4. f (x) = 5x. 6. f (x) = e 2x+5

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1 Zusatzaufgaben Weitere elementare reelle Funktionen Übung. Geben Sie den Definitionsbereich der Funktionen an, die durch die folgenden Funktionsgleichungen gegeben sind bestimmen Sie jeweils die Nullstellen). f x) = 5x3 3x+4 2. f x) = x 4 +2x 8 3. f x) = 5x2 ln2x+2) 4. f x) = 5x 2 x 5. f x) = ln2x+5) 6. f x) = e 2x+5 Übung 2. Bestimmen Sie allfällige Schnittpunkte der Funktionen im Intervall [0, 5], die durch folgende Funktionsgleichungen gegeben sind nutzen Sie dabei die Resultate der vorangegangenen Übung, um die Zulässigkeit der Resultate zu überprüfen). f x) = und gx) = 5x2 ln2x+2) 2. f x) = 5x 2 x und gx) = ln2x+5) Übung 3. Lösen Sie die folgenden Aufgaben ohne Verwendung von technischen Hilfsmitteln:. log log log 2 4 8) Übung 4. Lösen Sie die folgenden Gleichungen auf: 4. log 8 ) log log 3 x = 2 2. log 5 x+) = log 5 5x) = 9 4. log x 64 = log 3 2x+) = 7 6. log 0 x 3 +2log 0 x 2 = log 4 3x+4) = log 4 2x+2) 8. log 2 0x+24) log 2 x 84) = log 2 x 36) 9. log 7 7x) = 2 0. log 3 5x+2) = log 3 3x+2). log x 8 = 3 2. log 4 2+log 4 x = log 0 x 2 4 ) = log 0 5+log 0 6x 2 49 ) 4. 2log 7 x = log 2 x ) = log 2 3x+) 6. log x 27 = 9 7. log 2 3x )+log 2 x+5) = 6 8. log 2 3x ) = log 3 3x )) Übung 5. In einem überdüngten See nimmt das Gewicht der Algen pro Tag um 3 % zu. Heute enthält er 27 Tonnen Algen. Wie viele Tonnen waren es vor 00 Tagen? Innert welcher Zeit verdoppelt sich das Gewicht der Algen? Übung 6. Um wie viele Prozent müsste die Zahl der radioaktiven Kerne einer Substanz pro Jahr abnehmen, wenn ihre Zahl in 50 Jahren Billion 0 2 ) Mal kleiner sein soll als heute? Übung 7. In einem See wuchs die Algenmenge innert 00 Tagen von 8 Tonnen auf heute 32 Tonnen. Nach wie vielen Tagen von heute an gerechnet) sind es 200 Tonnen?

2 Übung hatte Europa 746 Millionen Einwohner, Afrika 456 Millionen. Es wird für Europa eine jährliche Zuwachsrate von 0,4 %, für Afrika von 2,9 % angenommen. Wann haben in Afrika gleichviel Menschen gelebt wie in Europa? Achtung: Afrika ist km 2 gross, Europa: km 2 ). Übung 9. Zum Schutz vor der Strahlung hängt man bei Röntgenaufnahmen Patienten Bleischürzen über die Körperteile, die nicht untersucht werden. Jeder mm hält 30% der noch verbleibenden Strahlung ab.die Strahlung, die auf die Schürze auftrifft, hat eine Intensität von 55 W/m2. Welche Intensität trifft den Körper, wenn die Schürze 2mm dick ist? Wie dick muss die Schürze sein, damit sie 90% der Strahlung abhält? Übung 0. Faltet man ein Stück Papier im A4 DIN-Format mehrfach längs einer Mittellinie, so liegen erst zwei, dann vier Schichten übereinander. Es wird dabei immer kleiner und dicker. Wie oft müsste man es falten können, um einen Turm zu erhalten, der bis zum Mond reicht? Entfernung des Mondes: km, Papierdicke 0,2mm) Ist es realistisch, ein Blatt Papier so oft falten zu können?) Übung. Die Temperatur einer vollen Kaffetasse ist um 60 0 C höher als die Zimmertemperatur. Nun wird der Temperaturunterschied δ zur Zimmertemperatur in gleichmässigen Zeitabständen gemessen: t in min δ in 0 C Versuchen Sie ein Modell Funktion) für die Daten zu finden. Übung 2. Bestimmen Sie die Gleichung einer Exponentialfunktion f : R R mit fx) = a x, deren Graph durch den Punkt 3, 5) verläuft. Übung 3. Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass der Graph der Funktion f : R R mit fx) = b a x durch die Punkte 0,.5) und,.8) verläuft. Übung 4. Gegeben ist die Funktion f : R R mit fx) = 2 2x+5. Schreiben Sie die Funktionsgleichung in der Form fx) = a b x. Übung 5. Gegeben ist die Funktion f : R R mit f x) = 2 ) 5x+4. Schreiben Sie die Funktionsgleichung in der Form fx) = a b x. Übung 6. Ein Quader hat eine Breite, die halb so groß ist wie die Länge. Die Höhe ist um 2cm länger als die Breite. Der Quader hat das Volumen 350cm 3. Geben Sie die Breite, die Länge und die Höhe an. Übung 7. Geben Sie für eine Call-Option Ausübungspreis = 55, Prämie = 3), die Auszahlungsfunktion an Funktion der möglichen Gewinne und Verluste in Abhängigkeit vom Martkpreis S T des Basiswertes zum Ausübungszeitpunkt T). Zeichnen Sie die Funktion und beschriften Sie den Ordinatenabschnitt und die Nullstelle der Funktion. Übung 8. Bestimmen Sie Funktionsgleichung und Definitionsbereich der Umkehrfunktion der Funktionen, die durch die folgenden Funktionsgleichungen gegeben sind:. fx) = 2x 2. fx) = x+3 3. fx) = x ) fx) = 5x+) fx) = 2 x+ 6. fx) = x fx) = 2x 2 8x+7 8. fx) = 4 3x+ 2

3 Lösungen Zusatzaufgaben Weitere elementare reelle Funktionen Lösung. Geben Sie den Definitionsbereich der Funktionen an, die durch die folgenden Funktionsgleichungen gegeben sind bestimmen Sie jeweils die Nullstellen). f x) = 5x3 3x+4 x 4 +2x 8. Um eine Division durch 0 zu verhindern, muss man die NS des Nenners bestimmen: x 4 +2x 8 = 0. Zwei reelle NS und Der Definitionsbereich ist also: R\{.84942, } = D NS von f: 5x 3 3x+4 = 0, nur eine reelle Lösung:.407 D. 2. f x) =. Um eine Division durch 0 zu verhindern, muss man die Nullstelle 0 des 0 sein. Da 0 für alle x, ist 2 +2 > 0 Nenners wegnehmen. Zudem muss 2 +2 genau dann, wenn x > 0. Der Definitionsbereich D ist also R + \{0} NS von f : = 0 x 2 = 2 4 keine reelle NS). 5x 3. f x) = 2 ln2x+2). Um eine Division durch 0 zu verhindern, wird die NS von ln2x+2) berechnet: ln2x+2) = 0 genau dann, wenn x = 2 expln2x+2) = 2x+2 = exp0 = ). Zudem muss 2x+2 > 0. Dies ist der Fall für x ], [ Damit ist der Definitionsbereich D = ], [ \{ 2 }. NS der Funktion f: 5x 2 = 0, Lösung: 0 D. 4. f x) = 5x 2 x. Eine Division durch 0 ist nicht möglich, da 2 x > 0 für alle x. Entsprechend muss man nur noch garantieren, dass 5x 0, was genau dann der Fall ist, wenn x 0. Damit ist der Definitiosbereich: D = R + NS der Funktion: 5x = 0, Lösung: 0 D 5. f x) = ln2x+5). 