Wachstum und Zerfall / Exponentialfunktionen. a x = e (lna) x = e k x

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1 Wachstum und Zerfall / Exponentialfunktionen Mit Exponentialfunktionen können alle Wachstums- und Zerfalls- oder Abnahmeprozesse beschrieben werden. Im Allgemeinen geht es dabei um die Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis a, wobei a > 0 ist. Durch die Verwendung nur einer Basis, nämlich der Eulerschen Zahl e (e = 2, ), ist die Anwendung der Exponentialfunktionen erheblich vereinfacht. Die Exponentialfunktion mit der Basis e hat den wesentlichen Vorteil, dass die Ableitungen dieser Funktionen im Wesentlichen gleich der Funktion bleiben. Die e-funktion reproduziert sich. Zur Überführung einer beliebigen Basis in die Basis e muss nur der Basiswechsel durchgeführt werden: Dabei macht man sich zunutze, dass e ln a = a ist und dass das Potenzieren einer Potenz durch die Multiplikation der Exponenten vereinfacht werden kann. Für Basen kleiner als Eins, die ja eine abfallende Funktion nach sich ziehen, wird der Exponent der e-funktion auch negativ, d.h. die Funktion ist auch abfallend. Dieser Zusammenhang sollte an einigen Beispielen nachvollzogen werden. Welche Wachstumsformen gibt es nun? Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum Begrenztes Wachstum Logistisches Wachstum a x = e (lna) x = e k x Für alle Wachstumsarten gibt es zunächst einmal charakteristische Funktionsgraphen: Beschäftigen wir uns erstmal mit dem exponentiellen Wachstum.

2 Exponentielles Wachstum Diese Wachstumsart liegt vor, wenn sich ein Bestand in gleichen Zeiträumen immer um den gleichen Faktor verändert. Beispielsweise kann sich ein Bestand alle zwei Jahre verdoppeln, oder ein Bestand verringert sich alle drei Wochen um den Faktor 0,3. Beispiel 1: In der Tabelle ist das Gewicht eines Hefepilzes in einer Nährlösung zur Zeit n aufgetragen: n G (n) G (n) / G (n-1) , , , , , ,58 Die Zeit ist in h notiert, das Gewicht in mg. In dem Beispiel liegt ein Wachstumsfaktor von ca. 1,56 vor. Er lässt sich aus dem Mittelwert der tabellierten Faktoren errechnen. Wir erhalten also eine rekursive Darstellung des Prozesses mit: G(n) = 1,56 G(n 1) Damit folgt die explizite Darstellung: Mit der Basis e folgt: G(n) = 18 1,56 n (0,4447 n) G(n) = 18 e ln (1,56) = 0,4447 Wir müssen festhalten: Der Wachstumsfaktor a ist der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Bestandswerten. Mit der e-funktion kommt eine Wachstumskonstante k ins Spiel, nämlich k = ln a. Beispiel 2: Die Messe Intersolar fand von 2002 bis 2007 in Freiburg statt. Wegen der steigenden Ausstellerzahlen zog sie in den Folgejahren nach München um. Später fanden auch Ableger der Messe in Kalifornien statt. Tabelle: Sind die in der Tabelle genannten Ausstellerzahlen näherungsweise exponentiell gewachsen? Bestimmen Sie eine Funktion, die das Wachstum modelliert. Wieviele Aussteller müsste die Messe demnach im Jahre 2010 haben? Jahr Aussteller Wachstumsfak tor , , , , ,23 Der Wachstumsfaktor ist in den letzten Jahren relativ konstant und kann über den gesamten Zeitraum mit dem Mittelwert a = 1,19 angegeben werden. Die Ausstellerzahlen sind näherungsweise exponentiell gewachsen.

