Definition A-stabil. Wir betrachen das Modellproblem: y (t) = λy(t) y(0) = 1. für λ C, mit Re(λ) < 0

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1 Wir betrachen das Modellproblem: { (t) = λ(t) () = Definition A-stabil für λ C, mit Re(λ) < Ein Verfahren heißt absolut stabil, falls lim i i =. Sei i+ = R(z) i, z = hλ, dann die R(z) heißt Stabilitätsfunktion. Das Stabilitätsgebiet A ist definiert als A := { } hλ C : lim i =, i = { } z C : R(z) <, d.h. die approimative und analtische Lösungen haben gleiche asmptotische Eigenschaften. Ein Verfahren heißt A-stabil, falls C A Tpeset b FoilTEX

2 Stabilitätsgebiete A Eplicit Euler Implicit Euler Heun Crank-Nicolson Tpeset b FoilTEX

3 Stabilitätsgebiete A RK Hammer & Hollingsworth RK Radau Tpeset b FoilTEX

4 RLC-Glied Aufgabe: Beschreibe den zeitlichen Verlauf der Spannung u(t) am Kondensator C, nachdem der Schalter geschlossen wurde. Nach dem Ohm schen Gesetz und der Kirchhoff schen Maschenregel gilt für die Spannung u(t): u = U Ri Li i = i +i, wobei i = u R und i = Cu, wo i (t),i (t) und i (t) die Ströme, wie im Bild oben angedeutet, sind. Tpeset b FoilTEX

5 RLC-Glied: die approimative Lösung Das Gleichungsstem lautet: ( ) ( ) u u = LC LC (RC + R }{{ C ) } =A ( u u ) +( U LC ) potential drop u(t): Eplicit Euler 5 h=. h=.5 h=. h= potential drop u(t): Implizit Euler.5.5 h=. h=.5.5 h=. h= Parametherwahl: L =., C =, R =, U = 5, u() =, u () =. Die Matri A besitzt dann die Eigenwerte λ, = ± i, damit folgt die bedingt-stabilität für das epliziten Euler Verfahren für h < ma( λ i ) =.. Tpeset b FoilTEX 5

6 Definition L-stabil Obwohl das Verfahren A-stabil ist, können lokale Oszilationen in der approimativen Lösung auftreten. Ein RKV heißt L-stabil, falls es A-stabil ist und zusätzlich gilt: lim R(z) =. z Bemerkung: Eplizite RKV können dann auch nicht L-stabil sein. Für implizite RKV mit R(z) = P(z) Q(z) muss gelten: deg(p) < deg(q). Tpeset b FoilTEX 6

7 Lokale Oszillationen und L-Stabilität = ( cost).5 Lösungskurven.5 () =, h =.5/ CN CN(h/) Imp. Euler Das implizite Euler und das Crank-Nicolson-Verfahren sind beide A-stabil. Im Gegensatz zum impliziten Euler ist das Crank-Nicolson-Verfahren aber nicht L-stabil. Tpeset b FoilTEX 7

8 Zwischen Crank Nicolson und implizitem Euler i+ = i +h(( α)f i +αf i+ ) alpha =.5 alpha =.6 alpha = alpha = alpha = alpha = Tpeset b FoilTEX 8

9 Definition B-stabil Sei f : Ω R d, Ω R d,f heißt streng dissipativ, falls f() f(ŷ), ŷ <,,ŷ Ω. Wendet man ein RKV auf ein AWP mit dissipativer rechter Seite an, so heißt dieses RKV B-stabil, falls für h > folgt: ŷ ŷ, wobei := + hφ(t,h,, ) und ŷ := ŷ + hφ(t,h,ŷ,ŷ ) und Φ die Verfahrensfunktion des RKV ist. Bemerkung: B-stabile Verfahren sind auch A-stabil. Bei dissipativen Sstemen nimmt also der Einfluß einer kleinen Störung in den AB nicht mit der Zeit zu. Tpeset b FoilTEX 9

10 Beispiel: B-Stabilität Sei = f(), wobei f (streng) dissipativ ist: {, falls f() =, falls > () =, ŷ() = ŷ =. Implizites Euler Verfahren Crank Nicolson Verfahren i ŷi.5 i ŷi.5 time time Das implizite Euler erhält im Gegensatz zum Crank-Nicolson-Verfahren die Dissipativität der approimativen Lösung. Tpeset b FoilTEX

11 Steifes Problem = + e t,() = Eakte Lösung: =.998e t }{{} schnell abklingender Term +.e t }{{} langsamer abklingender Term fast term = e - t slow term = -. e -t eact solution e = Tpeset b FoilTEX

12 Steifes Problem = + e t,() = eplicit Euler, h =.5 implicit Euler, h =.5 Crank-Nicolson, h = eplicit Euler, h =. implicit Euler, h =. Crank-Nicolson, h = Tpeset b FoilTEX

13 Ist dann bei einfachen ESV der implizite Euler immer das beste Wahl? Harmonischer Oszillator. N=6.. solution eplicit implicit C-N eact time N=..5 solution eplicit implicit C-N eact time Der implizite Euler dämpft auch ungedämpfte Schwingungen! Tpeset b FoilTEX