6. Differentialrechnung in mehreren Variablen

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1 6. Grudbegriffe 6 6. Differetialrechug i mehrere Variable 6. Grudbegriffe I diesem Abschitt werde reelle Fuktioe i Variable betrachtet, d.s. Fuktioe f: D R mit D R, welche jedem Vektor (,..., vo Eiflussgröße eie Fuktioswert y f ( f (,..., als Zielgröße zuorde. Im Fall schreibe wir zumeist z f(,y ud köe f als Fläche im Raum veraschauliche. Beispiele: Druck eies ideale Gases p(t,v RT/V als Fuktio der (absolute Temperatur T ud des Volumes V Gesamtwiderstad i eiem Wechselstromkreis R ges (R,R L, R C R + (R L R C mit ohmschem Widerstad R, iduktivem Widerstad R L ud kapazitivem Widerstad R C Produktiosfuktio P(A,K ca α K α i Abhägigkeit vo de Produktiosfaktore Arbeit A ud Kapital K (c,α kostat, < α < Nachfragefuktio ach eiem Wirtschaftsgut A N + f (p, p, p c + cp + c p cp als lieare Fuktio der Preise p, p, p dreier Güter A, B, C Ferer ist z.b. 4 y f (,, a + b + c + eie Polyomfuktio vom Grad 7 ud z f(,y 4 + 9y eie quadratische Polyomfuktio. d

2 6. Grudbegriffe 6 Aalog zu de Fuktioe i eier Variable sid die Begriffe des Grezwerts ud der Stetigkeit erklärt: Die Fuktio f besitzt a der Stelle de Grezwert c, i Zeiche lim f ( c, we zu jedem ε > ei δ > eistiert, sodass < δ f ( c < ε für alle D,. Die Fuktio f ist stetig i, falls lim f ( f (, d.h., we der agegebee Grezwert eistiert ud mit dem Fuktioswert a der Stelle übereistimmt. A die Stelle der gewöhliche Ableitug eier Fuktio i eier Variable trete im Fall mehrerer Variabler die partielle Ableituge. Gegebe sei die Fuktio z f(,y ud ei fester Pukt (,y D. Betrachte wir für festes y y die Fuktio f(,y i der eie Variable ud bilde dere Ableitug i f ( + h f ( f lim ( f (, h h so et ma diese Grezwert falls er eistiert die partielle Ableitug vo f ach a der Stelle (,y. Die partielle Ableitug f ist somit die Ableitug der partielle Fuktio f(,y ud ka geometrisch als Astieg der Tagete t a die Schittkurve der Fläche z f(,y mit der Ebee y y iterpretiert werde (siehe Abbildug. Aalog ist die partielle Ableitug vo f ach y gemäß defiiert. f ( + h f ( f lim ( f y (, h h y z t z f(,y (,y t y Die beide Tagete t ud t i der Abbildug spae die Tagetialebee a die Fläche z f(,y im Pukt (,y auf, dere Gleichug durch gegebe ist. t(,y f(,y + f (,y ( + f y (,y (y y

