4 Differentialrechnung

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1 Ihaltsverzeichis 4 Differetialrechug 4. Differezierbarkeit Recheregel Ableitug vo elemetare Fuktioe Weitere Beispiele (eiige als Übug) Leibizsche Regel Der Mittelwertsatz Die Differetialgleichug der e-fuktio Die Taylorsche Formel Mootoie ud Koveität Etrema Etremalprobleme Kurvediskussioe Die Regel vo de l Hospital Gleichmäßige Kovergez Kovergezradius vo Potezreihe Idetitätssatz für Potezreihe Kovergez vo Taylorreihe Beispiele für kovergete Taylorreihe Divisio vo Potezreihe Die hyperbolische Fuktioe Differetialrechug Die Differetialrechug stad am Begi der modere Naturwisseschaft. Zwei historische Probleme sid: Das Tageteproblem für eie gegebee Kurve (Geometrie). Die Mometageschwidigkeit eies ugleichförmig bewegte Körpers (Physik). I beide Fälle ist das Äderugsverhalte eier gegebee Fuktio zu utersuche, etwa der Ort als Fuktio der Zeit. Der Ort des Pukts P auf Zahlegerade R zur Zeit t sei y(t). Die Geschwidigkeit vo P zur Zeit t 0 ist äherugsweise y t := y(t) y(t 0) t t 0 mit t t 0, t = t t 0. Die Mometageschwidigkeit ist gegebe durch lim, sofer der Limes eistiert. t 0 Dies ist auch die Steigug der Tagete a y = f(t) i t = t 0 : ỹ(t) = m(t t 0 ) + y(t 0 ), y(t) y(t m = lim 0 ) t t0 t t 0 (als Limes der Steigug vo Sekate). y t

2 4. Differezierbarkeit Defiitio. Sei I R ei Itervall ud f : I K. Da heißt f differezierbar i 0 I : Der Limes f f() f( ( 0 ) := 0 lim 0 ) 0 eistiert. f ( 0 ) heißt da Ableitug 0 vo f i 0. Übliche Notatioe: f ( 0 ) = df ( d 0) = Df( 0 ). Die Fuktio f : I K heißt differezierbar i I : Für alle I ist f differezierbar i. Falls also f : I K differezierbar i I ist, ist f : I K eie wohldefiierte Fuktio, die Ableitug vo f. Lemma. Seie f : I K, 0 I ud m K. Da sid äquivalet: () f ist differezierbar i 0 mit f ( 0 ) = m, () 0 0 f( ) f( 0 ) 0 m ( ), (3) r : I K stetig i 0 mit r( 0 ) = 0 ud (Für (3) defiiere r durch r() := f() = f( 0 ) + m( 0 ) + r()( 0 ). { f() f(0 } ) 0 f ( 0 ) 0.) 0 = 0 Korollar. Ist f differezierbar i 0, so ist f auch stetig i 0 (gemäß (3)). Bemerkug. () Die Differezierbarkeit vo f : I R C wird charakterisiert durch die Differezierbarkeit vo Ref ud Imf. () Aalog defiiere wir liksseitige ud rechtsseitige Differezierbarkeit. Differezierbarkeit ist gleichbedeuted mit liks- ud rechtsseitiger Differezierbarkeit mit gleichem Limes.

3 Beispiele. (a) f() = ist differezierbar i R mit f () = : f ( 0 ) = lim = lim 0 ( + 0 ) = 0. (b) f() = ist stetig i = 0, aber icht differezierbar: Der liks- ud der rechtsseitige Limes eistiere, sid aber verschiede: lim 0 = = lim 0 + ( Kick im Graphe). (c) Es gibt stetige Fuktioe i [0, ], die irgeds differezierbar sid ( etwa f() = ) si( π). π N 4. Recheregel Satz. Seie f, g : I K differezierbar i 0 I ud c K f ± g, c f, f g ud, falls g( 0 ) 0, f/g differezierbar i 0 I mit () (f ± g) ( 0 ) = f ( 0 ) ± g ( 0 ), (cf) ( 0 ) = c f ( 0 ) Liearität. () (f g) ( 0 ) = f( 0 )g ( 0 ) + f ( 0 )g( 0 ) Produktregel. (3) Für g( 0 ) 0 ist (f/g) ( 0 ) = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) g( 0 ) Quotieteregel. Beweis vo () als Beispiel : f()g() f( 0 )g( 0 ) 0 = f() f( 0) 0 g() + f( 0 ) g() g( 0) 0 0 f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 ), da f, g differezierbar i 0 sid, also g stetig i 0 ist. Korollar. (f f ) = f f f + + f f f. Ketteregel. Seie f : I I i 0 I differezierbar ud g : I K i f( 0 ) differezierbar. Da ist g f : I K i 0 differezierbar mit (g f) ( 0 ) = g (f( 0 )) f ( 0 ) ( äußere mal iere Ableitug ). Beweis. Sei y 0 := f( 0 ), g (y) := { g(y) g(y0 ) y y 0 y y 0 g (y 0 ) y = y 0 }, d.h. g : I R. Es gilt lim y y0 g (y) = g (y 0 ) ud g(y) g(y 0 ) = (y y 0 )g (y 0 ). Es folgt g f() g f( 0 ) 0 = g (f()) f() f( 0) 0 0 g (f( 0 ))f ( 0 ), da y = f() y 0 = f( 0 ) wege der Stetigkeit vo f gilt. 3

