Bezüge zu den Bildungsstandards

Transkript

1 Differentialrechnung Kinga Szűcs FSU Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Abteilung Didaktik In Anlehnung an Prof. Dr. Bernd Zimmermanns Seminarpräsentationen

2 Inhalt Bezüge zu den Bildungsstandards Bezüge zum Lehrplan Fachliche Aspekte Definitionen Vorerfahrungen der Schüler Didaktische Leitfragen Einige Ausgangsprobleme Vernetzung mit anderen Themen 2

3 Bezüge zu den Bildungsstandards Leitidee: Algorithmus und Zahl (L1): Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau Die Schülerinnen und Schüler können [ ] Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen Leitidee: Messen (L2) Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau Die Schülerinnen und Schüler können [ ] Sekanten- und Tangentensteigungen an Funktionsgraphen bestimmen Änderungsraten berechnen und deuten [ ] Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen

4 Bezüge zu den Bildungsstandards Leitidee: Funktionaler Zusammenhang (L4) Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau Die Schülerinnen und Schüler können die sich aus den Funktionen der Sekundarstufe I ergebenden Funktionsklassen zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen in einfachen Fällen Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate deuten Änderungsraten funktional beschreiben (Ableitungsfunktion) und interpretieren die Funktionen der Sekundarstufe I ableiten, auch unter Nutzung der Faktorund Summenregel die Produktregel zum Ableiten von Funktionen verwenden die Ableitung zur Bestimmung von Monotonie und Extrema von Funktionen nutzen den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln [ ] geometrisch-anschaulich den Hauptsatz als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff begründen

5 Bezüge zu den Bildungsstandards Erhöhtes Anforderungsniveau Die Schülerinnen und Schüler können darüber hinaus die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten Kettenregel zum Ableiten von Funktionen verwenden die ln-funktion als Stammfunktion von x 1/x und als Umkehrfunktion der e-funktion nutzen (KMK, 2012)

6 Bezüge zum Thüringer Lehrplan Klassenstufe 12 Der Schüler kann grundlegende Begriffe zur Beschreibung von Funktionen anschaulich erläutern und anwenden: Definitions- und Wertebereich, Achsenschnittpunkte, Symmetrie bezüglich der y-achse und des Koordinatenursprungs, Monotonie, Periodizität, Grenzwert von Funktionen, Asymptoten, Stetigkeit, Polstelle, Lücke, verknüpfte und verkettete Funktionen, Umkehrfunktion, Extrem- und Wendepunkte, die Eulersche Zahl e als irrationale Zahl einordnen

7 Bezüge zum Thüringer Lehrplan Klassenstufe 12 Zusammenhänge zwischen Funktion und Ableitungsfunktion erkennen, begründen und darstellen, die Ableitung einer Funktion als lokale Änderungsrate und als Differenzialquotient beschreiben, erläutern und geometrisch als Tangentenanstieg interpretieren, Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen, Potenzfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen, e-funktionen, auch ohne Hilfsmittel, anwenden, dazu gehören Ableitungen von: Konstanten, Summen, Vielfachen, Potenzen, Produkten, Verkettungen,

8 Bezüge zum Thüringer Lehrplan Klassenstufe 12 ein CAS zum algebraischen und numerischen Differenzieren von Funktionen nutzen, notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrem- und Wendepunkte anwenden, Eigenschaften der Funktionen f (x)=e x und f (x)=lnx angeben, Funktionen mit höchstens einem Parameter auf charakteristische Eigenschaften untersuchen: ganzrationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen, e-funktionen, einfache Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen auf charakteristische Eigenschaften untersuchen, Gleichungen von Tangenten und Normalen ermitteln (für einfache Funktionen auch ohne CAS), Kurvendiskussion

9 Bezüge zum Thüringer Lehrplan Klassenstufe 12 das Newtonverfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen beschreiben, Funktionsgraphen darstellen und interpretieren, Gleichungen von ganzrationalen und einfachen gebrochenrationalen Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften ermitteln, Extremwertprobleme lösen, Eigenschaften von linearen Funktionen, Potenz- und Exponentialfunktionen zur Modellierung von Wachstumsund Zerfallsprozessen nutzen,