3 6. Grudbegriffe 6 Ferer besitzt die Fuktio f(,y vier partielle Ableituge zweiter Ordug, ämlich f f f f f f f f f, f y, f y, f yy, y y y y y y y wobei die gemischte Ableituge f y ud f y (im Fall ihrer Stetigkeit zusammefalle. Etspreched sid auch alle weitere Ableituge höherer Ordug defiiert, daruter acht partielle Ableituge dritter Ordug, usw. Beispiel: Für z f(,y + y y + si( + y + ist f + 4y + cos( + y, f y y + cos( + y, f 6 + 4y si( + y, f y f y 4 si( + y ud f yy 6y si( + y. Zur Produktiosfuktio P(A,K ca α K α ist die partielle Ableitug ach A durch P cαa A α K α K cα A gegebe ud wird als Grezproduktio des Faktors A bezeichet. Sie gibt aäherd das Produktiosergebis a, welches durch eie zusätzliche Eiheit des Faktors A erzielt werde ka. So wie für Fuktioe i zwei Variable köe partielle Ableituge auch für Fuktioe i beliebig viele Variable erklärt werde. Allgemei besitzt etwa die Fuktio y f ( mit (,..., die partielle Ableituge erster Ordug f/ k, k,...,, wobei beim Differeziere ach k alle übrige Variable vo f kostat gehalte werde. Zu de Regel für das gewöhliche Differeziere komme beim partielle Differeziere die achstehede Ableitugsregel:. Für eie zusammegesetzte Fuktio F(t f((t,y(t bestehed aus eier Fuktio f(,y i zwei Variable ud y, wobei (t ud y y(t jeweils Fuktioe i eier Variable t sid, gilt: α F (t df/dt f/ (t + f/ y y (t Allgemei ist für f(,..., mit i i (t df( (t,..., (t/dt f/ d /dt f/ d /dt (Ketteregel für Fuktioe i mehrere Variable.. Ist eie Fuktio y y( implizit gegebe durch die Gleichug F(,y, da gilt (uter geeigete Voraussetzuge dy/d F /F y (Ableitug eier implizite Fuktio.

4 6. Grudbegriffe 64 Beispiele: f(,y + y 4, sit t cost, F(t f((t,y(t df/dt f/ d/dt + f/ y dy/dt 6 cost + 8y (cost t sit 6sit cost + 8t cos 4 t 8t 4 sit cos t F(,y e y + + y defiiert eie implizite Fuktio y y(, dere Ableitug gegebe ist durch y ( F /F y (ye y + /(e y +. Für etwa ist y ud folglich y (. 6. Differetiatio vo Fuktioe i mehrere Variable ud Aweduge (i Das Differetial Im Folgede sei f: D R f ( eie beliebige Fuktio i Variable. Wie im vorhergehede Abschitt erwäht ka f i der Nähe eies jede Puktes D durch eie lieare Fuktio (etspreched der Tagetialebee approimiert werde. So gilt etwa im Fall vo zwei Variable f(,y t(,y f(,y + f (,y ( + f y (,y (y y. Schreibe wir u f f(,y f(,y, ud y y y, so folgt f df t(,y f(,y f (,y + f y (,y y. Der Ausdruck df, welcher äherugsweise die Fuktiosäderug f beschreibt, ist das Differetial der Fuktio f a der Stelle (,y zur Verschiebug (, y. Er gibt die Äderug des Fuktioswerts beim Fortschreite etlag der Tagetialebee a, we ma vom Pukt (,y zum Pukt ( +,y + y übergeht. Allgemei gilt für das (vollstädige oder totale Differetial df vo f ( Variable im Fall vo

5 6. Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable 65 df f ( + f ( f ( grad f (. Dari bezeichet der Vektor grad f (f,...,f de Gradiete der Fuktio f ud (,...,. Wieder beschreibt das Differetial aäherd die Äderug der Fuktio f ( beim Übergag vo zu +, also df f. Die Näherug ist umso besser, je kleier die Verschiebug ist. Beispiel: Wie ädert sich äherugsweise das Volume eies Kegelstumpfes V(h, r, R πh (r + rr + R, we h vo, auf, ud r vo 4, auf 4, zuehme, aber R vo 6, auf 5,7 abimmt? Wir bereche die Volumsäderug V äherugsweise durch das Differetial dv ud erhalte V V V V dv h + r + R h r R π πh πh (r + rr + R h + (r + R r + (r + R R 76π 4π 6π, +, + (, 9,7. Bei eiem Volume vo V 795,9 sid das ca.,5%. (ii Die Richtugsableitug Eie Erweiterug des Begriffs der partielle Ableitug ist die Richtugsableitug eier Fuktio y f ( : Wir frage ach der Äderug vo f bei Verschiebug des Argumets um e mit e, d.h. i Richtug eies Eiheitsvektors e. Nach dem obe Gesagte beträgt die Äderug beim Übergag vo zu + e aäherd df grad f e. Dieses Differetial zum Vektor e bezeichet ma auch als Richtugsableitug f/ e vo f i Richtug des Eiheitsvektors e. Ist speziell e e k (,...,,..., der Eiheitsvektor i k - Richtug, ergibt die Richtugsableitug df grad f e k f gerade die k-te partielle Ableitug vo k f. I welcher Richtug ädert sich f am stärkste? Zur Beatwortug dieser Frage bereche wir df grad f e grad f e cosϕ grad f cosϕ, wobei ϕ de Wikel zwische de Vektore grad f ud e agibt. Offesichtlich ist df da am größte, we ϕ, d.h. e i Richtug vo grad f geht. Somit gilt

