Prof. Dr. Jürgen Roth. Jürgen Roth Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung

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1 Prof. Dr. Jürgen Roth Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung Landau

2 Inhalt Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung 1 Grundvorstellungen 2 Ableitungsbegriff Ableitung als Tangentensteigung Ableitung als lokale Änderungsrate Ableitung als lokale lineare Approximation 3 Integralbegriff Integral als Rekonstruktion der Gesamteffekts Integral als Mittelung Integral als orientierter Flächeninhalt Landau

3 Inhalt Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung 1 Grundvorstellungen 2 Ableitungsbegriff Ableitung als Tangentensteigung Ableitung als lokale Änderungsrate Ableitung als lokale lineare Approximation 3 Integralbegriff Integral als Rekonstruktion der Gesamteffekts Integral als Mittelung Integral als orientierter Flächeninhalt Landau

4 Grundvorstellungen vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7 Grundvorstellungen sind tragfähige mentale Modelle für einen Begriff repräsentieren abstrakte Begriffe anschaulich stellen Verbindung zwischen abstrakter Mathematik und außer- sowie innermathematischen Anwendungszusammenhängen her Landau

5 Typen von Grundvorstellungen vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7 Primäre Grundvorstellungen haben ihre Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen + = Sekundäre Grundvorstellungen werden zunehmend mit mathematischen Darstellungsmitteln (Zahlenstrahl, Koordinatensystem, Graph, ) repräsentiert yy Landau

6 Ziele der Ausbildung von Grundvorstellungen Sinnkonstituierung Anknüpfung an Sachzusammenhänge oder Handlungsvorstellungen Aufbau visueller Repräsentationen Ermöglicht operatives Handeln in der Vorstellung Fähigkeit zur Anwendung auf die Wirklichkeit Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder Modellieren des Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur Landau

7 Zuordnung Landau

8 Änderungsverhalten (Kovariation) Variation Kovariation Variation Landau

9 Zuordnung und Kovariation Zuordnungsaspekt Wie groß ist Peter mit 15 Jahren? Kovariationsaspekt Welche Aussage über das Wachstum im Alter von 11 Jahren ist richtig? O Peter wächst schneller als Maria O Maria wächst schneller als Peter O Maria und Peter wachsen gleich schnell Landau

10 Zuordnungsaspekt Grundvorstellungen zu Funktionen Roth, J. (2014): Experimentieren mit realen Objekten, Videos und Simulationen Ein schülerzentrierter Zugang zum Funktionsbegriff. Der Mathematikunterricht 60(6), S Funktionen beschreiben / stiften Zusammenhänge zwischen Größen: Einer Größe wird eine zweite zugeordnet, die abhängig von der ersten ist. In einem Experiment laufen die Schüler/innen so schnell wie möglich eine Treppe nach oben. Sie messen vorher ihren Ruhepuls und nach dem Lauf in Abständen von 30s ihren aktuellen Puls. So erfassen sie wie einem Zeitpunkt jeweils der aktuelle Puls zugeordnet wird und halten diesen Zusammenhang paarweise in einer Tabelle fest. Änderungsverhalten/Kovariation Durch Funktionen wird deutlich, wie sich die Änderung einer Größe auf eine von ihr abhängige Größe auswirkt. Wie ändert sich der Puls, wenn er in gleichen Zeitschritten gemessen wird? Ändert er sich auch gleichmäßig, oder zunächst langsamer und dann schneller, oder umgekehrt? Um diese Frage zu beantworten reicht es nicht mehr einzelne Wertepaare zu betrachten. Hier müssen jeweils mehrere benachbarte Werte zueinander in Beziehung gesetzt werden. Landau

