Inhaltsverzeichnis ... Funktionen... 16

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1 Inhaltsverzeichnis (frundbegüfe der Analysle Funktionen Grundbegriffe der Mengenlehre... Der Begriff der Menge... Mengenrelationen.... Mengenoperationen... Zahlenmengen und lineare Punktmengen... Ebene und räumliche Punktmengen... Die Abbildung... Der Begriff der Abbildung... Die inverse Abbildung... Eindeutige und eineindeutige Abbildungen... Aufgaben 1 bis Die Funktion... Der Funktionsbegriff.... Arten der Darstellung reeller Funktionen... Formen der analytischen Derstellung reeller Funktionen.... Funktionen aus Naturwknschaft und Twhnik und ihre gmphieohe Darstellung... Einteilung der reellen Funktionen... Elementare Eigenschaften reeller Funktionen... Die Umkehrfunktion... Periodische Funktionen... Die N~w~o~sche Interpolation... Aufgaben 13 bis Folgen und Reihen; Grenzwert Folgen Der Begriff der Folge Arithmetische und geometrieche Folgen Anwendungen der geome-hen Folge... Aufgaben 43 bis Konvergenz. Divergenz einer Folge; Grenzwert Nullfolgen Der Grenzwert einer Wenfolge

2 Die Zahle Das Rechnen mit Grenzwerten Die unendliche geometrische Reihe Aufgaben 83 bis Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle X = a Die Stetigkeit einer Funktion Grenzwert des Funktionswert es für X +foo Aufgaben 103 bis Grundlagen der Differential- und Integralrechnung Einführung in die Differentialrechnung Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten Aufgabenl09bislll Die Ableitung der Potenzfunktion Grundregeln der Differentiation Vorbetrachtung Die Ableitung einer konstanten Funktion Die Ableitung einer Funktion mit konstantem Faktor Die Ableitung der Summe mehrerer Funktionen Die Ableitung des Produktes mehrerer Funktionen Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen Die Ableitung der Umkehrfunktion Ermittlung der Ableitung einer ganzrationalen Funktion an einer Stelle X, mittels des Ho~~~~schen Schemas Aufgaben 112 bis Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Die Ableitung der Funktion y = sin X Die Ableitung der Funktion y = cos X Die Ableitungen der Funktionen y = tan X und y = cot X Das Differential; der Differentialquotient Aufgaben 149 bis Die Ableitung der mittelbaren Funktion. Die Ableitung einer Funktion in impliziter Darstellung Die Ableitung der logarithmischen lind der Exponentialfunktion Die Ableitung der logarithmischen Funktion Die Ableitung der Exponentialfunktion Differentiation nach Logarithmieren Höhere Ableitungen Aufgaben 161 bis Graphische Differentiation Aufgaben 186 bk Der Mittelwertaatz der Differentialrechnung Satz von ROLLE;Mittelwerteatz und erweiterter Mittelwerteetz Folgerungen aus den Mittelwerbiitzen Aufgaben 189 bis

3 Inhaltsverzeichnis 9 Uneigentliche Grenzwerte....:. 185 Regeln für dss Rechnen mit uneigentlichen Grenzwerten Die Regel von BERNOULLI und DE L'HOSPITAL Aufgaben 193 und Untersuchung von Funktionen Charakteristische Bereiche und Punkte Defiitionsbereich. Symmetrie Definitionsbereich X Symmetrie Aufgaben 196 und Des Verhalten im Unendlichen Die ganzrationale Funktion Die gebrochenrationale Funktion Unstetigkeitsetellen. Achsenschnittpunkte Unstetigkeitsetellen Achsenschnittpunkte Gebrochenrationale Funktionen:.- (4.2,N ganzrational... N (2)'.. Monotoniebögen. Extrempunkte Kriimmungsbögen. Wendepunkte Beispiele für Kurvendiskussionen Aufgaben 197 bis Extremwertaufgaben Aufgaben 204 bis Weitere transzendente Funktionen und ihre Ableitungen Zyklometrische Funktionen... Definition und graphische Darstellung... Numerische Berechnung von Funktionswertan.... Beziehungen zwischen den Funktionen... Ableitungen... Hyperbelfunktionen... Definition und graphische Darstellung... Beziehungen zwischen den Funktionen... Hyperbelfunktionen und Einheitehyperbel... Ableitungen... Areafunktionen... Definition und graphische Daretellung... Beziehungen zwischen den Funktionen... Ableitungen... Aufgaben 225 bis Einfühning in die Integra1mhnung Dae unbeetimte Integral Des partikuläre Integral Dae bestimmte Integral als Funktionswert einer Stammfunktion Elementare Integratiomgeln Differentiation und Integration nacheinander ausgeführt

