II Wachstumsvorgänge. ( exakt ). Auftrag 2: Der Flächeninhalt eines DIN-A-Formates ist. Schülerbuchseiten

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1 Schülerbuchseiten 9 Erkundungen Seite Der Zerfall von Bierschaum Individuelle Lösung. In der Regel funktioniert der Versuch recht gut. Je nach Biersorte und Sauberkeit des Glases ergibt sich eine Halbwertszeit zwischen 0 und 0 Sekunden. Papier im DIN-A-Format Auftrag : Das Verhältnis der kurzen Seiten aufeinanderfolgender Formate ist immer gleich und ungefähr, ( eakt ). Auftrag : Der Flächeninhalt eines DIN-A-Formates ist n m. Auftrag : Die Abmessungen sind ca.,7 m 0,7 m. Seite 9 Kettenbriefe: Make Mone Fast (MMF) Individuelle Erklärungen, z. B. folgende. Der mögliche Ablauf der Kettenmail: (Voraussetzung: Alle nehmen teil.) Wie viele Leute nehmen teil? In der ersten Runde zahlen 0 Teilnehmer Geld an andere, in der zweiten Runde kommen pro Mail 0 weitere hinzu, es zahlen also 0 0 = 0. In jeder weiteren Runde zahlen jeweils 0-mal so viele Leute wie zuvor, sodass in der n-ten Runde 0 n Leute Geld bezahlen. Runde A (ab der jetzigen Mail): Die 0 Adressaten der Mail (neue Teilnehmer) schicken den Leuten auf der Liste je 0. Ausgabe pro neuem Teilnehmer: 0 = 0 gesamte Einnahmen der Listenteilnehmer: Listennummer (Fred, seine erste Einnahmerunde): 0 0 = 00 Listennummer (Erni, zweite Einnahmerunde): = 00 Listennummer (Dani, dritte Einnahmerunde): = 00 Listennummer (Carlos, vierte Einnahmerunde): = 00 Listennummer (Berta, fünfte Einnahmerunde): = 00 Listennummer (Anton, sechste Einnahmerunde): = 00 Runde B: Die alten Listennummern rücken nun eine Nummer hoch, die. Nummer fliegt mit der (theoretischen) Maimaleinnahme von 00 heraus. Der neue Teilnehmer mit der Listennummer erhält nun in seiner ersten Runde 0 0 = 00. Runde G: Der neue Teilnehmer ist nun in der sechsten und letzten Einnahmerunde. Mögliche Erläuterungen zu A bis G: A: Korrekt, siehe Anmerkungen oben. B: Die Aussage kann man unterstützen: Um auf Platz zu gelangen, müssen von meiner Teilnahme an sechs weitere Runden funktionieren, also = 0 neue zahlende Teilnehmer gefunden werden. Es ist äußerst unwahrscheinlich, dass die Mail in der ersten Runde unterwegs ist. Wenn man z. B. nur davon ausginge, dass schon eine Runde mit 0 Teilnehmern durchlaufen wurde, müssten also insgesamt 7 Runden mit Millionen Teilnehmern stattfinden können. Bei knapp Millionen Einwohnern von NRW dürfte dies unmöglich sein, da. nur die Internetteilnehmer infrage kommen und. sicherlich nur wenige sich auf Kettenmails einlassen. C: Korrekt, siehe Anmerkungen oben. D: Korrekt: Da die Zahl der neuen Teilnehmer in jeder weiteren Runde um den Faktor 0 wächst, handelt es sich um eponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor 0. Voraussetzung ist allerdings, dass sich alle Adressaten der Mail beteiligen; das eponentielle Wachstum dient hier als ein mathematisches Modell und ist eine annähernde Beschreibung des Kettenmailphänomens. E: Hier könnten individuelle Begründungen der Strafbarkeit von Kettenbriefen erfolgen. F: Die Angabe des theoretisch maimal möglichen Gewinns ist korrekt (siehe Anmerkungen oben). Die