Innovationspraktikum B Gedämpfte elektrische Schwingungen WS 2010/2011

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1 Innovationspraktikum B Gedämpfte elektrische Schwingungen WS 2010/2011 Philipp Reichert Wolfram Troeder Philip Denkovski Nikola Schild durchgeführt in der Zeit vom

2 Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 3 2 Vorüberlegungen 3 3 Theoretische Grundlagen Allgemeiner Fall Spezieller Fall Versuchsdurchführung 6 5 Fehleranalyse 9 6 Auswertung Fall1: gedämpfte Schwingung Versuch 1 - R =100Ω Versuch 2 - R =200Ω Versuch 3 - R =400Ω Fall2: Der aperiodische Grenzfall Fall3: Der Kriechfall Fitlogprotokolle Versuch Versuch Versuch Abbildungsverzeichnis 19 Literatur 19

3 3 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 1 Aufgabenstellung An einem elektrischen Reihen- oder Parallel-Schwingkreis sind mithilfe einer geeigneten Schaltung freie gedämpfte elektrische Schwingungen experimentell zu charakterisieren und mit der zugehörigen Theorie zu erklären. Es ist außerdem das Verhalten des Schwingkreises für eine variable Dämpfung zu untersuchen. 2 Vorüberlegungen Motivation: Ein elektrischer Schwingkreis ist eine resonanzfähige elektrische Schaltung aus einer Spule, einem Kondensator und einem Widerstand, die elektrische Schwingungen ausführen kann. Anwendung findet ein solcher Schwingkreis zum Beispiel in einem Radiogerät. Hier kann die Schwingung mit Hilfe eines Drehkondensators oder dem Abgreifen auf der Spule verändert und auf den Frequenzbereich des Senders, den man hören will, eingestellt werden. Denn nur wenn Sender und Empfänger mit der gleichen Frequenz schwingen, ertönt die gewünschte Musik aus dem Radio. Auch ältere Telefonanlagen waren mit einem elektrischen Schwingkreis ausgestattet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die gedämpfte Schwingung im Schwingkreis zu untersuchen. Der Versuch sollte alle drei Phasen der Dämpfung angemessen darstellen. Zunächst sollte das Experiment mit Labview durchgeführt werden. Als die notwendigen Materialien für die Durchführung mühsam beschafft worden waren, stellte sich das Programm allerdings als ungeeignet heraus,da die Messung für unsere Zwecke zu ungenau war und die Graphiken schwer erkennbar waren. Darum wichen wir auf die Alternative aus. Mit verschiedenen Widerständen, Spule, Kondensator und Oszillograph bauten wir einen Schwingkreis auf. Die gedämpfte Schwingung sollte nun auf dem Oszillographen sichtbar werden.nach langen Schwierigkeiten beim Versuchsaufbau, fanden wir endlich unseren Fehler darin, dass wir die Masse nicht einheitlich geschaltet hatten. Nach Behebung war die gewünschte Kurve sichtbar. 3 Theoretische Grundlagen 3.1 Allgemeiner Fall An einem Wechselstromkreis, in dem ein Ohmscher Widerstand R, eine Induktivität L und eine Kapazität C in Serie geschaltet sind, wird eine äußere Wechselspannung U e (t) angelegt (vgl. Abb.1). Nach dem Kirchhoff schen Innovationspraktikum B 3