10 Bezüge zum Thüringer Lehrplan Klassenstufe 12 das bestimmte Integral als aus Änderungen rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt beschreiben und erläutern, den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral darlegen, bestimmte Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung berechnen, Stammfunktionen und Integrale von ganzrationalen Funktionen, Potenzfunktionen, Sinus und Kosinusfunktionen, e-funktionen, auch ohne Hilfsmittel, ermitteln, dazu gehören die Regeln für das Integrieren von Funktionen mit: konstanten Summanden, konstanten Faktoren, mehreren Summanden, einfacher Verkettung mit linearer innerer Funktion, ein CAS zum symbolischen und numerischen Integrieren von Funktionen nutzen, inner- und außermathematische Problemstellungen mit Hilfe der Differenzial- und Integralrechnung bearbeiten. (ThILLM (2011): Lehrplan für den Erwerb der allg. Hochschulreife, S )

11 einige fachliche Aspekte Historisches: Das Tangentenproblem geometrischer Aspekt: Tangente (Leibniz) physikalisch: Momentangeschwindigkeit (Newton) anwendungsorientierter Aspekt: Änderungsrate lineare Approximation 11

12 Definition 1 Wenn der Grenzwert lim xax f ( x ) x 0 x f ( x 0 0 ) für eine Funktion f an der Stelle x 0 existiert, so wird er mit f`(x 0 ) bezeichnet. f ( x) f ( x0) f ( x heißt auch Ableitung von f an 0) = lim xax der Stelle x 0. x x 0 0 Geometrische Deutung: Die Ableitung f`(x 0 ) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 0. (Hahn/Dzewas (1992): Mathematik 11) 12

13 Definition 2 Es sei t s(t) eine Zeit-Ort-Funktion. Man nennt v t) = ( lim z a t s( z) z s( t) t die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t. (Bürger et al. (1991): Mathematik Oberstufe. Arbeitsbuch für die 7. Klasse der AHS. Wien: hpt. S 13.) 13

14 Definition 3 Es sei f eine reelle Funktion. Der Grenzwert f ( x) = lim zax f ( z) z f x ( x) heißt Differentialquotient der Funktion f an der Stelle x oder Änderungsrate der Funktion an der Stelle x. (Bürger et al. (1991): Mathematik Oberstufe. Arbeitsbuch für die 7. Klasse der AHS. Wien: hpt. S 17.) 14

15 Definition (?) 4 Die Funktionswerte einer in P 0 differenzierbaren Funktion f lassen sich in der Nähe von P 0 angenähert durch die Funktionswerte der Tangente in P 0 ersetzen: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x- x 0 ) Die Tangente ist in der Nähe von P 0 die beste lineare Approximation von f. (Czukrowitz et al. (2003): Mathenetz 11. Braunschweig: Westermann. S. 77.)

16 Vorerfahrungen der Schüler Tangenten (Kreis, Parabel) Geschwindigkeit Änderungsraten 16

17 didaktische Leitfragen (Hahn/Prediger; JMD 29 (2008) H. 3/4, S ) Wie gelingt der Aufbau von inhaltlichen Vorstellungen so, dass mathematische Konzepte als Verstärker des Alltagsdenkens einsetzbar werden? Wie kann das individuelle Repertoire an vorunterrichtlichen Vorstellungen durch fachliche Vorstellungen erweitert und die Lernenden dazu befähigt werden, sie jeweils situationsadäquat zu aktivieren? 17

18 18 Ausgangsprobleme

19 19 Ausgangsprobleme

20 20 Ausgangsprobleme

21 Vernetzung mit anderen Themen Extremalaufgaben Grenzwertbestimmungen, Nullstellen ermitteln Integralrechnung Anwendungen in der Wirtschaft (z.b. Elastizität), Physik und in den Ingenieurwissenschaften (Differentialgleichungen) 21