Analysis I IV (an) Prof. Dr. Marcel Steiner-Curtis

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1 Analysis I IV (an) Prof. Dr. Marcel Steiner-Curtis 2. Februar 206

2 Prof. Dr. Marcel Steiner-Curtis FHNW Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Bahnhofstrasse 6 CH-520 Windisch marcel.steiner@fhnw.ch

3 Liebe Studierende Sie lesen das Vorwort der zweiten Version des Analysis-Skriptums. Gratuliere Sie sind mutiger als die meisten Ihrer Mitmenschen, die beim Anblick von Mathematik bereits das Handtuch werfen. Ich lade Sie hiermit ein, mit mir, den zum Teil beschwerlichen und arbeitsaufwändigen Weg zu gehen, Mathematik zu lernen, zu entdecken, zu spüren, um dann mit Mathematik zu spielen, und last but not least, und deshalb sind Sie ja hier, Mathematik anzuwenden. Den letzten Aspekt sollten wir nie aus den Augen verlieren die Anwendungen der Mathematik. Holen Sie mich aus meinen Träumereien heraus, wenn ich ab und zu beginne, von hochdimensionalen Räumen, nicht-ganzzahligen Dimensionen oder Riemannschen Mannigfaltigkeiten zu schwärmen. In einem solchen Fall wäre ich dann abgespaced, wie es ein Student vor ein paar Jahren zu mir sagte. Bei einem Computer würde in diesem Fall von einer Endlosschlaufe gesprochen. Obwohl wir an einer Fachhochschule sind, möchte ich andererseits den ästhetischen Aspekt der Mathematik nicht ganz aus den Augen lassen. Vorher fiel das Stichwort Computer. Lassen Sie mich meine persönliche Meinung zur Lernweise in Mathematik äussern: Hier an der Fachhochschule ist Mathematik ein Grundlagenfach, das heisst, wir werden die Dinge von der Pike auf lernen. Mein Ziel ist es, dass Sie die grundlegenden Sachverhalte verstehen, anwenden und interpretieren können. Es reicht nicht, wenn Sie einen Taschenrechner oder Computer besitzen, von dem Sie wissen, dass er es im Prinzip kann. Sie sind nicht in einer Klubschule, wo Sie einen Kurs in Microdoof-Analysis belegen. In diesem Zusammenhang möchte ich Sie auffordern, in der Mathematik einen tieferen Sinn zu suchen, und nicht Mathematik nur als sinnloses herumschieben von Hieroglyphen zu betrachten, bei dem ab und zu ein richtiges Resultat herauskommt. Seien Sie immer kritisch und fragen Sie sich, weshalb etwas so oder so ist (vgl. Was ist falsch? in Kapitel A..). Versuchen Sie auch die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Mathematikfächern Analysis, Geometrie, lineare Algebra und Stochastik herzustellen. Die Abgrenzungen zwischen diesen Fächern sind oft willkürlich und historisch bedingt. Welches sind die Grundvoraussetzungen dieses Kurses? Die Antwort ist klar: nicht mehr aber auch nicht weniger als Die Mathematik der technischen Berufsmaturität wie sie durch den Rahmenlehrplan des BBT 2 vorgeschrieben ist. Wenn Sie glauben, Schwächen bezüglich der Berufsmaturamathematik zu haben, dann empfehle ich Ihnen das Buch Die Mathematik der technischen Berufsmaturität von H.R. Schärer, W. Meier und S. Niggli, [25], zur seriösen Aufarbeitung Ihrer Wissenslücken. Es ist mir zutiefst bewusst, dass noch kein Meister vom Himmel gefallen ist. Wir stehen GrundlagenausbildunginMathematikistsehrrelativ.AberwirwerdensichernichtÜberlegungenanstellen, weshalb + = 2 ist, obwohl dies eine sehr interessante, nicht-triviale Frage wäre. Falls Sie gleichwohl an solchen akademischen, weltbewegenden Fragen interessiert sind, verweise ich Sie auf ein Mathematikstudium an der Universität. 2 Bundesamt für Berufsbildung und Technologie i

4 ii hier zusammen am Anfang, Sie als Studierende und ich als Dozent. Versuchen wir gemeinsam den notwendigen Weg zu gehen, um die Besten in unserem Fach zu werden. Wie? ist aber die Frage. Ich kann Ihnen kein Allerweltsrezept geben, aber eines ist sicher: Ohne Arbeit läuft nichts. Ihre Zeit ist sehr knapp, also investieren Sie sie gezielt. Nutzen Sie die zahlreichen Übungslektionen, um möglichst konzentriert an den Aufgaben zu arbeiten. Auch hier gilt: Übung macht den Meister. Ich bin der festen Überzeugung, dass Mathematik nicht gelesen werden kann, sondern geübt werden muss. Lösen Sie die meisten der angebotenen Aufgaben und insistieren Sie, selber eine Lösung zu finden. In der Regel ist es nicht sinnvoll, bereits nach wenigen Minuten vergeblichem Probieren, die Lösungen oder den Nachbar zu konsultieren. Sie könnten dann dem Eindruck verfallen, selber die Entdeckung gemacht und den Lösungsweg gefunden zu haben. Tipp: Seien Sie ehrlich mit sich selber und lügen Sie sich nicht an, indem Sie sich vorgaukeln, die Aufgaben vollständig verstanden zu haben, obwohl Sie einen Lösungsweg nur nachvollzogen haben. Sie sind aus dem Sammler- und Jäger- 3 Zeitalter heraus heutzutage wird entdeckt und entwickelt. Als zukünftiger Ingenieur werden Sie entwickeln müssen und nicht nur nachlesen, was andere vor Ihnen bereits herausgefunden haben. Weiter möchte ich Sie auffordern, immer dann Fragen zu stellen, wenn Sie etwas nicht mehr verstehen. Sie müssen wissen, dass nur diejenigen, die auch etwas begreifen, Fragen stellen. Ich gehe davon aus, dass die Umkehrung dieser Aussage auch zutrifft. Mit den Porträts der Mathematiker und den zusätzlichen Geburts- und Todesjahren, die Sie von Zeit zu Zeit in diesem Skriptum finden werden, bezwecke ich zwei Dinge: Erstens möchte ich Ihnen die Möglichkeit geben, sich ein Bild von der historischen Abfolge mathematischer Entdeckungen machen zu können. Zweitens liegt es mir sehr am Herzen, dass Mathematik für Sie nicht eine leblose, nüchterne Promotionsfrage bleibt, sondern, dass Sie lernen, Mathematik als etwas Spannendes und vor allem Nützliches wahrzunehmen, das von begeisterten Forschern entdeckt wurde und immer noch entdeckt wird. Die Mathematikerporträts stammen von www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/bioginde.html. Auf dieser sehr interessanten Seite finden sich auch zahlreiche biografische Angaben zu den meisten berühmten Mathematikern, denen Sie im Verlaufe Ihres Studiums begegnen werden. Das Skriptum basiert im Wesentlichen auf den vier Analysis-Skripten (vgl. [5] [8]) meines Vorgängers Peter Gschwind, der an der Fachhochschule beider Basel während mehr als dreissig Jahren als Dozent tätig war. Hiermit möchte ich Peter herzlich danken, dass er mir seine Erfahrungen in Form seiner Skripten weitergegeben hat. Wenn ich schon dabei bin, Rosen zu verteilen, bekommt sicher auch meine Frau Robyn einige, wenn nicht die Mehrheit davon. Während der Schwangerschaft unseres ersten Kindes hat sie nämlich den ersten Teil dieses Skriptes nicht nur getippt, sondern weitgehend überarbeitet. Sie sind die n plus ersten Studierenden, die mit diesem Skriptum arbeiten. Urteilen Sie nicht zu hart über den Autor (und die k-ten Studierenden, wobei k {,...,n}), wenn Sie Fehler und Ungereimtheiten finden, sondern teilen Sie mir diese bitte mit. 3 nach Lösungen 2. Februar 206, Marcel Steiner-Curtis

