Lothar Papula. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Übungsaufgaben

Transkript

1 Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Übungsaufgaben

2 Das sechsbändige Lehr- und Lernsystem Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler umfasst neben dem Buch mit Klausur- und Übungsaufgaben die folgenden Bände: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium Mit 493 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 307 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium Mit 377 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 310 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung Mit 549 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 285 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen sowie einer ausführlichen Integraltafel Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Anwendungsbeispiele Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik mit ausführlichen Lösungen

3 Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Übungsaufgaben Über 600 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung 3., durchgesehene und erweiterte Auflage Mit 293 Abbildungen STUDIUM

4 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. 1. Auflage , durchgesehene und erweiterte Auflage , durchgesehene und erweiterte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten Vieweg +Teubner GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Thomas Zipsner Gabriele McLemore Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Bilder: Graphik & Text Studio Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Satz: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Těšínská Tiskárna, a. s., Tschechien Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic ISBN

5 Vorwort V Entwicklung und Erwerb der Fähigkeit, die im Grundstudium vermittelten mathematischen Kenntnisse auf Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu können, sind ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und somit zugleich auch Voraussetzung für ein erfolgreiches Studium. Dieses Ziel ist aber nur erreichbar durch ständiges und intensives Training (Ûben), zumal die Defizite der Studienanfänger in den Grundlagenfächern wie Mathematik nach wie vor enorm sind. Die vorliegende Sammlung enthält über 600 ausführlich und vollständig gelöste Ûbungs- und Klausuraufgaben und bietet dem Studienanfänger Hilfestellung und Unterstützung auf dem Wege zum genannten Ziel. Dieses Buch ermöglicht als ständiger Begleiter zur Vorlesung das intensive Einüben und Vertiefen des Vorlesungsstoffes, eine gezielte und optimale Vorbereitung auf die Prüfungen und Klausuren des Grundstudiums und eignet sich in besonderem Maße zum Selbststudium. Die Lösung der Aufgaben wird dabei Schritt für Schritt vorgeführt, der Lösungsweg ist damit leicht nachvollziehbar. Alle verwendeten Regeln werden genannt und erklärt, wobei besondere Sorgfalt auf die elementaren Rechenschritte gelegt wird. Denn die tägliche Arbeit mit den Anfangssemestern bringt es immer wieder zu Tage: Die größten Probleme treten meist im Bereich der Elementarmathematik auf (Wer kann heutzutage noch fehlerfrei mit Logarithmen, Wurzeln und Potenzen umgehen? Wie werden eigentlich Brüche addiert?). Daher werden in diesem Buch auch die beim Lösen einer Aufgabe auftretenden elementarmathematischen Probleme behandelt und alle nötigen Rechenschritte besprochen. Welche Stoffgebiete wurden berücksichtigt? Die Auswahl der Stoffgebiete ist auf die Mathematikvorlesungen im Grundstudium abgestimmt. Zahlreiche der über 600 Aufgaben sind dabei anwendungsorientiert formuliert und beschreiben einfache Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik. Berücksichtigt wurden folgende Gebiete: Funktionen und Kurven Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialrechnung Laplace-Transformationen (im Zusammenhang mit Integralrechnung linearen Differentialgleichungen) Taylor- und Fourier-Reihen Vektorrechnung Partielle Differentiation Lineare Algebra Mehrfachintegrale Veränderungen gegenüber der 2. Auflage Es wurden weitere Aufgaben aufgenommen.