2x+5 muss grösser als 0 sein: 2x+5 > 0. Der Definitionsbereich D ist damit: ] 5 2, [ NS der Funktion: 2x+5 =, Lösung: 2 D 6. f x) = e 2x+5. Alle rellen Zahlen sind zulässig: R Keine NS. Lösung 2. Bestimmen Sie Schnittpunkte der Funktionen im Intervall [0, 5], die durch folgende Funktionsgleichungen gegeben sind nutzen Sie dabei die Resultate der vorangegangenen Übung, um die Zulässigkeit der Resultate zu überprüfen). f x) = = 5x2 ln2x+2) 25x = 4 ln2x+2)) 2 und gx) = 5x2 ln2x+2) ) ln2x+2)) 2 = 25x 4) = 00x 5 ) ln2x+2)) 2 00x 5 = 0 Mit R lösen: f=functionx)4*xˆ2+2)*log2*x+2))ˆ2-00*xˆ5 plotf,xlim=c0.00,5.5),ylim=c-5,5)) offensichtlich nur eine NS; bei xlim untere Grenze unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs) abline0,0) unirootf,c0.4,)) ergibt: liegt im Definitionsbereich der beiden Funktionen: y-koordinate des Schnittpunktes: Der Schnittpunkt ist also ,. 27 ) =. 27 3

4 2. f x) = 5x 2 x und gx) = ln2x+5) 5x 2 x = ln2x+5) 5x = 2 x ln2x+5) Mit R: f=functionx)5*x)ˆ/2)-2ˆx*log2*x+5) plotf,xlim=c0,5.5)) untere Grenze bei xlim unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs). abline0,0) Es hat offensichtlich keine reelle NS und entsprechend kein Schnittpunkt. Lösung 3. Löse die folgenden Aufgaben ohne Verwendung von technischen Hilfsmitteln:. log 2 6 = 4 da 2 4 = 6) 2. log = 0 da 2 0 = 024) 3. log 2 4 8) = log 2 4+log 2 8 = 2+3 = log 8 ) 3 9 = log3 8 log 3 9 = 4 2 = 2 5. log = 4log 5 25 = 4 3 = 2 Lösung 4. Lösen Sie die folgenden Gleichungen auf:. Definitionsbereich von f x) = log 3 x: R + \{0} Definitionsbereich von gx) = 2 : R. log 3 x = = 9 = x D Kontrolle: log 3 9 = 2) 2. Definitionsbereich von f x) = log 5 x+) : x+ > 0 genau dann, wenn x ], [ Definitionsbereich von gx) = 2 : R Definitionsbereich D der Gleichung: ], [ R = ], [ log 5 x+) = = 25 = x+ x = 24 D Kontrolle: log 5 24+) = 2) 3. Definitionsbereich von f x) = 3log 5 5x) : R + \{0} Definitionsbereich von gx) = 9 : R 3log 5 5x) = 9 log 5 5x) = = 25 = 5x x = 25 D Kontrolle: 3log ) = 9) 4. Definitionsbereich von f x) = log x 64 : R + \{0} Basis muss ja positiv sein) Definitionsbereich von gx) = 3 : R log x 64 = 3 x 3 = 64 x = 3 64 = 4 R + \{0} Kontrolle: log 4 64 = 3) 5. Definitionsbereich von f x) = 2log 3 2x+) : 2x+ > 0 genau dann, wenn x ] 2, [ Definitionsbereich von gx) = 7 : R Definitionsbereich D der Gleichung: ] 2, [ R = ] 2, [ 2log 3 2x+) = 7 log 3 2x+) = = = 2x+ x = = D; Kontrolle: 2log ) = 7) 6. Definitionsbereich von f x) = log 0 x 3 +2log 0 x 2 : R + \{0} Definitionsbereich von gx) = : R 4