Aussage, dass das in der Mail formulierte Versprechen, zum Millionär zu werden, angemessen sei, ist jedoch sehr kritisch zu betrachten. Zum einen wird hier ohne Einschränkung eine Teilnahme aller Adressaten vorausgesetzt, zum anderen wird die Tatsache ausgeblendet, dass ab einer bestimmten Rundenanzahl die Anzahl der neu hinzuzugewinnenden Teilnehmer so groß wird, dass diese Mail nur eine eingeschränkte Rundenanzahl funktionieren kann (vgl. auch B und G). G: Um nach bereits 7 Runden weitere Runden erfolgreich durchlaufen zu können, müsste die Kettenmail wegen des eponentiellen Anstiegs ihrer Teilnehmerzahl in der. Runde auf theoretisch 0 0 Billionen neue zahlungswillige Teilnehmer treffen, also auf ein großes Vielfaches der Einwohnerzahl unserer Erde. Vor diesem Hintergrund ist die Aussage verständlich. Selbst wenn man einwendet, dass man nicht von einer Teilnahme aller ausgehen kann und daher sich nur ein bestimmter Prozentsatz beteiligen würde, scheint die Annahme utopisch, bei Nickis Einsteigen mit einem finanziellen Erfolg zu rechnen. L

2 Schülerbuchseiten Wachstumsvorgänge Seite a) Nach Jahren beträgt Mias monatliches Taschengeld 0. Nach Jahren beträgt der Stundenlohn gerundet,0. c) Nach Minuten ist die Kerze mm kürzer als ursprünglich. Sie ist dann 7, cm lang. d) Der Computer hat nach Jahren einen Wert von 0. e) Die Hefekultur hat nach Stunden eine Masse von g. a) Änderung: 0, Millionen ; relative Änderung: 0,, = 0,07 7, % In diesem Jahr beträgt der Gewinn ,9 = 0. c) Prozentuale Änderung im abgelaufenen Jahr: , %; im kommenden Jahr: 00 00, % d) Änderung im abgelaufenen Jahr: 9,0 ; im kommenden Jahr: 90 Seite a) Zeitschritt von 0 nach von nach von nach Änderung + +,, relative Änderung + 00 % + % 0 % Zeitschritt von nach von nach Änderung relative Änderung + 0 % +,7 % Nein. Bei gleicher Zunahme ändert sich die prozentuale Zunahme mit dem Grundwert; z. B. größte Zunahme von nach, größte prozentuale Zunahme von 0 nach. c) B () = 0 a) B () =,, =,79 B (9) = ( 0,0) =, c) B () =, :,07,907 7 a) Größte absolute Änderung von 00 auf 007; ca.,7 Millionen; größte relative Änderung von 00 auf 00; Zunahmen ca. 70 %. Die Änderung beschreibt nur die Veränderung eines Bestands ohne Rücksicht darauf, wie hoch der Bestand vor der Änderung war. Die relative Änderung beschreibt nicht die Veränderung alleine, sondern die Veränderung relativ zum Bestand vor der Änderung. Somit kann z. B. eine große Änderung bei einem sehr großen Bestand eine kleine relative Änderung zur Folge haben. Lineares und eponentielles Wachstum Seite a) lineares Wachstum mit der Änderung d = ; B (0) = B (0) + 0 = eponentielles Wachstum mit dem Wachstums faktor q = ; B (0) = B (0) 0 = 0 7 c) eponentielles Wachstum mit dem Wachstums faktor q =,; B (0) = B (0), 0 9,7 d) eponentielles Wachstum mit dem Wachstums faktor q = 0,; B (0) = B (0) 0, 0 0, a) lineares Wachstum Jahr 0 Taschengeld Taschengeld (in ) Zeit (in Jahren) eponentielles Wachstum Jahr 0 Stundenlohn 0 0,0,0,, 0 Stundenlohn (in ) Zeit (in Jahren) 0 0 L