4 Iverse Fuktio. Sei f : I R streg mooto ud i 0 I differezierbar mit f ( 0 ) 0 f : f(i) I R ist differezierbar i y 0 := f( 0 ) f(i) mit (f ) (y 0 ) = f ( 0 ) = f (f (y 0 )). Beweis. Die Differezierbarkeit liefert die Stetigkeit. Zusamme mit der Mootoie folgt die Eistez ud Stetigkeit der Umkehrfuktio (vgl. 3.9). Wir habe da: y = f() = f (y) ud f (y) f (y 0 ) y y 0 = 0 y y 0 = f ( 0 ) = f (f (y 0 ) 0 f() f( 0 ) für y y 0, da da wege der Stetigkeit vo f i 0 gilt: Ableitug vo elemetare Fuktioe Wir illustriere die Recheregel zur Differetiatio a elemetare Fuktioe. ( ) Satz. a) Polyome sid differezierbar i R : a k k = a k k k. b) Ratioale Fuktioe sid i ihrem Defiitiosbereich differezierbar. Beweis. ( ) a) a k k = (a k k ) = a k ( k ) (4.. ()). Für f () := ist f () = ud für f 0 () = ist f 0 = 0. Mit 4..(): Für f() := k ist f () = (f f }{{} ) () = k k (k mal f f f ). }{{} k mal k b) Sei r := p/q; p, q Polyome: r () = p q pq q, p, q mit a) bereche. Speziell [b)] für 0 : ( ) = ( N), (/) = /. Satz. (i) Für a > 0 ist (a ) = a l a. Speziell gilt (e ) = e. (ii) Für b > ist (log b ) = log b e. Speziell gilt (l ) =. Die grudlegede Bedeutug der Zahl e, der Epoetialfuktio ud des atürliche Logarithmus beruhe auf diese Formel. Beweis. (i) e+h e h = e eh h e für h 0 ach 3.0. Daraus folgt: (e ) = e (eistiert). Für a wede wir die Ketteregel ud a = e l a a, d.h. a = g f() mit f() = l a ud g(y) = e y. Somit ist (a ) = e ( l a) l a = a l a. 4

5 (ii) y = l ist die Umkehrfuktio vo = e y. Mittels 4. (iverse Fuktio) ergibt sich (l ) = (e y ) = e y =. Für log b beutze log b = log b e l. Satz 3. Seie α R, > 0. Da gilt ( α ) = α α. Beweis. α = e α l = g(f()) mit f() = α l, g(y) = e y. Mit der Ketteregel ergibt sich ( α ) = (g f) () = g (f()) f () = e f() α = α α. Speziell gilt ( ) =, ( ) =. Satz 4. si ud cos sid auf R differezierbar mit Beweis. (si ) = cos, (cos ) = si. (a) Wir zeige zuächst, dass si für 0. Die Reiheetwicklug des Sius ergibt si = ( ) k k, also mit (k + )! k für (k+)! k= si k= k (k + )! k= ( ) k geometr. Reihe ( = ) 4 /3. (b) si(+h) si h Kor. cos(+h/) si h/ Add.th. = cos( + h/) h der Stetigkeit des cos. Also ist (si ) = cos. si h/ h/ (a) cos, uter Beutzug (c) cos(+h) cos si(+h/) si h/ = = si( + h/) h h Korollar. (ta ) =, (cot cos ) = Beweis. (cot ) = ( cos si si. ) = (si )( si ) (cos )(cos ) si = si si h/ h/ si. mit der Quotieteregel. 5

6 4.4 Weitere Beispiele (eiige als Übug) () (4/ / 3 + 3) = 4/ / 4 () ( 3 e ) = 3 e + 3 e (3) ( l ) = l + = l (4) ( ) l = ( > 0, ) (l ) (5) ( ) = (e l ) = (l + ), ( > 0) Ketteregel (6) (l l ) = l (7) (l f()) = f ()/f() logarithmische Ableitug: f () = f()(l f()), z.b. f() = f () = ( l ) = (l + ) [vgl. (5)] (8) (arcsi ) = si (arcsi ) = cos(arcsi ) Mit y := arcsi ist = si y, = cos y, d.h. (arcsi ) = (arccos ) =.. Aalog Folgerug. (arcsi +arccos ) = 0 : Mit 4.6 Korollar (siehe ute) folgt daraus arcsi + arccos = kostat = π/. (9) (arcta ) = ta (arcta ) = cos (arcta ). Mit y = arcta ist ta y =, also = si y cos y = cos y, cos y = +. Es folgt (arcta ) = Leibizsche Regel Falls f : I K differezierbar ud f : I K wieder differezierbar ist, so ist f := (f ) : I K defiiert. Höhere Ableituge f () := (f ( ) ). Auch d f. d Ist y = f(t) etwa der Ort eies Teilches zur Zeit t, ist y = f (t) die Mometageschwidigkeit ud y = f (t) die Mometabeschleuigug (Geschwidigkeitsäderug pro Zeiteiheit). Satz (Leibiz-Regel). Seie f, g : I K i I -mal differezierbar (f g) () () = j=0 ( ) j f ( j) () g (j) (). Beweis. Iduktio, aalog zum Beweis des Biomische Lehrsatzes (Übug). 6

