Numerisches Programmieren (IN0019) 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen. Differenzialgleichungen. Differenzialgleichungen (Physik)

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1 umerisches Programmieren (I19) Frank R. Schmidt 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen Winter Semester 16/17 Differenzialgleichungen (Phsik) Differenzialgleichungen Phsikalische Prozesse lassen sich mit Differenzialgleichungen beschreiben. Das. ewtonsche Gesetz F m a geht davon aus, dass auf einen Körper der Ruhemasse m eine konstante Kraft F ausgeübt wird. Da die Beschleunigung aptq die Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit vptq ist, erhält man folgende Beschreibung v 1 ptq F m vpq Modelliert man außerdem noch, dass sich die Masse mit der Geschwindigkeit verändert (Spezielle Relativität), so erhält man v 1 ptq F a c vptq m c vpq Man erhält also eine Gleichung, die von einer Funktion und ihren Ableitungen (Differenzialen) abhängt. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 4 / 34 Differenzialgleichungen (Biologie) Auch Wachstumsprozesse lassen sich mit Differenzialgleichungen darstellen. Setzt man eine Bakterienkultur auf einem ährboden aus, so kann man mit pptq die Population zum Zeitpunkt t angeben. Da die Reproduktionsrate p 1 ptq von der aktuellen Population abhängt, erhält man p 1 ptq α pptq ppq 1 Modelliert man außerdem, dass die Petrischale nur Platz für eine Population p ď K zulässt, kann man das wie folgt modellieren p 1 ptq α pptq 1 pptq ppq 1 K Es ist oft schwer, diese Probleme analtisch zu lösen. Anfangswertproblem Wir suchen eine Funktion : R Ñ R, die folgende Differenzialgleichung erfüllt: wobei F : R R Ñ R stetig ist. 1 pq F p, pqq p q, Wir nennen dieses Problem ein Anfangswertproblem (AWP), da neben der Differenzialgleichung auch der Anfangswert an der Stelle gegeben ist. Man kann zeigen, dass das AWP eindeutig lösbar ist, wenn F p, q in differenzierbar ist und diese Ableitungen durch eine Zahl L beschränkt sind. Ein AWP kann auch für Funktionen : R Ñ R n beschrieben werden: 1 pq F p, pqq p q P R n, wobei F : R R n Ñ R n stetig ist. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 5 / 34 I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 6 / 34 AWP m-ter Ordnung Weiter kann man Differenzialgleichungen auch für höhere Ableitungen beschreiben. Wir erhalten dann das AWP m-ter Ordnung pmq pq F p, pq pq,..., pm 1q pqq pkq p ă m mit F : R R n Ñ R n. Ein AWP m-ter Ordnung kann in ein vektorwertiges AWP erster Ordnung transformiert werden: z 1 k z k`1 k ă m 1 z 1 m 1 F p, z pq,..., z m 1 pqq zp q p,,...,,m 1 q J Es reicht also, Lösungen für das AWP erster Ordnung zu finden. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 7 / 34 Spezialfall: Integration Hängt F nicht von pq ab, so erhalten wir das AWP 1 pq F pq p q, Dieses Problem lässt sich mit Hilfe der Integration eindeutig lösen fpq ` I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 8 / 34 ż F ptq dt Hierzu gehört z.b. das Bewegungsgesetz von ewton und wir erhalten für gerade die eindeutige Lösung v 1 pq F m vpq vpq ` ż F m dt F m