5 Inhaltsverzeichnis Liebe Studierende Inhaltsverzeichnis i iii Grundbegriffe der Mengenlehre. Mengen Mengenrelationen Mengenoperationen Zahlenmengen und Punktmengen Ebene und räumliche Punktmengen Funktionen 2. Beispiele von Funktionen Der Funktionsbegriff Affine Funktionen, Geradengleichung Potenzfunktionen Polynomfunktionen zweiten Grades Eponentialfunktionen Symmetrieeigenschaften von Funktionen Monotonie Beschränkte Funktionen Differenzenquotient Grenzwerte Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwertsätze Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit einer Funktion Singularitäten einer Funktion Verhalten von Funktionen im Unendlichen Differenzialrechnung Tangentenproblem, Ableitung Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Binomischer Satz Ableitung der Potenzfunktion Grundregeln der Differenzialrechnung Ableitung eines Produkts iii

6 iv Inhaltsverzeichnis 4.6 Ableitung eines Quotienten Ableitung der trigonometrischen Funktionen Logarithmen Ableitung der Logarithmusfunktionen Differenzial einer Funktion Ableitung von verknüpften Funktionen Die Kettenregel Ableitung impliziter Funktionen Differenzieren nach Logarithmieren Höhere Ableitungen Differenzierbarkeit einer Funktion Anwendungen der Differenzialrechnung Physik Gleichungen numerisch lösen Fipunkt-Iteration Tangentenverfahren von Newton Uneigentliche Grenzwerte - Regel von de l Hospital Untersuchung von Funktionen Kurvendiskussion Beispiele einer Kurvendiskussion Krümmung, Krümmungskreis, Evolute, Evolvente Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Integrationsregeln Spezielle bestimmte Integrale Allgemeine Flächenberechnungen Das Riemannsche Integral und numerische Integration 5 7. Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summenfolge Numerische Integration Monte-Carlo Integration Umkehrfunktionen 6 8. Definition der Umkehrfunktion Arkusfunktionen (Zyklometrische Funktionen) Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen Hyperbelfunktionen Areafunktionen (Flächenfunktionen) Volumen, Oberflächen- und Bogenlängenberechnungen Volumen von Rotationskörpern Bogenlänge einer Kurve Mantelfläche von Rotationskörpern

7 v Integrationsmethoden 97. Integration durch Substitution Partielle Integration Integration rationaler Funktion - Partialbruchzerlegung Unendliche Reihen Grundbegriffe und Definitionen Das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe Konvergenzkriterien Konvergenzverhalten der hyperharmonischen Reihe Potenzreihen Hauptsatz über Potenzreihen Taylorreihe einer Funktion Geometrische Bedeutung der Taylorreihe Allgemeine Form der Taylorreihe Binomische Reihe Methoden zur Reihenentwicklung Erweiterte Ansatzmethode zur Reihenentwicklung Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen Motivation und Definitionen Geometrische Darstellung Partielle Ableitungen Der Satz von Schwarz Das vollständige Differenzial, Linearisieren Erste Anwendung der Fehlerrechnung Museum of Mathematical Art Ableitung impliziter Funktionen Das vollständige Differenzial einer impliziten Funktion Gradient und Tangentialebene Berechnung des Gradienten Berechnung der Tangentialebene Etremstellen bei mehreren unabhängigen Variablen Notwendige und hinreichende Bedingung Methode der kleinsten Quadrate (lineare Regression) Approimation mit minimalem quadratischen Fehler Approimation einer stückweise stetigen Funktion Approimation von diskreten Funktionen Etremwerte mit Nebenbedingungen Motivation Lagrangemultiplikatoren

8 vi Inhaltsverzeichnis 9 Mehrfache Integrale Flächenberechnungen in kartesischen Koordinaten Verallgemeinerung des Flächenintegrals Doppelintegral Variablensubstitution in einem Mehrfachintegral Berechnung von Trägheitsmomenten Arbeit und Linienintegrale Kurven und Vektorfelder im Raum und in der Ebene Das Linienintegral Linienintegral im Potenzialfeld Differenzialgleichungen Definitionen Die geometrische Bedeutung einer Differenzialgleichung erster Ordnung Problemstellungen mit Differenzialgleichungen Nachprüfen hypothetischer Lösungen - Kontrolle Differenzialgleichungen von Kurvenscharen Integration von Differenzialgleichungen durch Separation Orthogonaltrajektorien Integration von linearen Differenzialgleichungen erster Ordnung Variation der Konstanten Ansatzmethode und Superpositionsprinzip Differenzialgleichungen zweiter Ordnung Allgemeine Betrachtungen zu linearen Differenzialgleichungen Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung Homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung Inhomogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung Zusammenstellung der Lösungsverfahren Differenzialgleichungen in der Mechanik Freier Fall mit und ohne Luftwiderstand Randwertprobleme, Eigenwerte und Eigenfunktionen Die freie Schwingung Die erzwungene Schwingung Bauwerke mathematisch betrachtet Klothoide - Idealer Strassen- und Eisenbahnbau Kettenlinie Eiffelturm Systeme von Differenzialgleichungen Systeme von linearen Differenzialgleichungen DGl höherer Ordnung in ein System. Ordnung umwandeln Partielle Differenzialgleichungen Definitionen und einige Lösungsmethoden Separation der Variablen Lineare partielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung

9 vii Klassifikation partieller Differenzialgleichungen 2. Ordnung Wellengleichung Laplace- und Poissongleichung Wärmeleitungsgleichung A Anwendungen 455 A. Elementare Arithmetik A.. Was ist falsch? A.2 Folgen A.2. Fibonaccifolge A.2.2 Folge von Collatz A.2.3 Summenformeln spezieller endlicher Reihen A.3 Fraktale A.3. Polygone im Kreis A.3.2 Kochsche Kurve - Schneeflocke A.3.3 Sierpinski-Dreieck und -Teppich A.3.4 Mandelbrot und Juliamengen B Tafeln 465 B. Tafel der Grundintegrale Literaturverzeichnis 467 Inde 469