7 4.6 Der Mittelwertsatz Seie a, b R mit a < b gegebe. Mittelwertsatz (der Differetialrechug). Sei f : [a, b] R stetig ud i (a, b) differezierbar. Da gibt es ζ (a, b) mit f(b) f(a) = f (ζ)(b a), d.h. f (ζ) = f(b) f(a) b a. Die beweistechische Bedeutug des Mittelwertsatzes wurde zuerst vo Cauchy erkat. Wir zeige sofort de Verallgemeierte Mittelwertsatz. Seie f, g : [a, b] R stetig ud i (a, b) differezierbar. Sei g(b) g(a) ud g () 0 für alle (a, b). Da gibt es ζ (a, b) mit d.h. Der Satz wird zurückgeführt auf de (f(b) f(a))g (ζ) = (g(b) g(a))f (ζ), f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ζ) g (ζ). Satz vo Rolle. Sei f : [a, b] R stetig, i (a, b) differezierbar ud f(a) = f(b) = 0. Da gibt es ζ (a, b) mit f (ζ) = 0. Beweis (Rolle). O.B.d.A. gebe es 0 (a, b) mit f( 0 ) > 0. Nach dem Maimumssatz immt f sei Maimum i eiem Pukt ζ [a, b] a. Da f( 0 ) > 0 = f(a) = f(b), ist 7

8 ζ (a, b). Also gilt für alle [a, b], dass f(ζ) f(), d.h. { f() f(ζ) 0 > ζ ζ 0 < ζ Da f (ζ) eistiert, folgt f (ζ) = 0. Beweis. (Verallgemeierter Mittelwertsatz). h() := (f(b) f(a))(g() g(a)) (g(b) g(a))(f() f(a)) erfüllt h(a) = h(b) = 0. Also gibt es ζ mit h (ζ) = 0, woraus die Behauptug folgt. Der Mittelwertsatz ist der Spezialfall g() =, g () = 0. Der Pukt ζ (a, b) ist i.a. icht eideutig. Eie typische adere Schreibweise des Mittelwertsatzes ist: [a, b] 0 < θ < f() = f(a) + f (a + θ( a))( a). Korollar. f : [a, b] R stetig, i (a, b) differezierbar ud es gelte für alle [a, b] m f () M mit m, M R. Da folgt m(y ) f(y) f() M(y ) für a < y b. Speziell gilt für sup f () M, dass f(y) f() M y : [a,b] f ist Lipschitz-stetig, we die Ableitug f eistiert ud beschräkt ist (dies ist eie typische Awedug des Mittelwertsatzes). Beweis. Für a < y b gibt es < ζ < y (ach dem Mittelwertsatz) mit f(y) f() = f (ζ) (y ), also m(y ) f(y) f() M(y ). Korollar. Sei f : [a, b] R stetig ud auf (a, b) differezierbar mit f = 0. Da ist f kostat. Beweis. m = M = 0 i Korollar f() f(a) = 0, f() = f(a) kostat. Bemerkug. Dies gilt auch für f : [a, b] C durch Betrachtug vo Re(f) ud Im(f). 4.7 Die Differetialgleichug der e-fuktio Satz. Seie c K, f : K K differezierbar mit f = cf. Da ist f() = f(0) e c für alle K. Beweis. Sei F () := f()e c. Die Awedug der Produktregel ergibt F () = f ()e c c f()e c = (f cf)() e c = 0. Aus 4.6 Korollar folgt, dass F kostat ist, F () = F (0) = f(0), also f() = F ()e c = f(0)e c. Diese Differetialgleichug f = cf tritt i der Physik häufig auf, etwa bei Wachstumsoder Zerfallsprozesse. Beispiele. 8

