GRUNDLEGENDE MODELLE. Caroline Herbek

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1 GRUNDLEGENDE MODELLE Caroline Herbek

2 Lineares Wachstum Charakteristikum: konstante absolute Zunahme d einer Größe N t in einem Zeitschritt Differenzengleichung: N t -N t-1 =d => N t = N t-1 +d (Rekursion) Differenz d aus den Werten N t und N t-1 ist die Zu- bzw. Abnahme innerhalb eines Zeitschrittes 2

3 Beispiel N t = 0,9 N t-1 +0,3 N 1 = 0,9 N 0 +0,3 N 2 = 0,9 N 1 +0,3 = 0,9² N 0 +0,3(0,9+1) N 3 = 0,9 N 2 +0,3 = 0,9³ N 0 +0,3(0,9²+0,9+1) N t = 0,9 t N 0 +0,3(0,9 t +0,9 t-1 +0,9 t ,9²+0,9+1) 3

4 Rekursion/Bildungsgesetz Rekursionsformeln => explizite Bildungsgesetze Explizites Bildungsgesetz Vorteil: jedes Folgenglied kann sofort berechnet werden, da man nicht wie bei der Rekursion den Wert des vorangehenden Folgengliedes kennen muss Nachteil: weniger Auskunft über Struktur des Systems Rekursives Bildungsgesetz Vorteil: Entwicklung: Schritt für Schritt: Verstehen des Prozesses Nachteil: immenser Rechenaufwand 4

5 Beispiel N t = 0,9 N t-1 +0,3 pendelt sich bei 3 ein Fixpunkt N t =N t-1 =N* N*=0,9N*+0,3 0,1N*=0,3 N*=3 Ab diesem Wert sind alle folgenden Werte gleich 5

6 Schulunterricht Zuerst Rekursionen erlernen, dann Bildungsgesetz Bildungsgesetz über Fixpunkt finden Formel: N t =a t (N 0 -N*)+N* N t =0,9 t (N 0-3)+3 Um Rekursionsformeln oder explizite Bildungsgesetze ausrechnen zu können, muss N 0 bekannt sein Sinnvoller Einsatz von Computern, um Rekursionen zu berechnen 6

7 Lineares Wachstum Folgenglieder liegen entlang einer Geraden Steigung: d (N t = N t-1 +d) d < 0 => fallende Gerade => lineare Abnahme d > 0 => steigende Gerade => lineare Zunahme Unbegrenztes Wachstum => Modell für reale Prozesse Wachstum von Fingernägeln und Haaren Größenwachstum von Menschen und Tieren 7

8 Exponentielles Wachstum Differenzengleichung N t = N t-1 (1+r) Rekursionsformel r Wachstumsrate q=(1+r) Wachstumsfaktor Lösung der Differenzengleichung: N t =N 0 q t Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum 8

9 Differentialgleichungen Funktion x(t) und Ableitungen x (t), x (t) kommen vor Lösung: jene Funktion x(t), die die Differentialgleichung und gegebenenfalls eine Anfangsbedingung x(0)=c erfüllt Nicht alle Differentialgleichungen sind lösbar Biomathematik: beliebtesten Werkzeuge zur Beschreibung kontinuierlicher Prozesse 9

10 Beispiel Es soll jene Lösung der Differentialgleichung gefunden werden, die die Anfangsbedingung x(0)=2 erfüllt Stammfunktion Umformung t=0, x(0)=2 => um C 1 auszudrücken 10

11 Differentialgleichungen Biomathematik: komplexere Modelle Nicht für den Schulunterricht geeignet Differentialgleichung in eine Differenzengleichung umwandeln => Beispiel Am qualitativen Verlauf ändert sich nichts In der Schule sinnvoll zu bearbeiten 11

12 Beispiel Differentialgleichung Differentialquotient Diskretisierungsschritt umformen 12

13 Beispiel Rekursionsformel x n = x n-1 +rx n-1 x n = x n-1 (1+r) 13

14 Euler sches Polygonzugverfahren Numerische Mathematik: Differentialgleichungen der Form x (t)=f(x(t)) näherungsweise zu lösen Möglichst kleine Schrittweite Berechnung: rekursiv ausgehend von einem Startwert x(t 0 )=x 0 Hilfe: Vorschrift: Graphisch: Polygonzug 14

