Exponentialfunktionen

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1 Eponentialfunktionen 1. Eine Lotosblume bedeckt zum jetzigen Zeitpunkt eine Teichfläche von 0, m. Die bedeckte Teichfläche verdoppelt sich von Monat zu Monat. Nach welcher Zeit (nach Beginn der Beobachtung) beträgt die bedeckte Teichfläche 8 m? Kann das Wachstum durch eine Funktion der Art = k a beschrieben werden (k positiv, a > 1), so spricht man von einem eponentiellen Wachstum.. Die Anzahl der Bakterien in einer Bakterienkultur verdopple sich alle Stunden. Zu Beginn der Beobachtung seien 00 Bakterien vorhanden. a) Erläutere, dass das Wachstum der Bakterienkultur durch = 00 beschrieben wird. b) Wie viele Bakterien beinhaltet die Kultur 10 Stunden nach Beginn (vor Beginn) der Beobachtung? c) Nach welcher Zeit (nach Beginn der Beobachtung) sind Bakterien vorhanden?. Die Temperatur eines 85 C heißen Körpers halbiert sich stündlich. a) Stelle eine Funktion auf, die den Abkühlungsvorgang beschreibt. b) Stelle den Abkühlungsvorgang grafisch dar. c) Welche Temperatur hat der Körper 5 Stunden nach Beginn des Abkühlungsvorganges? d) Nach welcher Zeit beträgt die Temperatur des Körpers1 C? Kann die Abnahme einer Größe durch eine Funktion der Art = k a beschrieben werden (k positiv, 0 < a < 1), so spricht man von einer eponentiellen Abnahme.. Auf demgraphender Funktion = k a liegendie Punkte A(6 87,8) undb( ,8). Bestimme die Konstanten a und k. 1

2 Eponentialfunktionen 1. Eine Lotosblume bedeckt zum jetzigen Zeitpunkt eine Teichfläche von 0, m. Die bedeckte Teichfläche verdoppelt sich von Monat zu Monat. Nach welcher Zeit (nach Beginn der Beobachtung) beträgt die bedeckte Teichfläche 8 m? Wir ermitteln den Zusammenhang von der verstrichenen Zeit und der Größe der bedeckten Fläche: Zeit bedeckte Fläche (in m ) 0 0, 1 0, 0, 0, Also gilt: = 0, 1 = 1 bedeutet einen Monat vor dem Beobachtungsbeginn. 0, = 8 =,7 1. Die Anzahl der Bakterien in einer Bakterienkultur verdopple sich alle Stunden. Zu Beginn der Beobachtung seien 00 Bakterien vorhanden. a) Erläutere, dass das Wachstum der Bakterienkultur durch = 00 beschrieben wird. b) Wie viele Bakterien beinhaltet die Kultur 10 Stunden nach Beginn (vor Beginn) der Beobachtung? 1697 (5) c) Nach welcher Zeit (nach Beginn der Beobachtung) sind Bakterien vorhanden? 0,. Die Temperatur eines 85 C heißen Körpers halbiert sich stündlich. a) Stelle eine Funktion auf, die den Abkühlungsvorgang beschreibt. = 85 ( 1 ) b) Stelle den Abkühlungsvorgang grafisch dar c) Welche Temperatur hat der Körper 5 Stunden nach Beginn des Abkühlungsvorganges? 8,9 C d) Nach welcher Zeit beträgt die Temperatur des Körpers1 C? 8,

3 Eponentialfunktionen. Auf dem Graphen der Funktion = k a liegen die Punkte A(6 87,8) und B( ,8). Bestimme die Konstanten a und k ,8 = k a 10 87,8 = k a ,8 87,8 = a 81 = a a = k = 1, B A

4 Graphen der Eponentialfunktionen (ohne GTR) 1. a) Zeichne die Graphen von f() = und f() =. b) Welche Beziehungen bestehen zwischen den Funktionen?. Skizziere den Graph und erläutere den Verlauf. a) f() = +1 b) f() = c) f() = d) f() =

5 Graphen der Eponentialfunktionen (ohne GTR) 1. a) Zeichne die Graphen von f() = und f() =. b) Welche Beziehungen bestehen zwischen den Funktionen? f() = 6 f() = a) b) Die Graphen gehen durch Spiegelung an der -Achse auseinander hervor. Der Graph von f() = stellt ein eponentielles Wachstum dar, der Graph von f() = wegen = ( 1 ) = ( 1 ) einen eponentiellen Zerfall.. Skizziere den Graph und erläutere den Verlauf. a) f() = +1 b) f() = 5 5 c) f() = d) f() = f() = +1 f() = f() = f() = Die Spiegelung des Graphen von f() = an der -Achse ergibt den Graphen von f() =. f() = ist die Funktion eines beschränkten Wachstums mit der Grenze G =. 5

6 Eponentielles Wachstum, eponentielle Abnahme (eponentieller Zerfall) 1. Wie lautet die Zinseszinsformel? Welche Funktion f() =... (Zeit ) erfasst die Veränderung eines Bestands (Anfangsbestand stets a) für. eine Verdopplung des Bestands pro Zeiteinheit,. eine Verdopplung in jeweils Zeiteinheiten,. eine Halbierung pro Zeiteinheit, 5. eine Halbierung in jeweils Zeiteinheiten (Halbwertszeit beträgt Zeiteinheiten), 6. einen 15%-igen Zuwachs pro Zeiteinheit, 7. eine 15%-ige Abnahme pro Zeiteinheit (einen 15%-igen Zerfall), 8. einen 15%-igen Zuwachs in jeweils Zeiteinheiten, 9. einen Zuwachs um ein Drittel des jeweiligen Bestands pro Zeiteinheit, 10. eine Abnahme um ein Zwölftel des jeweiligen Bestands pro Zeiteinheit? 6

7 Eponentielles Wachstum, eponentielle Abnahme (eponentieller Zerfall) 1. K n = K 0 q n Zinseszinsformel, q = 1+ p 100. f() = a Verdopplung des Bestands pro Zeiteinheit, Anfangsbestand a. f() = a Verdopplung in jeweils Zeiteinheiten, Verdopplungszeit beträgt Zeiteinheiten. f() = a ( 1 ) Halbierung des Bestands pro Zeiteinheit 5. f() = a ( 1 ) Halbierung in jeweils Zeiteinheiten, Halbwertszeit beträgt Zeiteinheiten 6. f() = a 1, f() = a 0, = 1,15, 15%-iger Zuwachs pro Zeiteinheit = 0,85, 15%-igeAbnahme prozeiteinheit, 15%-igerZerfall 8. f() = a 1,15 15%-iger Zuwachs in jeweils Zeiteinheiten 9. f() = a ( ) 1+ 1 =, Zunahme um 1 des Bestands pro Zeiteinheit 10. f() = a ( 11 1 ) = 11 1, Abnahme um 1 1 des Bestands pro Zeiteinheit Um z.b. für f() = a oder f() = a ( 1 ) die jährliche Zuwachs- bzw. Abnahmerate (Zeit in Jahren) zu ermitteln, ist die Funktion auf die Form f() = a b zu bringen. 1 f() = a = a ( ) = a 1,60 jährliche Zunahme um 6,0% f() = a ( 1 ) = a (( 1 )1 ) = a 0,79 jährliche Abnahme um 0,6% Etwas einfacher kann der Bestand nach einem Jahr ermittelt werden und dann der prozentuale Zuwachs bezüglich des Anfangsbestandes. 7

8 Wie geht der Graph von g() = + + aus dem Graphen von f() = hervor? 8