3 Schülerbuchseiten c) lineares Wachstum (Abnahme) Zeit (min) Höhe (mm) Höhe (in mm) Zeit (in min) d) eponentielles Wachstum (Abnahme) Jahr 0 Wert 00 0,, Wert (in ) Zeit (in Jahren) 7 e) eponentielles Wachstum Stunden 0 Masse (g) 0 Masse (in g) f) lineares Wachstum Zeit (min) 0 Volumen (ø) a) Volumen (in ø) Zeit (in min) 0 0,,,,7 0,7,7,,,9, a) q =,; B () = 00, 97,0 p = 0,; q = p + =,; B () = 00, 7,9 c) p = 0,; q = p + = 0,; B () = 00 0, 7, d) q = 0,9; B () = 00 0,9,7 Seite 7 a), 7, 7 Der Ast hat voraussichtlich nach etwas mehr als zwei Jahren mehr als 0 Enden. a) Jahr Anz. 0,9,,,,0 9, d 0, 0,9 0,7,9,9 q,,,7,,97 p, %,0 %,7 %, % 9,7 % Es handelt sich nicht um eponentielles Wachstum. Bezüglich der absoluten Änderung geht die UN von einem stärkeren und bezüglich der prozentualen Änderung von einem schwächeren Wachstum aus. 0 Zeit (in h) L 7

4 Schülerbuchseiten 0 9 a) t (in Jahren) Wert f (t) (in ) f (0) = = In 0 Jahren beträgt der Wert noch t (in Jahren) Wert f (t) (in ) f (0) = 0 000,0 0 = In 0 Jahren beträgt der Wert.,0 0 a) 0,00 = Jahre, = 0,00 +,0; = Jahre, 7 0, = 0, Herrn Riesling droht also ein Führerscheinentzug. Seite 7 a) Höhe Luftdruck Abnahme (in %) , 79,7 70,, 0, 7,9 7,9, Die prozentuale Abnahme ist etwa konstant. Der Luftdruck nimmt pro km um ungefähr bis % ab. c) Wir nehmen eine jährliche Abnahme von, % an. B () = B (0) 0,7 0 hpa. a) Lineares Wachstum mit der Änderung d = ; B () =. Es handelt sich weder um lineares noch um eponentielles Wachstum. Für die Anzahl der Würfelchen gilt B (n) = (n + ) ; B () = 79. c) Lineares Wachstum mit der Änderung d = ; B () =. d) Eponentielles Wachstum mit q = ; B () =. a) Modell % jährlich: 000,0 t : 00; ; 0 (Endgehalt), also in der Summe 9 = Modell Einmalzahlung von 7 %, dann % jährlich: 0, einmalig, dann 00; ; (Endgehalt), also in der Summe = 7 0. Die Arbeitgeberseite bietet den Arbeitnehmern mehr in diesen drei Jahren, die Arbeitnehmer bleiben aber für die Folgezeit auf einem niedrigeren Gehaltsniveau, das die Basis für die nächsten Gehaltssteigerungen ist. Eponentialfunktionen Seite 0 a) f () =, monoton zunehmend f () = 0,, monoton abnehmend c) f () =, monoton zunehmend d) f () = 0,, monoton abnehmend a) = h () = k () = h () = g () = f () = g () = f () = k () a) f () = f () = c) f () = + d) f () = 0, + L

5 Schülerbuchseiten 0 a) = g () 7 = h () = f () = k () Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch Streckung (Faktor ) in -Richtung hervor. Der Graph von h geht aus dem Graphen von g durch Spiegelung an der -Achse hervor. Der Graph von k geht aus dem Graphen von h durch Verschiebung um Einheiten in -Richtung hervor. = g () = f () = h () 7 = k () Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der -Achse hervor. Der Graph von h geht aus dem Graphen von g durch Streckung (Faktor ) in -Richtung hervor. Der Graph von k geht aus dem Graphen von h durch Verschiebung um Einheiten in -Richtung hervor. Seite a) g () = + g () = g () = g () = g () = + g () = g () =, +, g () =, a) q + = q q = q f () Der Funktionswert wird mit dem Faktor q multipliziert. q = q q = q f () Der Funktionswert wird durch q dividiert. c) q = (q ) = ( f () ) Der Funktionswert wird quadriert. d) q = q = f () Der neue Funktionswert ist die Quadratwurzel des ursprünglichen Funktionswertes. e) q = (q ) = ( f () ) Der neue Funktionswert ist die dritte Potenz des ursprünglichen Funktionswertes. f) q = q = f () Der neue Funktionswert ist die dritte Wurzel des ursprünglichen Funktionswertes. 