3 Für die Bildung der Wachstumsfunktion sollen mehrere Wege gezeigt werden. Weg I: Eine mögliche Funktion wäre: A(t) = A 0 e ( lna t) A(t) = 236 e (ln1,19 t) A(t ) = 236 e ( 0,174 t ) Der Wachstumsfaktor wurde schon bestimmt und der Startwert kann aus der Tabelle entnommen werden. Weg II: Wir wählen einen Ansatz wie A(t) = A 0 e (k t ) A(t) = 236 e (k t) mit dem Startwert A 0 und setzen einen weiteren Wert aus der Tabelle ein, z.b. 560 Aussteller nach t = 5 Jahren. A(t) = 236 e (k t ) 560 = 236 e (k 5 ) ln = k 5 k = ln = 0,173 Damit folgt für die Funktion: A(t ) = 236 e ( 0,173 t) Weg III: Man ermittelt eine Wachstumsfunktion, indem man dem GTR beide Tabellenspalten als Listen eingibt und anschließend die exponentielle Regression durchführt. Jahre seit 2002 L 1 = {0,1,2,3,4,5} Ausstellerzahlen L 2 = {236, 256, 291, 372, 454,560} ExpReg L 1, L 2, Y 1 A(t) = 219,7 1,197 t A(t ) = 219,7 e ( 0,180 t ) Alle drei Wege führen zu ähnlichen Ergebnissen für das Wachstum. Welchen Weg man einschlägt, hängt davon ab, was aus der Aufgabenstellung zu erlesen ist, was gegeben ist und was der eigenen Vorliebe am besten entspricht... Das Jahr 2010 ist acht Jahre nach dem Jahr 2002, also t = 8. Eingesetzt in die Wachstumsfunktion: A(t) = 236 e ( 0,174 t) A(t) = 236 e (0,174 8) A(t) = 949,4 Man kann im Jahre 2010 mit ca. 949 Ausstellern rechnen.

4 Beim exponentiellen Wachstum ist es oft interessant, die Halbwertszeit / Verdoppelungszeit zu kennen. Die ermittelt man, indem man sagt, dass sich ein Bestand in der Zeit t = T H halbiert, bzw. in der Zeit t = T V verdoppelt. Daraus folgt: Begrenztes Wachstum A(t) = A 0 e ( k t) A(t) = 1 2 A 0 = A 0 e( k T H) 1 2 = e( k T H) T H = ln 0,5 k T H = 0,69 k A(t) = A 0 e (k t) A(t) = 2 A 0 = A 0 e ( k T V) 2 = e ( k T V) T V = ln2 k T V = 0,69 k Begrenztes Wachstum liegt vor, wenn das Wachstum in mehr oder weniger langen Zeiträumen gegen einen Grenzwert strebt und diesen nicht über- oder unterschreitet. Eine Folge des Wachsens gegen eine Grenze ist, dass der Restbestand, d.h. der Unterschied zwischen Grenze und Bestand, exponentiell abnimmt: R(n) = S B(n) Das begrenzte Wachstum kann durch folgende Funktion beschrieben werden: f ( x) = S (S f (0)) e ( k x ) Hier gilt: k = - ln a, f(0) ist der Startwert bei x = 0 und S bezeichnet den Grenzwert. Der Term S - f(0) wird auch mit c abgekürzt. Also: f ( x) = S c e ( k x ) Beispiel 3: In einer 35 cm² -Petrischale wird eine Bakterienkultur angesetzt. Die überdeckte Anfangsfläche beträgt 2 cm² ; nach einem Tag bedecken die Bakterien 5 cm². Nehmen Sie begrenztes Wachstum an. Ermitteln Sie eine Wachstumsfunktion. Welche Fläche wird nach fünf Tagen, bzw. nach fünf Stunden überdeckt? Wann ist die Petrischale zur Hälfte bedeckt? Wann beträgt die Wachstumsrate 0,5 cm² pro Tag? Was ist gegeben? S = 35 A 0 = 2 A(1) = 5 Die allgemeine Formel ist: f ( x) = S (S f (0)) e ( k x ) f (t) = 35 (35 2) e ( k t) f (t) = e ( k t )