5 log 0 x 3 +2log 0 x 2 = log 0 x 3 +log 0 x 4 = log 0 x 3 x 4) = log 0 x 7 = = x 7 x = = D Kontrolle: log log = 6.426) 7. Definitionsbereich von f x) = log 4 3x+4) : 3x+4 > 0 genau dann, wenn x ] 4 3, [ Definitionsbereich von gx) = log 4 2x+2) : 2x+2 > 0, genau dann, wenn x ], [ Definitiosbereich D der Gleichung: ] 4 3, [ ], [ = ], [ log 4 3x+4) = log 4 2x+2) exp 4 log 4 3x+4) = exp 4 log 4 2x+2) 3x+4 = 2x+2 x = 2 / D. Lösungmenge L = {}. 8. Definitionsbereich von f x) = log 2 0x+24) log 2 x 84): 0x + 24 > 0 genau dann, wenn x ] 2 5, [ und x 84 > 0 genau dann, wenn x ]84, [. Definitionsbereich von f ist also ] 2 5, [ ]84, [ = ]84, [ Definitionsbereich von gx) = log 2 x 36) : x 36 > 0 genau dann, wenn x ]36, [. Definitionsbereich der D Gleichung ist also ]84, [ ]36, [=]84, [. log 2 0x+24) log 2 x 84) = log 2 x 36) 0x+24) log 2 x 84) = log 2 x 36) 0x+24) exp 2 log 2 x 84) = exp 2 log 2 x 36) 0x+24) x 84) = x 36) 0x+24) = x 36)x 84) = x 2 20x x+24 x 2 20x+3024 ) = x 2 +30x 3000 = 0 zwei reelle NS: 00 D,30 / D Kontrolle: log ) log ) = 6 log ) = 6) 9. Definitionsbereich von f x) = log 7 7 x): R + \{0} Definitionsbereich von gx) = 2 : R. log 7 7 x) = = 7x x = 7 D Kontrolle: log 7 7 7) = 2) 0. Definitionsbereich von f x) = log 3 5x+2) : 5x+2 > 0 genau dann, wenn x ] 2 5, [ Definitionsbereich von gx) = log 3 3x+2) : 3x+2 > 0 genau dann, wenn x ] 4, [ Definitionsbereich D der Gleichung: ] 2 5, [ ] 4, [ = ] 2 5, [. log 3 5x+2) = log 3 3x+2) 5x+2 = 3x+2 x = 5 D Kontrolle: log ) = 3 log ) = 3). Definitionsbereich von f x) = log x 8 : R + \{0} Basis muss ja positiv sein) Definitionsbereich von gx) = 3 : R log x 8 = 3 x 3 = 8 x = 8 x 3 = 3 8 x = 2 D. Kontrolle: log = 3) 2. Definitionsbereich von f x) = log 4 2+log 4 x : R + \{0} Definitionsbereich von gx) = 5 : R log log 4 x = 5 log 4 2x) = = 2x x = D Kontrolle: log 4 2+log = 5) 2 = = 2 29 = 3. Definitionsbereich von f x) = 2log 0 x 2 4 ) : x 2 4 > 0 genau dann, wenn x ] 4, [ ], 4[ = D 4 = 3.747) Definitionsbereich von gx) = log 0 5 +log 0 6x 2 49 ) : 6x 2 49 > 0 genau dann, wenn 5

6 x ], 7 6 6[ ] 7 6 6, [= D = ) Definitionsbereich D der Gleichung ist also D = D D 2 = D. 2log 0 x 2 4 ) = log 0 5+log 0 6x 2 49 ) log 0 x 2 4 ) 2 = log0 5 6x 2 49 ) x 2 4 ) 2 = 30x x 2 4 ) 2 30x ) = x 4 58x = 0 reelle Nullstellen: 3, -3, -7, 7 3 und -3 sind nicht zulässig / D, 3) 3 4 = < 0) L = { 7,7} Kontrolle: 2log ) = log 0 5+log ) = 3.088) 7) 2 = 7 2 ) 4. Definitionsbereich von f x) = 2log 7 x : R + \{0} Definitionsbereich von gx) = 2 3 : R 2log 7 x = = x 2 x = 7 3 =.929 D Kontrolle: 2log = 2 3 ) 5. Definitionsbereich von f x) = 2log 2 x ) : x > 0 genau dann, wenn x ], [ Definitionsbereich von gx) = log 2 3x+): 3x+ > 0 genau dann, wenn x ] 3, [ Definitionsbereich D der Gleichung: ], [ ] 3, [ = ], [. 2log 2 x ) = log 2 3x+) x ) 2 = 3x+ x ) 2 3x+) = x 2 5x = xx 5) = 0 x = 0 oder x = 5 x = 0 / D; 5 D Kontrolle: 2log 2 5 ) = 4 log ) = 4) 6. Definitionsbereich von f x) = 2log x 7 : R+ \{0} Definitionsbereich von gx) = 9 : R log x 27 = 9 x9 = 27 x = 27 9 = = 3 3 = D Kontrolle: log = 9) 7. Definitionsbereich von f x) = log 2 3x ) + log 2 x+5) : 3x > 0 genau dann, wenn x ] 3, [ Definitionsbereich von gx) = 6 ist R. Definitionsbereich der Gleichung ist damit ] 3, [ R =] 3, [. log 2 3x )+log 2 x+5) = 6 3x )x+5) = 2 6 = 64 3x )x+5) 64 = 3x = 3x = 0 reelle Nullstellen: 3 ] 3, [; / ] 3, [ Kontrolle: log )+log 2 3+5) = 6). 