4 3 THEORETISCHE GRUNDLAGEN Gesetz muss die Summe aus äußerer Spannung U e (t) und Induktionsspannung U ind = L di/dt gleich dem Spannungsabfall U 1 + U 2 = I R + Q/C an Widerstand R und Kapazität C sein. Damit gilt: U e = L di dt + Q C + I R (1) und mit differenzieren nach der Zeit ergibt sich mit dq/dt = I: du e dt = L d2 I dt C I + R di dt (2) L U, I T U(t) U e C R I(t) t Dt = ( j / 2p) T Abbildung 1: Allgemeiner Fall eines Wechselstromkreises mit Induktivität L, Kapazität C und Ohmschen Widerstand R in Serie 3.2 Spezieller Fall Genau wie im mechanischen Modell, bei dem die Reibung die Schwingung dämpft, wirken beim elektromagnetischen Schwingkreis die Ohmschen Widerstände R von Spule und Leitungen als Energieverlustquellen, sodass die Energie pro Sekunde um W/ t = I 2 R abnimmt [Nol1995, S.170]. Wird nun ein Reihenschwingkreis(vgl. Abb. 2) von außen einmal zu Schwingungen angeregt, zum Beispiel durch einen elektrischen Puls (vglabb2), so führt dieser nach Ende des Pulses (U e =0)gedämpfteSchwingungenaus. Damit ergibt sich aus Gleichung 2: L d2 I dt 2 + R di dt + 1 I =0 (3) C Zur Lösung wird der komplexe Ansatz I = A e λt benutzt, wobei A und λ komplex sein können. Einsetzen in Gleichung 3 liefert: λ 2 + R L λ + 1 LC =0mit den Lösungen (4) λ 1,2 = R 2L ± R 2 4L 2 1 LC = α ± β (5) 4 Innovationspraktikum B

5 3 THEORETISCHE GRUNDLAGEN U e (t) Ck C L U a (t) R I(t) U a) Abbildung 2: Gedämpfter Schwingkreis, Experimentelle Realisierung zur Messung von U a (t) und I(t) =U(t)/R Diese hängen entscheidend vom Wert α ab, also dem Verhältnis R/L. Die allgemeine Lösung lautet: I = A 1 e (α β)t + A 2 e (α+β)t (6) Innovationspraktikum B 5

6 4 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 4 Versuchsdurchführung Zur Erzeugung der harmonischen Wechselspannung dient ein Tonfrequenz-RC- Generator, dessen Ausgangsspannung U G =1, 80 V fest eingestellt und dessen Frequenz variabel ist. Alle Strom- und Spannungsmessungen werden mit einem Zweikanal-Oszilloskop durchgeführt. Die Verstärkung der beiden Vertikalverstärker Y A bzw. Y B des Oszilloskops kann mit dem Stufenschalter in 11 Stufen V j von 20 VOLTS/DIV. bis 0,01 VOLTS/DIV. (wobei 1 DIV. =1cm) und in jeder Stufe kontinuierlich (vorderer Drehknopf) verändert werden. Für alle Messaufgaben werden bei beiden Systemen die vorderen Drehknöpfe bis zum Einrasten (Anschlag) nach rechts gedreht, nur dann stimmt die Kalibrierung der Verstärker. Beim Aufbau der Schaltungen ist zu beachten, dass beide Vertikalverstärker Y A bzw. Y B des Oszilloskops auf ein und denselben Masseanschluss geschaltet sind. Spannungsmessung: Zur Messung einer unbekannten Spannung U wird jeweils die Stufe V j gewählt, die innerhalb des Messrasters des Bildschirmes das größtmögliche Messsignal bewirkt. Ist h die Gesamthöhe des Signals in cm, soberechnetsichdiespannung U nach: U = h V j (7) Strommessung: Sie erfolgt durch die Bestimmung des Spannungsabfalls U an einem Präzisionswiderstand (Dekadenwiderstand) von R p =...Ω. DerStromberechnetsich nach: I = U R p = h Vj R p (8) Die Versuchsbeschreibung ist stark an die des Versuches E4-Wechselstromwiderstände angelehnt.[mül2005, S. 17 ff.] 6 Innovationspraktikum B

7 4 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Materialien: Oszilloskop digitales Voltmeter Kondensator mit... F Spule mit... Dekadenwiderstände Kabel * ) %'"#$ ( (!"#$ %&"#$ Abbildung 3: Schaltbild, Versuch 1 Innovationspraktikum B 7