11 Zuordnungsaspekt Änderungsverhalten/Kovariation Sicht als Ganzes Grundvorstellungen zu Funktionen Roth, J. (2014): Experimentieren mit realen Objekten, Videos und Simulationen Ein schülerzentrierter Zugang zum Funktionsbegriff. Der Mathematikunterricht 60(6), S Mit Funktionen sieht man einen Zusammenhang als etwas Ganzes. Man betrachtet nicht mehr einzelnen Wertepaare sondern die Menge aller Wertepaare. Zum Erfassen des funktionalen Zusammenhangs zwischen der verstreichenden Zeit und der Pulsfrequenz des Läufers nach einem Treppenlauf muss man systematisch Daten aufnehmen, in einer Tabelle festhalten und anschließend in einen Graph umsetzen. Erst auf dieser Basis können der funktionale Zusammenhang zwischen Zeit und Puls eines Läufers als Ganzes betrachtet und anhand der Verläufe der Graphen für verschiedene Läufer verglichen werden auch im Hinblick auf deren jeweilige Fitness. Landau

12 Inhalt Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung 1 Grundvorstellungen 2 Ableitungsbegriff Ableitung als Tangentensteigung Ableitung als lokale Änderungsrate Ableitung als lokale lineare Approximation 3 Integralbegriff Integral als Rekonstruktion der Gesamteffekts Integral als Mittelung Integral als orientierter Flächeninhalt Landau

13 Ableitung als Tangentensteigung Beispiel: ff: R R 0 +, xx xx 2 PP 1,1 ; QQ xx, ff xx Sekantensteigung: Tangentensteigung: ff xx 1 xx 1 = xx2 1 xx 1 ff xx 1 lim xx 1 xx 1 = Die Tangentensteigung kommt der Zahl 22 beliebig nahe, wenn xx gegen xx 00 = 11 strebt. xx + 1 (xx 1) xx 1 xx 1 = xx + 1 = lim xx 2 1 xx 1 xx 1 = lim (xx + 1) = 2 xx 1 Landau

14 Ableitung als lokale Änderungsrate Formale Darstellung ff xx 0 ff xx ff xx 0 ff xx ff xx 0 xx xx 0 Inhaltliche Erläuterung Zum Zeitpunkt xx 0 zurückgelegter Weg. In der Zeit von xx 0 bis xx zurückgelegter Weg. In der Zeit von xx 0 bis xx zurückgelegter Weg bezogen auf die Zeitspanne xx xx 0. (Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [xx 0, xx]) fff xx 0 ff xx ff xx 0 = lim Momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt xx xx xx0 xx xx 0. 0 Zeitintervall [xx, xx 00 ] [0 s; 1 s] [0,9 s; 1 s] [0,99 s; 1 s] [0,999 s; 1 s] Mittlere Geschw. ff xx 00 ff(xx) xx 00 xx 1 2 m 0 2 m 1 s 0 s 1 2 m 0,9 2 m 1 s 0,9 s 1 2 m 0,99 2 m 1 s 0,99 s 1 2 m 0,999 2 m 1 s 0,999 s im Zeitintervall [xx, xx 00 ] = 1 m s = 1,9 m s = 1,99 m s = 1,999 m s ff xx = 1 m s 2 xx 2 Landau

15 Ableitung als lokale Änderungsrate Beschreibungsebene Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4 formal ff xx 0 ff xx ff xx 0 ff xx ff xx xx 0 0 ff xx ff xx 0 xx xx 0 = lim xx xx0 xx xx 0 relativer inhaltlich Zuwachs absoluter momentane Bestand im Zeitinter- Zuwachs (lokale) zum vall [xx in der Zeit 0, xx] Änderungsrate Zeitpunkt xx 0 (mittlere von xx 0 bis xx zum Zeitpunkt xx Änderungs- 0 rate) Differenz der termino- Funktions- Differenzen- Funktionslogiscwerquotienwerte Ableitung algebraisch analytisch Landau

16 Ableitung als lokale lineare Approximation Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S Parabel mit Tangente im Punkt PP(1,1) Landau

17 Ableitung als lokale lineare Approximation Danckwerts/Vogel (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S Parabel mit Tangente im Punkt PP(1,1) Landau