5 Einsetzen des weiteren Wertepaars liefert die Wachstumskonstante k: ( k t) f (t) = e 5 = e ( k 1 ) k = ln( 30 33) = 0,0953 Das führt zu der Wachstumsfunktion: ( 0,0953 t) f (t) = e t = 5: f (5) = e ( 0,0953 5) f (5) = 14,5 Nach fünf Tagen sind ca. 14,5 cm² bedeckt. t = 5/24: f (5/24) = e ( 0,0953 f (5) = 2,65 Nach fünf Stunden sind ca. 2,65 cm² bedeckt. Wann ist A(t) = 17,5? 5 24) Weg I: Die Wachstumsfunktion muss nach t umgestellt werden: 17,5 = e 17,5 = 33 e ( 0,0953 t ) 17,5 33 ( 0,0953 t) = e( 0,0953 t) t = ln(0,53) 0,0953 = 6,66 Nach ca. 6 Tagen und 16 Stunden ist die Petrischale zur Hälfe bedeckt. Weg II: y 1 = f(t) y 2 = 17,5 intersect y 1, y 2 x S = 6,66 Nach ca. 6 Tagen und 16 Stunden ist die Petrischale zur Hälfte bedeckt. Die Wachstumsrate ist die erste Ableitung der Funktion. Also ein möglicher Weg ist, f'(t) zu bilden: ( 0,0953 t) f (t) = e f '(t) = 3,1449 e ( 0,0953t ) Die Rate soll 0,5 cm² pro Tag sein, also f'(t) = 0,5 und umstellen nach t liefert: 0,5 = 3,1449 e ( 0,0953t ) t = 19,3 Nach ca. 19 Tagen beträgt die Wachstumsrate 0,5 cm² pro Tag.

6 Ein anderer Weg: y 1 = nderiv(f(t)) y 2 = 0,5 intersect y 1, y 2 x S = 19,3 Nach ca. 19 Tagen beträgt die Wachstumsrate 0,5 cm² pro Tag. Logistisches Wachstum Das logistische Wachstum ist eine Kombination aus dem exponentiellen Wachstum in der Anfangsphase und dem begrenzten Wachstum in der Endphase. Die Wachstumsfunktion lautet: S f ( x) = 1 + a e kx Der Parameter S stellt wieder die Wachstumsgrenze dar. Beispiel 4: Ein Wachstum wird durch die Funktion f(x) beschrieben: 10 f ( x) = e 0,25 x Es handelt sich um das Wachstum von Schimmel an einer Zimmerwand, x wird in Tagen angegeben, f(x) in dm². Bestimmen Sie den Anfangswert und die Schranke des Wachstums. Nach welcher Zeit sind mindestens 90% der Wand von Schimmel befallen? Um wie viel dm² pro Tag wächst der Schimmel nach zehn Tagen? Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit 60 cm² pro Tag? Der Anfangswert ist der Funktionswert zum Zeitpunkt t = 0, also f(0): Der Anfangswert der Schimmelfläche ist 2 dm². f (0) = = 2 Die Schranke ist 10 dm², wahrscheinlich die Fläche der Zimmerwand. Frage nebenbei: Ist das sinnvoll? 90% von 10 dm² sind 9 dm². Wann ist f(x) = 9? Einsetzen und umstellen liefert: 10 9 = e 0,25 x e 0,25 x = 10 e 0,25 x = 1 36 ln( 36) 1 x = 0,25 = 14,33 Nach 14,33 Tagen sind 90 % der Zimmerwand bedeckt.

