Lösungen (Hinweis: Ich habe nur da gerundet, wo es nicht anders möglich war. Ansonsten habe ich die genauen Werte benutzt.)

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1 Übungsaufgaben Aufgabe 1 Ein Waldstück weist heute (2009) einen Holzbestand von 7300 m³ auf. Auf welchen Wert wächst der Holzbestand innerhalb von 6 Jahren (bis 2015), wenn er jedes Jahr um 3,2 % zunimmt? b) Nach 6 Jahren (2015) werden 2000 m³ Holz geschlagen. Wie lange dauert es, bis der Holzbestand wieder seinen Stand von 2015 vor dem Einschlag erreicht? Aufgabe 2 Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertzeit von 60 Tagen. Beschreibe den Zerfall durch eine Exponentialfunktion. Verwende für den dir nicht bekannten Ausgangswert einen Parameter (z. B.. b) Wie viel Gramm waren am Anfang vorhanden, wenn nach 200 Tagen noch 40 g der Substanz vorhanden sind? c) Wie viele Tage dauert es, bis 80 % der Substanz zerfallen sind? Aufgabe 3 Die Keime in der Kuhmilch vermehren sich exponentiell. In 1 cm³ Kuhmilch waren drei Stunden nach dem Melken Keime, zwei Stunden später Keime vorhanden. Beschreibe das Wachstumsverhalten der Keime durch eine Exponentialfunktion! b) Innerhalb welches Zeitraums verdoppelt sich die Anzahl der Keime? Aufgabe 4 Der Luftdruck p nimmt mit der Höhe exponentiell ab. Er sinkt jeweils um die Hälfte, wenn die Höhe um 5500 m wächst. Beschreibe die Veränderungsrate des Luftdrucks mit einer Exponentialfunktion! (Luftdruck auf Meeresniveau: 1000 mbar) b) Wie viele mbar beträgt der Luftdruck auf 3000 m Höhe, wenn er auf Meeresniveau 1000 mbar beträgt? c) Wie hoch ist der Luftdruck auf der Spitze des Mount Everest (Höhe: 8848 m)? d) Wie viel Meter muss man von einem beliebigen Ort aus in die Höhe gehen, damit sich der Luftdruck auf ein Drittel verringert? Aufgabe 5 Das radioaktive Isotop Barium 140 hat eine Halbwertzeit von 13 Tagen. Beschreibe den Zerfall des Stoffs durch eine Exponentialfunktion! Am Anfang seien 10 g vorhanden. b) Wie viel Prozent der ursprünglichen Masse (10 g) sind nach zwei Tagen noch vorhanden? c) Wenn zu Beginn der Beobachtung 3,2 g Barium 140 vorhanden waren, wie viel Gramm zerfallen dann insgesamt am 14. Tag? d) Berechne, nach wie vielen Stunden noch 5 % (der 3,2 g) vorhanden sind. Aufgabe 6 Das radioaktive Kohlenstoffisotop C14 hat eine Halbwertzeit von 5760 Jahren. Es kommt in allen lebenden Organismen vor. Nach dem Tod beginnt der Zerfall. Beschreibe den Zerfall durch eine Exponentialfunktion! (Benutze für den Ausgangswert einen Parameter). b) Bei Ausgrabungen wird ein Stück Holz gefunden. In ihm sind noch 32 % seines natürlichen C14-Gehalts enthalten. Wie alt ist es?

2 Lösungen (Hinweis: Ich habe nur da gerundet, wo es nicht anders möglich war. Ansonsten habe ich die genauen Werte benutzt.) Zu Aufgabe 1 zuerst die Funktionsgleichung: f(x) = ,032 x x: Jahre f(x): Holzbestand in m³ Wie hoch ist der Holzbestand in sechs Jahren? f(6) = ,032 6 = ca. 8818,63 m³ Es sind 8818,63 m³. b) Wie lange dauert es, bis der alte Wert wieder erreicht wurde? 8818,63m³ 2000 m³ = 6818,63 m³ Die 6818,63 sind unser neuer Ausgangswert. 8818,63 = 6818,63 1,032 x : 6818,63 1,29 = 1,032 x log 1,032 log 1,032 (1,29) = x ca. 8,17 = x Da bei den x-werten eine Einheit einem Jahr entspricht, sind es ca. 8,17 Jahre. Zu Aufgabe 2 f(x) = a 0,5 x x: eine Einheit entspricht je 60 Tagen f(x) : Noch verbliebene Substanz nach x Tagen in Gramm a: Parameter, Ausgangswert in Gramm b) Wie viele Gramm waren es am Anfang? Nebenrechnung (Dreisatz): 60 Tage Einheit bei x (auf beiden Seiten durch 60) 1 Tag , Einheiten bei x (auf beiden Seiten mal 200) 200 Tage , Einheiten bei x Rechnung: 40 = a 0,5 3, Potenz mit TR ausrechnen 40 = a 0, durch 0,