6 VI Hinweise für den Benutzer Ein Wort des Dankes an Frau Ivonne Voirin und Herrn Stefan Koob (beide studierten an der Fachhochschule Wiesbaden Maschinenbau) für zahlreiche wertvolle Hinweise,... an Herrn Ewald Schmitt vom Vieweg-Verlag für die hervorragende Unterstützung bei der Erstellung dieses Werkes,... an Herrn Hölzer und Herrn Wunderlich vom Druck- und Satzhaus Thomas Müntzer für diesen ausgezeichneten mathematischen Satz. Wiesbaden, im Sommer 2008 Lothar Papula Hinweise für den Benutzer Die Ûbungs- und Klausuraufgaben sind kapitelweise durchnummeriert. Zu Beginn eines jeden Kapitels bzw. Abschnitts finden Sie Hinweise auf das Lehrbuch Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler (Band 1 3) sowie auf die Mathematische Formelsammlung des Autors. Hier können Sie die zum Lösen der Aufgaben benötigten mathematischen Hilfsmittel nachlesen und gegebenenfalls nacharbeiten. Beachten Sie auch die weiteren nützlichen Informationen. Die vollständige Lösung der jeweiligen Aufgabe finden Sie direkt im Anschluss an die Aufgabenstellung. So wird lästiges Blättern vermieden. Folgen Sie meiner Empfehlung: Versuchen Sie zunächst, die Aufgaben selbst zu lösen (Lösungsteil vorher abdecken). Skizzen erleichtern dabei in vielen Fällen den Lösungsweg. Vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit der angegebenen Lösung. Sollten Sie bei einem Zwischenschritt hängen bleiben, so greifen Sie auf die vorgegebene Lösung zurück und versuchen einen neuen Start. Denn auch aus Fehlern lernt man. Verwendete Abkürzungen Bd. 1! Band 1 des Lehr- und Lernsystems Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler FS! Mathematische Formelsammlung Dgl! Differentialgleichung LGS! Lineares Gleichungssystem

7 VII Inhaltsverzeichnis A Funktionen und Kurven Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Gebrochenrationale Funktionen Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Hyperbel- und Areafunktionen Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten B Differentialrechnung Ableitungsregeln Produktregel Quotientenregel Kettenregel Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln Logarithmische Ableitung Implizite Differentiation Differenzieren in der Parameterform Differenzieren in Polarkoordinaten Anwendungen Einfache Anwendungen in Physik und Technik Tangente und Normale Linearisierung einer Funktion Krümmung einer ebenen Kurve Relative Extremwerte, Wende- und Sattelpunkte Kurvendiskussion Extremwertaufgaben Tangentenverfahren von Newton Grenzberechnung nach Bernoulli und de L Hospital C Integralrechnung Integration durch Substitution Partielle Integration (Produktintegration)

8 VIII Inhaltsverzeichnis 3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden Numerische Integration Anwendungen der Integralrechnung Flächeninhalt, Flächenschwerpunkt, Flächenträgheitsmomente Rotationskörper (Volumen, Mantelfläche, Massenträgheitsmoment, Schwerpunkt) Bogenlänge, lineare und quadratische Mittelwerte Arbeitsgrößen, Bewegungen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) D Taylor- und Fourier-Reihen Potenzreihenentwickungen Mac Laurin sche und Taylor-Reihen Anwendungen Fourier-Reihen E Partielle Differentiation Partielle Ableitungen Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) Implizite Differentiation Totales oder vollständiges Differential einer Funktion (mit einfachen Anwendungen) Anwendungen Linearisierung einer Funktion Lineare Fehlerfortpflanzung Relative Extremwerte Extremwertaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen F Mehrfachintegrale Doppelintegrale Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten Doppelintegrale in Polarkoordinaten Dreifachintegrale Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten

9 Inhaltsverzeichnis IX G Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen 1. Ordnung Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen Integration einer Differentialgleichung durch Substitution Lineare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Exakte Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Homogene lineare Differentialgleichungen Inhomogene lineare Differentialgleichungen Integration von Differentialgleichungen 2. Ordnung durch Substitution Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Homogene lineare Differentialgleichungen Inhomogene lineare Differentialgleichungen Lösung linearer Anfangswertprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten H Vektorrechnung Vektoroperationen Anwendungen I Lineare Algebra Matrizen und Determinanten Rechenoperationen mit Matrizen Determinanten Spezielle Matrizen Lineare Gleichungssysteme Eigenwertprobleme