10 viii Inhaltsverzeichnis

11 Kapitel Grundbegriffe der Mengenlehre. Mengen Eine Menge A ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heissen Elemente der Menge. Für ein gewisses Objekt a schreiben wir a A, falls a ein Element von A ist, und a A, falls a kein Element von A ist. Die leere Menge bezeichnen wir mit. Mengen können auf zwei verschiedene Arten angegeben werden, wobei bei gewissen Mengen nicht beide Arten möglich sind. Durch Aufzählen der Elemente. Zum Beispiel: A = { 2,4,5,6}, B = {2,0,5}. Durch Angabe einer definierenden Eigenschaft, die genau den Elementen der Menge zukommt. Zum Beispiel: A = { <, R} oder A = { < und R} N = {,2,3,...} oder N = { Z und > 0} B = { Z und < 0}, Q = { p q p Z, q Z und q 0}. Für die Zahlenbereiche sind folgende Bezeichnungen üblich : N = {,2,3,...} Menge der natürlichen Zahlen ausschliesslich Null N 0 = {0,,2,...} Menge der natürlichen Zahlen einschliesslich Null Z = {..., 2,,0,,2,...} Menge der ganzen Zahlen Q = { p q p Z, q Z und q 0} Menge der rationalen Zahlen R C = {+iy R und y R} Menge der reellen Zahlen Menge der kompleen Zahlen. Manche Autoren betrachten 0 als Element der natürlichen Zahlen. Es ist daher sinnvoll von positiven {,2,3,...} und nicht-negativen {0,,2,3,...} ganzen Zahlen zu sprechen.

12 2 Kapitel. Grundbegriffe der Mengenlehre.2 Mengenrelationen Zwei Mengen A und B heissen gleich, wenn beide Mengen die gleichen Elemente haben. In diesem Fall schreiben wir A = B. { A B A = B B A Eine Menge A heisst Teilmenge von B, als A B bezeichnet, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind. A B A B. Enthält B Elemente, die nicht in A sind, so heisst A echte Teilmenge von B. In diesem Fall schreiben wir A B. Symbolisch wird die Situation wie in Abbildung.2.i dargestellt. A B Abbildung.2.i: A B Beispiel.2.. a. Es gilt N N 0 Z Q R C. b. Es seien A = { > 0 und R} und B = { > 3 und R} gegeben. Dann gilt A B..3 Mengenoperationen Durch Mengenoperationen werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen gebildet. Die Durchschnittssmenge A B ist die Menge der Elemente, die sowohl in A als auch in B sind (vgl. Abbildung.3.ii). A B = { A und B}. Die Vereinigungsmenge A B ist die Menge der Elemente, die entweder in A, in B oder in A B sind (vgl. Abbildung.3.i). A B = { A oder B}. Die Differenzmenge A B ist die Menge der Elemente von A, die nicht zu B gehören (vgl. Abbildung.3.iii). A B = { A und B}. Das Komplement Ā ist die Menge aller Elemente, die nicht zu A gehören (vgl. Abbildung.3.iv). Ā = { A}.

13 .4. Zahlenmengen und Punktmengen 3 A B A B Abbildung.3.i: A B Abbildung.3.ii: A B A B A Abbildung.3.iii: A B Abbildung.3.iv: Ā.4 Zahlenmengen und Punktmengen Die Menge R der reellen Zahlen lässt sich bekanntlich geometrisch als Zahlengerade darstellen. Indem wir den Zahlen 0 und zwei verschiedene Punkte O und E einer Geraden g zuordnen, wird eine Einslänge l = OE festgelegt und der Geraden eine positive Orientierung von O nach E gegeben. Einer reellen Zahl wird dann der Punkt P auf g zugeordnet, der von O den Abstand l hat. Dabei ist die Strecke OP in positiver (bzw. negativer) Richtung abzutragen, wenn positiv (bzw. negativ) ist (vgl. Abbildungen.4.i und.4.ii). Auf diese Weise wird O E P P O E Abbildung.4.i: Der Fall = 2 3 Abbildung.4.ii: Der Fall = 2 3 jeder reellen Zahl eindeutig ein Punkt der Geraden g zugeordnet. Umgekehrt entspricht jedem Punkt P der Geraden g genau eine reelle Zahl 2. Durch diese Identifikation der reellen Zahlen R mit den Punkten auf einer Geraden ist es möglich, Zahlenmengen als lineare Punktmengen darzustellen und umgekehrt. Wegen der Eineindeutigkeit der Zuordnung wird oft zwischen Zahlenmengen und Punktmengen nicht streng unterschieden. Die Orientierung der Geraden wird allgemein durch eine in die positive Richtung weisende Pfeilspitze gekennzeichnet. Beispiel.4.. In Abbildung.4.iii wird die Zahlenmenge A = { n n N} als Punktmenge dargestellt. Beispiel.4.2. In Abbildung.4.iv wird die Zahlenmenge B = { R 0 a} als Punktmenge dargestellt. Zahlenmengen wie die des Beispiels.4.2 heissen Intervalle. Um sie präzis darzustellen, werden spezielle Zeichen verwendet. Je nachdem, ob die Randpunkte zum Intervall gehören, werden folgende Fälle unterschieden: 2 Eine solche umkehrbar eindeutige Zuordnung wird als eineindeutig oder bijektiv bezeichnet.

14 4 Kapitel. Grundbegriffe der Mengenlehre Abbildung.4.iii: A = { n n N} 0 a Abbildung.4.iv: B = { R 0 a} I = { R a b} Beide Randpunkte a und b gehören dem Intervall I an. Ein solches Intervall heisst abgeschlossen und wird durch [a, b] bezeichnet (vgl. Abbildung.4.v). I = { R a < < b} Keiner der beiden Randpunkte a und b gehört dem Intervall I an. Ein solches Intervall heisst offen und wird durch ]a,b[ bezeichnet 3 (vgl. Abbildung.4.vi). I = { R a < b} oder I = { R a < b} Die Randpunkte a und b gehören nicht beide dem Intervall I an. Ein solches Intervall heisst linksoffen oder rechtsoffen und wird durch ]a,b] oder [a,b[ bezeichnet 4 (vgl. Abbildungen.4.vii und.4.viii). a b a b Abbildung.4.v: I = [a,b] Abbildung.4.vi: I =]a, b[ a b a b Abbildung.4.vii: I =]a, b] Abbildung.4.viii: I = [a,b[ Die obigen Intervalle sind durch die Zahlen a und b eingeschränkt und werden deshalb beschränkt genannt. Neben den beschränkten Intervallen sind auch solche zu betrachten, die rechts, links oder beidseits keiner Beschränkung unterworfen sind. Solche unbeschränkte Intervalle stellen wir unter Verwendung des Zeichens 5 dar: ]a, [ = { R > a} [a, [ = { R a} ],a[ = { R < a} ],a] = { R a} ], [ = R. Im allgemeinen heisst eine Menge A beschränkt, wenn sie Teilmenge eines beschränkten Intervalls ist, das heisst, wir können zwei Zahlen a und b finden, so dass A [a,b]. Sonst heisst sie unbeschränkt Beispiel.4.3. Die Menge A = { n Teilmenge des Intervalls ]0, ]. n N} des Beispieles.4. ist beschränkt: Sie ist eine 3 In der Literatur wird häufig die alternative Notation (a,b) für offene Intervalle gebraucht. Wir bevorzugen die Schreibweise ]a, b[, da sie nicht zu einer Verwechslung mit den Koordinaten (a, b) eines Punktes führt. 4 Die entsprechenden alternativen Notationen sind (a,b] und [a,b). 5 Das Zeichnen steht für (positiv) unendlich.

