Referat Integralrechnung. Kathrin Amme (für Rückfragen:
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- Ralph Adler
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1 Referat Integralrechnung Kathrin Amme (für Rückfragen:
2 Gliederung (1) Was muss vermittelt werden? (2) Einstieg in die Integralrechnung - Klassisches Vorgehen und Alternativen (3) Eine mathematikhistorisch orientierte Einführung (4) Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung (5) Grafisches Ableiten und Integrieren
3 Was muss in Thüringen vermittelt werden? Inhalte: Klasse 11: (6 Wochen) 4.1 Flächeninhalt unter Normalparabel 4.2 Bestimmtes Integral 4.3 Eigenschaften 4.4 Integral- und Stammfunktionen 4.5 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung 4.6 Faktor-, Summen- und Potenzregeln sowie Substitution 4.7 Anwendungen
4 Was muss in Thüringen vermittelt werden? Klasse 12: (10 Wochen) Anwendungen der Differential- und Integralrechnung 5.1 Integration von Sinus und Kosinus 5.2 Die Eulersche Zahl e x 5.3 Funktionen f(x) = und f(x) = ln x 5.4 partielle Integration (LK) 5.5 Uneigentliche Integrale (LK) e
5 (2) Einstieg in die Integralrechnung Klassisches Vorgehen und Alternativen Klassisches Vorgehen: (a) Integrieren heißt Rekonstruieren Situation: In eine leere Badewanne wird eine gewisse Zeit lang gleichförmig Wasser eingelassen, dann die Wasserzufuhr gestoppt, gleichzeitig der Abfluss geöffnet und nach einer Weile wieder geschlossen. Wie ließe sich auf die Wassermenge zu einem beliebigen Zeitpunkt t schließen?
6 Es ergibt sich folgendes Bild:
7
8 (b) Integrieren heißt Summieren
9 (c) Integrieren heißt Mitteln Textbeispiel: Im Laufe eines Tages wurde zwischen a=6 Uhr morgens und b=6 Uhr abends mehrfach die Außentemperatur gemessen, mit folgenden Ergebnis:
10 (d) Alternative Vorgehensweisen Gruppe 1: Gruppe 2: Gruppe 3: Gruppe 4: Geschlechterdifferenzen beim Wachstum Fahrtenschreiber Wasserverbrauch in Bochum Amalgamfüllungen Aufgabe: - Erläutert euren Kommilitonen in Kurzform, worum es geht. - Beurteilt die Aufgabenstellung nach: (1) nötigen Vorkenntnissen/ Voraussetzungen, (2) Ziele, (3) Strukturierung, (4) Anwendungsaspekten, (5) Vorteilen und (6) Nachteilen. - Gebt eine abschließende Bewertung mit einer Begründung ab. (+++,++,+,,-)
11 (3) Eine mathematikhistorische Einführung Kreismessung nach Archimedes und Antiphon (in Mittelstufe i.d.r. behandelt) Quadraturen der Parabel nach Archimedes Quadratur der Hyperbel (zeitl. viel später) Bestimmung der Integralfunktion und bestimmten Integralen mit Hilfe dieser Zusammenhänge => ausführlich nachzulesen in: Mathematik in der Schule 6,7,8 / 1998 (Signatur: MAT ZB 13)
12 (4) Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung Grundvorstellung zu den zentralen Begriffen der Schulmathematik: Ableitung: - als lokale Änderungsrate genauer: als Grenzwert der mittleren Änderungsraten (Differenzenquotienten) von Größen an betreffenden Stellen - als Steigung des Funktionsgraphen an der betreffenden Stelle
13 Alternativen:
14 Integral: - (bestimmtes I.) als verallgemeinertes Produkt genauer: als Grenzwert von Produktsummen von Größen auf dem betreffenden Intervall - als Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen auf dem betreffenden Intervall
15 Alternativ:
16 Hauptsatz: (1) Differenzieren macht Integrieren rückgängig (2) Integrieren macht Differenzieren rückgängig
17 (5) Grafisches Ableiten und Integrieren Jeder wähle sich eine Funktion und bilde davon f(x), f (x) und F(x). Diese stelle man dann alle drei grafisch dar. Man verdeutliche die Zusammenhänge (z.b. zwischen Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte) an der Skizze. Zuerst sollte hier davon ausgegangen werden, dass c=0 ist. Später kann eine Variation erfolgen (Darstellung mit Richtungsfeldern).
18 Literatur: Mathematik lehren: Nr. 109: Hußmann: Mathematik konstruktiv und eigenständig entwickeln Nr. 102: Stachniss-Carp: Integrale, Amalgam-Füllungen und der TI-92 Nr. 78: Blum/Kirsch: Die beiden Hauptsätze der Integral- und Differentialrechnung Der Mathematikunterricht (MU): Heft 2/ 1986: Danckwerts/ Vogel: Was ist das Integral? Mathematik in der Schule: Heft 6/ 1998: Riehl: Eine mathematikhistorische Einführung in die Integralrechnung (Teil 1) Heft 7 u.8/ 1998: Riehl: Eine mathematikhistorische Einführung in die Integralrechnung (Teil 2) Heft 3/ 1993: Schornstein: Graphisches Ableiten und Integrieren
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Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5
Inhaltsverzeichnis. A Analysis... 9
A Analysis... 9 1 Funktionale Zusammenhänge Wiederholung und Erweiterungen... 11 Rückblick... 11 1.1 Ganzrationale Funktionen... 15 1.2 Grenzwert einer Funktion f an einer Stelle x 0... 31 Gemischte Aufgaben...
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Integralrechnung Mit der Integralrechnung können Flächen unterhalb eines Graphen in festgelegten Grenzen, hier und, eakt berechnet werden. 3 f() = Wir betrachten zunächst Flächeninhalte, die elementar