Wiederholungen Wachstumsfunktionen IGS List
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- Arwed Glöckner
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1 Wiederholungen Wachstumsfunktionen IGS List Prozentuales Wachstum Wertetabelle Berechnen von Zwischenwerten Berechnen von Wachstumsraten und Wachstumsfaktoren Aufstellen von Funktionsgleichungen f ( ) = b a Halbwertszeiten Aufgaben im Sinnkontet lösen Aufgabe : Ein Kapital von 00 wird mit den angegebenen jährlichen Zinssätzen verzinst. Die Zinsen verbleiben auf dem Konto. a) Fülle die folgende Tabelle aus: Zinssatz:,6 % Zinssatz: 4,5 % Zinssatz 5, % Jahr Kapital Jahr Kapital Jahr Kapital b) Stelle für jede Tabelle eine Funktionsgleichung auf, mit der sich das Kapital in Abhängigkeit von der Zeit ermitteln läßt. Aufgabe : Die folgenden Tabellen zeigen das Anwachsen eines Kapitals mit unterschiedlichen Zinssätzen. a) Brechne für jede Tabelle die Zinssätze, stelle jeweils eine Funktionsgleichung (jährlicher Wachstumsfaktor) auf und berechne die fehlenden Werte. Zinssatz: Zinssatz: Zinssatz: Jahr Kapital Jahr Kapital Jahr Kapital ,0 79,80 68,9 708, , , , ,0 6 0 Aufgabe : In dem abgebildeten Koordinatenkreuz siehst du die drei Funktionen f, f und f. Stelle zu jedem Funktionsgraphen eine Funktionsgleichung auf. Die dargestellten Punkte liegen auf den Graphen und können zur Ermittlung der Funktionsgleichung genutzt werden.
2 Hilfen: Du kannst auch hier mit Tabellen arbeiten. Trage die markierten Werte in die Tabelle ein und ermittle die Wachstumsfaktoren. f f f f() f() f() , f f f Wachstumsfaktor: Wachstumsfaktor: Wachstumsfaktor: Wachstumsrate: Wachstumsrate: Wachstumsrate: Aufgabe 4: Eine Bakterienkultur wächst eponentiell in Stunde von 00 Keimen auf 50 Keime. a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung der Wachstumsfunktion auf (Zeiteinheit: Stunde)! b) Vervollständige die Tabelle. Stunden Anzahl der Bakterien c) Zeichne die Bakterienvermehrung in das bereit gestellte Koordinatensystem. d) Nach welcher Zeit hat sich die Zahl der Keime verdoppelt? (Verdoppelungszeit) Bestimme diese Zeitspanne möglichst eakt. Dokumentiere dein Vorgehen. e) Nach welcher Zeit hat die Kultur 000 Keime?
3 Aufgabe 5: Die Preissteigerung in den Lebenshaltungskosten von 965 bis 97 in der Bundesrepublik Deutschland wird durch folgende Tabelle dargestellt (965 Preisinde 00): Jahr Inde 00 0, ,5 09,5,5 9,5 6,5 Wachstumsrate a) Berechne die jährlichen Wachstumsraten (siehe Tabelle). b) Ermittle die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate. c) Stelle mit den Werten von 965 und 97 eine eponentielle Wachstumsfunktion auf und vergleiche die Funktionswerte mit den Werten der Tabelle. d) Stelle den Funktionsgraphen in dem folgenden Koordinatensystem dar.
4 Aufgabe 6: Auf einem Teich wachsen zwei Algensorten. Sorte A bedeckt zu Beginn des Beobachtungszeitraums m, Sorte B 7 m. Bei Sorte A verdoppelt sich die bedeckte Fläche in Tagen, bei Sorte B in 5 Tagen. a) Gib die Funktionsgleichungen für das Wachstum beider Algensorten an. Zeichne die Graphen für beide Funktionen für einen Beobachtungszeitraum von mindestens Wochen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Verwende das Koordinatenkreuz unten. b) Bestimme anhand der Zeichnung, nach wie vielen Tagen die von beiden Sorten bedeckte Fläche gleich groß ist. c) Bei ungehindertem Wachstum wäre der Teich nach Tagen vollständig mit den beiden Algen bedeckt. Bestimme die Größe des Teichs.
