Elektromagnetische Schwingungen

Transkript

1 Elektromagnetische Schwingungen W el = 2 CU 2 Freie Schwingung - F J EX-II SS27 - E - F J W mag = 2 LI2 - E mẍ + αẋ + D x = Freie Schwingung wir hätten auch so vorgehen können Für die Spannungen im Kreis gilt Für die Spannungen im Kreis gilt L I + RI + Q C = L I + RI + Q C = Q = I 7 Q = I 7 LÏ + R I + I C = LÏ L Q + RI + Q + I Q C C = = α = R 2L α = R 2L I = A e αt cos ωt + ϕ) ω = LC R2 4L 2 I Q = = A e A e αt αt cos cos ωt ωt + + ϕ) ϕ) ω = LC R2 4L 2

2 J Freie Schwingung Offener Schwingkreis Thomson Gleichung A = J bei hohen Frequenen ist das nicht die gane Wahrheit! Strahlungsverluste ) ω = LC α = R 2L I = A e αt cos ωt + ϕ) ω = LC R2 4L 2 Hert scher Dipol Hert scher Dipol I, t) = I ) sinωt Strom hat Nullstelle am Antennenende I = ± 2 l) = I, t) = I ) sinωt l = nλ/2 7 Resonanverhalten der Antenne ω = 2πν = 2πc/λ l = nλ/2 n = ) I ) = I cos π l U ) = U sin π l l = Länge der Antenne

3 Antennenresonan Lecherleitung I, t) = I ) sinωt Spannungsquelle l = nλ/2 7 n = ) l = 6 cm l = λ 2 = 2 c ν ν = = 2.5 GH 5 F = K C Momentaufnahmen der Potentialverteilung am Leiter als Funktion der Zeit A E J Lecherleitung Lecherleitung Spannungsquelle Durch Aufbiegen einer Lecherleitung erhalten wir eine Dipolantenne eitlich periodische Einspeisung liefert eine räumlich periodische Potentialverteilung 5 F = K C WELLE /c = ns 3 cm A E J /c = ns 3 cm Ausbreitungsgeschwindigkeit v = c Frequen MH 2.5 GH 5 ns 2 ps Wechsel der Polarität

4 * - Elektrische Wirbelfelder lösen sich ab H. Hert 887 Maxwell's theory of 873 had predicted that electromagnetic disturbances should propagate through space at the speed of light and should exhibit the wave-like characteristics of light propagation. J J & 6 J " 6 J! & 6 Hert Karlsruhe) designed experiments to test Maxwell's hypothesis. Dipolmoment 8 T 4 T 3 8 T t T = λ/c = /ν Hert reasoned that, if Maxwell's predictions were correct, electromagnetic waves would be emitted from a spark. According to theory, if electromagnetic waves were spreading from the oscillator sparks, they would induce a current in the loop that would send sparks across the gap. E = B t Feldnachweis j = σ E E = B t Oscillator made of brass knobs, each connected to an induction coil and separated by a tiny gap over which sparks could leap. Hert made a receiver of looped wire. At the ends of the loop were small knobs separated by a tiny gap. Drahtschleife Dipolantenne

5 - ) Hert sches Gitter Retardierung POLARISATION der WELLE Vektorpotential einer stationären Stromverteilung A r ) = µ j r 2 ) dv 2 4π 2 r 2 H bei eitlich veränderlicher Stromdichte Ausbreitungsrichtung Wellenvektor k = 2π λ A r, t) = µ j r 2, t r 2 /c) dv 2 4π 2 r 2 t = r 2 /c retardierte Zeit Hert scher Dipol Hert scher Dipol Pt ) = Q t ) Pt ) = Q t ) = Q sin ωt ê = Q sin ωt ê = pt ) ê = pt ) ê ṗ t ) = Qż = Qv = j dv 2 ṗ t ) = Qż = Qv = j dv 2 Ar, t) = µ 4π ê r ṗ t ) l r 2 = r Ar, t) = µ 4π ê r Q ω cos ωt ) k r ω t r/c) = ωt 2π λ r = ωt k r ω t r/c) = ωt 2π λ r = ωt k r