4 Inhaltsverzeichnis Integration einer algebraischen Summe Integrand mit konstantem Faktor Vertauschung der Integrationsgrenzen Zerlegung des Integratiomintemalles in Teilint e Änderung der Integmtionsvariablen Auf~aben239 bis zu&rnmenhinge zwischen Integration und Flächenberechnung Das Problem der Flichenberechnumc.Die Fiiichenfunktion Der Mittelwerteatz der 1ntegralrechLung Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summenfolge Aufgaben 271 bis Vergleich der Integraldefinitionen.Bedingungen für die Integrierbarkeit Uneigentliche Integrale Anwendungen der Integralrechnung aus der Geometrie Flächeninhalte Flächen zwischen einer Kurve und der x-achse Flächen zwischen zwei Kurven Flächen zwischen einer Kurve und der y.achse.das Flächenelement Aufgaben 274 bis Rauminhalte Der Rauminhalt von Rotetionekörpem Der Rauminhalt anderer Körper Aufgaben 292 bis Bogenlängenberechnung (Rektifikation) Mantelflächenberechnung (Komplanation) von Rotatiomkörpem Integratiomverfahren Integration durch Substitution Allgemeines Prinzip des Verfahrens Integrale der Form lflq(z)] q'(z) dx Substitution trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen integrale der Form R (sinz;cos X;ten X;mt z)dx Aufgaben 304 bis Partielle Integration Aufgaben 400 bis Integration nach Partialbruchzerlegung Vorbetrachtung Der Nenner des Integranden hat nur einfache reelle Nullstellen Der Nenner dea Integranden hat mehrfache reelle Nullstellen Der Nenner des Integranden enthält komplexe einfache Nulletellen Der Nenner dea Integranden enthält komplexe mehrfache Nullstellen Aufgaben 426 bis Der Gebrauch von Integraltafeln Aufgaben 436 bis Nähemgsweiee Integration Numerische Integration Aufgaben 444 bin

5 Inhaltsverzeichnie Graphische Integration Aufgaben 452 und Instrumentelle Integration Anwendungen der Integralrechnung aua Physik und Technik Statisches Moment und Schwerpunkt Statische Momente und Schwerpunkt einer ebenen Fläche Statische Momente und Schwerpunkt ein- Körpers Statische Momente und Schwerpunkt eines ebenen Kurvenstücks Die Regeln von Gmsm Aufgaben 454 bis Trägheitsmomente Trägheitsmomente von ebenen Flächen Masaenträgheitsmomente Aufgaben 476 bis Der Balken auf zwei Stützen mit ungleichmäßig verteilter Streckenlast Auflagerwiderstende Schnittkräfte Zusammenhang zwischen Moment. Querkraft und Belastung Arbeit Arbeit bei der Ausdehnung einer Schraubenfeder Ausdehnungsarbeit eines Gawa Arbeit dea Wechselstrome Chemische %aktionsgeachwindigkeit in Abhängigkeit von der Konzentration 352 Berechnung von Mittelwerten mit Hilfe dea bestimmten Integre Linearer Mittelwert Quadratischer Mittelwert Welterer Amben der Differential- und integmimcbnung 12. Differentialgeometrie Formen der analytischen Darstellung von Funktionen Parameterdarstellung... Darstellung in Polarkoordinaten... Differentiation... Differentiation bei Peramete-llung... Differentiation bei Denitellung in Polarkoordinaten. Aufgaben 487 bis Bogenlänge... Aufgaben 499 bis Sektorenformeln... Aufgaben 608 bin Berechnung von Drehkörpem... Kubatur (Volumenberechnung).... Mentelflächen... Aufgaben 611 bin

