Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 10. Vorlesung Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 22. Mai 2014

2 Gliederung 1 Aufgabenstellung und Interpretation 2 Numerische Approximation Einschrittverfahren Diskretisierungsfehler, Fehlerordnung Wichtige Verfahren Mehrschrittverfahren Schrtittweiten-Steuerung 3 Systeme von Differentialgleichungen 4 Differentialgleichungen höherer Ordnung

3 Definition der Aufgabenstellung Explizite gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit Anfangsbedingung Gesucht ist eine Funktion y = y(x). Sie soll erfüllen y (x) = f(x,y(x)) y(x 0 ) = y 0 Differentialgleichung Anfangsbedingung Wenn f in x stetig ist und einer Lipschitzbedingung genügt, dann existiert eine eindeutige Lösung in der Umgebung des Anfangspunktes x 0. C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

4 Was ist eine Differentialgleichung? Geometrisch-anschaulich interpretiertes Beispiel Die Differentialgleichung 4 y = xy/4 1 definiert ein Richtungsfeld Zu jedem Punkt (x,y) gibt sie die Steigung (Richtung) der Lösung Lösungskurven folgen in jedem Punkt der dort gegebenen Richtung Drei Lösungen zu verschiedenen Anfangsbedingungen sind eingetragen

5 Numerische Approximation Eulersches Polygonzugverfahren Für die Differentialgleichung und Anfangsbedingung y = xy/4 1 y(0) = 3 sind die exakte Lösung sowie drei Näherungen mit Schrittweiten h = 1; 1 2 ; 1 4 eingetragen

6 Einschrittverfahren: Ablaufschema 1 Wähle Schrittweite h und maximale Schrittzahl N; 2 setze x 0 und y 0 laut Anfangsbedingung; 3 berechne für i = 0,1,...,N x i+1 = x i +h ; y i+1 = y i +hf(x i,y i,h). Die Einschrittverfahren unterscheiden sich in der Wahl der Fortschreitungsrichtung F Euler-Verfahren: F(x,y(x),h) = f(x,y(x)), implizites Euler-Verfahren: F(x,y(x),h) = f(x +h,y(x +h)), Modifiziertes Euler-Verfahren: F(x,y(x),h) = f ( x + h 2,y(x)+ h 2 f(x,y(x))) C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

7 Einschrittverfahren: Fortschreitungsrichtung F(x,y,h) Geometrische Deutung für modifizierte Euler-Verfahren ym+ _h ym 2 ym+ _h ym 2 ym+1 ym+1 ym ym xm _ xm+ h 2 F(x,y,h) = f ( x + h 2,y + h 2 f(x,y)) xm+1 xm _ xm+ h 2 xm+1 F(x,y,h) = 1 (k1 +k2) mit 2 k 1 = f(x,y) und k 2 = f(x +h,y +hf(x,y)) C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

8 Einschrittverfahren: Ablaufschema Fortschreitungsrichtung F(x, y, h) beim klassischen Verfahren von Runge-Kutta mit F(x,y,h) = 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 +k 4 ) k 1 k 2 k 3 = f(x,y) ( = f x + h 2,y + h ) 2 k 1 ( = f x + h 2,y + h ) 2 k 2 k 4 = f(x +h,y +hk 3 ). C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

9 Lokaler Diskretisierungsfehler d(x, y, h) Unterschied zwischen Fortschreitungsrichtung F eines Einschrittverfahrens und exakte Richtung D. d(x,y,h) = F(x,y,h) D(x,y,h) ym+1 F ym D ym+1 xm h xm+1 C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

10 Globaler Diskretisierungsfehler Ist Y die exakte Lösung der Anfangswertaufgabe y = f(x,y), y(x 0 ) = y 0, und y m die Näherungslösung an der Stelle x m, so nennt man die Differenz e(x m,h) = y m Y(x m ) den globalen Diskretisierungsfehler. C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

11 Ordnung eines Einschrittverfahrens Der lokale Diskretisierungsfehler d(x, y, h) wird für h 0 immer kleiner. Wie rasch? Die größte natürliche Zahl p mit heißt Ordnung des Verfahrens. Interpretation d(x,y,h) = O(h p ) Ordnung 1 bedeutet, der Fehler direkt proportional zu h ab: halbe Schrittweite, halber Fehler Ordnung 2 bedeutet, der Fehler nimmt quadratisch in h ab: halbe Schrittweite viertelt den Fehler C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

12 Konvergenz des Einschrittverfahrens Ist derlokale Diskretisierungsfehler von der Ordnung p 1 und genügt F einer Lipschitzbedingung, so geht auch der globale Diskretisierungsfehler mit dieser Ordnung nach Null: Das Einschrittverfahren ist konvergent von der Ordnung p. C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