9 () Radioaktiver Zerfall: Die Zahl der Teilche eies radioaktive Materials als Fuktio der Zeit sei mit = (t) bezeichet, sie werde durch eie kotiuierliche Fuktio ageähert. Die Zahl der pro Zeiteiheit zerfallede Teilche ist proportioal zur vorhadee Zahl, d.h. (t) = k (t) t, k > 0 Differetialgleichug (t) = k(t). Also = (0)e kt. Die Halbwertzeit T ist gegebe durch e kt =, T = l k. () Barometrische Höheformel: Sei p() der Luftdruck als Fuktio der Höhe über der Erdoberfläche. Dafür gilt ebefalls die Differetialgleichug der e-fuktio p () = γ p(). (3) Abkühlug vo Wasser: Die Temperatur T (t) als Fuktio der Zeit ist gesucht: Die Abkühlug pro Zeiteiheit ist proportioal zum Uterschied zur Umgebugstemperatur T. T = k(t (t) T ) t, T (t) = k(t (t) T ). Die Fuktio f(t) := T (t) T erfüllt da f (t) = k f(t). 4.8 Die Taylorsche Formel Defiitio. Eie Fuktio f : I R heißt -mal stetig differezierbar : f ist -mal differezierbar i I ud f () : I R ist stetig. Schreibweise: f C (I). Bemerkug. Eie differezierbare Fuktio ist i.a. icht stetig differezierbar. Übugsbeispiel: si /. Taylorsche Formel. Sei f : [a, b] R -mal stetig differezierbar ud f : (a, b) R ( + )-mal differezierbar. Da gibt es für alle, 0 [a, b] eie Zahl θ, 0 < θ <, mit ( ) f (k) ( 0 ) f() = ( 0 ) k + R (f, ), () k! wobei das Restglied R (f, ) die Form hat R (f, ) = f (+) ( 0 + θ( 0 )) ( 0 ) + Lagrage Restglied. ( + )! Bemerkuge. () Die Bedeutug der Taylorsche Formel besteht i der äherugsweise Berechug vo f i eiem gaze Itervall um 0, sofer ur f( 0 ) ud die Ableituge f (k) ( 0 ) bekat sid. Dabei ist 0 güstig zu wähle, so dass Restterm R (f, ) klei wird (Fehlerterm). Tascherecher utze zur Berechug vo e, l, si, cos Reiheapproimatioe. Ma et () auch eie Etwicklug vo f um de Pukt 0. 9

10 () = 0 ist der Mittelwertsatz. (3) Setzt ma h := 0, hat die Taylorsche Formel die Form f( 0 + h) = (f( 0 ) + + f () ( 0 )! h ) + f (+) ( 0 + θh) h +. ( + )! Ist f (+) () M für alle I, wird also f( 0 + h) durch das Taylorpolyom -ter Ordug i h, p (h) = f( 0 ) + + f () ( 0 ) h, bis auf eie maimale! M Fehler (+)! h+ approimiert. Für h 0 ist also der Fehler f( 0 + h) p (h) vo der Größeordug h + : Eie Differetiatiosordug ( + ) ergibt eie Fehlerordug h +. Beweis. Seie, 0 [a, b] gegebe, h = 0. Defiiere F : I R durch f (k) (z) F (z) := ( z) k. k! Sei g : [a, b] R stetig, i (a, b) differezierbar. Nach dem verallgemeierte Mittelwertsatz gibt es 0 < θ <, θ = θ( 0,, g), so dass F (z) F ( 0 ) = g(z) g( 0) g ( 0 + θk) F ( 0 + θk), k := z 0. () Mit der Produktregel erhalte wir F (t) = k! Ferer ist F ( 0 ) = Da folgt f (k+) = f (+) (t)! ( t) k k= f (k) (t) k! k( t) k ( t). (3) f (k) ( 0 ) k! h k, F () = f(). Wähle z = i (), t = 0 + θh i (3). f() = F () = F ( 0 ) + g() g( 0) g ( 0 + θh) F ( 0 + θh) f (k) ( 0 ) = h k + g() g( 0) f (+) ( 0 + θh) ( θ) h. (4) k! g ( 0 + θh)! Für g(z) := ( z) + (z im Itervall [ 0, ], im Iere ( 0, ) ist g (z) 0) ist g() g( 0 ) ( g ( 0 +θh) θ) = h, womit sich das Lagrage-Restglied f (+) ( 0 +θh) h + aus (4) + (+)! ergibt. Bemerkug. Für g() = ( z) erhält ma die Cauchysche Form des Restgliedes R (f, ) = ( θ) f (+) ( 0 + θh) h +.! Korollar. Sei f : [a, b] R ( + )-mal differezierbar mit f (+) = 0. Da ist f ei Polyom vom Grad. Beweis. R (f, ) = 0. 0

11 4.9 Mootoie ud Koveität Satz. Sei f : I R differezierbar. Da gilt: (a) ( I (b) ( I f () 0) f ist mooto wachsed. f () > 0) f ist streg mooto wachsed. Bemerkuge. i) Aalog für mooto falled ud f () 0. íi) (b) ist im allgemeie falsch: f() = 3 i = 0. Beweis. Seie α < β, [α, β] I f(β) f(α) = (β α)f (θ) mit α < θ < β, somit: (f mooto wachsed ( I f () 0)). Falls f (θ) > 0, f(β) > f(α). Defiitio. f : I R heißt kove (kokav) :, y I, 0 < λ < f(λ + ( λ)y) λf() + ( λ)f(y). ( ) Also ist f kove, we der Graph vo f uterhalb der Sekate verläuft. Satz. f : (a, b) R sei zweimal differezierbar. Da gilt: Beweis. Forster S Etrema (f ist kove ( (a, b) f () 0)). Eie typische Awedug der Differetialrechug ist das Auffide vo Etrema. Defiitio. (i) f : I R hat i 0 I ei lokales Maimum (Miimum) : δ > 0 I U δ ( 0 ) f() f( 0 ) (f() f( 0 )). (ii) Das Maimum (Miimum) vo f i I heißt auch absolutes Maimum (Miimum). (iii) 0 I ist ei (lokales) Etremum : 0 ist ei (lokales) Maimum oder Miimum. (iv) Streges Etremum, Maimum, Miimum : ( ) durch < (>) für 0 ersetzt.