18 Inhalt Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung 1 Grundvorstellungen 2 Ableitungsbegriff Ableitung als Tangentensteigung Ableitung als lokale Änderungsrate Ableitung als lokale lineare Approximation 3 Integralbegriff Integral als Rekonstruktion der Gesamteffekts Integral als Mittelung Integral als orientierter Flächeninhalt Landau

19 TIMSS-Aufgabe SS 11 ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen GG ff der Funktion ff, von der xx-achse und der Geraden xx = aa eingeschlossen wird. SS 22 ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen GG ff der Funktion ff, von der xx-achse und der Geraden xx = bb eingeschlossen wird. Es ist aa < bb und 0 < SS 22 < SS 11. Der Wert des Integrals aa bb ff xx dddd ist dann: a) SS 11 + SS 22 b) SS 11 SS 22 c) SS 22 SS 11 d) SS 11 SS 22 e) 1 2 SS 11 + SS 22 Landau

20 Wert des Integrals Landau

21 Differenzieren und Integrieren sind Umkehroperationen Übergang zur lokalen Änderungsrate gg ggg II aa = gg Differenzieren Übergang zur Integralfunktion Integrieren ( Rekonstruieren ) Übergang zur Integralfunktion ff II aa II aa = ff Integrieren ( Rekonstruieren ) Übergang zur lokalen Änderungsrate Differenzieren Landau

22 Inhalt Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung 1 Grundvorstellungen 2 Ableitungsbegriff Ableitung als Tangentensteigung Ableitung als lokale Änderungsrate Ableitung als lokale lineare Approximation 3 Integralbegriff Integral als Rekonstruktion der Gesamteffekts Integral als Mittelung Integral als orientierter Flächeninhalt Landau

23 Integrieren als Rekonstruieren Badewannenbeispiel In eine leere Badewanne wird 1 Minute lang Wasser eingelassen, dann die Wasserzufuhr gestoppt und gleichzeitig der Abfluss geöffnet. Nach weiteren 1,5 Minuten wird der Abfluss wieder geschlossen. Wie lässt sich aus der Zuflussgeschwindigkeit auf die Wassermenge VV in der Wanne zum Zeitpunkt tt schließen? Landau

24 Integrieren als Rekonstruieren Badewannenbeispiel Zuflussphase 10 Liter min tt min = 10 tt Liter Also: VV tt = 10 tt für 0 tt 1 Nach einer Minute sind 10 Liter 1 min = 10 Liter min in der Wanne. Abflussphase 10 5 tt 1 Liter VV tt = 10 5 tt 1 für 1 < tt 2,5 Nach zweieinhalb Minuten sind also ,5 1 Liter = 2,5 Liter in der Wanne. 10 tt für 0 tt 1 VV tt = 10 5 (tt 1) für 1 < tt 2,5 2,5 für tt > 2,5 10 tt und 5 tt 1 sind Rechteckinhalte. VV tt ist die Summe vorzeichenbehafteter Rechteckinhalte, also ein orientierter Flächeninhalt. Landau

25 Integrieren als Rekonstruieren 10 tt für 0 tt 1 VV tt = 10 5 (tt 1) für 1 < tt 2,5 2,5 für tt > 2,5 Landau

26 Integrieren als Rekonstruieren VV tt = 1 tt 10tt für 0 tt (tt 1) für tt > 1 2 Landau

27 Integrieren als Rekonstruieren Rückblick Aus der Zuflussgeschwindigkeit des Wasser zu jedem Zeitpunkt wurde die Wassermenge VV(tt) zu jedem Zeitpunkt rekonstruiert. Die Zuflussgeschwindigkeit ist die Ableitung VVV(tt) (momentane Änderungsrate der Wassermenge in der Wanne). Aus der Änderungsrate VVV wurde die Funktion VV wiederhergestellt. [wiederherstellen = integrare (lat.)] Vorteile des Beispiels Fokussiert auf das Grundverständnis Integrieren als Rekonstruieren. Unterstützt die Vorstellung Integral als orientierter Flächeninhalt. Landau

