Teil 2. Hier: Verwendung von Methoden aus der Analysis. Wachstumsrate, Wachstumsgeschwindigkeit Differenzialgleichung. Auch mit CAS-Einsatz

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1 Themenheft Exponentielles Wachstum Teil 2 Hier: Verwendung von Methoden aus der Analysis. Wachstumsrate, Wachstumsgeschwindigkeit Differenzialgleichung Auch mit CAS-Einsatz Datei Nr Stand 23. Februar 2012 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Es gibt mehrere Wachstumsarten und daher auch einige Texte zu diesem Thema. Um sich zurecht zu finden, gibt es auf der Mathe-CD eine Übersicht im Analysis-Menü. Dort sind alle Texte übersichtlich zusammengestellt. Auch unten auf dieser Seite gibt es Hinweise. Zum exponentiellen und zum begrenzten Wachstum gibt es je einen Text mit weniger hohen Anforderungen gehören. Sie gehören zur Sekundarstufe 1 und sind daher im Ordner 5-10, Unterordner 18_Funktionen gespeichert. Und zu beiden gibt es einen zweiten Text mit höheren Anforderungen. Hier wird dann mit Methoden der Analysis gearbeitet. Begriffe wie Wachstumsrate, Wachstumsgeschwindigkeit und Differenzialgleichungen treten dort in Erscheinung. Da es sich um Exponentialfunktionen handelt, stehen diese Texte im Ordner 4_Analysis/45_Expo. Dort findet man auch Texte zu logistischem, vergiftetem und chaotischem Wachstum. Für den Aufbau der Texte ist folgendes hilfreich: Man muss prinzipiell zwei Sorten Wachstum unterscheiden. (1) Das sprunghafte Wachstum tritt auf, wenn - wie bei der Verzinsung die Änderung der Werte nicht gleichmäßig erfolgt, sondern nur zu gewissen Zeitpunkten stattfindet. Das ist auch beim Wachstum von Bakterienpopulationen der Fall. Der vorhandene und zu- oder abnehmende Bestand sind dann einzelne Werte, was man eine Zahlenfolge nennt. Hier geht es also dann um Zahlenfolgen. (2) Bei einer Temperaturzunahme oder Wachstum von Pflanzen liegt stetiges Wachstum vor. Zu dessen Beschreibung verwendet man stetige Funktionen, die es gestatten, die Größe des sich ändernden Merkmals zu jedem Zeitpunkt zu berechnen. Man darf sich dabei jedoch nicht verwirren lassen, dass man für stetiges Wachstum auch oft Zahlenfolgen verwendet, die dann entstehen, wenn man die Bestandswerte in bestimmten Zeitabständen ermittelt. Die wichtigen Fragestellungen beim Wachstum: Zuerst einmal geht es immer darum, ein mathematisches Modell für die vorliegende Wachstumsart zu erstellen oder zu finden. Dazu ist es wichtig, herauszufinden, wie die Werte zu- oder abnehmen. (1) Beim sprunghaften Wachstum, also den Zahlenfolgen, untersucht man dazu meistens die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder, also den Wachstumszuwachs B = B( t+ 1) B( t). Je nach Art dieser Differenzengleichung kann man auf die Art des Wachstumsmodells schließen. (2) Beim stetigen Wachstum kann man zur Beschreibung eine stetige Funktion verwenden, deren Ableitungsfunktion dann die Wachstumsgeschwindigkeit der Funktionswerte B(t) beschreibt. Dies lernt man dann erst in der Oberstufe. (3) Für die Wachstumswerte benötigt man Berechnungsformeln. Wird das Wachstum durch eine Zahlenfolge beschrieben, dann gibt es immer erst mal eine rekursive Methode.