7 Die Wachstumsgeschwindigkeit ist die erste Ableitung der Funktion. Da der Wert nach 10 Tagen interessiert, brauchen wir f'(10). nderiv(f(x)) value: x = 10 y = 0,465 Nach zehn Tagen beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit 0,465 dm² pro Tag. Wir müssen erstmal die Einheit anpassen, da der Funktionswert immer in dm² angegeben wird. Die Wachstumsgeschwindigkeit 60 cm² pro Tag ist gleich 0,6 dm² pro Tag. y 2 = nderiv (f(x)) y 3 = 0,6 intersect y 2, y 3 x S1 = 3,92 x S2 = 7,17 Nach etwa 4 Tagen und noch einmal nach 7 Tagen ist die Wachstumsgeschwindigkeit 60 cm² pro Tag. Beispiel 5: Bei einer Grippewelle in einem Dorf mit 1000 Einwohnern wächst die Zahl der Infizierten logistisch. Man geht davon aus, dass die Krankheit auf das Dorf beschränkt bleibt und dass etwa 30% der Bewohner immun sind. Anfangs waren nur 20 Personen erkrankt, nach einer Woche waren es schon 150. Wie viele Einwohner sind nach zwei Wochen infiziert? Wann sind 600 Einwohner infiziert? Wie groß ist jeweils die Wachstumsgeschwindigkeit? Aufstellen der Wachstumsfunktion: Grenze S = 700 ( %) f(0) = 20 f(7) = 150 S Funktionstyp: f ( x) = 1 + a e kx Durch Einsetzen von f(0) erhalten wir den Parameter a: f (0) = 20 = a a = 34 Durch den zweiten Funktionswert erhalten wir k: 700 f (7) = 150 = e k e k 7 = 700 e k 7 = 0,1078 k = 0,318

8 Damit erhalten wir die Funktion 700 f ( x) = e 0,318 x mit x der Zeit in Tagen und f(x) der Anzahl der Infizierten. Mit x = 14 erhalten wir: 700 f (14) = e 0, f (14) = 501 Nach zwei Wochen sind 501 Einwohner infiziert. Weg I: Einsetzen und umstellen liefert: Weg II: y 1 = f(x) y 2 = = e 0,318 x e 0,318 x = 700 x = 16,72 Nach ca. 16,7 Tagen sind 600 Personen infiziert. intersect y 1, y 2 x S = 16,72 Nach ca. 16,7 Tagen sind 600 Personen infiziert. Für die Wachstumsgeschwindigkeit brauchen wir die Ableitung an der entsprechenden Stelle. nderiv(f(14)) = 45,25 Nach zwei Wochen infizieren sich über 45 Personen pro Tag. nderiv(f(16,7)) = 27,4 Nach 16,7 Tagen infizieren sich noch über 27 Personen pro Tag.

9 Thema Differentialgleichungen bei Wachstum In manchen Aufgabe kann eine Beziehung zwischen der Wachstumsfunktion und der dazugehörigen Ableitung hergestellt werden. Eine solche Beziehung nennt man Differentialgleichung. Die Lösung der Differentialgleichung ist dann die gesuchte Wachstumsfunktion. Beispiel für die Anwendung einer Differentialgleichung: Eine Fläche A(t) wird von einem Pilz überdeckt. Wenn man z.b. weiß, dass die momentane Zuwachsrate jeweils 5% der befallenen Fläche beträgt, dann kann man die Differentialgleichung A'(t) = 0,05 A(t) aufstellen. Die Lösung ist dann eine Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt: A(t) = c e 0,05t. Der Parameter c ist dabei der Anfangswert des Wachstums A(0). Tabelle der für die Wachstumsprozesse wichtigen Differentialgleichungen und ihre Lösungen Exponentielles Wachstum Begrenztes Wachstum Logistisches Wachstum Differentialgleichung f ' (x ) = k f ( x) f ' (x ) = k (S f (x )) f ' (x ) = k f (x )(S f (x )) S Lösung f ( x) = c e ( k x) f ( x) = S c e ( k x ) S f ( x) = 1 + a e kx Jeweils gilt: k = ln a a = Wachstumsfaktor; k = Wachstumskonstante

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