2 Iteratives Verfahren Wir wollen nun mit der Integration eine Fipunkt-Gleichung formulieren. Ist z.b. die Lösung, die wir suchen, so gilt für dieses gerade Picard-Lindelöf pq ` ż 1 ptq dt ` ż F pt, ptqq dt : Φpq Das Theorem von Picard-Lindelöf sagt aus, dass die Iterationsvorschrift Φ die Voraussetzung des Banachschen Fipunktsatzes erfüllt. Damit wissen wir zum Einen, dass die Lösung des AWP eindeutig ist. Außerdem erhalten wir durch wiederholtes Anwenden von Φ eine Funktionsfolge rks die gegen die eindeutige Lösung des AWP konvergiert. Für den Spezialfall des Integrationsproblem haben wir bereits gesehen, dass eine einmalige Anwendung von Φ zur Lösung führt. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 1 / 34 Iterative Funktionenfolge (Bsp.) Betrachten wir nun das AWP 1 pq pq pq 1. Wir erhalten die folgende Iterationsfolge rk`1s pq 1 ` ş rks ptqdt. Starten wir mit der Einsfunktion, rs : 1, so erhalten wir r1s pq 1 ` rs pq 1 ` rk`1s pq 1 ` ż ż ż I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 11 / 34 n 1 dt 1 ` 1 ` t dt 1 ` ` 1 kÿ t n k`1 n! dt ÿ n n n!, d.h. die Funktionsfolge konvergiert zur eindeutigen Lösung pq eppq. Zusammenfassung Viele naturwissenschaftliche Probleme lasses sich als Lösungen von Differenzialgleichungen 1 pq F p, pqq darstellen. Das AWP mit p q lässt sich immer eindeutig lösen, wenn F in differenzierbar ist und diese Ableitung beschränkt ist. Die eindeutige Lösung lässt sich mit Hilfe eines iterativen Verfahrens lösen, das in jedem Schritt ein Integral berechnet. Ist F von der Gestalt F pq, lässt sich das Problem auf ein Integrationsproblem zurückführen, das von dem iterativen Verfahren in einem Schritt gelöst wird. Anstelle der Iterationsvorschrift werden wir im Folgenden die Fipunktgleichung Φpq direkt benutzen. Die Integralberechung wird mit Hilfe von Quadratur-Formeln durchgeführt. Unterschiedliche Quadratur-Formeln führen zu unterschiedlichen Verfahren. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 1 / 34 Einschritt-Verfahren Wir sind an dem Verlauf der Funktion : r ; ` T s Ñ R interessiert. Dazu zerlegen wir das Intervall r ; ` T s in äquidistante Abschnitte Einschritt-Verfahren k ` h k h : T k,..., Jedes Verfahren brechnet k «p k q nachdem alle j mit j ă k bereits berechnet wurden. Wir starten mit der eakten Lösung des Anfangswertes p q und berechnen zuerst 1,, etc. bis «p ` T q berechnet ist. Hängt k`1 nur von k ab, sprechen wir von einem Einschritt-Verfahren. Andernfalls von einem Mehrschritt-Verfahren. Alle Verfahren basieren üblicherweise auf Quadratur-Formeln. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 14 / 34 Euler-Verfahren Die einfachste Quadratur-Formel geht davon aus, dass der Integrand konstant ist. Wir erhalten damit das eplizite Euler-Verfahren p ` hq ` F p ` t, p ` tqqdt «` ` h F p, q : 1 F p, qdt Approimieren wir den Integranden mit dem konstanten Wert F p, p ` hqq, erhalten wir das implizite Euler-Verfahren p ` hq ` h F p, p ` hqq Während im epliziten Verfahren, der neue Wert 1 eplizit gegeben ist, muss beim impliziten Verfahren die folgende Gleichung gelöst werden: 1 ` h F p, 1 q Implizite Verfahren Um 1 zu erhalten, ist die ullstelle der Funktion zu finden. fp 1 q p 1 q ` h F p, 1 q Hier kann man z.b. das ewton-verfahren benutzen. Da implizite Verfahren oft eaktere Werte als eplizite Verfahren liefern, ist es sinnvoll, das ewton-verfahren mit dem Wert zu initialisieren, der das Ergebnis des epliziten Verfahrens ist. Man spricht dann von dem epliziten Euler-Schritt als Predictor und von dem ewton-verfahren als Corrector. ach der Berechnung von 1 kann man «p 1 ` hq berechnen, etc. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 15 / 34 I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 16 / 34

