Computer-Algebra-Systeme in einem modernen Mathematikunterricht

Transkript

1 Computer-Algebra-Systeme in einem modernen Mathematikunterricht Edith Schneider Universität Augsburg Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Landshut,

2 Vortragsgliederung 1. Was sind/können Computeralgebrasysteme (CAS) 2. Rolle von CAS in der Schulmathematik 3. Beispiele für einen CAS-unterstützten Mathematikunterricht 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung

3 1. Was sind/können Computeralgebrasysteme (CAS)

4 1. Was sind/können Computeralgebrasysteme (CAS)

5 2. Rolle von CAS in der Schulmathematik Mathematik = Rechnen (regelhaftes Umformen, Operieren) H. Winter: blinder Rechenaktionismus M. Wagenschein: Dressur des Unverstandenen H. J. Vollrath: Die starke Betonung von Aufgaben bringt das didaktische Gleichgewicht durcheinander. Einführungsphasen werden reduziert, Begründungen spielen eine untergeordnete Rolle; Begrifflichkeit tritt in den Hintergrund; Routine überwiegt gegenüber dem Einfall; Können wird höher bewertet als Wissen; Beherrschen geht über Verstehen.

6 2. Rolle von CAS in der Schulmathematik H. W. Heymann: 7 Aufgaben einer allgemein bildenden Schule 1. (unmittelbare) Lebensvorbereitung 2. Stiftung kultureller Kohärenz 3. Weltorientierung 4. Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch 5. Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft 6. Einübung in Verständigung und Kooperation 7. Stärkung des Schüler-Ichs

7 2. Rolle von CAS in der Schulmathematik R. Fischer: Kommunikationsfähigkeit mit Expert(inn)en und der Allgemeinheit Grundwissen Begriffe, Konzepte, Darstellungen Allgemeinbildung Operatives Wissen und Können Generierung von Wissen, Problemlösung, Beweise Expertenausbildung Reflexion(swissen) Bedeutung/Grenzen von Begriffen/Methoden Reduktion der Ansprüche hinsichtlich operativen Wissens und Könnens und Erhöhung der Ansprüche in Bezug auf Grundwissen und Reflexion

8 2. Rolle von CAS in der Schulmathematik Grundwissen (insbesonders Darstellungen) Operatives Wissen und Können Interpretieren und Reflexion(swissen) Grundwissen (insbesonders Darstellungen) Operatives Wissen und Können Interpretieren und Reflexion(swissen) Traditioneller MU MU im Sinne fachdidaktischer Forderungen

9 2. Rolle von CAS in der Schulmathematik Mit Computern und entsprechender Software wird für Schülerinnen und Schülern umfassendes operatives Wissen und Können verfügbar, ohne dass sie es selbst kognitiv entwickelt haben. CAS Grundwissen (insbesonders Darstellungen) Operatives Wissen und Können Interpretieren und Reflexion(swissen)

10 2. Rolle von CAS in der Schulmathematik Auslagerungsprinzip (nach Peschek 1999b, S. 407) Die mathematische Ausbildung sollte sich bei der Einführung wie auch bei der Anwendung mathematischer Konzepte zeitgemäßer Mittel bedienen; sie sollte insbesondere auch versuchen, operatives Wissen und operative Fertigkeiten an diese auszulagern, soweit dies didaktisch sinnvoll möglich ist. Sie hat dabei darauf bedacht zu sein, die Lernenden zur effizienten Nutzung von mathematischen Modulen (Black Boxes) zur Beurteilung der Voraussetzungen, Wirkung, Reichweite und Grenzen der verwendeten Module und zur Einsicht in die wissenschaftstheoretische wie auch gesellschaftliche Bedeutung der Verwendung mathematischen Module zu befähigen.

11 2. Rolle von CAS in der Schulmathematik Weitere didaktisch nutzbare Möglichkeiten von CAS verschiedene Darstellungsformen, leichter und rascher Wechsel zwischen diesen experimentelle Erschließung math. Sachverhalte Verwendung elementarer(er) mathematischer Methoden und Konzepte Modularisierung

12 3. Beispiele für einen CAS-unterstützten Mathematikunterricht Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept (E. Prugger, C. Rauniak, E. Schneider: (2000): Wachstums- und Abnahmeprozesse mit dem TI-92. Hagenberg: bk teachware, 60 S.) Einstieg in die Differentialrechnung (E. Schneider (2000a): Grundbegriffe der Differentialrechnung mit CAS. In: mathematik lehren 102, S E. Prugger, C. Prumetz, E. Schneider (2001/2003): Differenzialrechnung mit dem TI-89/92/92+/Voyage 200. Hagenberg: bk teachware, 62 S.)