28 Nichtlinearer Zufluss Zuflussgeschwindigkeit VVV(tt) in Liter/Minute tt Zeit tt in Minuten Landau

29 Nichtlinearer Zufluss Idee Die Zuflussgeschwindigkeit VVV ist in genügend kleinen Zeitintervallen tt, tt + Δtt nahezu konstant. In jedem Zeitintervall tt, tt + Δtt gilt also VV cccccccccc. VVV VVV Was trägt VVV im Zeitintervall tt, tt + Δtt zum Gesamteffekt bei? Da VVV die momentane Änderungsrate von VV ist, gilt für kleine Δtt in guter Näherung VV tt ΔVV also ΔVV VV tt Δtt. Δtt Dies ist der Zuwachs der Wassermenge im Zeitintervall Δtt, geometrisch zu deuten als kleiner (orientierter) Rechteckinhalt. tt Δtt tt Landau

30 Nichtlinearer Zufluss Zur Rekonstruktion der Wassermenge zum Zeitpunkt tt Zuwächse längs aller Teilintervalle aufzusummieren, in die das Intervall [0, tt] zerlegt wurde. VVV VVV Geometrische Deutung Der rekonstruierte Wert VV(tt) ist die Summe aller kleinen (orientierten) Rechteckinhalte. tt Diese unterscheidet sich bei genügend kleiner Streifenbreite Δtt beliebig wenig von dem (orientierten) Inhalt der Fläche unter VVV. tt Grundverständnis Integrieren als Rekonstruieren stützt sich auf die Vorstellungen vom Kumulieren und vom Gesamteffekt. Landau

31 Integralfunktion Bemerkung Für den Übergang zum orientierten Flächeninhalt muss die berandende Funktion nicht die Ableitung einer anderen Funktion sein. aa + + ff II aa xx (Summe der Inhalte aller oberhalb der xx-achse gelegenen Flächenstücke zwischen aa und xx) (Summe der Inhalte aller unterhalb der xx-achse gelegenen Flächenstücke zwischen aa und xx) xx bb Definition Zu einer Berandung ff: aa, bb R gehört die Integralfunktion II aa, die jedem xx [aa, bb] den orientierten Inhalt der Flächen zuordnet, die ff mit der xx-achse zwischen aa und xx einschließt. Die Funktionswerte der Integralfunktion heißen Integrale. Landau

32 Auf dem Weg zum Hauptsatz Behauptung Die Ableitung der Integralfunktion ist die ff II aa xx + h II aa (xx) Berandungsfunktion. Begründung aa xx xx + h Der absolute Zuwachs von II aa, das Flächenstück II aa xx + h II aa (xx), lässt sich durch Rechteckflächen abschätzen: ff xx h II aa xx + h II aa xx ff xx + h h h Für den relativen Zuwachs von II aa (mittl. Änderungsrate ΔII aa ) folgt: h ff xx II aa xx+h II aa xx ff xx + h (*) h Wenn ff(xx + h) für h 0 gegen ff(xx) strebt (d. h. ff stetig in xx ist), folgt aus (*): II ff xx lim aa xx+h II aa xx ff xx II h 0 h aa xx = ff xx Landau

33 Genauer: Auf dem Weg zum Hauptsatz Behauptung Die Ableitung der Integralfunktion ist die ff II aa xx + h II aa (xx) Berandungsfunktion. Begründung aa xx xx + h Der absolute Zuwachs von II aa, das Flächenstück II aa xx + h II aa (xx), lässt sich durch Rechteckflächen abschätzen: min ff xx, ff xx + h h II aa xx + h II aa xx max ff xx, ff xx + h h Für den relativen Zuwachs von II aa (mittl. Änderungsrate ΔII aa ) folgt: h min ff xx, ff xx + h max ff xx, ff xx + h (*) II aa xx+h II aa xx h Wenn ff(xx + h) für h 0 gegen ff(xx) strebt (d. h. ff stetig in xx ist), folgt aus (*): II ff xx lim aa xx+h II aa xx ff xx II h 0 h aa xx = ff xx Landau