9 a) Richtig, da auch > 0 ist. Nicht entscheidbar, da das Vorzeichen von a nicht bekannt ist. c) Richtig, da a + = a = f (). d) Falsch, da a = a ( ) (a ) für alle a und a 0. e) Falsch, da a = a ( ) = h (); ( ) ist für * R nicht definiert. Bestimmung von Eponentialfunktionen Seite a) q = ; a = q = ; a = c) q = ; a = d) q = ; a = e) q = ; a =, f) q = ; a = 7 g) q = ; a = h) a = b; q = d a i) a = b; q = c a Seite a) f () = 0, f () =, c) f () = 0, d) f () = ( ) L 9

6 Schülerbuchseite a) Graph ist spiegelbildlich zu f () = 0, ; Graph ist monoton fallend. f (0) =, Graph ist monoton fallend. c) Graph verläuft durch P ( 0 ), jedoch nicht durch Q ( ). d) f (0) = e) f () = f) f () = 9 0 f) 9 e) a) f () = f () = a) g) f () = ( ) h) f () = 0 c) f () = d) f () = ( ) g) h) d) 7 c) 7 a) Um, %; ( ( 0,9 ) 00 % ) Zeit (in min) Schaumhöhe (in cm): f () = 0 0,9 0 Schaumhöhe (in cm) Zeit (in min) 0, 0,,,,, 0 s c) Nach der Skizze liegt die Halbwertszeit etwa bei 0 s. Somit liegt sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vor. Nach einer Stunde hat sich die Anzahl der Bakterien vervierfacht. Zeit (in h) Anzahl der Bakterien: f () = 00 9 q = ; q = ,; a = 0, kg L 0

7 Schülerbuchseiten Seite a) Zeit (in s) Amplitude (in cm),, 0,9 0, 0, 0, Die Amplitude halbiert sich alle 0 Sekunden. q = 0,; a =, f () =, 0, 0 a) Prozentsatz am ursprünglichen Stickstoffgehalt Zeit (in min) Die Anzahl der Minuten seit Beginn der Messung wird mit bezeichnet. Zwei Zeitpunkte n und n + sollen 0 Minuten auseinanderliegen. Es ist also n = 0. Wenn B (n) den Bestand zum Zeitpunkt n angibt, also den Stickstoffgehalt in %, so liegt eponentielles Wachstum vor, wenn der Quotient q = B (n) konstant ist. B (n ) Von n = 0 bis n = : q =, 00 = 0, Von n = bis n = : q =,, 0, Von n = bis n = : q =, 0, Von n = bis n = : q =,9 0, Von n = bis n = : q =,0,9 0,0 Von n = bis n = : q =,,0 = 0, Der Wert für q schwankt um 0,. Die Messwerte legen ein eponentielles Wachstum (hier eine Abnahme) nahe. c) Funktionsgleichung: f () = 00 0, 0 Damit ergibt sich: f () 00 7,0, 7,,,0 Die Messwerte werden also näherungsweise beschrieben. Logarithmen Seite 7 a) = log () = log 7 (9) c) = log ( 9 ) d) = log (7) e) 0, = log () f) 0 = log () g) = log ( 000 ) h) = log (z) a) = = 0, c) = d) 0 = e) 0, = f) 0, = 0,0 g) ( ) = 0, h) b c = a a) log () =, weil = ist. log 0 () = 0, weil 0 0 = ist. c) log ( ) =, weil = ist. d) log 7 (7) =, weil 7 = 7 ist. e) log ( )=, weil = ist. f) log ( ) =, weil = ist g) log ( ) =, weil = ist. h) log ( )=, weil ( ) = ist. a) = 9 = ( ) = ; = 0 = 0, ; =, c) = = ( ) = ; = d) a = a ; = e) = 00 = 00 ; = 00 f) 0 = 0 0 ; = 0 g) ( ) = = ( ) ; = h) = 7 = ; =, a) 0 c) d) n e) n a) 0; TR-Wert 0,77 ; TR-Wert,77 c) ; TR-Wert,77 d) 9; 0 TR-Wert 9, e) ; TR-Wert,7 f) ; TR-Wert, g) ; TR-Wert, h) ; TR-Wert, Seite 9 a) b = b = 7 c) b = 0, = d) b = e) a = f) a = g) a = 7 h) a = 0,000 0 a) = log (),79 = log, (,9), c) = log, (0,7),7 d) z = log 0, (,9) 0,0 e) = log () 0,,7 f) = log (0,) 0,9, g) = log, (,9) 0,7 h) = log (,) 0,0977, i) = log (0,7) 0,7, j) = log, ( ), k) = log (,, ) 0,77 l) t = log, (, 0,9 ),77 L