8. Definitionsbereich: 3x > 0,x ] 3, [. log 3 x ) = log 2 3x ) log 2 3) unddamit log 2 3x ) = log 2 3x ) log 2 3. Entsprechend gilt log 2 3)log 2 3x ) = log 2 3x ) und mit log 2 3) =.5850 : log 2 3x ).585 = log 2 3x ). Mit der Berechnung der Umkehrfunktion von log 2 auf beiden Seiten. 3x ).585 = 3x = 3x ).585 3x = = 3x ).585 = 3x ) = = 0.585ln3x ) = ln = 0 = ln3x ) = 0 = 3x = exp0) = = x = 2 3 Definitionsbereich. Lösung 5. In einem überdüngten See nimmt das Gewicht der Algen pro Tag um 3 % zu. Heute enthält er 27 Tonnen Algen. Wie viele Tonnen waren es vor 00 Tagen? Innert welcher Zeit verdoppelt sich das Gewicht der Algen? A t ) 00 = 27 = A t0 00 = 27.03) 00 = A t0 = A t ) t 2 = +0.03) t ln2 = tln.03 ln2 ln.03 = = t 6

7 Lösung 6. Um wie viele Prozent müsste die Zahl der radioaktiven Kerne einer Substanz pro Jahr abnehmen, wenn ihre Zahl in 50 Jahren Billion 0 2 ) Mal kleiner sein soll als heute? K h Anzahl Kerne heute, p = Prozentsatz/00) K h 0 = K 2 h p) 50 0 = p) 50 p = = p = = also % Kontrolle: ) 50 = 0 2 Lösung 7. In einem See wuchs die Algenmenge innert 00 Tagen von 8 Tonnen auf heute 32 Tonnen. Nach wie vielen Tagen von heute an gerechnet) sind es 200 Tonnen? 8+r) 00 = = +r r = 4 00 = Das Wachstum in Prozent pro Tag ist damit.3959% Man erhält: ) t = 200 ln ln = tln t = ln = Tage) Lösung hatte Europa 746 Millionen Einwohner, Afrika 456 Millionen. Es wird für Europa eine jährliche Zuwachsrate von 0,4 %, für Afrika von 2,9 % angenommen. Wann haben in Afrika gleichviel Menschen gelebt wie in Europa? Achtung: Afrika ist km 2 gross, Europa: km 2 ). also etwa im Jahr ) t = ) t ) t ) t = ).004 tln = ln t = ln ln ) = Lösung 9. Zum Schutz vor der Strahlung hängt man bei Röntgenaufnahmen Patienten Bleischürzen über die Körperteile, die nicht untersucht werden. Jeder mm hält 30% der noch verbleibenden Strahlung ab.die Strahlung, die auf die Schürze auftrifft, hat eine Intensität von 55 W/m2. Welche Intensität trifft den Körper, wenn die Schürze 2mm dick ist? Wie dick muss die Schürze sein, damit sie 90% der Strahlung abhält? m für Anzahl Milimeter; I für Intensität) ) 2 = in W/m2). 0.I = I 0.3) m 0. = 0.3) m m = ln0. ln0.7 = in mm) Lösung 0. Faltet man ein Stück Papier im A4 DIN-Format mehrfach längs einer Mittellinie, so liegen erst zwei, dann vier Schichten übereinander. Es wird dabei immer kleiner und dicker. Wie oft müsste man es falten können, um einen Turm zu erhalten, der bis zum Mond reicht? Entfernung des Mondes: km, Papierdicke 0,2mm) x ln 0.2 = x = ln2 = Es ist keineswegs realistisch, das Blatt so falten zu können. Durchs Falten wird an den Kanten immer mehr Papier nötig, beim vorletzten Falten z.b. für die äusserste Schicht einmal die Hälfte der Länge zum Mond! Man müsste das