13 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept Beispiel: Der Biologe misst den Inhalt der Fläche, den eine zweite Zellkultur auf derselben Nährlösung einnimmt und erstellt folgende Tabelle: Messzeitpunkt (in Stunden) Flächeninhalt (in cm 2 ) ,1 146,41 a) Versuche die Entwicklung dieser Zellkultur (Flächeninhalt) durch eine rekursive Gleichung zu beschreiben. Wir nehmen an, dass sich diese Zellkultur über einen längeren Zeitraum annähernd im Sinne dieser Gleichung entwickelt. b) Ermittle mit dem TI-92, wie groß die Fläche nach 24 Stunden, nach 36 Stunden, nach 48 Stunden ist! c) Erstelle mit dem TI-92 eine Tabelle. Ermittle anhand der Tabelle, nach wie vielen Stunden diese Zellkultur über 2000 cm 2, über 2500 cm 2, über 3000 cm 2 hinauswachsen wird!

14 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept Beispiel 3: Der Biologe misst den Inhalt der Fläche, den eine zweite Zellkultur auf derselben Nährlösung einnimmt und erstellt folgende Tabelle: Messzeitpunkt (in Stunden) Flächeninhalt (in cm 2 ) ,1 146,41 a) Versuche die Entwicklung dieser Zellkultur (Flächeninhalt) durch eine rekursive Gleichung zu beschreiben. A(1) = A(0) + 0,1 A(0) = 1,1 A(0) A(2) = A(1) + 0,1 A(1) = 1,1 A(1) A(3) = A(2) + 0,1 A(2) = 1,1 A(2).. A(n) = A(n-1) + 0,1 A(n-1) = 1,1 A(n-1) [Fläche neu = 1,1 Fläche alt]

15 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept b) Ermittle mit dem TI-92, wie groß die Fläche nach 24 Stunden, nach 36 Stunden, nach 48 Stunden ist! c) Erstelle mit dem TI-92 eine Tabelle. Ermittle anhand der Tabelle, nach wie vielen Stunden diese Zellkultur über 2000 cm 2, über 2500 cm 2, über 3000 cm 2 hinauswachsen wird!

16 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept b) Ermittle mit dem TI-92, wie groß die Fläche nach 24 Stunden, nach 36 Stunden, nach 48 Stunden ist! c) Erstelle mit dem TI-92 eine Tabelle. Ermittle anhand der Tabelle, nach wie vielen Stunden diese Zellkultur über 2000 cm 2, über 2500 cm 2, über 3000 cm 2 hinauswachsen wird!

17 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept zu Beginn: A(0) = 100 nach 1 Stunde: A(1) = 1,1 A(0) nach 2 Stunden: A(2) = 1,1 A(1) = 1,1 (1,1 A(0)) = 1,1 2 A(0) nach 3 Stunden: A(3) = 1,1 A(2) = 1,1 (1,1 2 A(0)) = 1,1 3 A(0) nach n Stunden: A(n) = 1,1 A(n-1) = 1,1 (1,1 n-1 A(0)) = 1,1 n A(0) Definition: Eine reelle Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = c ax (c R und a R + ) nennt man Exponentialfunktion. Funktionsgleichungen von Exponentialfunktionen, also Gleichungen der Form f(x) = c a x, nennt man Exponentialgleichungen.

18 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept.. Vor- und Nachteile rekursiver und algebraischer Funktionsbeschreibungen

19 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept.. Vor- und Nachteile rekursiver und algebraischer Funktionsbeschreibungen Aufgaben zu exponentiellen Vorgängen (unterschiedliche Kontexte, Darst.)

20 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept.. Vor- und Nachteile rekursiver und algebraischer Funktionsbeschreibungen Aufgaben zu exponentiellen Vorgängen (unterschiedliche Kontexte, Darst.) Eigenschaften von Exponentialfunktionen

21 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept 1.3 Eigenschaften der Exponentialfunktion Auswirkungen des Wachstumsfaktors a auf den Verlauf der Exponentialfunktion f Zeichne (mit Hilfe des TI-92) die im Folgenden angegebenen Exponentialfunktionen. Da wir die Auswirkungen des Werts des Wachstumsfaktors auf den Verlauf des Graphen untersuchen wollen, variieren wir nur den Wert von a und nehmen den Wert von c als konstant mit c=1 an. f 1 : y 1 = 2 x f 4 : y 4 = 0,1 x f 7 : y 7 = 1 x f 2 : y 2 = 5 x f 3 : y 3 = 10 x f 5 : y 5 = 0,2 x f 6 : y 6 = 0,5 x a) Was fällt dir im Hinblick auf das Monotonieverhalten (Steigungsverhalten) der Exponentialfunktionen f 1 -f 7 auf? b) Lässt sich aufgrund der Graphen der Funktionen f 1 -f 7 eine Gesetzmäßigkeit im Hinblick auf den Wertebereich und das Verhalten von Exponentialfunktionen für sehr große bzw. sehr kleine x ( asymptotisches Verhalten ) vermuten? c) Begründe, warum alle Funktionsgraphen einen gemeinsamen (welchen?) Schnittpunkt haben!