8 Schülerbuchseiten 7 a) = log 0 () 0,77; =,77 + = log (0),; =, c) = ( log (7) ) 0,0 d) = ( log 0 () ) 0,9 e) = log ( ),09 f) = ( log 7 () + ) 0,90 g) = log ( ),07 h) = log ( ),79 0 =, t ; t = (),. log Es dauert ca., Wochen bzw. vier Wochen und, Tage. a) Es muss gelten: 0 000,0 t = bzw. t = log,0 ( 9 ), 7. Nach etwas mehr als vier Jahren ist die Wohnung wert. Es muss gelten: B (0),0 = bzw. B (0) 7. c) Es muss gelten: 9000 ( + p) = bzw. p = ,07. Die jährliche Wertsteigerung beträgt etwa,7 %. a) 00,0 =,9. Es muss gelten: 00,0 t = 00 bzw.,0 t =, lg () also t =, = + 7,. lg (,0) Sie muss somit noch etwa 7, Jahre warten. Es gilt: B () = 0, B (0) und B () = B (0) q. q = 0, 0,. Aus q = p + folgt für die prozentuale Abnahme p 0,7. Bei jedem Aufspringen vermindert sich die Höhe um,7 %. Es muss gelten: ,0 t = ,0 t, also (,0,0 ) t = bzw. t = lg ( ) 0,9. lg (,0,0 ) Nach knapp Jahren haben die beiden Staaten etwa die gleiche Einwohnerzahl. Seite 9 9 Es handelt sich um eponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor q =,0. Ansatz: B (0) = B (0),0 n. Gesucht ist n. lg () n = log,0 () = 9,0 lg (,0) Das Ergebnis für n hängt nicht vom Anfangswert B (0) ab. Deshalb verdoppelt sich der Bestand in beiden Fällen in etwa neun Jahren. 0 a) Wachstumsfaktor: a = 0,07 = 0,9 Aus K 0 0,9 = 0, K 0 folgt 0,9 = 0,, also lg (0,) =,0; Halbwertszeit:, Tage lg (0,9) a = 0,99; 0,99 lg (0,) = 0, = 9,0 lg (0,99) Halbwertszeit: 9,0 Tage c) a = 0,; 0, lg (0,) = 0, =, lg (0,) Halbwertszeit:, Minuten 70 (0,9) lg ( = 0; = log 0,9 ( 7 ) 7 ) =, lg (0,9) Nach circa, Minuten ist der Tee auf 0 C abgekühlt. a) v (0) = 0 m s =, ( 0,9 t ); 0, = 0,9 t ; 0,9 t = 0,; t = log 0,9 (0,),. Nach, s ist die Sinkgeschwindigkeit m s. a) Gleichung lösbar: = log (),. Gleichung lösbar: = log ( ),. c) Gleichung nicht lösbar, da log ( ) nicht definiert. d) Gleichung nicht lösbar, da log ( ) nicht definiert. e) Gleichung nicht lösbar, da log (0) nicht definiert. a) L = 7 L = { } c) L = ; d) L = ; a) 0; = 0; = = log () 0,09 = ; = 0; + = 0 hat keine Lösung. c) ( ) = 0; = d) 0 = 0; = () 0,00 log0 0 = 0; = log () 0, a) = ; = log (,) 0, Differenz mit unterschiedlichen Basen; nicht durch Logarithmieren lösbar. c) Die Gleichung lässt sich zunächst wie in Beispiel umformen: = +. Die rechte Seite dieser Gleichung ist positiv für alle, die linke stets negativ. Daher besitzt die Gleichung keine Lösung. d) als Faktor und als Eponent; nicht durch Logarithmieren lösbar. Logarithmengesetze Seite 7 a) log0 () + log 0 () + log a ( + log a (c) c) log0 (u) d) log a () + + log a ( e) log a () + log a (e) log a (f) f) log a (u) + log a (v) log a (w) g) log 0 () h) log a ( L

