Die Tangente als Näherung einer Funktion

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1 Die Tangente als Näherung einer Funktion Eine Motivation der Ableitung der Wurzelfunktion Marco Johannes Türk 13. Mai 2014 Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

2 Inhaltsverzeichnis 1 Hintergrund 2 Die Ableitung der Wurzelfunktion 3 Weitere Einsatzmöglichkeiten 4 Ausblick n = 2 und n Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

3 Zu meiner Person Marco Türk 2011 Abitur am Leibniz Gymnasium Östringen. Seit WS 11/12 Studium Mathematik/ Physik auf Lehramt an der Universität Heidelberg. WS 13/14 Schulpraxissemester am OHG Wiesloch. U.a. Unterrichtssequenz in Klasse 10 zu: Einführung in die Differentialrechnung. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

4 Hintergrund Mathematischer Hintergrund Satz von Taylor: Sei I R ein Intervall und f : I R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle a und x aus I: f (x) = n k=0 f (k) (a) x (x a) k + k! a (x t) n f (n+1) (t) dt n! Folgerung: Durch weglassen des Restgliedes lässt sich f (x) für x aus I approximieren, es gilt also: f (x) n k=0 f (k) (a) (x a) k x I k! Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

5 Hintergrund Sonderfall n = 1 Zu vermittelnde Grundvorstellung: Jede Funktion f lässt sich um eine Stelle x = a durch eine Funktion g Form: g(x) = f (a) + f (a) (x a) approximieren. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

6 Die Ableitung der Wurzelfunktion Vorkenntnisse Benötigte Vorkenntnisse: Die SuS sollten die Bedeutung der Ableitung als Steigung der Tangenten verstanden haben. Die SuS sollten fähig sein, in einfachen Fällen mit der Definition die Ableitung diese an einer Stelle zu bestimmen können (Besser die SuS sollte die Ableitungsfunktion bestimmen können (Potenzregel nicht zwingend notwendig)). Die SuS sollten Geradengleichungen und in einfachen Fällen ebenfalls Tangentengleichungen bestimmen können. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

7 Die Ableitung der Wurzelfunktion Motivation Motivation der Ableitung: Wir möchten ohne weitere Hilfsmittel einen Näherungswert für z.b. 11 bestimmen. Am Ende der Stunde soll eine Formel vorhanden sein, mit welcher man problemfrei Wurzeln bis 400 ohne großen Aufwand näherungsweise bestimmen kann. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

8 Die Ableitung der Wurzelfunktion Vorteile Motivation der Ableitung: Die Ableitung der Wurzelfunktion fällt nicht vom Himmel. Weitere Grundvorstellung der Tangenten als approximation einer Funktion. Dieser Zugang bietet eine Überleitung zur allgemeinen Tangentengleichung. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

9 Die Ableitung der Wurzelfunktion Aufgabenstellung Einleitende Aufgabenstellung: Bestimme ohne Taschenrechner einen Näherungswert für 11. Erste Hilfestellung: x 1 O x Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

10 Die Ableitung der Wurzelfunktion Hilfestellung Zweite Hilfestellung: x 1 Abdecken O x Der Graph der Funktion verläuft in einem gewissen Bereich ungefähr linear. Wir müssen eine lineare Funktion bestimmen, die in diesem Bereich möglichst gut mit der Wurzelfunktion übereinstimmt. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

11 Die Ableitung der Wurzelfunktion Mögliche Lösungsansätze Gerade durch zwei bekannte Punkte des Schaubilds der Wurzelfunktion legen (z.b. (9/3) und (16/4)). Danach die neue Funktion an der Stelle x = 11 auswerten. Tangente an einen bekannten Punkt der Wurzelfunktion in der nähe von (11/ 11) anlegen (z.b.: (9/3)) und danach die neue Funktion an der Stelle x = 11 auswerten. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

12 Die Ableitung der Wurzelfunktion Hilfestellung Dritte Hilfestellung: x 1 O x Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

13 Die Ableitung der Wurzelfunktion Lösung f f (x) f (9) x 9 (9) = lim = lim =... = 1 x 9 x 9 x 9 x 9 6 m = 1 6 y = 1 6 x = 31 3, 33 3 Der GTR liefert 11 3, 32, somit ist die prozentuale Abweichung ungefähr 0,5%! Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

14 Die Ableitung der Wurzelfunktion Nachfolgende Aufgabenstellungen - I a) Gib eine Formel an, mit welcher man Wurzeln um 9 näherungsweise berechnen kann. b) Berechne Näherungswerte und bestimme die jeweilige prozentuale Abweichung vom exakten Wert für die angegebenen Wurzeln Näherungswert Abweichung Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

15 Die Ableitung der Wurzelfunktion Nachfolgende Aufgabenstellungen - II c) Ist diese Näherung auch für 24 angebracht? d) Bestimme für 24 einen geeigneten Näherungswert. e) Ermittle eine Formel, mit welcher man für jeden Wert x 0 einen Näherungswert für x 0 angeben kann. Bestimme mit dieser Formel ohne größerer Rechnung einen Näherungswert für 104 Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