6 Inhaltsverzeichnis Krümmung ebener Kurven Definition der Krümmung Krümmung&reie; Evolute und Evolvente Aufgaben 516 bis Funktionen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen Definition und geometrische Veranschaulichung Aufgaben 525 und Partielle Ableitungen Aufgaben 527 bis Daa totale Differential Aufgaben 557 bis Die Ableitung von Funktionen mit impliziter Darstellung Aufgaben 569 bis Maxima und Minima von Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher 402 Aufgaben 579 bis Maxima und Minima mit Nebenbedingungen Aufgaben 592 bis Mehrfache Integrale ~lächenberechnung Csrtesiache Koordinaten Angepaßte Koordinaten Aufgaben 604 bis Volumenberechnung Cht.eaische Koordinaten bgepaßte Koordinaten Aufgaben 608 bis Schwerpunkt- und Momentenberechnung Schwerpunkte und Momente von Bögen Schwerpunkte und Momente von Flächen Schwerpunkte und Momente von Volumina Anigaben 614 bh Vektorielle Daretellung von Kurven und Feldern Difiemntiation und Integration von Vektoren Das Linienintegral Daa Liiienintegral im Potentialfeld Auigaben 629 bie Unendliche Reihen Grundbegriffe Definition der unendlichen Reihe Konvergenz. Divergenz

7 Inhaltsverzeichnis 13 Konvergenzkriterien Aufgaben 634 bis Potenzreihen Erklärung. Konvergenzradius. Konvergenzbereich Aufgaben 642 bis Die Mamamsche Form der Reihe von T A ~ E Die Hauptform der Reihe von TAYLOB... Aufgaben 646 bis Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen.. Aufgaben 648 bis Entwicklung der Binomialreihe... Reihenentwicklung durch Integration.... Aufgaben 653 bia Anwendungen Näherungsformeln Aus Grundfunktionen zusammengesetzte Auedrücke Wunelausdrücke Besondere Fälle Integration nach vorhergegangener Reihenentwicklung Aufgaben 656 bis Einführung in die Fehler- und Ausgleichungareohnung Fehlerrechnung für wahre Fehler Fehlerarten Wahre Fehler Aufgaben 666 bia Ausgleichungsrechnung Allgemeines zur Ausgleichungsrechnung Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit Der mittlere Fehler als Genauigkeitsmaß Aufgaben 679 bis Ausgleichung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit Aufgaben 689 bis Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen Aufgaben 692 bis Ausgleichung bedingter Beobachtungen Aufgabe

8 22. Grundbegriffe; Aufstellen von Differentialgleichungen Definition der Differentialgleichung A&tellen von Differentialgleichungen Differentialgleichung einer Kurvenschar Differentialgleichungen 1.Ordnung GeometrischeDeutung Isoklinenverfahren Differentialgleichungen 1. Ordnung mit trennbaren Variablen Durch Substitution lösbare Differentialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungen1. Ordnung Auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführbare Differentialgleichungen 2.Ordnung Aufgaben 700 bis Lineare Differentialgleichungen2.und höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Einführen ein- linearen Differentialoperatore Die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2.Ordnung Lineare Differentialgleichungen3. und höherer Ordnung Aufgaben 751 bb ~öanngenni den Aufgaben 1bh