22 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept 1.3 Eigenschaften der Exponentialfunktion Auswirkungen des Wachstumsfaktors a auf den Verlauf der Exponentialfunktion f Auswirkungen des Anfangswerts c auf den Verlauf der Exponentialfunktion f

23 3.1 Exponentialfunktionen ein Unterrichtskonzept gegenüberstellende Analyse von linearen und exponentiellen Modellen Logarithmus, Logarithmusfunktionen (inkl. Eigenschaften) Natürliche Exponentialfunktion, natürlicher Logarithmus Weitere Wachstumsmodelle Wachstum bei Beschränkung gebremstes Wachstum Logistisches Wachstum diskretes und kontinuierliches Modell

24 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Skizze eines Unterrichtskonzepts Einstieg Über mittlere Änderungsraten anhand anwendungsorientierter Aufgaben Beispiel: Aus einer Badewanne fließt Wasser aus. Jedem Zeitpunkt t wird ein bestimmtes Wasservolumen V(t) in der Badewanne zugeordnet, wobei t in Sekunden und V(t) in Liter gemessen wird. Es sei V(t) = ( t) 2. a) Berechne die Änderung des Wasservolumens in den Zeitintervallen [0;15], [15;40], [40;100], [100;150], [150;210] und [210;250]. b) In welchem Zeitintervall fließt das Wasser am schnellsten ab? c) Beschreibe allgemein die Änderung des Wasservolumens im Zeitintervall [a,b] sowie die mittlere Änderung des Wasservolumens im Zeitintervall [a;b]! Was besagt die mittlere Änderung? d) Stelle die Funktion V: t -> V(t) grafisch dar! e) Ermittle anhand des Funktionsgraphen die Änderung des Wasservolumens im Zeitintervall [100; 150]! f) Veranschauliche die mittlere Änderung des Wasservolumens im Zeitintervall [100;150] grafisch!

25 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Lokale Änderungsrate und die Symbole lim und d Geschwindigkeit eines Autos Beispiel: Die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte wurden auf der Fahrt eines PKWs von Klagenfurt nach Mürzzuschlag notiert: Ort Uhrzeit (t) Entfernung von Klagenfurt (in km) Klagenfurt St. Veit/Glan ,3 Friesach ,5 Neumarkt ,6 Perchau Judenburg ,1 Leoben ,3 Bruck/Mur ,9 Mürzzuschlag ,3 Wie schnell fuhr der PKW zu dem Zeitpunkt, zu dem er genau 145 km von Klagenfurt entfernt war (Autobahnabfahrt Leoben West)?

26 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Argumentation v( t 2 ) s( t2 ) t 2 s( t t Für immer kleinere Zeitintervalle [t 1,t 2 ] die Werte von t 1 nähern sich unbegrenzt t 2, die Differenz t 2 -t 1 strebt unbegrenzt gegen 0 nähern sich die Werte der mittleren Geschwindigkeit einem Grenzwert ( Limes ) s( t 2 ) s( t limt 2 t1 t t Geschwindigkeit (auch Momentangeschwindigkeit) zum Zeitpunkt t ) 1 1 ) Definition: Es sei f eine reelle Funktion. Den Grenzwert lim a f( a) f( x) x = a x nennt man Differentialquotient oder Änderungsrate oder Ableitung der Funktion f an der Stelle x und schreibt dafür df ( x ) f (x) oder dx.

27 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Berechnung des Grenzwertes? Schrittweise (z. B. K. Aspetsberger)

28 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Berechnung des Grenzwertes? Grenzwertmodul (z. B. J. Berry)

29 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Berechnung des Grenzwertes? Ableitungsmodul

30 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Anwendungen und Vertiefungen

31 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Beispiel f mit f(x)=0,5x 3 +2x 2-8x-5

32 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Beispiel g mit g(x)= x-1

33 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Untersuchung der Differenzierbarkeit Beispiel a) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=0,5x 3 +2x 2-8x-5. Ermittle den Differentialquotienten an den Stellen x 0 =3 und x 0 =5! b) Gegeben ist die Funktion g mit g(x)= x-1. Ermittle den Differentialquotienten an der Stelle x 0 = 3 und x 0 = 1! c) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g und vergrößere jeweils den Bereich um x 0! Was fällt auf? d) Betrachte die Graphen der Ableitungsfunktion f und g. Was fällt auf? e) Betrachte für die einzelnen Fälle die Differenzenquotienten, indem du dich jeweils der Stelle x 0 sowohl von links wie auch von rechts näherst! Was fällt auf? f) Versuche eine Zusammenfassung deiner Beobachtungen aus a) e).

34 3.2 Einstieg in die Differentialrechnung Einstieg Lokale Änderungsrate und die Symbole lim und d Anwendungen und Vertiefungen Exaktifizierung

35 Danke für Ihr Interesse!