3 Sie funktioniert so, dass man eine Formel (Gleichung) angibt, mit der man aus einem bekannten Wert B(t) den Nachfolger B(t+1) berechnen kann. Natürlich muss man dazu den Startwert B(0) kennen, bei dem man mit der Berechnung beginnt. Es gibt aber auch meistens einen Funktionsterm, mit dem man beliebige Werte direkt berechnen kann, ohne den Vorgänger zu kennen. Dies ist die explizite Methode. Bis hierher liegt das eigentlich Wissenschaftliche in der Untersuchung des Wachstums. Dieser Teil wird von Schülern meist nicht sehr geschätzt. Aber er ist immens wichtig, weil er das mathematische Denken schult und Wege aufzeigt, wie man solche Vorgänge analysieren kann. (4) Dann kommen die Anwendungsaufgaben, also die Übungsaufgaben. Jetzt muss man lernen, wie man aus bekannten Werten die Funktionsgleichung von Folge oder Funktion aufstellen kann. Oder zu welchem Zeitpunkt ein gewisser Wert oder Prozentsatz vorliegt. In aller Regel muss man dazu dann Gleichungen oder Ungleichungen lösen, also eine Menge Algebra einsetzen. Dieser Teil hat sich inzwischen sehr verändert. Das Vorhandensein der modernen Rechner (Grafikrechner, CAS) nimmt dem Schüler ja diese Algebra weitgehend ab. Daher liegt der Schwerpunkt mehr auf komplexen Fragestellungen, die vom Schüler verlangen, einen Lösungsweg zu erdenken, in mathematische Form zu bringen und dann den Rechner günstig einzusetzen. Weil diese Entwicklung sehr bedenklich ist und nur noch mathematische Restfähigkeiten hinterlassen wird, will ich bei den meisten Lösungen eine manuelle Lösung vorstellen, die natürlich zur Endberechnung einen Taschenrechner benötigt. Sehr oft gibt es dann auch noch Screenshots von Lösungen mit CAS-Rechnern mit Erklärungen, wie man geschickt vorgehen kann. In vorliegendem Text wird das Thema Exponentielles Wachstum fortgeführt. In wurden die Grundlagen erklärt (Berechnung von Bestandswerten) begleitet von einer großen Sammlung an Aufgaben (in 18815). Die Fortsetzung dieses Themas erfolgt hier. Es geht nun vor allem um Wachstumsraten bei stetigem Wachstum sowie um Differenzialgleichungen.

4 Hier die Übersicht über die Vielfalt der Texte zum Wachstum: Niveau Klassenstufe 10: Lineares Wachstum Aufgaben dazu Exponentielles Wachstum Finanzmathematik Didaktische Hinweise dazu Aufgaben Exponentielles Wachstum 1a Begrenztes Wachstum Aufgaben Begrenztes Wachstum 1b Niveau Oberstufe (mit Hilfsmitteln der Analysis) Zentraltext mit Übersicht Mathematische Hintergründe Quadratisches Wachstum Exponentielles Wachstum Aufgaben Exponentielles Wachstum 2a Begrenztes Wachstum Aufgaben begrenztes Wachstum 2b Logistisches Wachstum Aufgaben logistisches Wachstum Andere Wachstumsmodelle (Logistischer Zerfall, vergiftetes, chaotisches sowie verzögertes Wachstum) Im Moment sind noch alle Texte verfügbar - Februar 2012

5 Inhalt 1 Zusammenfassung der Grundlagen 6 2 Die Bedeutung der Differenzengleichung 8 3 Wachstumsraten bei sprunghaftem und stetigem Wachstum Wachstumsraten bei sprunghaftem Wachstum (anspruchsvoll) Wachstumsraten bei stetigem Wachstum 11 Beispiele: (1) abstrakt 12 (2) Pflanzenwachstum 15 (3) Pflanzenwachstum: Wachstumsrate verstehen! 17 (4) Radioaktiver Zerfall 19 4 Differenzialgleichung des stetigen exponentiellen Wachstums Aus der Wachstumsrate die Bestandsfunktion errechnen 22 Trainingsaufgabe Die Differenzialgleichung des stetigen exponentiellen Wachstums 24 Trainingsaufgabe Bestätigung der Lösung einer Differenzialgleichung 25 Trainingsaufgabe Die Lösung einer DGL berechnen (Schulmethode) Die Lösung einer DGL berechnen (Trennung der Variablen) 27 Trainingsaufgabe 4 27 Allgemeines Lösungsverfahren 29 Beweis der Eindeutigkeit der Lösung einer DGL 20 5 Trainingsaufgaben dieses Textes 31 Lösung der Trainingsaufgabe 1 32 Lösung der Trainingsaufgabe 2 33 Lösung der Trainingsaufgabe 3 34 Lösung der Trainingsaufgabe 4 35