16 Die Ableitung der Wurzelfunktion Aufgabenteil e) - Überleitung zur allgemeinen Tangentengleichung Lösung: Sollte zusammen mit SuS erarbeitet werden. Anwendungsbezogener Kontext der Ableitungsfunktion. y = 1 2 x 0 x + x x 0 x 0 = x x 0 (x x 0 ) An dieser Stelle kann man den Schülern ein Kochrezept zum näherungsweise Berechnen von Wurzeln zur Hand geben. Es bietet sich an, in den folgenden Stunden die allgemeine Tangentengleichung zu behandeln, aufgrund der ähnlichen Herleitung. Kursstufe: Die Näherung wird für x immer besser! Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

17 Weitere Einsatzmöglichkeiten Potenzieren von Zahlen x 1 Im Näherungskontext Anwendung der Potenzregel. Zusammen mit der allgemeinen Tangentengleichung lassen sich solche Näherungsverfahren schneller Thematisieren x p 1 + p (x 1) für x 1 Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

18 Weitere Einsatzmöglichkeiten Kleinwinkelnäherung von sin(x) und cos(x) Relevant für den Physikunterricht der Kursstufe. Erster Ausblick: Definition der Sinus und Kosinusfunktion als Potenzreihe. sin(x) x cos(x) 1 Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

19 Ausblick n = 2 und n Ausblick n = 2 und n Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

20 Ausblick n = 2 und n Sonderfall n = 2 Einsatz der zweiten Ableitung, als beschreibender Faktor der Krümmung. Zu vermittelnde Grundvorstellung: Jede Funktion f lässt sich um eine Stelle x = a durch eine Funktion g Form: g(x) = f (a) + f (a) (x a) f (a) (x a) 2 approximieren. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

21 Ausblick n = 2 und n Quadratische Näherung Kosinusfunktion - leicht/ mittel Ableitungen sehr einfach zu bestimmen. Weiterer Schritt in richtung der Reihenentwicklung der Kosinusfunktion. Entwicklung um x = 0 liefert: cos(x) x 2 Auch möglich: Entwicklung der Sinusfunktion um x = π 2 Welches Ergebnis würde man erwarten? Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

22 Ausblick n = 2 und n Herleitung der kinetischen Energie für v c - schwer Für die kinetische Energie eines Körpers gilt allgemein: E kin (v) = m c2 1 v 2 c 2 m c 2 Entwicklung um v = 0 liefert die bekannte Formel der kinetischen Energie: E kin (v) 1 2 m v 2 Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

23 Ausblick n = 2 und n Fall n - Motivation der natürlichen Exponentialfunktion Problemstellung: Wir wollen untersuchen, ob es eine Funktion gibt, bei welcher die Ableitung dieser Funktion möglichst einfach zu berechnen ist. Im Idealfall sollte die Ableitung dieser Funktion einfach wieder die Funktion selbst sein. Annahme: die Funktion f sei eine Polynomfunktion. Wäre f (x) die konstante Funktion, so gilt für die Ableitung dieser Funktion: f (x) = 1 f (x) = 0 Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

24 Ausblick n = 2 und n Damit man beim Ableiten eine 1 erhält muss in der ursprünglichen Funktion eine lineare Funktion stehen. f (x) = 1 + x f (x) = 1 Die Ableitung stimmt nun wieder nicht mit der ursprünglichen Funktion überein, es fehlt hier der lineare Term. Somit muss die Funktion f um 1 2 x 2 ergänzt werden. f (x) = 1 + x x 2 f (x) = 1 + x Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

25 Ausblick n = 2 und n Die SuS erkennen schnell, dass dieses Verfahren nicht abbricht unendliche Reihe. Die einzelnen Schritte können Visuell unterstüzt werden, indem jeweils f und f plotten lässt bzw. als Folie auflegt. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

26 Ausblick n = 2 und n y O x f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

27 Ausblick n = 2 und n Im Folgenden kann untersucht werden, ob sich die Funktion f (x) = 1 + x x x einer anderen Funktion g(x) annähert. Auswerten der Funktion an verschiedenen Punkten x = 0, x = 1, usw.. Wertepaare auf Funktionalen Zusammenhang überprüfen y a x log(y) x = const. Exakte Definition der eulerschen Zahl, diese fällt nicht vom Himmel. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

28 Ausblick n = 2 und n Die eulersche Zahl e ist der Funktionswert von f an der Stelle x = 1 e = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! = 2, ! Die Funktion f lässt sich hiermit schreiben als: f (x) = e x Sie besitzt die Eigenschaft: f (x) = e x Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

29 Ausblick n = 2 und n Ein wenig Werbung in eigener Sache Kostenfreies Vorbereitungsskript Mathematikabitur BW Deckt die wichtigsten Grundlagen ab und bietet zu vielen Aufgabentypen Beispielaufgaben. Bietet für SuS die Möglichkeit parallel zum Unterricht Grundlagen zu wiederholen und zu üben. Auf Wunsch kann auch gerne die L A TEX-Datei zur Verfügung gestellt werden. Schreiben Sie mir hierzu einfach eine (marco.tuerk@googl .com) Kostenfreier, legaler Zugang zu Physikabituraufgaben BW (derzeit noch im Entstehen begriffen) Urheberrechtliche Genehmigung des Regierungspräsidiums eingeholt. Jedermann darf kostenfrei die auf dieser Seite veröffentlichten Abituraufgaben mit Lösungen herunterladen. Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30

30 Ausblick n = 2 und n Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Marco Johannes Türk Die Tangente als Näherung einer Funktion 13. Mai / 30