6 6. Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable 66 Der Gradiet grad f gibt die Richtug des größte Astiegs eier Fuktio f ( beträgt da aäherd grad f. a; dieser Beispiel: Gegebe seie die Fuktio f (,, e i drei Variable,, ud ei Pukt (,,. (a Die Äderug vo f i -Richtug beträgt da f e 9e 4,5. (b Die Äderug i Richtug des Eiheitsvektors e / (,, ist gegebe durch e 9e df grad f e e 9e e 5,. e 6e (c Die maimale Äderug vo f erfolgt i Richtug des Gradiete grad f ( ( (9e, 9e,6e, d.h. i Richtug des Eiheitsvektors e / (,, ud beträgt 9e df grad f ( 9e e 8,. 6e (iii Etremwerte ohe Nebebediguge Eie Fuktio f: D R mit D R besitzt a der Stelle D ei relatives Maimum (Miimum, we f ( f ( (bzw. f ( f ( i eier Umgebug vo gilt, sowie ei absolutes Maimum (Miimum, we f ( f ( (bzw. f ( f ( im gesamte Defiitiosbereich D gilt. Relative Etrema köe mit Hilfe der Differetialrechug wie folgt bestimmt werde (zum Beweis der agegebee Bediguge wird die Taylorsche Formel verwedet: Notwedige Bedigug: Besitzt f ei relatives Etremum i, so ist grad f ( (f (,...,f (. ( Hireichede Bedigug für Variable: Gilt f (,y f y (,y ud zugleich f f y D( >, f f y yy (,y

7 6. Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable 67 so hat f ei relatives Etremum a der Stelle (,y, ud zwar für f (,y < ei relatives Maimum, für f (,y > ei relatives Miimum. Im Fall D(,y < besitzt f i (,y kei relatives Etremum. Beispiel: Gesucht sid die relative Etrema der Fuktio f(,y + y 5 y auf dem Defiitiosbereich R. Notwedig für relative Miima oder Maima sid die Gleichuge f + y 5 + y 5, f y 6y y /. Es folgt + 4/ 5 bzw ud daraus oder 4. Somit ergebe sich vier mögliche Etremstelle: (,, (,, (, ud (,. Zur Überprüfug, a welche dieser Stelle tatsächlich relative Etrema liege, bereche wir f f y 6 6y D 6( y. f f 6y 6 y yy Wege D(, D(, 8 < liege a de erste beide Stelle keie Etrema (tatsächlich hadelt es sich um Sattelpukte, siehe Abbildug. Im dritte Pukt gilt D(, 8 > ud f (, >, also liegt hier ei relatives Miimum, die vierte Stelle ist wege D(, 8 > ud f (, < eie relative Maimumstelle. Absolute Etrema sid wie scho im Fall vo Fuktioe eier Variable uter de relative Etrema ud de Fuktioswerte am Rad des Defiitiosbereichs zu suche. Die Suche ach absolute Etremwerte stellt im Allgemeie ei aufwediges ud schwieriges Verfahre dar. (iv Etremwerte mit Nebebediguge Methode der Lagragesche Multiplikatore Um die relative Etremwerte der Fuktio y f ( f (,..., uter eier zusätzliche Bedigug der Form ϕ( zu fide, geht ma folgedermaße vor: Ma bildet die eue Fuktio F(, λ f ( + λϕ(,

