Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
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- Inken Meinhardt
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1 Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung Thomas Wassong FB17 Mathematik Universität Kassel 30. April 2008
2 Einführung Reihen in der Mathematik Reihen zum Lösen von Differentialgleichungen 2 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
3 einfache DGL Betrachten wir einmal die DGL y (x) = y(x) 2x 3 + 4x 2 + 6x 2, y(0) = 0. Nach MuPAD lautet die Lösung y(x) = 2x 3 + 2x 2 2x. Was ist das besondere an dieser Lösung? 3 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
4 Polynome Polynome lassen sich sehr einfach und schnell Differenzieren und Integrieren. Funktionswerte von Polynomen lassen sich ebenfalls einfach ausrechnen. Diese Eigenschaften wollen wir im Folgenden nutzen. Dazu aber vorher noch weitere Vorüberlegungen. 4 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
5 Vorüberlegungen zu Reihen Wann sind zwei Funktionen an einer Stelle gleich? Wenn die Funktionswerte gleich sind. Wenn die Steigungen gleich sind. Wenn die Krümmungen gleich sind.... Also müssen an der Stelle alle Ableitungen gleich sein. Idee: Man könnte alle Funktionen durch Polynome darstellen, die an einer Stelle die gleichen Funktionswerte und die gleichen Ableitungen haben. 5 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
6 Vorüberlegungen zu Reihen Wann sind zwei Funktionen an einer Stelle gleich? Wenn die Funktionswerte gleich sind. Wenn die Steigungen gleich sind. Wenn die Krümmungen gleich sind.... Also müssen an der Stelle alle Ableitungen gleich sein. Idee: Man könnte alle Funktionen durch Polynome darstellen, die an einer Stelle die gleichen Funktionswerte und die gleichen Ableitungen haben. 5 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
7 Vorüberlegungen zu Reihen Wann sind zwei Funktionen an einer Stelle gleich? Wenn die Funktionswerte gleich sind. Wenn die Steigungen gleich sind. Wenn die Krümmungen gleich sind.... Also müssen an der Stelle alle Ableitungen gleich sein. Idee: Man könnte alle Funktionen durch Polynome darstellen, die an einer Stelle die gleichen Funktionswerte und die gleichen Ableitungen haben. 5 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
8 Taylorreihen (Fast) jede unendlich-oft differenzierbare Funktion f (x) lässt sich durch eine Potenzreihe darstellen. Eine Potenzreihe ist ein unendliches Polynom der Form b k x k. k=0 Wenn für die Koeffizienten b k = f (k) (0) k! gilt, so ist f (x) = k=0 b kx k. 6 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
9 Beispiel in MuPAD Entwicklung der Funktion sin(x) 7 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
10 Aufgaben Eine der wichtigsten Funktionen, die sich durch eine Potenzreihe darstellen lässt, ist die Exponentialfunktion. 1. Berechne die ersten 7 Glieder der Potenzreihe für exp(x). 2. Plotte die entstandenen Polynome mit 2, 5 und 7 Glieder zusammen mit der Exponentialfunktion und vergleiche die Ergebnisse. Wie ändert sich die Näherung an die Exponentialfunktion? 3. Betrachtet einmal den Plot an der Stelle x = 5. Was fällt auf? 8 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
11 Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt (Fast) jede unendlich-oft differenzierbare Funktion f (x) lässt sich an einer Stelle a durch eine Potenzreihe darstellen. a nennt man den Entwicklungspunkt der Potenzreihe. Die Potenzreihe hat die Form b k (x a) k k=0 mit den Koeffizienten b k = f (k) (a) k!. 9 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
12 Der taylor-befehl MuPAD kann solche Potenzreihen mit Hilfe des taylor-befehls berechnen. Die Argumente sind zuerst die zu entwickelnde Funktion, dann den Entwicklungspunkt. Optional kann man als drittes die Anzahl der zu berechnenden Glieder angeben. Bsp in MuPAD! 10 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