8 4 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Die Anregung des Schwingkreises erfolgt durch eine Rechteckspannung. Die Symmetrie der Rechteckspannung wurde so gewählt, dass der Schwingkreis ungehindert vom nächsten Spannungsimpuls ausschwingen kann. Dadurch entstand folgendes Bild: Abbildung 4: Anregung des Schwingkreises durch eine Rechteckspannung und Stromstärkeverlauf in Abhängigkeit von der Zeit t Durchführung: Für verschiedene Widerstände R wird die Spannung im Schwingkreis mit dem Vertikalverstärker Y A gemessen und der Strom (Spannungsbafall über R p )mit dem Vertikalverstärker Y B gemessen. Hierbei werden nur die charakteristisch wichtigen Punkte, das heißt Hoch- und Tiefpunkte, abgelesen. Für jede Messung sollten bis zu 8 Messwerte aufgenommen werden. 8 Innovationspraktikum B

9 5 FEHLERANALYSE 5 Fehleranalyse Systematische Fehler: Spule: induktiven Fehler von u L =10mH, ohmschenfehler:u LR =3Ω Kondensator: kapazitiven Fehler: 3 nf Dekadenwiderstände: ohmschen Fehler: 0, 02 Ω +0, 0003 R Oszilloskop: Zeitfehler auf der x-achse: u t =3% Amplitude der y-achse: u y =3% Ablesefehler: Solche Fehler treten nur beim Ablesen auf dem Oszilloskop auf. Hier haben wir die Unsicherheit für die Zeitmessung mit u t =0, 0001s abgeschätzt und für die Amplitude der Spannung auf der y-achse halbe Skaleneinteilung, wodurch dieser von der Vertikalverstärkung Y B abhängt. Fehler der Stromstärke: Die Stromstärke berechnet sich nach der Gleichung 8. Damit ergibt sich für den Fehler u I nach Gauß: ( ) 2 ( Vj u I = u h + h V ) 2 j R p Rp 2 u Rp (9) Innovationspraktikum B 9

10 6 AUSWERTUNG 6 Auswertung U a (t) I(t) t ~ e α I(t) U(t) t b) Abbildung 5: idealisierter Verlauf von Stromstärke und Spannung in Abhängigkeit von der Zeit im Fall einer gedämpften Schwingung In der Abbildung 5 erkennt man, dass Stromstärke und Spannung eine Sinusfunktion beschreiben, die durch eine abfallende Exponentialfunktion gedämpft werden. Sie sind zueinander um einen Winkel φ phasenverschoben. Der betrag von φ hängt von dem Verhältnis von L und C ab. 6.1 Fall1: gedämpfte Schwingung Für die folgenden drei Fälle wurden die Beträge der Maxima der Stromstärke in Abhängigkeit von der Schwingzeit graphisch aufgetragen und die Einhüllende exponentiell gefittet f(t) =a e α t (Die entsprechenden Fitlogprotokolle befinden sich im Anhang auf Seite 16) Die Stromstärke wurde mittles der Gleichung 8berechnet. 10 Innovationspraktikum B

11 6 AUSWERTUNG Versuch 1 - R =100Ω Versuch mit R=100 Ohm Versuch1_100.txt using 1:2:3:4 f(x) Stromstaerke I in A Zeit t in sec Abbildung 6: Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R =100Ω Innovationspraktikum B 11

12 6 AUSWERTUNG Versuch 2 - R =200Ω Versuch mit R=200 Ohm Versuch2_200.txt using 1:2:3:4 f(x) Stromstaerke I in A Zeit t in sec Abbildung 7: Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R =200Ω 12 Innovationspraktikum B