12 Das Maimum (Miimum) eier stetige Fuktio auf eiem kompakte Itervall [a, b] wird im Iere oder auf Rad {a, b} ageomme. Falls dies im Iere (a, b) ageomme wird, ist die Differetialrechug hilfreich. Theorem. Sei f : I R differezierbar auf eier ε-umgebug des iere Puktes 0 I. Da gilt: (i) Falls f i 0 ei lokales Etremum hat, ist f ( 0 ) = 0 (otwedige Bedigug). (ii) Falls f () auf U ε ( 0 ) eistiert mit sowie f (k) ( 0 ) = 0, k =,..., ud f () ( 0 ) 0 gilt, hat f 0 i 0 ei lokales Etremum geau da, we gerade ist. Ist dies der Fall, ist 0 ei lokales Maimum, sofer f () ( 0 ) < 0 ud ei lokales Miimum, sofer f () ( 0 ) > 0 ist (streges Etremum, hireichede Bedigug). Bemerkuge: () Der wichtigste Fall ist = : f ( 0 ) = 0, f ( 0 ) 0. () Der Satz erfasst icht alle Fälle: es ka f () ( 0 ) = 0 für alle N gelte ud deoch ei Etremum i 0 eistiere (Beispiel: 0 = 0, f() = ep ( / ) für 0 ud f(0) = 0). (3) f() = 3 : f (0) = 0, f (0) = 0, f (0) = 6 0 : kei Etremum. (4) Um die Etrema differezierbarer Fuktioe zu fide, fide die Nullstelle ζ,..., ζ r vo f i (a, b) : die lokale ud absolute Etrema vo f i [a, b] sid uter de Pukte a, b, ζ,..., ζ r. Beweis. () f habe ei lokales Maimum i 0 I. Für kleie δ > 0 ud alle h R mit h < δ gilt da { f( 0 + h) f( 0 ) 0 h < 0 h 0 h > 0. Da f eistiert, folgt f ( 0 ) = 0. () Seie f (k) ( 0 ) = 0, k =,..., ; o.b.d.a. f () ( 0 ) > 0. Für kleie h ud geeigetes θ, 0 < θ < gilt ach der Taylorsche Formel f( 0 + h) = f( 0 ) + f ( ) ( 0 + θh) h. ( )! ( ) Da f ( ) ( 0 ) = 0, f () ( 0 ) > 0, folgt für kleie h ud = 0 + θh, dass f ( ) () 0 = f ( ) () f ( ) ( 0 ) 0 > 0.

13 { } < 0 h < 0 Also ist f ( ) ( 0 + θh), sofer h < δ ud δ > 0 klei geug ist. > 0 h > 0 Ist ugerade, ist h stets > 0 (h 0), also { } < 0 h < 0 f ( ) ( 0 + θh)h ( ) f hat kei relatives Etremum. > 0 h > 0 Ist gerade, so ist sg h = sg h, d.h. für kleie δ > 0 gilt f ( ) ( 0 + θh)h > 0 für alle 0 < h < δ. Daher folgt aus ( ) : f( 0 + h) f( 0 ) > 0, 0 < h < δ, ud f hat i 0 ei streges relatives Maimum. 4. Etremalprobleme Das Fermatsche Prizip liefert das Brechugsgesetz der Optik: Ei Lichtstrahl gelagt vo P = (0, h ) ach P = (a, h ) auf dem zeitlich kürzeste Weg. I Glas ud Luft sid die Geschwidigkeite des Lichtes verschiede, etwa c ud c. Oberhalb der -Achse sei Glas, uterhalb Luft. Wir betrachte de Streckezug, der vo P über (, 0) mit 0 < < a ach P führt. Sei α der Eifallswikel ud β der Ausfallswikel i (, 0). Die Läge des Weges i Glas ist h +. Die Läge des Weges i Luft ist h + (a ). Die Gesamtzeit des Lichtes vo P ach P ist gegebe durch T () = h + c + h + (a ) c, also Mit si α = T () = c h +, si β = a h + c folgt: h +(a ) a h + (a ). si α si β = c c = kostat. Wege T () = c h (h + ) 3/ + c h (h +(a ) ) 3/ > 0 ist T miimal. Übuge: ) Aus drei Bretter der Breite g soll eie Rie vo maimalem Fassugsvermöge gebaut werde. Bestimme de Wikel α für maimale Querschitt. Q = g (cos α + cos α si α), α = π/6 (Heuser, S. 305). ) Kreisförmiger Querschitt, maimaler Füllfaktor für die Spule eies Trasformators. 3

14 4. Kurvediskussioe Defiitio. Sei f : I R differezierbar ud 0 I sei kei Radpukt. f hat i 0 eie Wedepukt : f hat i 0 streges lokales Etremum (d.h. die Tagete ädert ihre Drehrichtug). Notwedig: Falls f i 0 zweimal differezierbar ist, f ( 0 ) = 0. Hireiched: Falls f i 0 dreimal differezierbar ist, f ( 0 ) = 0 ud f ( 0 ) 0. Durch die Bestimmug der Nullstelle, Etrema, Wedepukte, Positivitätsbereiche, Wachstumsbereiche vo f lässt sich der qualitative Verlauf des Graphe vo f herausfide. Beispiel. f() = ( + ) auf [, ]. f + () = ( ), f + () = ( ) = / f() = 0 = ±, f () = 0 = auf (, )., f () = 0 = 3. f ist kove auf (, 3), f ist kokav auf ( 3, ), 3 ist Wedepukt vo f, i immt f sei Maimum a, f() = 3 3, 4 i, liege die Miima vo f ud auch die Nullstelle. I hat f eie sekrechte Tagete: f () für. 4.3 Die Regel vo de l Hospital Satz (l Hospital). Seie f, g : [a, b) R differezierbar, g ud g i [a, b) 0. 4