34 Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung (HDI) Vorstellung Wenn man die von ff berandete Fläche mit Farbe streicht und dabei gleichmäßig von aa nach rechts läuft, dann ist der Verbrauch an Farbe proportional zum Funktionswert von ff an der Stelle, an der man sich gerade befindet. aa xx ff Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Ist ff: aa, bb R in xx [aa, bb] stetig, dann ist die Integralfunktion II aa dort differenzierbar und es gilt: II aa xx = ff(xx) Kurz: Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Berandungsfunktion. Landau

35 Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung (HDI) Bemerkung Die Formulierung des HDI auf der letzten Folie kann nur voll durchschaut werden, wenn Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit als analytisch definierte Begriffe verfügbar sind. Dies wird im Analysisunterricht der Oberstufe nicht erreicht. Die schulische Bedeutung des HDI liegt darin, dass er ein Instrument zur Berechnung von Integralen zur Verfügung stellt. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integralfunktionen zu einer Funktion ff lassen sich finden, wenn man irgendeine Stammfunktion FF von ff sucht und die Differenz berechnet. II aa xx = FF xx FF aa mit xx aa, bb Landau

36 Differenzieren und Integrieren sind Umkehroperationen Übergang zur lokalen Änderungsrate gg ggg II aa = gg Differenzieren Übergang zur Integralfunktion Integrieren ( Rekonstruieren ) Übergang zur Integralfunktion ff II aa II aa = ff Integrieren ( Rekonstruieren ) Übergang zur lokalen Änderungsrate Differenzieren Landau

37 Wasserhahn-Applets Landau

38 Inhalt Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung 1 Grundvorstellungen 2 Ableitungsbegriff Ableitung als Tangentensteigung Ableitung als lokale Änderungsrate Ableitung als lokale lineare Approximation 3 Integralbegriff Integral als Rekonstruktion der Gesamteffekts Integral als Mittelung Integral als orientierter Flächeninhalt Landau

39 Mittelwertbildung bei linearen Funktionen Gesucht Mittelwert einer linearen Funktion in einem Intervall [aa, bb]. Der Mittelwert ff xx 0 wird in der Mitte des Intervalls angenommen. ff(xx 0 ) yy ff Mittleren Funktionswert nutzen, um den Flächeninhalt II aa (bb) unter dem Graph von ff als Rechteck zu realisieren. aa xx 0 bb xx Damit gilt: II aa bb = bb aa ff xx 0 Für den Mittelwert ff xx 0 ff xx 0 = 1 II bb aa aa bb folgt: Landau

40 Mittelwertbildung einer Messreihe Gesucht: Mittelwert einer Messreihe aus nn Messwerten yy 1, yy 2,, yy nn zu äquidistanten Zeitpunkten xx 1, xx 2,, xx nn. yy Ergebnis: Der gesuchte Mittelwert yy ist das arithmetische Mittel der Messwerte yy 1, yy 2,, yy nn nn yy 1 yy 2 yy nn yy = 1 nn yy yy nn = 1 nn ii=1 yy ii. xx 1 xx 2 xx nn 1 xx nn Messwerte als diskrete Realisierung eines stetigen Funktionsverlaufs ff. ff Algebraische Umformung der arithmetischen Mittels liefert: nn nn yy = 1 nn yy ii = 1 nn ff xx ii ii=1 ii=1 = 1 nn bb aa bb aa ff xx ii nn ii=1 1 bb aa II aa bb aa yy 1 yy 2 xx 1 xx 2 xx nn 1 yy nn xx nn = bb Landau

41 Mittelwert einer Funktion ff im Intervall [aa, bb] Bemerkung Aus den Beispielen folgt, dass es sinnvoll ist, unter der Zahl μμ ff = 1 II bb aa aa(bb) den Mittelwert μμ(ff) der Funktion ff im Intervall [aa, bb] zu verstehen. Es gilt: Speziell: II aa xx = ff tt dddd II aa bb = ff tt dddd = ff xx ddxx aa bb aa xx aa bb Definition μμ ff = 1 bb aa II aa(bb) = ff xx dddd aa bb ist der Mittelwert μμ(ff) der Funktion ff im Intervall [aa, bb]. Landau