8 6. Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable 68 die sogeate Lagrage-Fuktio i de Variable ud dem Lagragesche Multiplikator λ ud setzt grad F, d.h. F/ i für i,..., ud F/ λ. Aus diese Gleichuge versucht ma, die Etremstelle zu bestimme. Notwedige Bedigug: Besitzt f i ei relatives Etremum uter der Nebebedigug ϕ, so gilt grad F(, λ für F(, λ f ( + λϕ(. Die Methode liefert ur eie otwedige, aber keie hireichede Bedigug. I praktische Aweduge ergibt sich jedoch oft aus der Fragestellug, dass ei Etremum vorliege muss. Beispiel: Gegebe sei die Produktiosfuktio eies Herstellugsprozesses p ( y ud eie Budgetbeschräkug gemäß + y 6. Gesucht sid jee Iputs,y, welche ei Produktiosmaimum bei gegebe Koste garatiere. Zu bestimme ist also das Maimum der Fuktio p(,y uter der Nebebedigug + y 6. Dazu bilde wir die Lagrage-Fuktio F(,y,λ y +λ( + y 6 ud bereche F y 6 + λ, Fy 6 + λ, Fλ + y 6. y Aus de erste beide Gleichuge folgt y (/, was eigesetzt i die dritte Gleichug zu ud weiters y 5, p 5 führt. Somit betrage die gesuchte Faktoremege ud 5, der maimale Output ist da ugefähr Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable (i Taylorsche Formel ud Mittelwertsatz für Fuktioe i eier Variable Wir beschäftige us i diesem Abschitt wieder mit Fuktioe y f( i eier Variable. Die Gleichug der Tagete t( f( + f ( ( a die Kurve y f( im Pukt (,y liefert eie grobe Näherug für die Fuktio f(, ämlich f( f( + f ( (. Eie bessere Näherug erreicht ma durch Approimatio vo f( mittels Polyome höhere Grades, etwa f( a + a ( + a (, usw. Ist eie Fuktio f( durch eie uedliche Reihe f( a + a ( + a ( + a ( + a ( darstellbar ma spricht vo eier Potezreihe mit Etwicklugspukt da gilt f( a + a ( + a ( + a ( +... f( a

9 6. Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable 69 f ( a + a ( + a (... f ( a f ( a + 6a (... f ( a ud allgemei Somit folgt: f ( 6a +... f ( 6a f ( (! a bzw. a f ( ( /!. ( f''( f'''( f ( f( f( + f'( ( + ( + ( + (!!! Das ist die Taylorreihe vo f( im Etwicklugspukt. Isbesodere erhält ma für die Reihe Beispiele: f''( f'''( f( f( + f'( + + +!! f( e, : Wir bereche f ( f (... e f( f ( f (.... Die Taylorreihe für e lautet somit e für alle R.!!! Geauso erhält ma auch die Reiheetwickluge für si( ud cos(. f( l(, : Wir bereche f ( /, f ( /,... bzw. allgemei f ( ( ( (!/ ud damit f(, f (, f (,..., f ( ( ( (!. Somit folgt ( l( ( ( + ( + (. Ersetzt ma hieri durch +, erhält ma die Logarithmusreihe l( (. Isbesodere folgt daraus für die bedigt kovergete Reihe (siehe. l( Die Taylorreihe eier Fuktio muss icht immer kovergiere. Betrachtet ma beispielsweise die Taylorreihe der Fuktio f( /(- im Etwicklugspukt, so erhält ma ,