15 Es gelte lim f() = lim g() = b b { } 0 (I). Eistiert da der eigetliche oder uei- (II) f(), so eistiert auch lim ud es gilt b g() getliche Grezwert λ := lim b f () g () lim b f() g() = lim b f () g (). Der Satz gilt auch formal für b = ( ). Bemerkug. Formal: (I) 0, (II) : Ubestimmte Ausdrücke, die Atwort hägt vo 0 Art der Kovergez ab. Beweis. (I) a) Seie F, G : [a, b] R durch F [a,b) = f, G [a,b) = g ud F (b) := 0 =: G(b) defiiert. Da sid F ud G stetig, die stetige Fortsetzuge vo f bzw. g auf [a, b]. Mit dem verallgemeierte Mittelwertsatz ergibt sich für F ud G, dass es ei θ = θ(), 0 < θ < gibt, so dass: f() g() = F () F (b) G() G(b) = F (b + θ( b) G (b + θ( b)), Für b geht b + θ( b) b, woraus die Formel folgt. b) b = : y = trasformiert > a > 0 i 0 < y < /a. Setze f (y) := f( ) = f(), g y (y) := g( ) = g(). Da gilt: y f () g () = f ( ) g ( ) = f (y) g (y) kovergiert ach Aahme für, d.h. für y 0. Aus Teil a) folgt da lim y 0 + (II) Siehe Blatter. f (y) = lim g (y) y 0 + f (y) g (y) = lim f() g(). Behadlug aderer Grezwerte durch Zurückführug auf bekate Fälle: ( ) a) vo 0 auf 0 f() f 0 : f() g() = 0. g() g b) vo 0, 0 0, durch Logarithmiere auf 0. Beispiele. () lim 0 e e = lim 0 e +e = (Der letzte Limes eistiert, daher auch der erste. Die Rechtfertigug für die Gleichheit ist erst ach der Rechug möglich; wir schreibe es aber der Kürze halber im folgede ählich kapp auf). 5

16 () lim 0 e +e = lim l(+) 0 e e + = lim 0 e +e ( +) = (zweimalige Awedug). l / (3) α > 0 : lim = lim = lim = 0. α α α α α Der Logarithmus wächst für lagsamer als jede Potez. ( ) α > 0 (4) : lim α α = lim α α(α )...(α [α]) = = lim α [α] = 0, da b > b b (l b) b (l b) [α]+ α [α] 0 ist. Jede Potez wächst für lagsamer a als jede Epoetialfuktio mit Basis >. (5) Typ 0 : α > 0 lim α l = lim (6) Typ 0 0 : l α = lim 0 + / α α = lim 0 + lim 0 = lim e l = ep (lim l ) = e 0 = Gleichmäßige Kovergez α α = 0. Für Taylorreihe ud Potezreihe ist ei weiterer Kovergezbegriff vo Iteresse. Defiitio. Seie I K ud f : I K Fuktioe, K {R, C}. Da heißt die Reihe f : I K gleichmäßig koverget auf I : N 0 m ε > 0 0 N m > 0, I f j () < ε. j=+ Dieser Begriff ist stärker als die Kovergez vo f () i alle Pukte I. N 0 Beispiel. ist gleichmäßig koverget i alle Itervalle [ α, α] mit festem 0 < α <, jedoch icht gleichmäßig koverget i (, ) ; ist aber koverget für alle (, ). Kriterium vo Weierstraß. Falls es c 0 gibt, so dass f () c für alle I gilt ud c < ist, kovergiert f gleichmäßig ud absolut auf I. Beweis. Da alle I c < ist, gilt: ε > 0 0 m > 0 m j=+ f j () m j= j=+ m j=+ m f j () c j ε. c j <. Also folgt für 6

