Didaktische Bemerkungen

Transkript

1 zu den Rekursionsformeln und der Arbeit mit Derive Exponentielles Wachstumsmodell Es sei (i) f t =f 0 e k t und die Rekursionsformel zu (i) lautet: f t 1 =q f t bzw. f n 1 =q f n. Mit f(t+1) in (i) erhält man f t 1 =f 0 e k t 1 =f 0 e k t e k =f t e k und mit q=e k beschreiben beide Formeln exakt das exponentielle Wachstum. 2 Begrenztes Wachstumsmodell Aus der rekursiven Formel f t 1 =f t p G f t erhält man (*) f t 1 f t =p G f t. Die linke Seite entspricht dem Differenzenquotienten f t f t mit =1. Vergleicht man den Differenzenquotienten (*) mit der Ableitung von (**) f t =G G f 0 e k t, also f ' t =k G f 0 e k t und setzt noch die Umformung aus (**) G f t = G f 0 e k t ein, so sieht man, dass f ' t =k G f t ist und der Vergleich mit (*) sofort k p liefert. Wegen lim t 0 f t =f ' t ist dies somit nur eine Näherung. D. Müller CCS Bemerkung 1 -

2 Wir zeigen jetzt, wie groß der Fehler bei der Rekursionsformel für die Näherung f(t+1) - f(t) ist. Aus f t 1 =G G f 0 e k t 1 =G G f 0 e k t e k folgt f(t+1)-f(t)= G G f 0 e k t e k G G f 0 e k t = G f 0 e k t 1 e k mit der Reihenentwicklung e k =1 k k2 2! k3 3!... ergibt sich in erster Näherung für 1 e k =k. Die Rekursionsformel für das begrenzte Wachstum ist nur eine Näherung. Sie ist um so besser, desto kleiner k ist. Beispiel: Erwärmung eines Polar Ice von 3 C auf 15 C nach 32 Minuten bei 26 C Raumtemperatur. Mit Derive wurde k zu k=0,02305 bestimmt. Hier sind die Abweichungen minimal, da k klein ist. D. Müller CCS Bemerkung 2 -

3 3 Logistisches Wachstumsmodell Aus der rekursiven Formel f t 1 =f t q G f t f t erhält man a f t 1 f t =q G f t f t. Die linke Seite entspricht wieder dem Differenzenquotienten f t f t mit =1. Vereinfacht man die logistische Wachstumsfunktion f t = G f 0 f 0 e k t 1 zu G f 0 e k t f t = G ek t G f 0 f 0 e k t und setzt A=G f 0 und B= G f 0, so erhält man: A ek t f t = B f 0 e k t und f ' t = k A ek t [ ] A e k t k f 0 e k t [ ] 2 mit [ ]=B f 0 e k t. f ' t = k A ek t [ ] f 0 e k t = k A ek t [ ] 2 [ ] [ ] f 0 ek t [ ] = k f t 1 1 G f t = k G f t G f t. Der Vergleich mit der k rekursiven Formel (a) liefert G q. Bei Verwendung der rekursiven Wachstumsformel muss die Zeiteinheit klein gewählt werden, f t t f t damit die Näherung =f ' t gilt. Sonst sind die Abweichungen zwischen rekursiver und funktionaler Betrachtung groß. D. Müller CCS Bemerkung 3 -

4 Als Beispiel betrachte das Wachstum einer Fichte von 5.2 aus Elemente der Mathematik 10. Hier ist f(0)=2,1m, G=75m und nach f(56)=74,7m angenommen worden. Die folgende Tabelle gibt die Berechnungen für a) Wachstumsfunktion f(t) b) Rekursionsformel für Zeittakt 4a. Der Wert für q wurde in EXCEL ermittelt, so dass nach 56 Jahren gerade 74,7 erreicht werden. Es ergibt sich q = 0,008 für 4 Jahre und wegen f t 4 f t = q 4 4 f t G f t ist q/4 = 0,002. Aus a) ergibt sich k/g zu 0,00216 (Abweichung von 8%). c) Rekursionsformel für Zeittakt 1a. Der Wert für q wurde in EXCEL ermittelt, so dass nach 56 Jahren gerade 74,7 erreicht werden. Es ergibt sich q = 0, Die Abweichungen sind gering. D. Müller CCS Bemerkung 4 -

5 Hinweis zu DERIVE Rekursionen in DERIVE, besser nicht; denn sowie die Funktion mehrmals aufgerufen wird, werden die Berechnungszeiten extrem lang. Def.: In der Statuszeile wird folgender Term eingegeben: f(n) := IF(n=0, 2,1, f(n-1)+0,00216*f(n-1)*(75 - f(n-1) ) Mit f(n) und vereinfachen oder Tabelle lassen sich dann die Werte berechnen. Die Zeiten siehe Beispiel: D. Müller CCS Bemerkung 5 -

6 Berechnung von den Parametern k und G in der logistischen Wachstumsfunktion aus 2 Messwerten. Beispiel 6.2 Aufgabe 5) Sauna In Derive muss f0 statt f(0) geschrieben werden und die Eulersche Zahl e muss aus dem rechten unteren Auswahlmenü gewählt werden oder es muss die EXP(.. ) Funktion verwendet werden (nur Großbuchstaben für die Funktionsnamen verwenden, wenn Groß- und Kleinschreibung wird unterschieden - CASE Mode Sensitiv eingestellt wurde). Definiere: f(t) := f0*e^(k*t) / ( G + f0/g*(e^(k*t)-1) ) Anschliessend setze f0:=20 als Anfangswert. f(1)=40 löse diesen Ausdruck algebraisch und reell nach k auf. Man erhält k=ln 2 G 20 G 40. Definiere k :=ln 2 G 20 G 40 Jetzt löse den Ausdruck f(5)=231 numerisch nach G auf und vereinfache ihn mit zu G= Definiere G:= 301 und vereinfache die Funktion. Fertig, nun können Tabellenwerte (Analysis - Tabelle) berechnet und der Graph gezeichnet werden. Die Grenze läßt sich mit [t,g] zeichnen. Bei Aufgabe 5.3 Hefewachstum muss zuerst algebraisch nach G aufgelöst werden und anschliessend k numerisch bestimmt werden. Bei einigen Tabellenwerten gelingt die Auflösung nur mit numerisch und Grenzen 0<k<1. D. Müller CCS Bemerkung 6 -

7 Derive Ausdruck: Einstellungen beim Graphikfenster: Extras - Anzeige - Farbe - Farbe wählen und automatisch ändern deaktivieren und eine dunkle Farbe für den Druck auswählen. In Extras - Vereinfachen vor dem zeichnen aktivieren. D. Müller CCS Bemerkung 7 -