15 .5. Ebene und räumliche Punktmengen 5 Beispiel.4.4. Die Menge N ist unbeschränkt. Eine weitere Definition, die wir in späteren Kapiteln brauchen werden, ist die einer Umgebung. Eine Zahlenmenge U heisst eine Umgebung von einer gewissen Zahl, wenn es ein offenes Intervall ]a,b[ gibt, so dass ]a,b[ U. Beispiel.4.5. Die in Abbildung dargestellte Menge ist eine Umgebung von. Abbildung.4.i: Eine Umgebung von Beispiel.4.6. Die Intervalle ] 2,[ und ] 0 5,0 6[ sind Umgebungen von = 0. Beispiel.4.7. Das Intervall [a,b[ ist weder für a noch für b eine Umgebung, da links von a und rechts von b keine Punkte des Intervalls liegen. Wir können auch einseitige Umgebungen betrachten: Eine Zahlenmenge U heisst eine linksseitige Umgebung von, wenn ]a,] U für ein gewisses a R. Eine Zahlenmenge U heisst eine rechtsseitige Umgebung von, wenn [,b[ U für ein gewisses b R..5 Ebene und räumliche Punktmengen Neben Punktmengen auf einer Geraden sind auch Punktmengen in der Ebene und im Raum zu betrachten. Um solche Punktmengen mathematisch zu erfassen, verwenden wir oft das kartesische Koordinatensystem. Genau gleich wie wir jedem Punkt auf einer Geraden eineindeutig eine reelle Zahl zugeordnet haben, können wir auch jedem Punkt einer Ebene eineindeutig ein geordnetes reelles Zahlenpaar zuordnen. Dazu wählen wir in der Ebene zwei orthogonale Geraden g und g y. Ihren Schnittpunkt heisst Ursprung und wird durch O bezeichnet. Wir wählen einen vom Ursprung verschiedenen Punkt E auf der Geraden g und einen vom Ursprung verschiedenen Punkt E y auf der Geraden g y. Für jeden Punkt P der Ebene gibt es jetzt zwei reelle Zahlen und y, so dass OP = OE +y OE y. Die beiden Zahlen und y entsprechen eineindeutig dem Punkt P. Wir schreiben P(,y) oder (,y) für den Punkt P und nennen und y ihre Koordinaten. Auf diese Weise erhält unsere betrachtete Ebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem, ein sogenanntes kartesisches Koordinatensystem. Die Ebene wird durch R R oder R 2 bezeichnet. Die Viertelebene mit positiven Koordinaten wird oft als erster Quadrant, die im gegenuhrzeigersinn folgenden Viertelebenen als zweiter, dritter und vierter Quadrant genannt. Analog dazu lässt sich auch ein kartesisches Koordinatensystem des Raumes definieren. In diesem Fall wird jeder Punkt durch drei Koordinaten, y und z beschrieben. Dieses Verfahren kann fortgesetzt werden um n-dimensionale Räume R n zu definieren. Später werden wir auch nichtrechtwinklige Koordinatensysteme verwenden, z.b. Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinatensysteme.

16 6 Kapitel. Grundbegriffe der Mengenlehre E E y P(, y) O OE y OE y g y g Abbildung.5.i: Das kartesische Koordinatensystem der Ebene. Beispiel.5.. Die linke Halbebene kann als die Punktmenge H = {(,y) R, y R, 0} dargestellt werden (vgl. Abbildung.5.ii). Beispiel.5.2. Die Menge G = {(,y) Z, y Z} wird durch die Punkte der Ebene mit ganzzahligen Koordinaten dargestellt. Sie heisst das Gausssche Gitter (vgl. Abbildung.5.iii). y Abbildung.5.ii: Die linke Halbebene H y Abbildung.5.iii: Das Gausssche Gitter G Aufgaben Aufgabe.5.. Stellen Sie die folgenden Mengen grafisch dar. Für die Menge C sind a, b, c und d feste reelle Zahlen. Für die Mengen D,E,F und G ist r eine feste positive reelle Zahl. A = {(,y) R, y R, > 0} B = {(,y) y R, [ 2,]} C = {(,y) R, y R, a b, c y d} D = {(,y) R, y R, 2 +y 2 = r 2 } E = {(,y) Z, y Z, 2 +y 2 < r 2 }

17 .5. Ebene und räumliche Punktmengen 7 F = D E G = D E H = {(,y) N, y R} I = {(,y) R, y Z} J = H I K = H I L = {(,y) R, y R, + y } Aufgabe.5.2. Beschreiben Sie die Punktmenge, die in Abbildung.5.iv dargestellt wird. y Abbildung.5.iv: Im Ursprung zentriertes Quadrat mit Seitenlänge 2 Lösungen Lösung.5.. Die Lösungsmengen werden in Abbildungen.5.v bis.5.viii dargestellt. y y y d 2 a b c Abbildung.5.v: Die Lösungsmengen A (links), B (Mitte) und C (rechts).

18 8 Kapitel. Grundbegriffe der Mengenlehre r y r y r y Abbildung.5.vi: Die Lösungsmengen D (links), E (Mitte) und F (rechts). y 0 y 0 y Abbildung.5.vii: Die Lösungsmengen G (links), H (Mitte) und I (rechts). 0 y 0 y y Abbildung.5.viii: Die Lösungsmengen J (links), K (Mitte) und L (rechts).

19 .5. Ebene und räumliche Punktmengen 9 Lösung.5.2. Die ellegante Lösung lautet {(,y) R, y R, +y + y = 2} und eine von vielen anderen Möglichkeiten ist {(,y) R, y R, {,}, y [,]} {(,y) R, y R, y {,}, [,]}.

20 0 Kapitel. Grundbegriffe der Mengenlehre

21 Kapitel 2 Funktionen 2. Beispiele von Funktionen Aufgabe 2... Zeichnen Sie die Grafen der folgenden Funktionen in einem kartesischen Koordinatensystem. a. f() = 2, wobei R b. f() = 2 4+, wobei [,5] c. f() =, wobei [ 5,5] {0} d. f() = , wobei [ 3,4] Lösung 2... Vgl. Abbildungen 2..i und 2..ii. y y 6 5 Abbildung 2..i: Die Grafen y = 2 (links) und y = 2 4+ (rechts). 2.2 Der Funktionsbegriff Es seien zwei nicht leere Mengen X und Y gegeben. Unter einer Funktion f von X nach Y verstehen wir eine Vorschrift, die jedem X genau ein y Y zuordnet. Wir bezeichnen dieses dem Element zugeordnete Element y auch mit f() und nennen es den Wert der

22 2 Kapitel 2. Funktionen y 6 3 y Abbildung 2..ii: Die Grafen y = (links) und y = (rechts). Funktion f an der Stelle oder das Bild von unter f. Das Element wird ein Urbild von f() genannt. Die Menge X heisst die Definitionsmenge oder der Definitionsbereich, Y die Zielmenge von f. Wenn mehrere Funktionen vorhanden sind, schreiben wir X f und Y f statt X und Y. f X Y f Abbildung 2.2.i: Die Zuordnung f ist eine Funktion; Die Zuordnung f ist dagegen keine Funktion Zur präzisen Festlegung einer Funktion f müssen ihre Definitionsmenge X und ihre Zielmenge Y ausdrücklich angegeben werden. Zu diesem Zweck wird häufig die Schreibweise f : X Y verwendet. Das Symbol f() besagt, dass die Funktion f dem Element das Bild f() zuordnet. Zur ausführlichsten und genausten Darstellung einer Funktion f dient die folgende Schreibweise. Beispiel Die Funktion f : X Y f() f : [0, [ R ist diejenige, die jeder nichtnegativen Zahl ihre Quadratwurzel zuordnet. Oft wird das Argument oder die unabhängige Variable und y die abhängige Variable der Funktion f genannt.