Papier also jeweils schneiden und übereinanderlegen den Papierstapel also jeweils halbieren und dann übereinanderlegen). Auch diese ist nicht realistisch, da die Fläche pro Schnipsel am Schluss sehr klein wird: ein A4-DIN-Blatt ist 20 mm breit und 297 mm hoch. Die 4 im Namen Name A4 bezieht sich darauf, dass es nach viermaligem Falten Halbieren der jeweiligen Länge) des Bezugsformates A0 84 mm 89 mm = m2; ungefähr im Verhältnis : 2) entsteht. Man erhält also eine Fläche von = 62370mm 2. Man braucht = Schnipsel. Diese hätten eine Fläche von.92 0 = mm 2 von Auge nicht mehr sichtbar!) 7

8 Lösung. Die Temperatur einer vollen Kaffeetasse ist um 60 0 C höher als die Zimmertemperatur. Nun wird der Temperaturunterschied δ zur Zimmertemperatur in gleichmässigen Zeitabständen gemessen: t in min δ in 0 C Versuchen Sie ein Modell Funktion) für die Daten zu finden. Offensichtlich gilt: = = = = ; 34 = ; 25 = 0.76 Bis auf Rundungen und Messfehler scheint eine konstante Abnahme von 25% in 5 Minuten zu erfolgen. Es ergibt sich also das Modell T t) = T a 0.75) t wobei eine Einheit von t 5 Minuten entspricht. Kontrolle: ) = 45;600.75) 2 = 33.75,600.75) 3 = 25.33, etc. Sucht man eine Formel für t in Minuten, so gilt: 45 = 60 p) = p) = = p. Kontrolle: ) 5 = 45.0; ) 0 = 33.75; etc. Lösung 2. Bestimmen Sie die Gleichung einer Exponentialfunktion f mit fx) = a x, deren Graph durch den Punkt 3,5) verläuft. Es gilt: a 3 = 5. Entsprechend ist a = 5 3 = Kontrolle: 5 3) = 5. Lösung 3. Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass der Graph der Funktion f mit fx) = b a x durch die Punkte 0,.5) und,.8) verläuft. ba 0 = b =.5;ba =.5a =.8 = a =.8.5 = 6 5 =.2 Damit gilt f x) = 3 6) x 2 5 Kontrolle: f 0) = 3 6) =.5; f ) = 3 6) 2 5 = 9 5 =.8 Lösung 4. Gegeben ist die Funktion f mit fx) = 2 2x+5. Schreiben Sie die Funktionsgleichung in der Form fx) = a b x. 2 2x+5 = 2 2x 2 5 = 4 x 2 5 = 32 4 x a = 32;b = 4) Lösung 5. Gegeben ist die Funktion f mit f x) = 2 ) 5x+4. Schreiben Sie die Funktionsgleichung in der Form fx) = a b x. 2 ) 5x+4 = 2 5x+4 2 = 2 2.5x+2 = 2 2.5x 2 2 = ) x mit a = 4;b = = ) Lösung 6. Ein Quader hat eine Breite, die halb so groß ist wie die Länge. Die Höhe ist um 2cm länger als die Breite. Der Quader hat das Volumen 350cm 3. Geben Sie die Breite, die Länge und die Höhe an. b = l 2 h = 2+b b l h = 350 l = 2b; b l h = b 2b 2+b) = 2b 3 +4b 2 = 350 Also 2b 3 +4b = 0 Einzige reelle NS: 5 = l = 2b = 0;h = 5+2 = 7 Lösung 7. Geben Sie für eine Call-Option Ausübungspreis = 55, Prämie = 3), die Auszahlungsfunktion an Funktion der möglichen Gewinne und Verluste in Abhängigkeit vom Martkpreis S T des Basiswertes zum Ausübungszeitpunkt T). Zeichnen Sie die Funktion und beschriften Sie den Ordinatenabschnitt und die Nullstelle der Funktion. Ein Gewinn resultiert, wenn der Marktpreis S T höher ist als der Ausübungspreis k Man kann zum Preis k kaufen und auf dem Markt S T realisieren). Die Auszahlungsfunktion ist also: { ST k c = S f S T ) = T 55 3 für S T > 55 c = 3 für S T 55 Die Graphik ist gegeben durch den Ordinatenabschnitt 58 und der Nullstelle S T 55 3 = 0: 58 Damit ergibt sich eine Parallele im Abstand von -3 zur x-achse bis 55, dann eine Gerade mit der Steigung, die durch den Punkt 0, 58) und 58,0) verläuft. 8