10 6. Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable 7 die geometrische Reihe, welche ur für < kovergiert (siehe. Semester. Allgemei ka ma für eie Potezreihe a ( folgedes festhalte: Eistiert der Limes lim R, so kovergiert diese Potezreihe für alle im offee a Itervall ( R, + R, die Reihe divergiert für (, R ( + R,, ud über die Kovergez i de beide Radpukte R ud + R läßt sich allgemei ichts aussage. Die Größe R heißt Kovergezradius der Potezreihe. Die Fuktio f ( a ( ist da für alle ( R, + R defiiert ud i diesem Bereich beliebig oft differezierbar. Weiters gilt da, dass f '( a ( für alle ( R, + R, d.h. ma erhält die Ableitug durch gliedweises Differeziere der Potezreihe. Etspreched erhält ma die Stammfuktioe vo f( durch gliedweises a Itegriere: + f (d ( + C für ( R, + R. + Beispiel: Für die Fuktio l( ( (Logarithmusreihe erhält ma R lim lim ud die Reihe kovergiert im Itervall (, ud bei a, währed sie bei divergiert. Für die Ableitug gilt 4 (l( + ' (. + Bricht ma die Taylorreihe eier Fuktio f( ach dem -te Glied ab, erhält ma die Taylorsche Formel mit Restglied ( f ( f( f( + f'( ( + + ( + R,! wobei das Restglied R de Fehler agibt, we ma f( durch das -te Taylorpolyom ( f ( t ( : f ( + f '( ( + + ( ersetzt. Im Allgemeie ist R umso! kleier, je größer bzw. je äher bei liegt. Ist f: I R eie ( + -mal differezierbare Fuktio,, I, da ist das Restglied i der Taylorsche Formel gegebe durch R ( + f ( ( +! ( mit eiem ubekate Wert, welcher zwische ud liegt. Beispiele: f( +, : +

11 6. Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable 7 Mit f( ud Abbruch der Taylorreihe ach dem kostate Glied erhalte wir das kostate Taylorpolyom t (. Bereche wir f ( /( +, f ( /, ergibt sich die lieare Approimatio t ( + /. Mit f ( (/4( + /, f ( /4 schließlich fide wir die quadratische Approimatio vo f( durch das Taylorpolyom t ( + / /8. A der Stelle. gilt f (...488, t (..5, t ( Als Abschätzug für das Restglied bekommt ma R f ''(! ( + 4 /., (, / ( ( + f ( 8. R.65! 6 6., (,. Also erhalte wir als Abschätzug für f( mit t (: f (. [.5.5,.5 +.5] [.4875,.55], bzw. mit t (: f (. [ , ] [ ,.4885]. Die Taylorsche Formel für die Epoetialfuktio f( e lautet e e R mit R!! ( +! wobei zwische ud liegt. Auf Grud der Mootoie vo e folgt u R + e lim R, ( +! was ochmals zeigt, dass die Taylorreihe für e koverget ist für alle R. Bricht ma die Taylorreihe gleich ach dem kostate Glied ab, so erhält ma f( f( + f (( mit zwische ud. Schreibe wir a ud b, so folgt der +,

12 6. Tayloretwicklug vo Fuktioe i eier ud i mehrere Variable 7 Mittelwertsatz der Differetialrechug: Ist f auf [a,b] differezierbar, da gibt es midestes eie Stelle mit a < < b, sodass f (b f (a f ( ξ. b a Der Mittelwertsatz, ei für Theorie ud Aweduge gleichermaße wichtiger Satz der Differetialrechug, ist i achsteheder Abbildug veraschaulicht. y y f( f(a f(b a b (ii Die Tayloretwicklug für Fuktioe i mehrere Variable Aalog zur Taylorsche Formel vo Fuktioe i eier Variable köe auch Fuktioe i mehrere Variable uter geeigete Bediguge a eiem vorgegebe Pukt i eie Reihe etwickelt werde. Ist etwa f(,y eie Fuktio i zwei Variable, (,y ei Pukt des Defiitiosbereichs vo f, da gilt f(,y f(,y + f (,y ( + f y (,y (y y + + / [f (,y ( + f y (,y ( (y y + f yy (,y (y y ] +... I der erste Zeile dieser Etwicklug steht die lieare Approimatio (welche der Tagetialebee a die Fläche z f(,y im Pukt (,y etspricht, beide Zeile zusamme bilde die quadratische Approimatio vo f. Es folge Glieder höherer Ordug ud bei Abbruch der Etwicklug ach de Ableituge -ter Ordug ei Restglied. Beispiel: Die quadratische Approimatio der Fuktio f(,y ( + /y (y im Pukt (,y (, erhält ma wie folgt: f(,y y + /y /y f(, f y f (, f y /y + 4/y f y (, f f y f yy /y /y 4 f yy (, Somit folgt f(,y + (y + (y 5(y.