23 2.2. Der Funktionsbegriff 3 Eine Funktion f : X Y ordnet nicht nur jedem Element von X ein Element von Y, sondern auch jeder Teilmenge A von X eine Teilmenge f(a) von Y und jeder Teilmenge B von Y eine Teilmenge f (B) von X zu, und zwar wir folgt: f(a) = {f() A} f (B) = { X f() B}. Die Menge f(a) heisst das Bild von A unddie Menge f (B) das Urbild von B. Wir nennen die Menge f(x) den Wertebereich von f. Aufgaben Aufgabe Bestimmen Sie den maimal möglichen Definitionsbereich X und den Wertebereich f(x) für die vier Funktionen von Aufgabe 2... Aufgabe Bestimmen Sie den maimal möglichen Definitionsbereich X und den Wertebereich f(x) für die folgenden Funktionen. a. f() = b. f() = c. f() = 2 d. f() = 3 +2 e. f() = f. f() = g. f() = 4 +5 h. f() = a, wobei a > Lösungen Lösung a. X = R, f(x) = R b. X = [,5], f(x) = [ 3,6] c. X = [ 5,5] {0}, f(x) = ], ] [ 5 5, [ d. X = [ 3,4], f(x) = [ 6 ] 2,6 3 Lösung a. X = R, f(x) = R b. X = R, f(x) = R c. X = [,], f(x) = [0,] d. X = [ 2, [, f(x) = [0, [ e. X = R, f(x) = [4, [ f. X = [ 4,4], f(x) = [ 2,2] g. X = [ 5, [, f(x) = ],4] h. X = [0, [, f(x) = [, [

24 4 Kapitel 2. Funktionen 2.3 Affine Funktionen, Geradengleichung Besonders häufig treten in den Anwendungen Geraden auf, d.h. Grafen von affinen Funktionen. Es sind dies Polynomfunktionen ersten Grades f() = m+b. Die grafische Darstellung y = f() ist bekanntlich eine Gerade mit der Steigung m und dem y-achsenabschnitt b. Die Steigung m und der Steigungswinkel σ sind dabei über die Beziehung m = tan(σ) miteinander verknüpft. Neben der Form y = m+b können wir die Gleichung einer Geraden mit Steigung m, die durch den Punkt P 0 ( 0,y 0 ) geht, auch durch y y 0 0 = m beschreiben(vgl. Abbildung2.3.i). Indem wir diese Geradengleichung nach y auflösen, erhalten wir die uns bekannte Form y = m+y 0 m 0. mit der Steigung m und dem y-achsenabschnitt b = y 0 m 0. y y Normale n y y 0 P 0 σ 0 P y y 0 y 0 P0 Gerade g y = m + b σ b 0 0 Abbildung 2.3.i: Gerade durch den Punkt P 0 ( 0,y 0 ). Abbildung 2.3.ii: Gerade und Normale durch den Punkt P 0 ( 0,y 0 ). Ist eine Gerade g durch die Form y = m g + b gegeben, so sind wir oft vor die Aufgabe gestellt, im Punkt P 0 ( 0,y 0 ) eine senkrechte Gerade, die Normale n, auf diese Gerade zu errichten. Diese Normale ist wiederum eine Gerade, die durch die Gleichung y y 0 0 = m n mit m n m g = beschrieben wird. In der Literatur werden Funktionen der Form f() = m+b oft fälschlicherweise lineare Funktionen genannt. In Übereinstimmung mit der Linearen Algebra bezeichnen wir nur Funktionen der Form f() = m als linear. Grafen von linearen Funktionen gehen alle durch den Ursprung.

25 2.4. Potenzfunktionen Potenzfunktionen Wir beginnen mit der Potenzfunktion f() = a 2. Der Graf y = f() ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, falls a > 0, und nach unten, falls a < 0 (vgl. Abbildung 2.4.i). Die Veränderung der Konstanten a bewirkt eine Streckung y a > 0 y c = c = 0 a < 0 c = 2 Abbildung 2.4.i: Der Graf y = a 2 Abbildung 2.4.ii: Der Graf y = a 2 +c oder eine Stauchung der Parabel in der y-richtung. Jetzt betrachten wir die Funktion f() = a 2 +c. Die additive Konstante c bewirkt eine Verschiebung in Richtung der y-achse (vgl. Abbildung 2.4.ii). Aufgaben Aufgabe Untersuchen Sie die Grafen der Funktion f() = α, indem Sie zuerst die Grafen für α =,2,3,4 zeichnen und dann auch beliebige Werte von α > 0 betrachten. Aufgabe Untersuchen Sie die Grafen der folgenden Funktion a. f() = c. b. f() = c 2.

26 6 Kapitel 2. Funktionen Aufgabe Geben Sie Prinzipskizzen der Grafen der folgenden Funktionen in drei Schritten, indem Sie von den jeweiligen Grundfunktionen f() = α ausgehen, den konstanten Faktor berücksichtigen und schliesslich die additive Konstante addieren. Vermeiden Sie punktweise Berechnungen! Bestimmen Sie ferner den maimal möglichen Definitionsbereich und den Wertebereich jeder Funktion. a. f() = b. f() = c. f() = d. f() = e. f() = f. f() = g. f() = c +b 2n h. f() = c +b, 2n+ wobei c > 0, b < 0 und n N. Lösungen Lösung Die Grafen der Funktion f() = α werden für die Werte α =,2,3,4 in Abbildung 2.4.iii dargestellt. Im Allgemeinen gilt: wenn α eine ungerade ganze Zahl ist, dann α = 2 α = 4 y α = α = 3 Abbildung 2.4.iii: Der Graf y = α geht der Graf vom dritten Quadranten in den ersten Quadranten, und wenn α eine gerade ganze Zahl ist, dann geht der Graf vom zweiten Quadranten in den ersten Quadranten.

27 2.4. Potenzfunktionen 7 Lösung Vgl. Abbildungen 2.4.iv und 2.4.v. y c = 2.7 c = 2.7 y c = 0.5 c = c = c = 0.5 Abbildung 2.4.iv: Einige Grafen der Form y = c. y y c = 0.3 c = 2.7 c = c = 0.3 c = c = 2.7 Abbildung 2.4.v: Einige Grafen der Form y = c 2.