42 Entwicklung des Integralbegriffs Integral als Grenzwert von Produktsummen zunehmende Abstraktion allgemeine Rekonstruktion ff II aa (Hauptsatz) (konkrete) Rekonstruktion ff ff Produktsummen analytisch-exakt geometrisch-naiv Mittelwert einer Funktion (diskretes) arithmetisches Mittel Rekonstruieren Mitteln Landau

43 Inhalt Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010): Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Grundvorstellungen zur Integral- und Differentialrechnung 1 Grundvorstellungen 2 Ableitungsbegriff Ableitung als Tangentensteigung Ableitung als lokale Änderungsrate Ableitung als lokale lineare Approximation 3 Integralbegriff Integral als Rekonstruktion der Gesamteffekts Integral als Mittelung Integral als orientierter Flächeninhalt Landau

44 Integral als orientierter Flächeninhalt Landau

45 Komplementarität von Flächeninhalt und Integral naiver Standpunkt (orientierter) Flächeninhalt Integral theoretischer (analytischer) Standpunkt Landau

46 Integralbegriff: Inhaltliche Aspekte und Vorstellungen Stammfunktion Aspekte Rekonstruieren Mitteln Unterliegende Vorstellungen Kumulieren (Prozess) Gesamteffekt (Produkt) Flächeninhalt Landau

47 Integral-Quiz Anleitung Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67 Reihen Sie die Kennbuchstaben der richtigen Aussagen aneinander. Es ergibt sich ein Lösungsspruch auf sprachlich mäßigem Niveau. Wichtig: Bei jeder Frage sind mehrere richtige Antworten möglich. Aufgabe 1: Was bedeutet die Aussage ff ist auf [aa, bb] integrierbar genau? E ff ist im Intervall [aa, bb] differenzierbar. K ff ist im Intervall [aa, bb] stetig. O ff hat im Intervall [aa, bb] eine Stammfunktion. M Obersummengrenzwert = Untersummengrenzwert Landau

48 Integral-Quiz Aufgabe 2: Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67 Unter welchen Bedingungen gilt: aa bb ff xx dddd aa bb gg xx dddd A Z D T Es ist aa bb und ff xx gg(xx) auf [aa, bb]. Es ist aa > bb und ff xx gg(xx) auf [aa, bb]. Es ist aa < bb und ff xx gg(xx) auf [aa, bb]. Es ist aa > bb und ff xx gg(xx) auf [aa, bb]. Aufgabe 3: Unter welchen Bedingungen gilt: aa bb ff xx dddd = bb aa ff xx dddd (ff sein integrierbar.) H E I T Falls ff(xx) 0 auf [aa, bb] ist. Falls aa = bb ist. Falls ff eine ungerade Funktion und aa = bb ist. Falls ff eine gerade Funktion und aa = bb ist. Landau

49 Integral-Quiz Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67 Aufgabe 4: aa Unter welchen Bedingungen gilt: aa ff xx dddd = 0 (ff sein integrierbar; aa 0) A Falls ff xx = xx 2 ist. Z Falls ff xx = 1 ist. xx S Falls ff(xx) 0 ist. M Falls ff eine gerade Funktion ist. Aufgabe 5: aa aa Unter welchen Bedingungen gilt: aa ff xx dddd = 2 0 ff xx dddd (ff sein integrierbar und aa > 0.) T Falls ff(xx) 0 auf [ aa, aa] ist. G Falls ff auf [ aa, aa] eine gerade Funktion ist. O Falls ff auf [ aa, aa] eine ungerade Funktion ist. E Falls ff xx = xx auf [ aa, aa] ist. Landau

50 Integral-Quiz Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67 Aufgabe 6: II Berechnen Sie LL dddd, und geben Sie an: [ ] ist der Minuend des Ergebnisses. [ ] ist der Subtrahend des Ergebnisses. Lösungsspruch MATHE IST GEIL Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Landau

51 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Landau