13 6 AUSWERTUNG Versuch 3 - R =400Ω Versuch mit R=400 Ohm Versuch3_400.txt using 1:2:3:4 f(x) Stromstaerke I in A Zeit t in sec Abbildung 8: Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R =400Ω Der eigentliche Fall der gedämpften Schwingung liegt vor, wenn R 2 < 4L/C gilt, also β imaginär ist (vgl. dazu Formel 6). Der Strom I(t) führt dann im Schwingkreis eine gedämpfte Schwingung aus mit der Resonanzfrequenz 1 ω R = LC R2 4L 2, (10) die R =0in die Frequenz ω 0 =1/ L C des ungedämpften Schwingkreises übergeht. Die Schwingungsdauer dieses Schwingkreises ist T = 2π ω R (11) Für die drei gezeigten Fälle der gedämpften Schwingung ergaben sich folgende Werte für die Dämpfungskoeffizienten α aus der Gleichung f(t) =a e α t (12) Fall 1 Fall 2 Fall 3 R ext in Ω 100 ± 0, ± 0, ± 0,15 α in s 1 213± ± ± 8. Innovationspraktikum B 13

14 6 AUSWERTUNG 6.2 Fall2: Der aperiodische Grenzfall Für β =0erhält man den sogenannten aperiodischen Grenzfall. Hier kommt es nicht zu einer Schwingung. Der aperiodische Grenzfall besitzt praktische Bedeutung, da er die schnellste Rückkehr eines angestoßenen Systems zur Ruhelage beschreibt. Ist man also daran interessiert, Störungen schnell abklingen zu lassen, ohne dabei Schwingungen zu erzeugen, so muss man die Dämpfung der Eigenfrequenz des Systems anpassen. Abbildung 9: Aperiodischer Grenzfall, x-achseneinheit 1 ms, y- Achseneinheit 0, 1 V bei Dämpfungswiderstand 4250 Ω 14 Innovationspraktikum B

15 6 AUSWERTUNG 6.3 Fall3: Der Kriechfall Für den Fall großer Dämpfung (R 2 /4L 2 =1/LC, β wird reell) kommt es ebenfalls nicht zu einer Schwingung. Abbildung 10: Der Kriechfall, x-achseneinheit 1 ms, y-achseneinheit 0, 1 V bei Dämpfungswiderstand Ω Innovationspraktikum B 15

16 7 FITLOGPROTOKOLLE 7 Fitlogprotokolle 7.1 Versuch 1 Abbildung 11: Fitlogprotokoll Versuch 1 16 Innovationspraktikum B

17 7 FITLOGPROTOKOLLE 7.2 Versuch 2 Abbildung 12: Fitlogprotokoll Versuch 2 Innovationspraktikum B 17

18 7 FITLOGPROTOKOLLE 7.3 Versuch 3 Abbildung 13: Fitlogprotokoll Versuch 3 18 Innovationspraktikum B

19 LITERATUR Abbildungsverzeichnis 1 Allgemeiner Fall eines Wechselstromkreises mit Induktivität L, Kapazität C und Ohmschen Widerstand R in Serie Gedämpfter Schwingkreis, Experimentelle Realisierung zur Messung von U a (t) und I(t) =U(t)/R Schaltbild, Versuch Anregung des Schwingkreises durch eine Rechteckspannung und Stromstärkeverlauf in Abhängigkeit von der Zeit t idealisierter Verlauf von Stromstärke und Spannung in Abhängigkeit von der Zeit im Fall einer gedämpften Schwingung Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R =100Ω Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R =200Ω Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R =400Ω AperiodischerGrenzfall, x-achseneinheit 1 ms, y-achseneinheit 0, 1 V bei Dämpfungswiderstand 4250 Ω Der Kriechfall, x-achseneinheit 1 ms, y-achseneinheit 0, 1 V bei Dämpfungswiderstand Ω Fitlogprotokoll Versuch Fitlogprotokoll Versuch Fitlogprotokoll Versuch Literatur [Nol1995] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2, Elektrizität und Optik, Springer-Verlag, 1995, ISBN: [Mül2005] Müller, Uwe: Physikalisches Grundpraktikum, Elektrodynamik und Optik, 2005,InstitutfürPhysikderHU-Berlin Innovationspraktikum B 19

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