28 8 Kapitel 2. Funktionen Lösung Die Grafen der angegebenen Funktionen werden in Abbildungen 2.4.vi bis 2.4. dargestellt. Die entsprechenden Definitions- und Wertebereiche sind die Folgenden. a. X f = R, f(x f ) = R b. X f = R, f(x f ) = ],] c. X f = [0, [, f(x f ) = ], 2] d. X f = R {0}, f(x f ) = ],[ e. X f = R {0}, f(x f ) = R { 2} f. X f = ]0, [, f(x f ) = ],[ g. X f = R {0}, f(x f ) = ],b[ h. X f = R {0}, f(x f ) = R {b} y y = 3 y y = 4 y = y = 2 3 y = y = 2 4 Abbildung 2.4.vi: Die Grafen y = (links) und y = (rechts). y y = 3 2 y y = 2 2 y = y = y = 4 2 y = Abbildung 2.4.vii: Die Grafen y = (links) und y = 4 + (rechts). 2

29 2.4. Potenzfunktionen 9 y y y = 2 5 y = y = y = y = y = 5 Abbildung 2.4.viii: Die Grafen y = (links) und y = (rechts). y y y = 2n y = 2n y = c 2n y = c 2n + b y = c 2n y = c 2n + b Abbildung 2.4.i: Einige Grafen der Form y = c 2n +b. Links ist c = 4, b =.5 und n =, rechts ist c = 4, b =.5 und n = 4. y y y = c 2n+ y = c 2n+ y = y = 2n+ c 2n+ + b y = y = 2n+ c 2n+ + b Abbildung 2.4.: Einige Grafen der Form y = c 2n+ +b. Links ist c = 4, b =.5 und n =, rechts ist c = 4, b =.5 und n = 4.

30 20 Kapitel 2. Funktionen 2.5 Polynomfunktionen zweiten Grades Eine allgemeine Polynomfunktion zweiten Grades hat die Form f() = a 2 +b+c, wobei a,b,c R und a 0. Wir möchten den Graf dieser Funktion in aller Allgemeinheit diskutieren. Zuerst formen wir die Funktion mit der Methode der quadratischen Ergänzung um, damit wir sie auf einen bereits besprochenen Fall zurückführen können. f() = a 2 +b+c = a ( 2 + ba ) +c ( = a + b ) 2 +c b2 2a 4a ( = a + b ) 2 + 4ac b2 2a 4a Die Kurve y = f() ist also eine Parabel, die um b 4ac b2 2a nach links und um 4a nach oben verschoben, und um den Faktor a gegenüber der Standardparabel f() = 2 gestreckt ist. Der Scheitelpunkt der Parabel befindet sich bei Damit lässt sich der Graf sofort zeichnen. ( S b ) 2a, 4ac b2. 4a Beispiel Wir betrachten die Polynomfunktion f() = f() = = 2 ( 2 32 ) ( = 2 3 ) ( = 2 3 ) Obige quadratische Ergänzung erlaubt es uns jetzt, den Grafen der Funktion zu zeichnen (vgl. Abbildung 2.5.i). Aus der quadratischen Ergänzung lässt sich nun die bekannte Formel für die beiden Nullstellen einer Polynomfunktion zweiten Grades herleiten. Es gilt ( f() = a 2 +b+c = a + b ) 2 + 4ac b2 2a 4a = 0

31 2.5. Polynomfunktionen zweiten Grades 2 y S( 3 4, 8 ) 2 Abbildung 2.5.i: Der Graf y = und damit folgt ( a + b ) 2 = 4ac b2 2a 4a ( + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2 + b 2a = ± = b2 4ac 4a b 2 4ac 4a 2 = ± b 2 4ac. 2a Damit erhalten wir die uns bekannte Formel zum Aufsuchen der Nullstellen einer Polynomfunktion zweiten Grades = b+ b 2 4ac 2a und 2 = b b 2 4ac. (2.5.a) 2a WenndieDiskriminanteb 2 4acgleichNullist,dannbesitztdieFunktionf() = a 2 +b+c die doppelte Nullstelle 0 = b 2a ; wenn b2 4ac negativ ist, dann besitzt die Funktion f() = a 2 +b+c keine reellen Nullstellen, sondern zwei komplee Nullstellen. Aufgaben Aufgabe Bestimmen Sie den Grafen der folgenden Funktionen. Geben Sie für jede Funktion den maimal möglichen Definitionsbereich und den Wertebereich an. a. f() = b. f() = c. f() = Aufgabe Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und den Grafen der Parabel wobei c eine konstante reelle Zahl ist. f() = 2 2 c+ c2 2c, 2

32 22 Kapitel 2. Funktionen Aufgabe Bestimmen Sie die Gleichung der Kurve, auf der die Scheitelpunkte der Parabeln mit der Gleichung y = a 2 +b bei variablem b liegen. Aufgabe Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach auf. a a = b 2 a 2 b. 2 2a+a 2 = a b c. (a ) 2 +( b) 2 (a ) 2 ( b) 2 = a2 +b 2 a 2 b 2 Aufgabe Zerlegen Sie die folgenden Ausdrücke in Linearfaktoren. a b. 2 a b+ab Aufgabe Finden Sie die quadratischen Gleichungen, welche die folgenden Lösungen besitzen. a. a und a b. 3 und 2 Aufgabe Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach z auf. a. z 4 3z = 0 b. z z +2 = 0 c. z a z = ab+b 2, wobei a,b > 0 d. z +2 2z 2 2z +2 = 0 Lösungen Lösung Die Grafen der angegebenen Funktionen sind in den Abbildungen 2.5.ii bis 2.5.iv dargestellt. Die entsprechenden Definitions- und Wertebereiche sind die Folgenden. a. X f = R, f(x f ) = [ 2, [ c. X f = R, f(x f ) = [ 3, [ b. X f = R, f(x f ) = ],4] Lösung Der Scheitelpunkt befindet sich im Punkt (c, c). Der Graf der Parabel wird für verschiedene Werte von c in Abbildung 2.5.v dargestellt. y S( 3, 4) y 5 4 S( 2, 2) 5 5 Abbildung 2.5.ii: y = Abbildung 2.5.iii: y = 2 6 5

33 2.6. Eponentialfunktionen 23 y y 3 S(2, 3 ) Abbildung 2.5.iv: y = Abbildung 2.5.v: y = 2 2 c+ c2 2c 2 Lösung Die Parameterdarstellung der Kurve ist ((b),y(b)) = ( b 2a, b2 4a ). Die Funktionsgleichung lautet y = a 2. Lösung a. = 2 (a±b) 2ab c. = 0 oder = a+b a± a b wenn a > b b. = a wenn a = b a±i b a wenn a < b Lösung (Es bezeichne i =.) a. (2+5)(2 ) b. ( a)( b) Lösung a. 2 a 2 = 0 b. 2 6 = 0 Lösung a. z { 3, 2,2,3} b. z = c. z = (a+b) 2 d. z {2,4} 2.6 Eponentialfunktionen Die Eponentialfunktionen f() = a sind von den Potenzfunktionen f() = a α klar zu unterscheiden. Potenzfunktionen haben eine variable Basis und einen konstanten Eponent; Eponentialfunktionen haben eine konstante Basis und einen variablen Eponent.