13 Numerische Lösungverfahren Wichtige Einschrittverfahren sind Eulersche Polygonzugverfahren (weil es das einfachste ist: Verfahren 1. Ordnung) Verfahren von Heun, modifiziertes Euler-Verfahren (weil sie genauer sind: Verfahren 2. Ordnung) Implizites Eulerverfahren (weil es stabil ist) Klassische Runge-Kutta-Verfahren (weil man damit in der Praxis oft rechnet; Verfahren 4. Ordnung). RK-Verfahren mit der Dormand-Prince-Formel (weil Matlabs ode45 damit rechnet, Ordnung 5 mit Kontrollrechnung 4. Ordnung). C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

14 Moderne Runge-Kutta-Verfahren Klassisches RK-Verfahren wertet f(x,y) viermal pro Schritt aus: f(x,y), f (x + h2,y + h2 ) k1, f (x + h2,y + h2 ) k2, f(x +h,y +hk 3). Neuere Verfahren werten f an speziell günstigen Zwischenstellen aus und liefern gleichzeitig zwei Werte mit unterschiedlicher Fehlerordnung (Differenz Fehler). Das Verfahren RK5(4) von Dorman und Prince (MATLAB: ode45) wertet f sechsmal aus und liefert Ergebnis mit Fehlerordnung 5, verwendet Ergebnis mit Fehlerordnung 4 zur Differenzbildung und Fehlerabschätzung C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

15 Ein- und Mehrschrittverfahren Runge-Kutta-Verfahren sind Einschritt-Verfahren: um y(x + h) zu berechnen, brauchen sie die Lösung nur am unmittelbar vorhergehenden Punkt y(x). Mehrschritt-Verfahren verwenden zur Berechnung von y(x + h) die Werte von mehreren zurückliegenden Punkten y(x),y(x h),y(x 2h)... Beispiel: Adams-Bashforth-Moulton-Verfahren. Eine Variante davon ist als ode113 in MATLAB verfügbar. Vorteil von Mehrschritt-Verfahren: hohe Genauigkeit im Verhältnis zum Rechenaufwand, besonders bei teurer Auswertung von f. Nachteil von Mehrschritt-Verfahren: Braucht Anlaufphase. Nicht einfach bei variabler Schrittweite. C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

16 Fehlerkontrolle, Schrittweitensteuerung Fehlerschätzung: Rechne einen Schritt mit hoher Ordnung und nochmal, zur Kontrolle, mit um 1 geringerer Ordnung. Der Unterschied ǫ 1 ist eine Schätzung des tatsächlichen Fehlers. Schrittweite und Fehler stehen bei Fehlerordnung p im Verhältnis ǫ 2 ǫ 1 = ( ) p h2 Um eine gewünschtes ǫ 2 zu erreichen: Ändere Schrittweite h gemäß h 1 ( ) 1 ǫ2 p h 2 = h 1 ǫ 1 Steuerung in Matlab: Schranken für relativen und absoluten Fehler options=odeset( RelTol,1.e-7, AbsTol,1.e-10) C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

17 Systeme von Differentialgleichungen Aufgabenstellung: System expliziter gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung mit Anfangsbedingungen Vektorielle Schreibweise (im Skriptum komponentenweise ausgeführt) zeigt die Analogie zum Anfangswertproblem für eine explizite DG 1. Ordnung Gesucht ist eine vektorwertige Funktion y = y(x). Sie soll erfüllen y (x) = f(x,y(x)) y(x 0 ) = y 0 Differentialgleichung Anfangsbedingung Einschrittverfahren (Eulerscher Polygonzug, Heun, etc. ) lassen sich direkt verallgemeinern. Numer. Lösung im MATLAB mit ode45 analog zu einer DG. C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

18 Gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung Eine DG höherer Ordnung (oder ein System solcher DG) lässt sich durch Einführen von Hilfsfunktionen in ein äquivalentes System von DGs 1. Ordnung transformieren. Beispiel: Mathematisches Pendel, ÿ(t) = sin(y(t)) setze y(t) = z 1 (t) ẏ(t) = z 2 (t) neues Glsyst. z 1 (t) = z 2 (t) z 2 (t) = sin(z 1 (t)) C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

19 Beispiel: die Blasius-Gleichung y (x) = y(x)y (x)/2 beschreibt Strömung in laminarer Grenzschicht setze y(x) = z 1 (x) y (x) = z 2 (x) y (x) = z 3 (x) neues Glsyst. z 1 (x) = z 2(x) z 2 (x) = z 3(x) z 3 (x) = z 1(x)z 3 (x)/2 also z (x) = f(z,x) (in diesem Fall hängt f nicht explizit von x ab) mit z 1 z 2 f z 2 = z 3 z 3 z 1 z 3 /2 Weitere Beispiele in den Übungsunterlagen! C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20

20 Allgemein: Umformen von y (d) (x) = f(x,y(x),y (x),...,y (d 1) (x)) Man setzt z 1 = y, z 2 = y,..., z d = z (d 1) und schreibt z 1 (x) = z 2(x) z 2 (x) = z 3(x) z d 1 (x) = z d(x). z d (x) = f(x(x),z 1(x),...,y d (x)) C.B & E.H. (MUL) Gewöhnliche Differentialgleichungen 20.III / 20