5 Wiederholungen Wachstumsfunktionen IGS List LÖSUNGEN Aufgabe : a) Zinssatz:,6 % Zinssatz: 4,5 % Zinssatz 5, % Jahr Kapital Jahr Kapital Jahr Kapital , 99 44,7 6, 40, ,5 446, 50,6 6 98, 4 54,6 4 6,5 8 00, 5 65,6 5 74,6 0 65,4 b) f ( ) = 00,06 f ( ) = 00,045 f ( ) = 00,05 Aufgabe : a) Brechne für jede Tabelle die Zinssätze, stelle jeweils eine Funktionsgleichung (jährlicher Wachstumsfaktor) auf und berechne die fehlenden Werte. Zinssatz: 4 % Zinssatz: _,5 %_ Zinssatz: _8 % Jahr Kapital Jahr Kapital Jahr Kapital ,0 79,80 68,9 708,90 88,70 4 7,7 777,0 884, , ,40 4 9, ,49 5 9, , ,0 6 09, ,70 f ( ) = 580, 04 f ( ) = 750, 05 f ( ) = 50, 08 Aufgabe : f f f f() f() f() ,, , f f f Wachstumsfaktor: 0,8 Wachstumsfaktor:,5 Wachstumsfaktor: Wachstumsraterate: -0 % Wachstums- 50 % Wachstumsrate: 0,9-0 % f ( ) = 6 0, 8 f ( ), 5 = f ( ) = 4 0, 9
6 Aufgabe 4: Eine Bakterienkultur wächst eponentiell in Stunde von 00 Keimen auf 50 Keime. a) f ( ) = 00, 6 b) Stunden Anzahl ,5 64, 84, 084,4 68,6 69,6 958,7 der Bakterien c) Zeichne die Bakterienvermehrung in das bereit gestellte Koordinatensystem. Lösung siehe unten! d) Nach welcher Zeit hat sich die Zahl der Keime verdoppelt? (Verdoppelungszeit) Die Lösung ist im Koordinatenkreuz dargestellt (5,6 Stunden) Bestimme diese Zeitspanne möglichst eakt. Dokumentiere dein Vorgehen. 00 = 00,6 00 =,6 00 =,6 lg lg,6 = 5,45 Lösung mit demgtr: - Eingeben der Funktionsgleichungen y y = 00,6 = 00 - Einstellung des Grafikfensters (window) - Bestimmung des Schnittpunkts im Kalkulationsmenü S(5,4 ; 00) e) Nach welcher Zeit hat die Kultur 000 Keime? Rechnerische Lösung: 000 = 00,6 000 =, =,6 lg0 lg.6 = 8,06 = Lösung mithilfe des GTRs: Funktionsgleichung eingeben In der Tabelle nachschauen, bei welchem Wert der y Wert 000 erreicht ist. Lösung: 8 098
7 Aufgabe 5: a) Berechne die jährlichen Wachstumsraten (siehe Tabelle). Jahr Inde 00 0, ,5 09,5,5 9,5 6,5 Wachstumsrate,5 %,45 %,4 %,8 %,7 % 5, % 5,8 % b) Ermittle die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate. : 6,5 7 = a 00 a =,04
8 c) Stelle mit den Werten von 965 und 97 eine eponentielle Wachstumsfunktion auf und vergleiche die Funktionswerte mit den Werten der Tabelle. Jahr Inde 00 0, ,5 09,5,5 9,5 6,5 Funktionswerte 00 0,4 06,9 0,6 4, 8,, 6,4 Es treten bei den mittleren Werten deutliche Unterschiede auf. Anfangs- und Endwert sind identisch, da sie zur Berechnung der Funktionsgleichung genutzt wurden. d) Stelle den Funktionsgraphen in dem folgenden Koordinatensystem dar. Aufgabe 6: Auf einem Teich wachsen zwei Algensorten. Sorte A bedeckt zu Beginn des Beobachtungszeitraums m, Sorte B 7 m. Bei Sorte A verdoppelt sich die bedeckte Fläche in Tagen, bei Sorte B in 5 Tagen. a) Zeichne die Graphen für beide Funktionen für einen Beobachtungszeitraum von mindestens Wochen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Verwende das Koordinatenkreuz unten. Aufstellen der Funktionsgleichungen: a = a =,599 a = 5 a =,487 f( ) =,599 Graphen siehe unten! f ( ) = 5,487 b) Anhand der Zeichnung ist abzulesen, dass nach 5,5 Tagen die von den Algen bedeckte Fläche gleich groß ist. c) Bei ungehindertem Wachstum wäre der Teich nach Tagen vollständig mit den beiden Algen bedeckt. Bestimme die Größe des Teichs. Man berechnet die Ausdehnung von beiden Algensorten und addiert die Werte: f () =,599 f () = 5,487 f () = 609, f () =,6 Größe des Teichs: 609, +,6 = 70,6 m
9 Diese hier nach dem eponentiellen Wachstum angenommene Größe des Teichs wird sich in der Realität so nicht berechnen lassen. Hier wird ein begrenztes Wachstum vorliegen, d.h. dass die Zunahme zum Schluss langsamer erfolgen wird.
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