34 24 Kapitel 2. Funktionen Aufgabe Aufgabe Bestimmen Sie die Grafen der beiden Funktionen ( ) f() = 2 und f() =. 2 Durch Verallgemeinerung erhalten wir eine Übersicht über den Verlauf der Kurve der Funktionen f() = a für die verschiedenen Werte von a > 0. Lösung Lösung Vgl. Abbildungen 2.6.i und 2.6.ii. y y Abbildung 2.6.i: y = 2 Abbildung 2.6.ii: y = ( 2 ) 2.7 Symmetrieeigenschaften von Funktionen Die Symmetrien, die hier in Frage kommen, sind nicht Symmetrien der Kurve als solche, sondern Symmetrien bezüglich dem Koordinatensystem. Definition 2.7. (Symmetrie einer Funktion). a. Eine Funktion f heisst gerade, wenn f( ) = f() für alle X f, das heisst, wenn ihr Graf bezüglich der y-achse symmetrisch ist. b. Eine Funktion f heisst ungerade, wenn f( ) = f() für alle X f, das heisst, wenn ihr Graf im Ursprung eine Punktsymmetrie besitzt. Beispiel Es seien a,c R gegeben. Die Funktion f : R R a 2 +c, ist gerade. Ihr Graf wird in Abbildung 2.7.i dargestellt. Beispiel Es seien a,c R gegeben. Die Funktion f : R R a 3 +c ist genau dann ungerade, wenn c = 0. Ihr Graf wird in Abbildung 2.7.ii dargestellt.

35 2.8. Monotonie 25 y y a 3 c a 3 Abbildung 2.7.i: y = a 2 +c Abbildung 2.7.ii: y = a 3 Aufgaben Aufgabe Bestimmen Sie die Symmetrieeigenschaften folgender Funktionen. a. f() = b. f() = 2 3 sin() c. f(u) = u u 3 2u+5 d. f() = cos()sin 2 () e. f() = 2 sin(2) f. f(η) = tan(η)+cos(η) g. f() = +2 h. f() = 2 (2 +2 3) i. f(z) = z +z j. f() = sin( ) k. f() = 3, wobei [ 3,3] l. f() = Lösungen Lösung a. gerade b. ungerade c. weder gerade noch ungerade d. gerade e. weder gerade noch ungerade f. weder gerade noch ungerade g. gerade h. gerade i. weder gerade noch ungerade j. gerade k. weder gerade noch ungerade l. ungerade 2.8 Monotonie Definition 2.8. (Monotonie). Eine Funktion f heisst in einem Intervall I

36 26 Kapitel 2. Funktionen a. monoton wachsend, wenn für beliebige Werte und 2 in I mit < 2 gilt f( ) f( 2 ). (2.8.a) b. monoton fallend, wenn für beliebige Werte und 2 in I mit < 2 gilt f( ) f( 2 ). (2.8.b) Wir sprechen von einer strengen Monotonie, wenn die Bedingungen 2.8.a und 2.8.b durch die Bedingungen f( ) < f( 2 ) und f( ) > f( 2 ) ersetzt werden können. Beispiel Die Eponentialfunktion f : R R 2, ist streng monoton fallend (vgl. Abbildung 2.8.i). Beispiel Die Wurzelfunktion f : [0, ] R ist streng monoton wachsend (vgl. Abbildung 2.8.ii). y y f( ) f( 2 ) f( 2 ) f( ) 2 2 Abbildung 2.8.i: y = 2 Abbildung 2.8.ii: y = 2.9 Beschränkte Funktionen Eine Funktion f heisst beschränkt, wenn die Beträge der Funktionswerte nicht über einen gewissen endlichen Betrag hinausgehen, das heisst, es gibt eine reelle Zahl C, so dass gilt. Beispiel Die Funktion ist beschränkt (vgl. Abbildung 2.9.i). f() < C für alle X f f : R R sin()

37 2.0. Differenzenquotient 27 y.5.5 Abbildung 2.9.i: y = sin() 2.0 Differenzenquotient Bei der Untersuchung einer Funktion kommt es meistens weit weniger darauf an, ihre Werte an vorgegebenen Stellen als vielmehr die Veränderung dieser Werte bei Veränderung des Arguments zu kennen. Ein erster Schritt in dieser Richtung besteht darin, ein Mass für die Steilheit der Kurve einer Funktion zu definieren. Es seien eine Funktion f und zwei verschiedene Punkte P (,y ) und P 2 ( 2,y 2 ) auf ihrem Grafen gegeben. Dann gelten y = f( ) und y 2 = f( 2 ). Durch die Festsetzungen = 2 und y = y 2 y können wir die Steigung der Sekante durch P und P 2 wie folgt ausdrücken tan(σ) = y = y 2 y = f( 2) f( ), 2 2 wobei σ der Winkel zwischen der -Achse und der Sekante durch P und P 2 bezeichnet (vgl. Abbildung 2.0.i). Wenn wir = setzen, erhalten wir den Ausdruck der Differenzenquotient genannt wird. y = f(+ ) f(), y f( 2 ) P 2 f( ) P σ y 2 Abbildung 2.0.i: Die Sekante durch P und P 2

38 28 Kapitel 2. Funktionen Aufgabe Aufgabe Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der Funktion f() = 2 0, wobei = und = 4, 2 und. Machen Sie eine Zeichnung der entsprechenden Sekanten. Lösung Lösung Die Differenzenquotienten sind 0.6, 0.4 und 0.3. Die Sekanten werden in Abbildung 2.0.ii dargestellt. y Abbildung 2.0.ii: y = 2 0 Beispiel Im Weiteren leiten wir einen allgemeinen Ausdruck für den Differenzenquotienten der Polynomfunktion zweiten Grades her. Es sei f() = a 2 +b+c, wobei a, b und c konstante reelle Zahlen sind. Dann gilt y = f(+ ) f() = a(+ ) 2 +b(+ )+c (a 2 +b+c) = a 2 +2a +a( ) 2 +b+b +c a 2 b c = 2a +a( ) 2 +b und somit y = 2a+a +b. Damit sind wir in der Lage, irgendeine Sekantensteigung bei einer Parabel zu bestimmen. Beispiel Wir betrachten die Funktion f() = = 2 ( + 3 ) Laut der obigen Berechnung ist die Sekantensteigung ihres Grafen y = erhalten wir die folgende Tabelle: = Für y σ

39 2.0. Differenzenquotient 29 Der Ausdruck y y = bleibt sogar sinnvoll für = 0: Wir erhalten = 7 und σ = 8.87, welche die Steigung der Tangente im Punkte (,4) darstellen. Diese Steigung ist ein Mass für die lokale Steilheit der Kurve y = f(). Aufgaben Aufgabe Bilden Sie den Differenzenquotienten der Funktion f(t) = 2t 2 4t+. Aufgabe Berechnen SiedenDifferenzenquotienten von f() = ander Stelle = für = 8, 6, 3 und. Zeichnen Sie den Grafen der Funktion zusammen mit den entsprechenden Sekanten. Lösungen Lösung t+2 t 4 Lösung Die Differenzquotienten sind 0.4, 0, 0.6 und. Die Sekanten werden in Abbildung 2.0.iii dargestellt. y Abbildung 2.0.iii: y = Im folgenden Beispiel sehen wir, dass die Tangentensteigung sich nicht immer so einfach bestimmen lässt. Beispiel Es sei die Funktion f() = gegeben. Der Differenzenquotient lautet y = f(+ ) f() + =. Lassen wir hier gegen null gehen, so erhalten wir den unbestimmten Ausdruck 0 0. Erst eine Umformung mit anschliessendem Kürzen durch erlaubt die Berechnung der Tangen-