17 Der Begriff Gleichmäßige Kovergez vo f ist für Grezvertauschugsprozesse wie ( f ) = f etc. vo Wichtigkeit. (Wir werde das später keelere.) Übug: = si(k) k kovergiert gleichmäßig i [ε, π ε] (Forster I, S. 85). Wir wede us der Kovergez vo Taylorreihe f zu; sie sid spezielle Potezreihe: Defiitio. Eie (formale) Potezreihe um z 0 a (z z 0 ) ; a, z 0 K. 4.5 Kovergezradius vo Potezreihe f () ( 0 )! ( 0 ) für C -Fuktioe ist eie Fuktioereihe der Form Satz. Seie (a ) N0 C N 0, z 0 C. Da gibt es eie Wert 0 r, so dass die Potezreihe a (z z 0 ) für alle z C mit z z 0 < r (absolut) kovergiert z z 0 > r divergiert z z 0 r ε gleichmäßig kovergiert, sofer 0 < ε < r ist. ( Ma hat r = lim a ) (mit = 0, = ). 0 Defiitio. Die Zahl r heißt der Kovergezradius der Potezreihe a (z z 0 ). Bemerkuge. () Iterpretatio für r = 0: Kovergez ur i z = z 0 ud für r = : Kovergez für alle z C. () Im reelle Fall hat ma ei Kovergezitervall (z 0 r, z 0 + r), im komplee Fall eie Kovergezkreis {z z z 0 < r}. (3) Für z K mit z z 0 = r ka Kovergez oder Divergez vorliege. Beispiele. (a) (b) α z hat für alle α R de Kovergezradius r = =. z hat de Kovergezradius r = = ( lim ) = (lim ) = 0, also kovergiert die Reihe ur für z = 0. 7 ( lim α ) =, da

18 z (c) hat de Kovergezradius r =!! = ( ) /,! kovergiert für alle z C. ( Beweis. Sei r := lim a ). ) = lim! =, da : die (Epoetial-) Reihe für ep (z) ( lim i) Kovergez. O.B.d.A. sei r > 0. Sei 0 < ε < r ud z K mit z z 0 r ε. Sei δ := r ε/ r ( a (z z 0 ) lim, δ > 0. Nach.8, Satz 3 gilt für fast alle N ) a + δ z z 0 = r ε/ z z 0 r ε r ε/ =: q, q <. Also ist a (z z 0 ) q ud q kovergiert (geometrische Reihe). Nach dem Weierstraß-Kriterium ist die Potezreihe i z z 0 r ε gleichmäßig ud absolut koverget. ii) Divergez. Falls z K mit z z 0 > r gegebe ist, gibt es ε > 0 mit z z 0 = r+ε. Sei δ := > 0. Nach.8, Satz 3 gilt für uedlich viele N r r+ε ( a (z z 0 ) lim ) a δ (r + ε) =. Nach dem Wurzelkriterium ist die Potezreihe a (z z 0 ) i z diverget. 4.6 Idetitätssatz für Potezreihe Eie Folge der Recheregel für Reihe, des Satzes über das Cauchy-Produkt vo Reihe ud des Satzes 4.5 sid die Recheregel für Potezreihe. Seie a (z z 0 ) ud b (z z 0 ) Potezreihe um z 0 C mit Kovergezradie r, r. Sei r := mi(r, r ) > 0. Da gilt für alle z C mit z z 0 < r a (z z 0 ) + b (z z 0 ) = ( ) ( ) a k (z z 0 ) k b l (z z 0 ) l l=0 = (a + b )(z z 0 ) ( ) a k b k (z z 0 ) Idetitätssatz. Sei a (z z 0 ) eie Potezreihe um z 0 K mit Kovergezradius r > 0. Gilt für alle z K mit z z 0 < r, dass a (z z 0 ) = 0 ist, folgt a = 0 für alle N 0. 8

19 Beweis. Iduktio über m N 0 : m = 0 : für z = z 0 ergibt sich a 0 = 0. m m + : Seie a 0 = = a m = 0 scho gezeigt. Da gilt für alle z mit z z 0 < r a (z z 0 ) = 0. =m+ Für z K, z z 0 dividiere wir durch durch (z z 0 ) m+ ud erhalte ( ) a m+ + a (z z 0 ) m (z z 0 ) = 0. =m+ Da für z z 0 < r absolute Kovergez vorliegt, gilt =m+ ud es folgt für z z 0 aus a m+ c z z 0, dass a m+ = 0 ist. 4.7 Kovergez vo Taylorreihe Ist f uedlich oft differezierbar, liefert die Taylorsche Formel f() = f( 0 ) + + f () ( 0 ) ( 0 ) + R (f, )! a z z 0 m c <, eie formale Potezreiheetwicklug vo f mit a = f () ( 0 ). Probleme dabei:!. Für welche kovergiert die Reihe f () ( 0 ) (! 0 )?. We sie kovergiert, stellt sie f dar, gilt also R (f, ) 0? { } e / 0 Beispiel. Die Frage. stellt i.a. i der Tat ei Problem dar: f() = ist 0 = 0 i 0 = 0 uedlich oft differezierbar mit f () (0) = 0 ( N 0 ) : Übug. Die formale Taylorreihe kovergiert also, ämlich gege die 0-Fuktio, stellt aber f icht dar. Satz. Sei I K ud f : I K beliebig oft differezierbar ud 0 I ei ierer Pukt vo I. Da besitzt f die Tayloretwicklug f() = f () ( 0 ) (! 0 ) geau da, we R (f, ) = f (+) (ζ) (+)! ( 0 ) + 0 ( ). Dies ist z.b. für alle K mit 0 < A erfüllt, we () c, B > 0 0 < A, N f () () c B oder () c > 0 0 < A, N f () () c! A (K {R, C}). Beweis. Aus der Taylorformel folgt, dass die Taylorreihe vo f geau da i gege f() kovergiert, we R (f, ) 0 geht. Im Fall () gilt () R (f, ) c (B 0 ) + c (BA)+. Aber ( + )! ( ) + +. Also folgt (+)! (+)! ( ) + BA R (f, ) c + 0 ( ). I Fall () hat ma () R (f, ) 0, da q 0 für q := 0 A <. 9

