MATHEMATIK. Lehr- und Übungsbuch. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag. Band 2. Analysis

Transkript

1 i Lehr- und Übungsbuch MATHEMATIK Band 2 Analysis Mit 164 Bildern, 265 Beispielen und 375 Aufgaben mit Lösungen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Abbildungen und Funktionen Abbildungen Funktionen Eigenschaften von Funktionen Inverse Funktionen und verkettete Funktionen Inverse Funktionen Verkettete Funktionen Folgen und Reihen Folgen Reihen Funktionsgrenzwert und Stetigkeit Funktionsgrenzwert Stetigkeit 29 Aufgaben 1.1 bis Differentialrechnung einer reellen Variablen Ableitung einer differenzierbaren Funktion Differenzenquotient Ableitung Lineare Approximation Anwendungen der Ableitung in Physik und Geometrie 37 Aufgaben 2.1 bis Ableitungsregeln Ableitungen einiger Funktionen Ableitung einer Linearkombination von Funktionen Produktregel Quotientenregel Ableitung von verketteten Funktionen Ableitung der Umkehrfunktion Höhere Ableitungen Differential einer Funktion 47 Aufgaben 2.7 bis Ableitung der elementaren Funktionen Ableitung der rationalen Funktionen Ableitung der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktionen Ableitung der hyperbolischen Funktionen und der Areafunktionen.. 55 Aufgaben 2.19 bis Mittelwertsatz der Differentialrechnung 60

3 i Inhaltsverzeichnis Mittelwertsatz Satz von Taylor 63 Aufgaben 2.37 bis Anwendungen der Differentialrechnung Unbestimmte Ausdrücke 67 Aufgabe Untersuchung von Funktionen 71 Aufgaben 2.45 und Extremwertaufgaben 77 Aufgaben 2.47 bis Ebene Kurven in Parameterdarstellung; Polarkoordinaten 80 Aufgaben 2.57 bis Krümmung ebener Kurven 89 Aufgaben 2.63 bis Iterationsverfahren 93 Aufgaben 2.67 bis Integralrechnung einer reellen Variablen Das bestimmte Integral Näherungssummen Steigerung der Zerlegungsfeinheit Definition des bestimmten Integrals Eigenschaften des bestimmten Integrals Numerische Integration 105 Aufgaben 3.1 bis Das unbestimmte Integral Die Flächenfunktion Die Stammfunktion Berechnung bestimmter Integrale Tabelle einiger unbestimmter Integrale 114 Aufgaben 3.6 bis Integrationsmethoden Partielle Integration 117 Aufgaben 3.9 bis Integration durch Substitution 120 Aufgaben 3.12 bis Integration durch Partialbruchzerlegung 128 Aufgaben 3.18 und Das uneigentliche Integral Die Unbeschränktheit des Integranden Die Unbeschränktheit des Integrationsbereichs 137 Aufgaben 3.20 bis Anwendungen der Integralrechnung Flächeninhalt eines Bereichs zwischen zwei Kurven Die Bogenlänge einer Funktionskurve 141

4 1 8 Inhaltsverzeichnis Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern Integration der Bewegungsgleichung Mittelwerte Die Biegelinie eines Balkens Schwerpunkt, Flächenmoment und Trägheitsmoment Arbeit und Energie 152 Aufgaben 3.24 bis Potenzreihen und Fourierreihen Einführung Potenzreihen Definition der Potenzreihe, Konvergenzbereich, Konvergenzradius Taylorreihen Eigenschaften von Potenzreihen, Rechnen mit Potenzreihen 165 Aufgaben 4.1 bis Fourierreihen Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe Zusammenstellung wichtiger Fourierreihen 173 Aufgaben 4.21 bis Anwendungen Polynomapproximation Berechnung von e und w Integration mittels Potenzreihenentwicklung Fourieranalyse einer Schwingung Approximation durch Summen trigonometrischer Funktionen 182 Aufgaben 4.27 bis Funktionen mehrerer reeller Variablen Grundlagen Grenzwert und Stetigkeit 189 Aufgaben 5.1 bis Differentialrechnung mehrerer Variabler Partielle Ableitungen 194 Aufgaben 6.1 bis Totales Differential und Fehlerrechnung 197 Aufgaben 6.12 bis Kettenregel; Implizites Differenzieren 203 Aufgaben 6.20 bis Mittelwertsatz und Satz von Taylor 207 Aufgaben 6.28 bis Minima und Maxima 210 Aufgaben 6.31 bis Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen 213 Aufgaben 6.40 bis

5 i Inhaltsverzeichnis Ausgleichsrechnung 216 Aufgaben 6.49 bis Integralrechnung für Funktionen mehrerer reeller Variabler Allgemeines Das zweidimensionale Bereichsintegral Parameterintegrale und Normalbereiche 221 Aufgaben 7.1 bis Aufgaben 7.7 und Doppelintegrale 226 Aufgaben 7.9 bis Aufgaben 7.16 bis Integrale über räumliche Bereiche 234 Aufgaben 7.25 bis Anwendungen Flächeninhalt und Volumen Massenschwerpunkt und Trägheitsmoment 240 Aufgaben 7.30 bis Transformation von Mehrfachintegralen Koordinatentransformationen Die Transformationsformel für Mehrfachintegrale 253 Aufgaben 7.44 bis Bogenlänge und Kurvenintegral 261 Aufgaben 7.61 bis Oberflächenintegrale 267 Aufgaben 7.68 bis Gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung und Grundbegriffe Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Ähnlichkeitsdifferentialgleichung Exakte Differentialgleichung Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung, Methode der Variation der Konstanten 285 Aufgaben 8.1 bis Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Eulersche Differentialgleichung 296 Aufgaben 8.27 bis Eliminationsverfahren zur Lösung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 297 Aufgaben 8.46 bis Numerische Verfahren zur Lösung von Anfangswertaufgaben 302

6 10 Inhaltsverzeichnis Aufgaben 8.52 bis Anwendungen Mechanische und elektromagnetische Schwingung Biegelinie eines Stabes Stabknickung 315 Aufgaben 8.54 bis Lösungen 318 Literaturverzeichnis 353 Sachwortverzeichnis 354