6 45810 Wachstum Zusammenfassung der Grundlagen Die Einführung in das exponentielle Wachstum steht im Text Hier kompakt das Grundwissen aus diesem Text: 1. Nimmt ein Bestand B( t ) in gleichen Zeitspannen t um den gleichen Prozentsatz p zu, dann entsteht eine Exponentialfolge, die man auf zwei Arten berechnen kann: rekursiv durch B( t+ 1) = B( t) q (1) t explizit durch Bt ( ) = B0 ( ) q (2) Man muss jedoch den Anfangswert B(0) und den Wachstumsfaktor q = 1+ p kennen. Achtung, wegen t { 0, 1, 2,...} stellt die Funktion (2) eine Zahlenfolge dar. Man sieht also: Prozentuales Wachstum führt zu exponentiellem Wachstum. 2. Die Gleichung (1) B( t+ 1) = B( t) q hat noch eine weitere Bedeutung. Durch Division entsteht daraus ( + ) B( t) B t 1 Diese Formel sollte man kennen, wenn man im Unterricht schon Zahlenfolgen behandelt hat. In Worten besagt sie: = q Der Quotient aufeinander folgender Werte ist konstant. Folgen mit diesem Merkmal nennt man geometrische Folgen. Sie haben bestimmte Eigenschaften, die im Text ausführlich besprochen werden. 3. Bei Wachstumsmodellen muss man wissen, auf welche Art die Folgenglieder zunehmen. Die Formel (1) hilft uns hier weiter: Statt B( t+ 1) = B( t) q schreiben wir B( t+ 1) = B( t) ( 1+ p) Durch Umstellen entsteht diese Differenzengleichung: B( t+ 1) B( t) = B( t) p (4) Dividiert man jetzt durch B(t), dann erhält man: B( t+ 1) B( t) ist die absolute Zunahme der Werte, ( + ) ( ) B t 1 B t B(t) ist die relative Zunahme der Werte. ( + ) ( ) B( t) B t 1 B t (5) besagt, dass die absolute Zunahme proportional ist zum Bestand B(t). = p (5) In anderen Worten: In gleichen Zeitabschnitten haben wir stets dieselbe prozentuale Zunahme.

7 45810 Wachstum 1 7 Zahlenbeispiel: t B( t) = 20 1,15 Relative Zunahme in der Zeitspanne von t = 0 bis t = 2: ( ) ( ) ( ) B2 B0 26, ,45 = = 0,32 B Relative Zunahme in der Zeitspanne von t = 5 bis t = 7: ( ) ( ) ( ) B7 B5 53,20 40,23 12,97 = = 0,32 B 5 40,23 40,23 Beide Beobachtungsintervalle erstrecken sich über 2 Zeiteinheiten, und in beiden wächst der Bestand um etwa 32 % an. Mit nicht gerundeten Werten sollte man genau 30% erhalten, also das Doppelte der 15%, welche die Zunahme pro Zeiteinheit darstellt. MERKE: Prozentuales Wachstum ist exponentielles Wachstum. Die Wachstumswerte bilden eine geometrische Zahlenfolge. Hinweis: Ist eine Bestandsfunktion als e-funktion gegeben, kann man sie wie folgt umrechnen: 0,015 t t ( ) = soll umgewandelt werden in B( t) = q B t e 0,015 t 0,015 t e = e = q sein soll, vergleicht man Weil ( ) t 0,015 q = e 0,985 t Also lautet die Gleichung der Bestandsfunktion auch so: B( t) = ,985