3 ca. 403,17 = a Es waren ca. 403,17 Gramm. c) Wie lange dauert es, bis 80 Prozent zerfallen sind? 80 % von a zerfallen: d. h. 20 % sind noch übrig 20 % von a: d. h. 0,2 a 0,2 a = a 0,5 x durch a (a logischerweise ungleich 0) 0,2 = 0,5 x log 0,5 log 0,5 (0,2) = x 2,32... = x eine Einheit bei x sind 60 Tage, d. h. (Drei- bzw. Zweisatz): 1 Einheit bei x Tage auf beiden Seiten mal 2, ,32... Einheiten bei x ca. 139,32 Tage Es sind ca. 139,32 Tage. Zu Aufgabe 3 Nebenrechnung: : = 16,66... (um an den Wachstumsfaktor zu kommen) Gleichung: f(x) = ,66.. x x: eine Einheit bei x entspricht 2 Stunden f(x) : Zahl der Keime zum Zeitpunkt x b) Innerhalb welchen Zeitraums verdoppelt sich die Zahl der Keime? Das Doppelte von : = , x durch = 16, x log 16,66... log 16, (2) = x 0, = x bei x: eine Einheit sind 2 Stunden, d. h. (Zwei- bzw. Dreisatz): 1 Einheit bei x Stunden mal 0, auf beiden Seiten 0, Einheiten bei x , Stunden Es sind ca. 0,492 Stunden.

4 Zu Aufgabe 4 f(x) = ,5 x x: eine Einheit bei x entspricht einem Zuwachs von 5500 m f(x) : Luftdruck in mbar b) Wie hoch ist der Luftdruck auf 3000 m Höhe? Nebenrechnung I: von Meeresniveau auf 3000 m: 3000 m Höhenunterschied bzw. Zuwachs Nebenrechnung II: eine Einheit bei x entspricht 5500 m, d. h. (Dreisatz): 1 Einheit bei x m durch 5500 auf beiden Seiten 0, Einheiten bei x m mal , Einheiten bei x m Rechnung: f(0, ) = ,5 0, Potenz ausrechnen = , = 685, Es sind ca. 685,18 mbar. c) Wie hoch ist der Luftdruck auf dem Mount Everest? Analog zu Aufgabenteil b. 1 Einheit bei x m 1, m f(1,7696) = ,5 1,7696 = , = 327, Es sind ca. 327,89 mbar. d) Wie viel Meter muss man in die Höhe gehen, bis es zu einer Drittelung kommt? Der Ausgangswert ist egal. Wir verwenden 1000 mbar. Ein Drittel davon ist 333,3... mbar. Man könnte aber auch z. B. als Ausgangswert 3000 mbar nehmen und ein Drittel davon ist Man braucht allerdings eigentlich keinen Ausgangswert (letzte Stunde, Fall d) 333,33... = ,5 x durch , = 0,5 x log 0,5 log 0,5 (0,333...) = x

5 1, = x auf der x-achse entspricht eine Einheit 5500 m, d. h.: 1 Einheit bei x m auf beiden Seiten mal 1, , Einheiten bei x ,29... m Es sind 8717,29 m. Zu Aufgabe 5 f(x) = 10 0,5 x x: eine Einheit bei x entspricht 13 Tagen f(x): noch vorhandenes Barium in Gramm nach x Tagen b) Wie viel Prozent des Bariums sind nach zwei Tagen noch vorhanden? Nebenrechnung: Rechnung: 1 Einheit bei x Tage durch 13 0, Einheiten bei x Tag mal 2 0, Einheiten bei x Tage f(0,15...) = 10 0,5 0,15... = 10 0, = 8, Potenz ausrechen Ausrechnen der Prozentangabe: Es sind ca. 89,89 %. 8, durch 10 mal 100 (Prozentwert durch Grundwert mal 100) = ca. 89,89 c) Wie viel Gramm zerfallen insgesamt am 14. Tag? Achtung: veränderter Anfangswert! Neue Funktion: f(x) = 3,2 0,5 x eine Einheit bei x sind 13 Tage, d. h.: 1 Einheit bei x Tage durch 13 0, Einheiten bei x Tag mal 14 1, Einheiten bei x Tage f(13 Tage) = f(1) = 3,2 0,5 1 = 3,2 0,5 = 1,6 (So viel ist nach 13 Tagen noch d f(14 Tage) = f(1,07...) = 3,2 0,5 1,07... = 1, (So viel ist nach 14 Tagen noch d

6 1,6 1, = 0, (Zerfall am 14. Tag) Es sind 0, g. d) Wann sind noch 5 % vorhanden? 5 % von 3,2 g sind 0,16 g. 0,16 = 3,2 0,5 x durch 3,2 0,05= 0,5 x log 0,5 log 0,5 (0,05) = x 4, = x 1 Einheit bei x Tage mal 4,3... 4,3... Einheiten bei x , Tage Es sind ca. 56,18 Tage. Zu Aufgabe 6 f(x) = a 0,5 x x: eine Einheit entspricht 5760 Jahren f(x): noch vorhandene Menge an C14 b) Wie alt ist das Holz? 32 % eines unbekannten Ausgangswerts sind noch da: also 32 % von a (wenn wir den Ausgangswert als a bezeichnen), d. h.: 0,32 a 0,32 a = a 0,5 x durch a (logischerweise a ungleich 0) 0,32 = 0,5 x log 0,5 log 0,5 (0,32) = x 1, = x 1 Einheit bei x Jahre mal 1,6... 1,6... Einheiten bei x ,61... Jahre Es sind ca. 9468,61 Jahre. H. Tiex