9 Schülerbuchseiten 7 7 i) log a () + log a () log a (u) log a (v) j) log a ( 7 log a (c) k) log (r) + log (s) + log (t) log (u) log (v) l) + log a ( + log a (c) a) log0 ( ) log a (u) c) log a ( a )= d) log a ( ) e) log0 () = 0 f) log a ( ) g) log a () h) log0 ( ) a) log (9 ) = log (9) = log ( ) = = log 0 (0, 0, ) = log 0 ( ( 0 ) 0, ) = 0, (log 0 () log 0 (0)) = 0, (0 ) = 0, c) log ( ) = log () = log ( ) = = d) log ( 00 ) = 00 log () = 00 log ( ) = 00 = 00 e) log 0, (00 0 ) = 0 log 0, (00) = 0 log 0, (0, ) = 0 ( ) = 0 f) log a ( a ) = log a (a ) = log a (a) = g) log ( 0, ) = 0, log () = 0, log ( ) = 0, = h) log 0, ( 0, ) = 0, log 0, () = 0, log 0, (0, ) = 0, ( ) = 0, i) log ( ) = log () = log ( ) = log ( ( ) ) = ( ) = j) log ( ) = log ( ) = log ( ) = =, k) log ( ) = log () = log ( ( ) ) = = l) log ( ) = log () = log (²) = log ( ( ) ) = = a) = 9 = c) = 00 d) = a 9 e) = f) = a b a) = u v = u + v u v c) = u = u v v d) (u + v ) = = (u + v ) 7 a) log0 () = ( ) log0 () log0 () = log0 () log 0 () log 0 () =,70 log 0 () log 0 () ( + ) log0 (7) = 7 log 0 () log0 (7) + log 0 (7) = 7 log 0 () log 0 (7) = 7 log0 () log (7) 0,70 0 c) log 0 () = ( ) log0 () log0 () = log 0 () + log0 () = log 0 () 0,0 log 0 () + log 0 () d) ( z + ) log 0 () = z log 0 (0) log0 () z + log 0 () = z z = log 0 () 0, log 0 () e) log0 () + t log0 (,) = (t ) log 0 () log0 () + log 0 (,) t = log0 () t log0 () t = log 0 () + log0 (), log 0 () log 0 (,) f) log0 () + ( ) log0 () = ( + ) log0 (0) log0 () + log0 () log 0 () = + = log 0 () log 0 () + log 0 (), g) log0 (7) + log0 () = ( + ) log0 () log0 (7) + log0 () = log0 () + log0 () log 0 () log0 = (7), log 0 () log 0 () h) ( ) log 0 ( )= ( ) log 0 ( ) log 0 (0,7) log0 (0,7) = log 0 (0,) log0 (0,) = log 0 (0,7) log 0 (0,), log 0 (0,7) log 0 (0,) a) 7 = ; =, = ( ) ; = ; = c) + = 7 ; + d) = ; = 0 Seite 7 = ; = 0 Rechnung auf gelbem Kärtchen: Die dritte Umformung log ( ) log () = ist falsch. log () Es muss log ( ) = log () log () lauten. Beim nächsten Schritt wäre log () : folgerichtig, also log () und nicht log (). Des Weiteren gilt: log () =, und nicht. Rechnung auf grünem Kärtchen: Die zweite Umformung log ( )= log () ist falsch. Es muss log ( )= log () lauten. Rechnung auf lila Kärtchen: Die dritte Umformung log 9 ( )= log 9 () log 9 () ist falsch. Es muss log 9 ( )= log 9 () lauten. Rechnung auf blauem Kärtchen: Die erste Umformung ist falsch. Es muss = log () heißen. Ab der zweiten Umformung fehlt die Basis der Logarithmen. Der dritte Term ist (bis auf die fehlende Basis) richtig, wenn man den zweiten, wie soeben erwähnt, durch log () ersetzt. Dasselbe gilt für den vierten Term. Der vorletzte Term ist wiederum falsch, richtig wäre z. B. log b (). Dabei ist b > 0 eine beliebige Basis. log b () L

10 Schülerbuchseiten 7 7 Es sei: () = log a (u) und = log a (v). Dann ist: () u = a und v = a. Aus u : v = a : a folgt: () log a (u: v) = log a (a ), log a (u: v) =. Einsetzen von () in () ergibt: log a (u: v) = log a (u) log a (v). a). Logarithmengesetz: log a ( u )= log a (u ) = log a (u) = log a (u). Logarithmengesetz: Wegen a 0 = ist log a () = 0 und damit ist log a ( u )= 0 log a (u). Somit ist log a ( u )= log a (u). log a (u: v) = log a ( u v )= log a (u) + log a ( v ) Wegen log a ( v )= log a (v) ist log a (u: v) = log a (u) log a (v). c) log a ( n u )= log a ( un ) = n log a (u) Es ist = log b (z)bzw. b = z. Damit log a (b ) = log a (z); für die linke Seite dieser Gleichung gilt nach dem. Logarithmengesetz: log a (b ) = log a (und damit log a ( = log a (z). Da laut