8 45810 Wachstum Die Bedeutung der Differenzengleichung In Abschnitt 2 wurde die Differenzengleichung für das exponentielle Wachstum erwähnt: B( t+ 1) B( t) = B( t) p (4) Es wird von Schülern verlangt, dass Sie diese Gleichung herleiten können. Und das ist einfach, denn sie entsteht einfach aus der Grundgleichung des prozentualen Zuwachses: Bedeutung: ( ) ( ) ( ) B t+ 1 = B t + B t p alter Wert (4) gibt an, wie man absolute Zuwächse berechnet. prozentualer Zuwachs Beispiel: Wenn man B( 4) = 120 kennt, und wenn die prozentuale Zunahme 5% beträgt, Dann weiß man, dass nunmehr eine Zunahme um B( 4) 0,05 = 120 0,05 = 6 erfolgt. Also lautet der nächste Wert B( 5) = = 126. Im Grund steckt dahinter die rekursive Berechnung der nächsten Werte aus dem jeweiligen Vorgänger. Für Zahlenfolgen, und die entstehen ja beim sprunghaften Wachstum, sind eben diese Differenzengleichungen charakteristisch. Das bedeutet, dass sie die Art des Wachstums klassifizieren, kennzeichnen, ausdrücken, also die Art der Zunahme der Werte. Beispiele für Differenzengleichungen bei verschiedenen Wachstumsarten: a) Ist die Differenz aufeinander folgender Glieder konstant: B( t+ 1) B( t) = d, dann liegt lineares Wachstum vor. Die Wachstumsfolge ist dann eine arithmetische Folge. b) Gilt wie hier B( t+ 1) B( t) = B( t) p,. Dann folgt durch Umformung ( ) ( ) ( ) B t+ 1 = B t 1+ p, d. h. es gilt ( + ) B t 1 B(t) = 1+ p, d.h. Der Quotient auseinander folgender Werte ist konstant. Dann liegt eine geometrische Zahlenfolge vor mit ( ) ( ) t t B t = a 1+ p = a q. Hier liegt das prozentuale oder exponentielle Wachstum vor. c) Für das begrenzte Wachstum gilt für die Differenzenfolge: ( + ) ( ) = ( ( )) B t 1 B t p S B t wobei S der Grenzwert der Wachstumsfunktion ist. (Siehe Text 45802) d) Für das logistische Wachstum (am Anfang exponentiell, am Ende begrenzt, gilt: B( t+ 1) B( t) = k B( t) ( S B( t) )

9 45810 Wachstum 1 9 Kleine Aufgaben dazu a) Für einen Wachstumsvorgang gelte die Differenzengleichung B( t+ 1) B( t) = 12. Lösung: Bestimme die (explizite) Berechnungsgleichung für die zugehörige Wachstumsfolge, wenn außerdem gilt: B( 0) = 48. Weil die Differenz aufeinander folgender Glieder konstant ist, liegt gleichmäßiges, also lineares Wachstum vor (und die Zahlenfolge heißt arithmetisch). Man kann daher jedes Folgenglied aus dem Vorgänger berechnen, indem man 12 dazu addiert: B( t+ 1) = B( t) Beginnt man mit B( 0) = 48, dann folgt: B( 1) = B( 0) + 12 = = 60 ( ) ( ) ( ) ( ) Allgemein: B( t) = B( 0) + n 12 = 60 + n 12 B 2 = B = = 72 B 3 = B = = 84 b) Für einen Wachstumsvorgang gilt die Differenzengleichung B( t+ 1) B( t) = 0,2 B( t). Lösung: WICHTIG: Bestimme die (explizite) Berechnungsgleichung für die zugehörige Wachstumsfolge, wenn außerdem gilt: B( 0) = 100. Aus der Differenzengleichung folgt: B( t+ 1) = B( t) + 0,2 B( t) = B( t) ( 1+ 0,2) = B ( t ) 1, 2 Beginnt folglich mit B( 0) = 100, dann folgt: B( 1) = B( 0) 1,2 = 100 1,2 = B ( 2 ) = B ( 1) 1, 2 = B ( 0 ) 1, 2 1, 2 = B ( 0 ) 1, 2 = 100 1, 44 = B( 3) = B( 0) 1,2 = 100 1,728 = 172,8 t r Allgemein: B ( t ) = B ( 0 ) 1, 2 = 100 1, 2 Exponentielles Wachstum. Wenn man weiß, dass eine Differenzengleichung der Form B( t+ 1) B( t) = d zu einer linearen Folge mit ( ) ( ) Bt = B0+ nd führt, kann in a) sofort das Ergebnis anschreiben. Dasselbe gilt für b) mit der Differenzengleichung B( t+ 1) B( t) = p B( t). Hierzu gehört die Folge Bt ( ) = B0 ( ) ( 1+ p) t. Weiß man das, ist man in b) sofort fertig.

10 45810 Wachstum Wachstumsraten bei sprunghaftem und stetigem Wachstum Usw.