15 Euler sches Polygonzugverfahren Strecke zwischen x i-1 und x i => Streckung k=f(x i-1 ) In jedem Schritt macht man einen Fehler mehr gegenüber der kontinuierlichen Lösungskurve Verkleinerung der Schrittweite: Fehler reduzieren => längere Rechenzeit Zwei oder mehrere schon vorher berechnete Werte heranziehen, um neuen Wert zu berechnen (Mehrschrittverfahren) => genauere Ergebnisse 15

16 Schulunterricht Schwierige Differentialgleichungen als Differenzengleichungen lösen, sonst Trennung der Variablen Exponentielles Wachstum wird als kontinuierliches als auch als diskretes Modell behandelt Schrittweises exponentielles Wachstum => Zinseszinsrechnung => Unterstufe Stetiges exponentielles Wachstum => Oberstufe Euler sches Polygonzugverfahren => adaptiert 16

17 Begrenztes Wachstum Differenzengleichung N t = N t-1 +r(k-n t-1 ) Rekursionsformel r Wachstumsrate K Kapazität Fixpunkt N t = N t-1 => N t = K führt nach Fixpunktberechnung zu N t =K-(K-N 0 )(1-r) t 17

18 Fixpunkte Existenz N t = N t-1 Fixpunkt Berechnung: N t = 0,9 N t-1 +0,3 N t =N t-1 =N* N*=0,9N*+0,3 0,1N*=0,3 N*=3 Rekursionsformel 18

19 Fixpunkte Aussage über Langzeitverhalten des Prozesses Anziehend oder abstoßend Ab dem Fixpunkt ändern sich die Folgenglieder nicht mehr Gibt es also einen Fixpunkt, so verharrt der dynamische Prozess genau dort 19

20 Schulunterricht Fixpunktberechnung einfacher zu berechnen als Grenzwert Explizites Bildungsgesetz über Fixpunkt finden In der Natur gibt es keine unbegrenzten Wachstumsvorgänge, somit pendelt sich der Wert ein 20

21 Logistisches Wachstum Verknüpfung des exponentiellen mit dem begrenztem Wachstum Differenzengleichung N t =N t-1 +rn t-1 (K-N t-1 ) Diskretes logistisches Wachstumsmodell => keine explizite Lösung => Näherungslösung 21

22 Diskretes logistisches Wachstum K = 1 N 0 = 0,1 r < 1 schrittweise Annäherung gegen 1 sigmoider Kurvenverlauf Anfangsstadium: N t-1 << K => exponentiell K-N t-1 ~K => N t ~N t-1 (1+rK) N t-1 ~K => K-N t-1 ~0 => Wachstum wird gebremst => begrenztes Wachstum 22

23 Diskretes logistisches Wachstum Vergrößert man r => Oszillation pendelt sich aber rasch wieder beim Fixpunkt K = 1ein r = 2,2 periodisches Verhalten Noch größere Werte r=2,5 doppelt-periodisches Verhalten 23

24 Diskretes logistisches Wachstum Periodenverdopplungen bei Vergrößerung von r Viererperiode, Achterperiode, ab r~3 => keine einheitlichen Perioden => völlig unvorhersehbare Schwankungen (deterministisches Chaos) Vergrößern von r => teilweise wieder geordnetes periodisches Verhalten 24

25 Alltag Wettervorhersage Wetter wird von unzähligen Parametern und Größen beeinflusst Sobald sich eine dieser Ursachen ändert, führt dies in einem kurzen Zeitraum zu völlig unprognostizierbaren Ergebnissen. Daher sind kaum längerfristige Vorhersagen möglich 25

26 Logistische Differentialgleichung Erstmals 1837 Beginn eines neuen Forschungsgebietes: mathematische Chaostheorie Differentialgleichung Trennen der Variablen: exakte Lösung 26

27 Schulunterricht Diskretes logistisches Wachstum als Näherungslösung angeben Wetter Klimawandel => fächerübergreifender Unterricht Logistische Differentialgleichung exakt zu lösen 27