anfänglicher Festlegung = log b (z) gilt, folgt: log b (z) = log a(z) log a (. a) log b (z) = log 0 (z) log 0 ( log (7) = log 0 (7) log 0 (),77 log 0 () c) = 0, log 0 () log 0 () p q a) () 0 = ist die Umkehrung der Annahme log 0 () = p q, wobei p und q ganze Zahlen sind. () Beide Seiten der Gleichung werden mit q potenziert. ( p q ) q p q () 0 = 0 q = 0 p nach Potenzgesetz. Die Annahme ist falsch. Es ist 0 p q, denn 0 p ist nicht durch teilbar, da die Quersumme von 0 p für alle p gleich ist. q ist aber durch teilbar, denn q = q. Annahme: log () = p q, wobei p und q ganze Zahlen sind. p q () = ( p q () ) q = q () p = q Die Annahme ist falsch. Es ist p q, da p nicht durch teilbar und q nicht durch teilbar ist. c) Annahme: log () = ( p q ), wobei p und q ganze Zahlen sind. () p = q p = und q = erfüllen die Annahme. Damit ist log () = ( ) rational. Ekursion Seite 7 a) Dies dauert jeweils drei Halbwertszeiten. Bei I sind das,0 Tage, bei Cs 7 sind es 90, Jahre. Nach zehn Halbwertszeiten liegt bei beiden Stoffen noch der Anteil 0,0009 0,09 % vor. 0 a) Es gilt B (0) = B (0) q 0. Aus Fig. liest man B (0) = B (0) ab. Es gilt also B (0) q 0 = B (0) und damit q = ,977. Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne in Prozent: B (n) 00 % 0,977 n (n in Jahren) Jahr Menge 00 % 79, %,79 % 0 % 9, %, % Jahr Menge % 9, %, %, % 9,7 % 00 0 Anzahl Cäsium-7-Kerne (in %) Jahre c) Es soll gelten: 0,0 = 0,977 n, also n = log 0 (0,0),7. log 0 (0,977) Nach etwa 9 Jahren werden nur noch % des freigesetzten Cäsiums in der Umwelt vorhanden sein. a) Nach 000 Jahren ist noch die Hälfte, nach 000 Jahren noch ein Viertel der Ausgangsmenge vorhanden. Nach zwei Halbwertszeiten, d. h. nach 000 Jahren, ist noch ein Viertel des Plutoniums vorhanden. Nach drei Halbwertszeiten, d. h. nach Jahren, ist noch ein Achtel des Plutoniums vorhanden. Das sind sehr lange Zeiträume. (Zum Vergleich: Man schätzt das Alter des Homo sapiens auf einige Jahre.) Die Aussage aus dem Artikel ist falsch. Das Plutonium wird sich niemals in eine nicht mehr strahlende Materie verwandeln. Es ist weiter zu beachten, dass die Zerfallsprodukte von Plutonium ebenfalls radioaktiv sind. Seite 7 Nach 70 Jahren (eine Halbwertszeit) sind noch 0 % vorhanden. Nach 00 Jahren (ca. zwei Halbwertszeiten) sind noch % vorhanden. L

11 Schülerbuchseite 7, % ist ein Achtel des Ausgangswertes. Es sind also drei Halbwertszeiten, d. h Jahre, vergangen. % entsprechen nicht ganz einer Halbwertszeit. Ötzi hat vor etwas weniger als 70 Jahren gelebt. Es gilt 0, B (0) = B (0) q 70, also q = , 0, Man kann mit dem Wachstumsfaktor q (Zeitschritt: Jahr) oder mit dem Wachstumsfaktor ~ q = q 000 = 0,0 (Zeitschritt: 000 Jahre) rechnen. Jahre Halbwertszeit Gehalt 00 %, % 7, % 9, %, %, % 0%, %,7 % %, % 9, % Jahre 000 Halbwertszeiten Halbwertszeiten Gehalt, % %, % 0,7 %, %, %, %,7 %,%, % 0 %,90 % 7, %,99 % 00 Vorhandenes C- (in Prozent) 0 Jahr (in Tausend) Halbwertszeit. Halbwertszeit. Halbwertszeit Für den Gehalt an C in Prozent nach n Jahren gilt: B (n) = 00 % 0, n (vgl. Aufgabe ). Für B (n) =, % ergibt sich n 7 Jahre. Figur von Gönnersdorf: etwa 00 Jahre. Figur von Lespugue: etwa 000 Jahre. L