13 Aufgaben 1. Entwickle die ersten acht Glieder der Potenzreihe für die Funktion f (x) = sin(x cos(x)) an der Stelle x = π. 2. Plotte die erzeugten Funktionen. 11 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
14 Was hat die Potenzreihe mit der Lösung von DGLen zu tun? (Fast) Alle Funktionen, die nicht Polynome sind, können durch Polynome ersetzt werden. Damit hat man nur noch Potenzen von x zu betrachten. Je nach gewünschter Genauigkeit wird dann die Anzahl der Glieder gewählt. Die möglichen Lösungen werden als Potenzreihen betrachtet und für die y-funktionen entsprechend eingesetzt. Dann gilt es nur noch die Koeffizienten zu bestimmen. Auch hier wählt man die Anzahl der Glieder nach gewünchter Genauigkeit. Sie sollte jedoch mit der Genauigkeit im ersten Punkt übereinstimmen. Man sollte jedoch den Entwicklungspunkt der Reihendarstellung - sowohl bei Funktionen der DGL als auch beim Ansatz für die y(x)-funktion - bei t 0 wählen, um die Genauigkeit zu optimieren. 12 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
15 Was hat die Potenzreihe mit der Lösung von DGLen zu tun? (Fast) Alle Funktionen, die nicht Polynome sind, können durch Polynome ersetzt werden. Damit hat man nur noch Potenzen von x zu betrachten. Je nach gewünschter Genauigkeit wird dann die Anzahl der Glieder gewählt. Die möglichen Lösungen werden als Potenzreihen betrachtet und für die y-funktionen entsprechend eingesetzt. Dann gilt es nur noch die Koeffizienten zu bestimmen. Auch hier wählt man die Anzahl der Glieder nach gewünchter Genauigkeit. Sie sollte jedoch mit der Genauigkeit im ersten Punkt übereinstimmen. Man sollte jedoch den Entwicklungspunkt der Reihendarstellung - sowohl bei Funktionen der DGL als auch beim Ansatz für die y(x)-funktion - bei t 0 wählen, um die Genauigkeit zu optimieren. 12 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
16 Was hat die Potenzreihe mit der Lösung von DGLen zu tun? (Fast) Alle Funktionen, die nicht Polynome sind, können durch Polynome ersetzt werden. Damit hat man nur noch Potenzen von x zu betrachten. Je nach gewünschter Genauigkeit wird dann die Anzahl der Glieder gewählt. Die möglichen Lösungen werden als Potenzreihen betrachtet und für die y-funktionen entsprechend eingesetzt. Dann gilt es nur noch die Koeffizienten zu bestimmen. Auch hier wählt man die Anzahl der Glieder nach gewünchter Genauigkeit. Sie sollte jedoch mit der Genauigkeit im ersten Punkt übereinstimmen. Man sollte jedoch den Entwicklungspunkt der Reihendarstellung - sowohl bei Funktionen der DGL als auch beim Ansatz für die y(x)-funktion - bei t 0 wählen, um die Genauigkeit zu optimieren. 12 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
17 Was hat die Potenzreihe mit der Lösung von DGLen zu tun? (Fast) Alle Funktionen, die nicht Polynome sind, können durch Polynome ersetzt werden. Damit hat man nur noch Potenzen von x zu betrachten. Je nach gewünschter Genauigkeit wird dann die Anzahl der Glieder gewählt. Die möglichen Lösungen werden als Potenzreihen betrachtet und für die y-funktionen entsprechend eingesetzt. Dann gilt es nur noch die Koeffizienten zu bestimmen. Auch hier wählt man die Anzahl der Glieder nach gewünchter Genauigkeit. Sie sollte jedoch mit der Genauigkeit im ersten Punkt übereinstimmen. Man sollte jedoch den Entwicklungspunkt der Reihendarstellung - sowohl bei Funktionen der DGL als auch beim Ansatz für die y(x)-funktion - bei t 0 wählen, um die Genauigkeit zu optimieren. 12 von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
18 Ein Beispiel Gegeben sei die DGL Siehe MuPAD! y (x) = y(x) + x exp(x), y(0) = von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
19 Aufgaben Löse die DGL y (x) = y(x) + cos(x) sin(x), y(0) = 1 und plotte das Ergebnis. Wählen Sie dabei für das Richtungsfeld die Optionen x=-1..1,y=-1..1 und für plot::function2d die Optionen x=-1..1,viewingboxyrange= von 14 Thomas Wassong Lösen von Differentialgleichungen durch Reihenentwicklung
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