 0 lb 0 lb lb Formel (G-4) 2 : Behauptug: = 0 ep Um die Regel (GA-) vo L Hospital awede zu köe, wird die Ableitug der Fuktio ep beötigt. Mit (DA-9) ud (GA-) folgt = = 0 ep 0 ep 2

13 Formel (G-5) : Behauptug: 0 log b ( + ) = lb Zuächst wird mit (GA-7) der im Neer stehede Logarithmus zur Basis b auf de atürliche Logarithmus umgerechet. ( + ) l logb ( + ) = lb Damit immt die like Seite der Behauptug folgede Form a ( ) 0 0 b ( lb) ( ) = log + l + () Auf () wird die Regel vo L Hospital agewedet, wobei für die Ableitug des Neers Gl. () aus dem Beweis vo Formel (G-4) mit a = agewedet wird ( + ) d l = (2) d Aus () ud (2) folgt mit der Regel vo L Hospital ( lb) ( ) lb = = = lb 0 log ( ) 0 l 0 b Damit ist (G-5) bewiese. Formel (G-5) 2 : Behauptug: ( ) m + = m 0 3

14 m Setze z : = +. Die Ableitug vo z, wobei z eie beliebige reelle Zahl ist, ergibt sich ach»brostei«, S. 396, Tabelle 6. zu dz dz m m = mz () Die Ableitug ach wird mit Hilfe der Ketteregel»Brostei«, S. 397, (6.9) berechet d ( + ) d m ( ) = m + m Damit folgt ach der Regel (GA-) vo L Hospital m ( + ) m ( + ) 0 0 Formel (G-6) : Behauptug: m = = m ( + ) l = 0 Setze i Formel (G-4) b = e (Übergag vo dem Logarithmus zur Basis b zum atürliche Logarithmus) ud a = ud erhalte uter Beachtug vo le = die Behauptug. Formel (G-6) 2 : Behauptug: k = 0! Die Zahl muss eie atürliche Zahl sei, da sost die Fakultät! icht auf elemetare Weise gemäß (AH-4) defiiert werde ka. Ferer wird vorausgesetzt, 4

15 dass 0 < k < eie beschräkte positive Zahl ist Diese Voraussetzug fehlt bei Musil. Es sid 3 Fälle zu uterscheide: Fall : 0 < k < Setze k = / s. Da ist die Zahl s > ud daher verschwidet bereits der Zähler der Behauptug für ud erst recht der Gesamtausdruck der Behauptug, da! () Für Fall ist daher die Behauptug korrekt. Fall 2: k = Die Behauptug ist trivial. De für k = gilt für de Zähler = ud für de Neer ach ()! Fall 3: k > Zuächst wird gezeigt, dass der Grezwert icht mit Hilfe der Regel vo L Hospital berechet werde ka. Gemäß der Defiitio (AH-4) der Fakultät! gilt mit»brostei«, S. 395, (6.5) d! ( )! d = (2) Weiter gilt ( l ) k = ep k (3) Mit»Brostei«, S. 396, Tabelle 6. folgt dk lk ep( lk ) k lk d = = (4) Mit de Gl. (2) ud (4) liefert die Regel (GA-) vo L Hospital 5

16 k k lk =!! ( ) (5) Beim Grezübergag liefert Gl. (5) also ach wie vor eie ubestimmte Ausdruck der Form. Die Awedug der Regel vo L`Hospital ka beliebig oft fortgesetzt werde, ohe dass sich dieses Ergebis ädert. Abhilfe schafft die Formel vo Stirlig,»Brostei«, S. 479, (8.07b), welche eie für > 0 gültige Näherug der Fakultät liefert! 2π e (6) Das Zeiche bedeutet ugefähr gleich. Für wird aus Gl. (6) folgede asymptotische Näherug 3 gewoe, weil die Brüche i der Klammer gege Null gehe! 2π = ep ( ) 2π e (7) Dabei ist die Umformug auf der rechte Seite vo (7) eakt. Weiter gilt ( l ) = ep Damit wird aus Gl. (7) ( ) π = ( )! ep 2 ep l 2π (8) Durch Eisetze der Gl. (3) ud (8) i die Behauptug folgt ( + ) k ep lk l = (9)! 2π Das Verhalte des Grezwertes i (9) hägt vom Vorzeiche des Epoetialausdrucks im Zähler ab. Für Werte l k + > l > 0 ist das Vorzeiche des Epoete positiv. Diese Bedigug ist äquivalet mit ek >. Da k > voraussetzugsgemäß eie edliche Zahl ist, kehrt sich mit awachsedem das Vorzeiche des Epoete im Zähler vo (9) um ud es wird egativ ( k ) l + l < 0 ud daher geht bereits die Epoetialfuktio im Zähler für epoetiell gege 0. 3 Eie asymptotische Näherug eier Fuktio f() verhält sich für Werte M, wobei M eie festgelegte positive reelle Zahl ist, wie die Fuktio f(). 6

17 Dieses Verhalte wird durch de über alle Greze awachsede Neer verstärkt, womit die Richtigkeit vo (G-6) für alle zulässige Werte 0 < k < bestätigt ist. Zusammefassug Die Behauptug gilt für beliebige Werte 0 Formel (G-7) : Behauptug: < k < der reelle positive Zahl k. si = 0 Der Beweis erfolgt am eifachste mit der Regel (GA-) vo L Hospital. Nach»Brostei«, S. 396, Tabelle 6. gilt d si d = cos () ud d d = (2) Awedug der Regel (GA-) vo L Hospital ud aschließedes Eisetze vo Gl. () ud (2) führt auf si cos = (3) 0 0 Da ach»brostei«, S. 79, Tabelle 2.3 cos0 = ist, ergibt sich aus Gl. (3) die Behauptug. Formel (G-7) 2 : Behauptug: δ 0 ( δ ) µ + = µ δ 7

18 Der Grezwert wird mit Hilfe der Regel (GA-) vo L Hospital berechet. Der Zähler der Behauptug wird gleich z ( δ ) : ( δ ) µ = + () gesetzt. Mit der Ketteregel der Differetialrechug [vgl.»brostei«, S.397, (6.9)] ud»brostei«, S. 396, Tabelle 6., Spalte ud 2, Zeile 3 ergibt sich aus () dz µ = µ ( + δ ) (2) dδ Nach»Brostei«, S. 396, Tabelle 6. ist dδ dδ = ud daher folgt aus der Regel (GA-) vo L Hospital durch Eisetze vo () ud (2) ( + δ ) µ ( + δ ) δ µ µ δ 0 δ 0 Formel (G-8): Behauptug: = = µ ta = 0 Er erfolgt mit Hilfe der Regel (GA-) vo L Hospital. Aus»Brostei«, S. 396, Tabelle 6. wird etomme d ta π = für ( 2k + ) k =,2,3, () d 2 cos 2 Die i Gl. () ausgeschlossee Werte vo werde beim Grezübergag 0 icht ageomme. Da ach»brostei«, S. 79, Tabelle 2.3 cos0 = ist, folgt mit de Gl. (GA-) ud () die Behauptug. 8