3 Verbessertes Euler-Verfahren Die einfachste Gauß-Quadratur-Formel ist die Mittelpunktsregel. Mit ihr erhält man das verbesserte Euler-Verfahren p ` hq ` F p ` t, p ` tqqdt «` F ` h,.5 dt ` h F ` h,.5 Da.5 nicht bekannt ist, wird hierfür das eplizite Euler-Verfahren benutzt, d.h. wir erhalten insgesamt folgende Vorschrift:.5 ` h F p, q 1 ` h F ` h,.5 Da die benutzte Quadratur eine Gauß-Quadratur ist, erwarten wir eine bessere Konvergenz als bei dem epliziten Euler-Verfahren mit halber Schrittweite. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 17 / 34 Euler-Verfahren (Ep. Wachstum) Betrachten wir die drei Euler-Verfahren für das folgende AWP 1 pq pq 1 Das eplizite Euler-Verfahren berechnet 1 ` h p1 ` hq Das implizite Euler-Verfahren berechnet 1 ` h h Das verbesserte Euler-Verfahren berechnet.5 1 ` h 1 1 ` h 1 ` h j I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 18 / 34 Euler-Verfahren (Bsp.) Klassisches Runge-Kutta-Verfahren Das klassische Runge-Kutta-Verfahren benutzt die Simpson-Regel als Quadratur-Formel: 1 ` F p ` t, p ` tqqdt «` h k 1 ` 4 k ` k 3 ` k 4, 6 wobei k 1,k 4 den Integrand an den Rändern approimiert und k sowie k 3 den zentralen Punkt des Integranden approimiert. Runge schlug 1895 folgende Werte für k 1 bis k 4 vor: Euler (eplizit) Euler (implizit) Euler (verbessert) Lösungen der drei Euler-Verfahren für, T 1 und, 3, 4. k 1 F p, q k F p `.5h, `.5h k 1 q k 3 F p `.5h, `.5h k q k 4 F p ` h, ` h k 3 q (Eakte Berechnung) ( Epliziter Euler-Schritt) ( Impliziter Euler-Schritt) ( Verbesserter Euler-Schritt) I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 19 / 34 I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen / 34 Runge-Kutta (Ep. Wachstum) Einschritt-Verfahren (Ep.) Betrachten wir erneut das AWP 1 pq pq 1 Dann gilt für k 1 bis k 4 sowie 1 gerade k 1 F p, q k `.5h k 1 1 ` 1 k 3 `.5h k k 4 ` h k 3 h 1 ` 1 h ` 1 4 h 1 ` h ` 1 h ` 1 1 ` h 6 pk 1 ` k ` k 3 ` k 4 q 4 h3 1 ` h ` 1 h ` 1 6 h3 ` 1 4 h4 Euler (eplizit) Euler (implizit) Euler (verbessert) Runge-Kutta (klassisch) Lösungen von Einschritt-Verfahren für, T 1 und, 3, 4. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 1 / 34 I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen / 34 Diskretisierungsfehler Bei der Definition des lokalen Diskretisierungsfehlers ε k beschreiben wir nur den Fehler, der entsteht, wenn wir den Übergang von p k, p k qq nach p k`1, ŷ k`1 q berechnen. Fehleranalse p k q ist also der eakte Wert von und nicht die Approimation k. Der lokale Diskretisierungsfehler ist somit: e k : ŷ k`1 p k`1 q. Als globalen Diskretisierungsfehler bezeichnen wir: ε k : k p k q. Dieser Fehler berücksichtigt alle Fehler bei der Berechnung von k. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 4 / 34

4 Konsistenz Bei Einschritt-Verfahren wollen wir also erreichen, dass in jedem Schritt ein möglichst kleiner Fehler entsteht. Wir sagen, dass ein Verfahren die Konsistenzordnung p P besitzt, falls 1 Oph 1`p q. Für den globalen Diskretisierungsfehler gilt nun bzgl. einer Konstanten L ą L: ε p q ŷ ` ŷ ď e 1 ` p1 ` Lhq ε 1 1 ÿ ď... ď e LT k e k Oph p q Wir nennen ein Verfahren konsistent, wenn p ě 1 gilt. Dann verbessert sich der globale Diskretisierungsfehler bei jeder Verfeinerung. Konsistenzordnung (Bsp.) Die Konsistenzordnung des epliziten Euler-Verfahrens ist p 1. Die Konsistenzordnung des impliziten Euler-Verfahrens ist p 1. Die Konsistenzordnung des verbesserten Euler-Verfahrens ist p. Hierdurch ist der ame des verbesserten Euler-Verfahrens gerechtfertigt. Die Konsistenzordnung