9 Lösung 8. Bestimmen Sie Funktionsgleichung und Definitionsbereich der Umkehrfunktion:. fx) = 2x; f : R R ist injektiv und surjektiv auf R. Als Definitionsbereich der Umkehrfunktion kann man entsprechend R wählen. f : R R ist gegeben durch f y) = y 2 da y = 2x x = y 2 ) 2. fx) = x+3;f : R R ist injektiv und surjektiv auf R. Als Definitionsbereich der Umkehrfunktion kann man entsprechend R wählen. f : R R ist gegeben durch:f y) = 3 y da y = x+3 y 3 = x x = 3 y) 3. fx) = x ) 2 +3 = x 2 2x+4. f : R R ist weder injektiv noch surjektiv. Das Minimum der Funktion liegt in x = mit Formel b 2a ), wobei f ) = = 3. Die Funktion ist konvex a ist positiv) und rechts von strikt monoton steigend. Entsprechend gibt es eine Restriktion f von f auf [, [, die injektiv und surjektiv ist, nämlich f : [, [ [3, [. Für f : [3, [ [, [ erhält man: y = x 2 2x + 4 x 2 2x + 4 y = 0 2)± 2) y) 2 = ± y 3+; Damit erhält man f y) = y 3+ für y 3. Links von ist die Funktion strikt monoton sinkend. Entsprechend gibt es eine Restriktion f 2 von f auf ],], so dass f 2 :],] [3, [ injektiv und surjektiv ist. f2 y) = y 3+ für y 3. Achtung: Es gibt für f keine Umkehrfunktion, nur für gut gewählte Restriktionen von f. 4. fx) = 5x+) 2 +4 = 5x 2 0x. f : R R ist weder injektiv noch surjektiv. Das Maximum der Funktion liegt in x = =, wobei f ) = 5 )2 0 ) = 4. Die Funktion ist konkav a ist negativ) und rechts von strikt sinkend. Entsprechend gibt es eine Restriktion f von f auf [, [, die injektiv und surjektiv ist, nämlich f : [, [ ],4].Für f :],4] [, [ erhält man: y = 5x 2 0x ; 5x 2 0x y = 0; 0) 5 4 y = f y) für y 4. 0) 2 4 5) y) 2 5) = 5 Links von ist die Funktion strikt monoton steigend. Entsprechend gibt es eine Restriktion f 2 von f auf ], ], so dass f 2 :], ] ],4[ injektiv und surjektiv ist. f2 y) = 0) 0) 2 4 5) y) 2 5) = y für y 4. Achtung: Es gibt für f keine Umkehrfunktion, nur für Restriktionen von f. 5. fx) = 2x+ f : R R ist eine Gerade, s. Lösung Übung 8.2) 6. fx) = x 2 ++ ist ein Polynom 2. Grades, s. Lösungen 8.3 und 8.4) 7. fx) = 2x 2 8x+7 ist ein Polynom 2. Grades, s. Lösungen 8.3 und 8.4)) 8. fx) = 4 3x+ ist definiert für 4 3x 0, d.h. für x ], 4 3 ]. Für x 2 > x gilt: 3x 2 < 3x 4 3x 2 < 4 3x 4 3x2 < 4 3x 4 3x2 + < 4 3x + f x 2 ) < f x ) Damit ist f strikt monoton sinkend) auf dem Definitionsbereich und f : ], 4 3 ] [, [ denn = ) ist surjektiv und injektiv. Entsprechend gibt es die Umkehrfunktion f : [, [ ], 4 3 ] mit y = 4 3x +;y = 4 3x; y ) 2 = y 2 2y + = 4 3x;y 2 2y+ 4 = 3x; = 3 y y + = f y) y 2 2y 3 3 9