20 4.8 Beispiele für kovergete Taylorreihe (a) f() = e : f () () = e. () gilt mit c =, B = e. Also kovergiert die Taylorreihe e = für alle K gege die Epoetialfuktio.! (b) f() = l(+), f () =, f () =, f () () = ( ) ( )! für N. + (+) (+) Damit erhält ma f () (0)/! = ( ) / ( N) ud f(0) = 0. Für das Restglied gilt mit geeigetem 0 < θ < R (f, ) = + ( + θ) + + +, we 0 ist. Da folgt R (f, ) 0. Im Fall < < 0 beutze wir die Cauchy-Form des Restgliedes: R (f, ) = f (+) (θ) ( ) ( θ) + = ( θ) +! ( + θ) da + θ θ ud + θ ist. Also kovergiert die Taylorreihe für < gege l( + ), l( + ) = ( ) = = Sie ist auch für = koverget; der Wert der alterierede Reihe ist l ach dem Abelsche Grezwertsatz. Sei f() := a ( 0 ) für r < 0 r koverget. Da ist f i ( 0 r, 0 + r] stetig. (Speziell ist f i 0 + r stetig!) (c) Allgemeie biomische Formel. Sei α R \ Z ud f() = ( + ) α. Da ist ( ) f () () = α(α )... (α + ) ( + ) α f, () (0) α = :=! α α α +. ( ) Wir zeige für < : ( + ) α = α (Allgemeie Biomische Formel). Für α N ist dies auch richtig; es ergibt sich die abbrechede Reihe des Biomische Lehrsatzes. Für α R \ Z geht das Restglied gege 0, we < ist: Im Fall 0 < hat ma mit geeigetem 0 < θ < ( ) ( ) R (f, ) = α ( + θ) α (+) α + +, + ( ) α sofer > α ist. Die Folge := erfüllt + = α + ; 0

21 ach dem Quotietekriterium ist koverget für alle mit <, R (f, ) + 0. Für < < 0 wede wir wieder die Cauchysche Form des Restgliedes a, mit geeigetem 0 < θ < hat ma R (f, ) = α (α ) + ( θ) ( + θ) α (+) 0 ( ). Speziell gilt: + = So ka ma sukzessive + für < < durch Polyome i approimiere. 4.9 Divisio vo Potezreihe Satz. Sei r > 0. Die Potezreihe f() = kovergiere, wobei b 0 0 ist. Da lässt sich f() g() a, g() = b möge für < r als Potezreihe für < ϱ mit hireiched kleiem ϱ > 0 darstelle. Die Koeffiziete der Reihe vo f g durch eie Koeffizietevergleich bestimmt werde. Beweis. Siehe Walter. köe z.b. Beispiel. Wir mache eie Asatz mit ubestimmte Koeffiziete für die ta-reihe ta = si cos = c + c c Dabei komme ur ugerade Poteze vor, da ta eie ugerade Fuktio ist. Es muss si = cos ta, gelte, also ( 3 3! + 5 ) = ( 5! 4 4!... ) (c + c c ). Wir multipliziere die beide Reihe auf der rechte Seite ud vergleiche da die Koeffiziete der Poteze, 3, 5, auf der like ud der rechte Seite. Eie Beutzug des Idetitätssatzes für Potezreihe ergibt da die Gleichuge = c, 3! =! c + c 3, 5! = 4! c! c 3 + c 5 Also ist c =, c 3 =, c 3 5 =,, ta = für kleie < ϱ. ta Isbesodere folgt lim =. 0

22 4.0 Die hyperbolische Fuktioe Defiitio. Für z C wird durch cosh z := ez +e z der Cosius-Hyperbolicus ud durch sih z := ez e z der Sius-Hyperbolicus defiiert. Es gilt für alle, y, z C cosh z = cosh( z), sih(z) = sih( z) cosh( + y) = cosh cosh y + sih sih y sih( + y) = sih cosh y + cosh sih y cosh sih =. Defiitio. tah := sih cosh, coth :=. cosh sih Ma hat (cosh ) = sih, (sih ) = cosh, (tah ) = tah, (coth ) = coth. Die Umkehrfuktioe der hyperbolische Fuktioe bezeichet ma als Area-Fuktioe, Arsih, Arcosh, Artah, Arcoth. Diese Area-Fuktioe habe die Ableituge (Arsih ) = (Arcosh ) = + R () > Es gelte ferer die Formel (Artah ) = (Arcoth ) = < >. Arsih = l( + + ), Artah = ( ) + l Arcosh = l( + ), Arcoth = ( ) + l Reiheetwickluge. Für alle C kovergiere cosh = ()!, sih = + ( + )!.. () Bemerkug. Ei homogees Seil ohe Biegesteifigkeit (z.b. eie Hochspaugsleitug), das a zwei symmetrisch zur y-achse liegede Pukte aufgehägt ist, immt die Form y = a cosh ( a) eier Ketteliie a; a gibt dabei die Höhe des tiefste Puktes über der -Achse a.