des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens ist p 4. Wir haben das bereits am Beispiel des eponentiellen Wachstums gesehen: (epl. Euler:) (verb. Euler:) 1 1 1ÿ k ÿ k (impl. Euler:) (Runge-Kutta:) 1 1 1ÿ k 4ÿ k ` Oph q I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 5 / 34 I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 6 / 34 Konvergenz Ein konsistentes Verfahren stellt sicher, dass wir für h Ñ die korrekte Lösung berechnen, d.h. wir betrachten folgende Folgen Dann ist phq phq 1... phq eine Approimation von p ` T q und es gilt lim p T q Ñ8 p ` T q Dieses Verhalten nennen wir Konvergenz des Verfahrens. für h T Man kann zeigen, dass ein Verfahren mit der Konsistenzordnung p auch mit der Ordnung p konvergiert, d.h. eine höhere Konsistenzordnung ist grundsätzlich besser, um eine Differenzialgleichung approimativ zu lösen. Stabilität Die Konsistenz beantwortet die Frage nach der Konvergenz für h Ñ. un beschäftigen wir uns mit der Frage, welche h sinnvolle Ergebnisse liefern. Betrachten wir hierzu erneut das AWP 1 pq λ pq pq 1 Wir sagen, dass ein Verfahren bzgl. h ą stabil ist, wenn die Folge 1,..., n,... folgende Eigenschaften hat lim n 8 nñ8 (λ ą ) lim n nñ8 (λ ă ) Wir definieren die Stabilität nur bzgl. des eponentiellen Wachstums, da man hierfür die eakte Lösung der Differenzialgleichung kennt. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 7 / 34 I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 8 / 34 Epl. Euler (Stabilität) Das eplizite Euler-Verfahren berechnet die folgende Folge k`1 k ` hλ k k p1 ` hλq k p1 ` hλq k Für λ ą erhalten wir die Stabilitätsbedingung die wegen h ą immer erfüllt ist. 1 ` hλ ą 1, Für λ ă erhalten wir die Stabilitätsbedingung die nur für h ă λ erfüllt ist. 1 ` hλ ă 1, I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 9 / 34 Impl. Euler (Stabilität) Das implizite Euler-Verfahren berechnet die folgende Folge k`1 1 hλ 1 k p1 hλq k Für λ ą erhalten wir die Stabilitätsbedingung 1 hλ ă 1, die nur für h ă λ erfüllt ist. Für λ ă erhalten wir die Stabilitätsbedingung 1 hλ ą 1, die wegen h ą immer erfüllt ist. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 3 / 34 k Stabilität in der Prais Das eplizite Euler-Verfahren ist stabil für alle Schrittweiten, falls λ ą gilt. Das implizite Euler-Verfahren ist stabil für alle Schrittweiten, falls λ ă gilt. In der Prais ist der Fall λ ă wichtiger als λ ą, da λ ă eine Dämpfung beschreibt. Wenn man z.b. bei statischen Problemen, Spannungen korrekt beschreiben möchte, sollte auf jeden Fall die Situation λ ă korrekt dargestellt werden. Aus diesen Gründen wird das implizite Euler-Verfahren oft dem epliziten Euler-Verfahren vorgezogen. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 31 / 34 Logistisches Wachstum Im Folgenden betrachten wir das AWP des logistischen Wachstums p 1 ptq pptq 1 pptq ppq 1. 5 Der eplizite Euler-Schritt ist p 1 p p1 ` hq h 5 p Der implizite Euler-Schritt ist a r.5p1 hqs ` 5hp.5p1 hq p 1 h Der verbesserte Euler-Schritt ist ein Polnom 4. Grades in und h. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren benutzt ein Polnom 16. Grades in und 15. Grades in h. I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 3 / 34

5 Logistisches Wachstum (Bsp.) Logistisches Wachstum (Bsp.) Euler (eplizit) Euler (implizit) Euler (verbessert) Runge-Kutta (klassisch) I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 33 / 34 I19 - umerisches Programmieren 11. Gewöhnliche Differenzialgleichungen 34 / 34