6 Hert scher Dipol Hert scher Dipol Ar, t) = µ 4π B = A = ê r ṗ t ) B x = + µ [ ṗt ) 4π { + A } y, A x, y r + r ] y ṗt ) t = t r/c r 2 = x 2 + y B x = + µ [ ṗt ) 4π y r = y r 3 {x, y, } y r + r ] y ṗt ) r/ y = y/r t / r = /c ṗ y = ṗ t t r r y = p y c r Hert scher Dipol Hert scher Dipol t = t r/c {x, y, } t = t r/c {x, y, } ϑ r 2 = x 2 + y ϑ r 2 = x 2 + y im Fernfeld B x = µ ṗ y 4π r 3 + p y ) cr 2 Br, ϑ, t) = µ 4π pt ) c sin ϑ r fällt schneller ab mit dem Abstand dominiert in der Fernone B = E /c Er, ϑ, t) = µ 4π pt ) sin ϑ r

7 N N Energiedichte - Energiestromdichte Energiestromdichte w em = 2 ɛ E 2 + c 2 B 2) = ɛ E 2 s em r 2 s em = c w em = c ɛ E 2 s em = c w em = c ɛ E 2 Er, ϑ, t) = µ 4π pt ) sin ϑ r Er, ϑ, t) = µ 4π pt ) sin ϑ r Richtwirkung Strahlungsdämpfung Die Abstrahlung erfolgt bevorugt senkrecht ur Dipolachse s em = c ɛ E 2 E p ṗ ω und p ω 2-5 A P em = s em ds ds = r 2 sinϑ dϑ dϕ sinϑ Er, ϑ, t) = µ 4π pt ) sin ϑ r sin 2 ϑ P em = µ 2πc Q2 ω 4 2 die abgestrahlte Leistung steigt mit der vierten Poten der Frequen an

8 4 N Strahlungsdämpfung Offener Schwingkreis p = Q p = Q P em Q 2 die abgestrahlte Leistung steigt mit dem Quadrat der Beschleunigung der Ladungsträger an Ersatschaltbild Röntgenbremsstrahlung Synchrotronstrahlung 7 7 Erwungene Schwingung Erwungene Schwingung Summe aus äußerer Spannung und Induktionspannung muss gleich sein dem Spannungsabfall an R und C: U = LÏ + R I + I C komplexer Ansat U = U e iωt iωu = I = I e iωt ϕ) Lω 2 + iωr + ) I C Wechselspannung mit Frequen! M E O M + Realteil Vektor in der komplexen Ebene Imaginärteil Z = U I = R + i ωl ) komplexer Widerstand Z = U I = R + i ωl ) komplexer Widerstand

9 4 N Erwungene Schwingung Phasenbeiehung M + M E O Vektor in der komplexen Ebene Impedan Z = R 2 + ωl ) 2 Phasenwinkel tan ϕ = ωl R U = U e iωt F 7 I = I e iωt ϕ) J 6 Impedan Z = R 2 + ωl ) 2 Phasenwinkel tan ϕ = ωl R Z = U I = R + i ωl ) komplexer Widerstand Z = U I = R + i ωl ) komplexer Widerstand Impedan Resonanverhalten 4 3 Z 2 R 2 R R Impedan Z = R 2 + ωl ) 2 Phasenwinkel tan ϕ = ωl R Z R.3 R.3 Impedan Z = R 2 + ωl ) 2 Phasenwinkel Der Strom wird maximal, wenn ω = ω. Dann ist ϕ =, der Strom ist in Phase mit der angelegten Wechselspannung. tan ϕ = ωl R Z = U I = R + i ωl ) komplexer Widerstand 2 R.3 R I = U cos ωt ϕ) Z

10 Serienschwingkreis Parallelschwingkreis U = U cosωt) U = U cosωt)