Mathematik-Formeln kompakt

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1 Mathematik-Formeln kompakt für BWL-Bachelor

2 Bernd Luderer Mathematik-Formeln kompakt für BWL-Bachelor

3 Bernd Luderer Fakultät für Mathematik Technische Universität Chemnitz Chemnitz, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Gabler Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Gabler ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Strasse 46, Wiesbaden, Germany

4 Vorwort Diese Formelsammlung wendet sich an Bachelor-Studenten der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen, Berufsakademien, Weiterbildungseinrichtungen, aber auch an Praktiker. Sie soll dem schnellen Nachschlagen von Formeln und Fakten dienen, sei es im Selbststudium, bei der Lösung konkreter Aufgaben oder in der Prüfung. In übersichtlicher und klar strukturierter Weise wurden nur die wirklich wichtigsten, unverzichtbaren Formeln und Begriffe aufgenommen und wo immer möglich erläutert. Auch auf ökonomische Anwendungen wurde großer Wert gelegt. Damit unterscheidet sich dieses leistungsfähige, aber dennoch handliche Nachschlagewerk deutlich von allgemein mathematischen oder solchen, die sich an Ingenieure richten. Der Inhalt umfasst die folgenden Gebiete: Mengen und Aussagen, Rechnen mit Zahlen, Folgen und Reihen, Differenzial- und Integralrechnung für Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher, Kombinatorik, Lineare Algebra, Grundzüge der Linearen Optimierung sowie Finanzmathematik. Ein umfangreiches Sachwortverzeichnis erleichtert das schnelle Auffinden von Formeln, Algorithmen und Begriffen. Wie soll man eine Formelsammlung benutzen? Zunächst muss man sich Klarheit über das zu lösende Problem verschaffen, danach eine oder mehrere, miteinander zu kombinierende Formeln suchen, die gegebenenfalls anzupassen sind, denn die Bezeichnungen können sich von denen des Problems durchaus unterscheiden. Ferner wird es häufig vorkommen, dass die Formeln umzuformen sind, um eine gesuchte Größe berechnen zu können. Auch für die Anwendung von Algorithmen sind gegebenenfalls vorher Umformungen und Anpassungen durchzuführen. Mit einem Wort es bedarf gewisser mathematischer Fertigkeiten. Wichtig ist ferner die anschließende Interpretation der gefundenen Lösung (unter Berücksichtigung von Maßeinheiten) und deren Überprüfung auf Plausibilität.

5 VI Vorwort Die vorliegende Formelsammlung entstand im Ergebnis langjähriger Lehrtätigkeit an der Technischen Universität Chemnitz sowie in verschiedenen Weiterbildungskursen. Es wurde bewusst auf die Aufnahme von Beispielen verzichtet, denn in der Regel ist das Nutzen von Beispielen in einer Prüfung nicht erlaubt. Zahlreiche, sehr oft anwendungsorientierte Beispiele unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades findet man beispielsweise in den Büchern [3], [4], [8], [9]. Selbstverständlich kann eine Formelsammlung niemals ein Lehrbuch ersetzen, denn nur dort findet man Herleitungen, Erläuterungen und mathematisch-ökonomische Hintergründe. Empfohlen seien die Werke [1], [2], [6], [7], [10]. Schließlich sei noch auf einige weitere, zum Teil deutlich umfangreichere Sammlungen von Formeln und Fakten verwiesen, die detaillierter sind und mehr mathematische Teilgebiete enthalten: [5], [11],[12]. Dem Springer-Verlag, insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch und Frau Gerlach, danke ich für eine stets angenehme und konstruktive Zusammenarbeit. Allen Nutzern, die mit Hinweisen und Bemerkungen zur Verbesserung dieser Formelsammlung beitragen, sei bereits jetzt herzlich gedankt. Chemnitz, im Februar 2017 Bernd Luderer

6 Inhaltsverzeichnis Bezeichnungen... 1 Zeichenerklärung... 1 MathematischeKonstanten... 2 Fläche und Volumen elementarer Gebilde... 3 Flächen... 3 Körper... 4 Verschiedenes... 5 GriechischesAlphabet... 5 DekadischesSystem... 5 Mengenlehre... 6 Mengenbegriff... 6 RelationenzwischenMengen... 6 Mengenverknüpfungen... 7 Produktmenge, lineare Abbildung Aussagenlogik AussagenundAussageformen Aussagenverbindungen Methode der vollständigen Induktion Rechnen mit Zahlen Zahlensysteme Rechenregeln AbsoluterBetrag FakultätundBinomialkoeffizienten GleichungenundUngleichungen... 18

7 VIII Inhaltsverzeichnis Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Winkelbeziehungen Zahlenfolgen und -reihen Zahlenfolgen Zahlenreihen ArithmetischeundgeometrischeReihe Funktionen einer Variablen: Eigenschaften Grundbegriffe LineareundquadratischeFunktionen Potenzfunktionen PolynomeundPolynomdivision GebrochenrationaleFunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Winkelfunktionen NumerischeMethoden dernullstellenberechnung Ausgewählte ökonomischefunktionen Funktionen einer Variablen: Differenzialrechnung GrenzwerteinerFunktion Stetigkeit Differenziation Ökonomische Interpretation der erstenableitung Änderungsraten und Elastizitäten HöhereAbleitungenundTaylorentwicklung EigenschaftenvonFunktionen Ökonomische Anwendungen der Differenzialrechnung KlassifikationvonWachstum Kurvendiskussion im Überblick Funktionen einer Variablen: Integralrechnung Unbestimmtes Integral BestimmtesIntegral TabelleunbestimmterIntegrale UneigentlicheIntegrale NumerischeBerechnungbestimmterIntegrale Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung

8 Inhaltsverzeichnis IX Funktionen mit mehreren Variablen: Eigenschaften Grundbegriffe GrenzwertundStetigkeit Funktionen mit mehreren Variablen: Differenzial- und Integralrechnung Differenziation von Funktionen mit mehreren Variablen VollständigesDifferenzial ExtremwerteohneNebenbedingungen Extremwerteunter Nebenbedingungen Methodeder kleinstenquadratsumme Ökonomische Anwendungen der Differenzialrechnung Doppelintegrale Differenzialgleichungen erster Ordnung Kombinatorik Permutationen Variationen Kombinationen Lineare Algebra Vektoren Geraden-undEbenengleichungen Matrizen Determinanten LineareGleichungssysteme Gauß scher Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) EigenwertaufgabenbeiMatrizen Matrixmodelle ÄquivalenteAussagenderlinearenAlgebra Lineare Optimierung Allgemeine lineare Optimierungsaufgabe und Normalform Grafische Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe Simplexverfahren Dualität ModellderTransportoptimierung

9 X Inhaltsverzeichnis Klassische Finanzmathematik LineareVerzinsung ExponentielleVerzinsung Rentenrechnung Tilgungsrechnung KursrechnungundRenditeberechnung Investitionsrechnung Abschreibungen Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis...128