40 30 Kapitel 2. Funktionen tensteigung. y + = + = = = + ( + + ) Jetzt, wenn wir gegen 0 streben lassen, erhalten wir die Tangentensteigung 2. Aufgaben Aufgabe Bestimmen Sie den Differenzenquotienten und die Tangentensteigung der Funktion f() = an der Stelle = für = 0., 0.0, 0.00 und 0. Veranschaulichen Sie sich die Zusammenhänge in einem Grafen. Aufgabe Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der folgenden Funktionen an der Stelle und formen Sie so um, dass durch gekürzt werden kann. a. f() = 4 2 b. f() = c. f() = + 2 d. f() = 2 e. f() = f. f() = + Lösungen Lösung Die Differenzenquotienten und die Tangentensteigung werden in der folgenden Tabelle dargestellt. Lösung y a (+ ) 2 d. 2 (+ ) b. + + (+ ) e. ( + + )( + + ) c. 2 (+(+ ) 2 )(+ 2 ) f. 2 ( + + )( + )( + + )

41 2.0. Differenzenquotient 3 Die Aufgabe zeigt beispielhaft, wie wir vorgehen müssen, um den Fall der Tangente zu behandeln. Wir können im Allgemeinen nicht einfach = 0 setzen, weil dann unbestimmte Ausdrücke entstehen können. Die Beispiele sollen eine Vorschau darstellen, wie für die Bestimmung der Tangentensteigung vorgegangen wird. Um dies ganz allgemein durchführen zu können, sind aber noch viele Vorarbeiten nötig, wie zum Beispiel die Herleitung des Grenzwertbegriffs. Wir schliessen deshalb vorderhand mit der Bestimmung der Tangentensteigung ab und wenden uns den Grenzwerten zu.

42 32 Kapitel 2. Funktionen

43 Kapitel 3 Grenzwerte 3. Grenzwerte von Zahlenfolgen Wir beginnen das Studium von Zahlenfolgen mit dem Beispiel 0.3, 0.33, 0, 333, ,... Das erste Glied bezeichnen wir durch a, das zweite durch a 2, und so weiter. Die Zahlenfolge selber wird durch (a n ) n N oder einfach (a n ) bezeichnet. Das Muster der Zahlenfolge kann durch die folgende Formel ausgedrückt werden. a n = } {{ } = n Jedes Glied a n der Zahlenfolge ist grösser als das vorangehende, d.h. a n < a n+. Die Glieder überschreiten den Wert 3 jedoch nie: n k= 3 0 k a n < 3 für alle n N. Die Zahl 3 zeichnet sich von 0.4 oder dadurch aus, dass die Glieder der Zahlenfolge dieser Zahl beliebig nahe kommen. Anders gesagt kann die Differenz a n 3 beliebig klein gemacht werden, wenn n nur gross genug gewählt wird. Wir nennen 3 den Grenzwert der Zahlenfolge. Symbolisch schreiben wir dafür a n 3 für n oder lim n a n = 3. Im Allgemeinen definieren wir den Grenzwert einer Zahlenfolge wie folgt. Definition 3... Die Zahlenfolge (a n ) n N hat den Grenzwert l, wenn die Differenz a n l beliebig klein gemacht werden kann. In diesem Fall sagen wir, dass die Zahlenfolge gegen den Grenzwert l konvergiert. Sonst sagen wir, dass sie divergiert. Beispiel 3... Es sei (a n ) n N die Zahlenfolge 2, 3 2, 4 3,..., das heisst a n = n+ n für alle n N. 33

44 34 Kapitel 3. Grenzwerte Obwohl die Glieder der Zahlenfolge immer kleiner werden, bleiben sie grösser als, da der Zähler stets um grösser ist als der Nenner. Mit wachsendem n wird aber die Differenz an n+ = n = n beliebig klein. Anders gesagt hat die Zahlenfolge den Grenzwert lim a n =. n Beispiel Die Zahlenfolge,,,,,... ist divergent. Wegen dem Vorzeichenwechsel wird eine solche Folge alternierend genannt. ist eine Nullfolge, das heisst, sie kon- Beispiel Die Folge der Zahlen a n = ( ) n n vergiert gegen 0. Beispiel Die Zahlenfolge (a n ) n N, deren n-tes Glied durch die Formel a n = 2n für alle n N gegeben ist, konvergiert gegen keine Zahl, das heisst, sie ist divergent. Gleichwohl können wir eine Aussage über das Verhalten ihrer Glieder bei grossem n machen: Für jede positive Zahl C gibt es einen Inde n 0, so dass Wir schreiben a n > C für alle n > n 0. lim a n = n und sagen, die Zahlenfolge habe einen uneigentlichen Grenzwert. Oft können Grenzwerte erst nach einiger Umformung bestimmt werden, wie es in den folgenden Beispielen der Fall ist. Beispiel Es sei a n = n 2n+ für alle n N. Dividieren wir Zähler und Nenner durch n, erhalten wir a n = 2+ n 2 für n, das heisst, die Zahlenfolge (a n ) n N hat den Grenzwert 2. Beispiel Dieses Mal werden Zähler und Nenner durch n 2 dividiert: 2n 2 n+ 2 n lim n n 2 = lim + n 2 + n + = 2 n 2

45 3.. Grenzwerte von Zahlenfolgen 35 Beispiel 3..7 (Fibonaccifolge). Die Fibonaccizahlen sind rekursiv definiert a = a 2 = und a n+2 = a n+ +a n für n N. Damit ergibt sich die Folge,,2,3,5,8,3,2,34,55,89,44,... Wir wollen hier nur eine interessante Eigenschaft der Fibonaccizahlen erwähnen. Der Grenzwert des Quotienten zweier aufeinander folgenden Fibonaccizahlen konvergiert gegen den Goldenen Schnitt a n+ lim = n a n 5. 2 Mehr interessante und höchst erstaunliche Tatsachen (z.b. Fragen zur Kaninchenvermehrung oder der Aufbau von Sonnenblumen) rund um die Fibonaccifolge sind im Kapitel A.2. zu finden. Abbildung 3..i: Leonardo Pisano Fibonacci, 70?-250?;80? Beispiel 3..8 (Folge von Collatz). Eine seit längerer Zeit unbewiesene Vermutung (vgl. Vermutung A.2.) rund um die Folge von Collatz finden Sie im Kapitel A.2.2. Aufgaben Aufgabe 3... Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. 2 a. lim n n 0 5 n b. lim n n 2 c. lim n 0 n n 2 + d. lim n n+ 2 n 3 e. lim n 0n 2 +n Wenn Sie einen Beweis finden, sind Sie auf der Stelle im erlauchten Kreise der Mathematiker eine Berühmtheit.