Modulhandbücher. der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät. der Universität zu Köln. für das Fach Mathematik

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1 Modulhandbücher der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität zu Köln für das Fach Mathematik im Studiengang Bachelor of Arts mit bildungswissenschaftlichem Anteil und im Master of Education für das Studienprofil Lehramt an Haupt-, Real und Gesamtschulen (Stand: )

2 Modulhandbuch für das Fach Mathematik im Studiengang Bachelor of Arts mit bildungswissenschaftlichem Anteil Vorbemerkung Im Folgenden werden zunächst die Module HR-M-B1 und HR-M-B4 beschrieben. Für die fachwissenschaftlichen Aufbaumodule I-IV (HR-M-B2, HR-M-B3, HR-M-B5 und HR-M-B6) gilt folgendes: Die möglichen (vierstündigen) Vorlesungen (mit zugehörigen zweistündigen Übungen) gehören zu einem Vorlesungspool. Dieser wird anhand einiger Beispiele beschrieben. Im Modul HR-M-B3 wird eine entsprechend gekürzte zweistündige Vorlesung (mit zugehörigen zweistündigen Übungen) angeboten. Die Vorlesungen haben keine geplanten Gruppengrößen, die Übungen und Tutoriumsgruppen werden von Studierenden besucht werden. An Seminaren sollen nicht mehr als 15 Studierende teilnehmen. Titel des Moduls: Grundlagen der Mathematik HR-M-B1 360 h c) Tutorium Sem. Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Verfahren der Mathematik Kenntnis verschiedener Beweismethoden Mathematische Sachverhalten angemessen formulieren können Wintersemester Tutorium 60 h Einführung in die Sprache und in die Methoden der Mathematik, z. B. Grundbegriffe der Mengenlehre, Logik und Algebra sowie Beweisverfahren. Die Entwicklung und Einübung der Grundbegriffe und Methoden findet anhand geeigneter mathematischer Inhalte, etwa der Zahlentheorie und Geometrie statt. Vorlesung mit integrierten Übungen und einem zusätzlichen Tutorium Formal: keine - Die Zulassung zur erfordert die erfolgreiche Bearbeitung der wöchentlichen Übungsaufgaben

3 5 %

4 Titel des Moduls: Grundlagen der Didaktik der Mathematik HR-M-B4 30 h c) Medienpraktikum d) Seminar Sem. Blockveranstaltung 30 h VL und Üb 120 h Praktikum 60 h Seminar 0 h Kenntnis von grundlegenden Problemen und Resultaten der Didaktik der Mathematik zum Lehren und Lernen von Mathematik, Kennenlernen verschiedener Arten mathematikdidaktischer Argumentationen und Begründungen, Verfügen über eine reflexiv-kritische Distanz zum Mathematikunterricht Kenntnis und Einschätzung der Möglichkeiten des Einsatzes digitaler und nicht-digitaler Medien für das Erlernen von Mathematik Probleme und Charakteristika beim Lehren und Lernen von Mathematik (sowohl von Schülern beim Lernen von Mathematik als auch in der Geschichte der Mathematik - etwa bzgl. der Auffassung und dem Bewusstsein von Mathematik, der Entwicklung von Begriffen und der Begründung von Aussagen), Kriterien für die Beurteilung von Aufgaben und Unterrichtssequenzen, prozessbezogene Kompetenzen (wie Problemlösen, Modellieren, Argumentieren), Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht (z. B. Dynamische Geometriesoftware, Tabellenkalkulation, Computeralgebrasystem und ihre Chancen und Risiken) u.ä. Vorlesung mit Übungen, Blockveranstaltung und Seminar Formal: keine (1) zur Vorlesung - Die Zulassung zur erfordert die erfolgreiche Bearbeitung der wöchentlichen Übungsaufgaben (2) Bearbeitung der Aufgaben im Medienpraktikum (3) Seminarvortrag und regelmäßige Teilnahme an den Seminarsitzungen, erfolgreiche Teilnahme am Medienpraktikum und angemessener Vortrag im Seminar 30 %

5 Beispiele für den Vorlesungspool Lineare Algebra (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden der linearen Algebra Beherrschung des Rechnens mit Vektoren Anwendungen in verschiedenen Gebieten der Mathematik Vektorräume, Basen, Dimension, lineare Gleichungssysteme, lineare Abbildungen und Matrizen, Skalar- und Vektorprodukt u.ä. Vorlesung mit Übungen

6 Analysis (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden der Analysis Beherrschung der Techniken des Differenzierens und Integrierens Anwendungen in verschiedenen Bereichen kennen Reelle Zahlen, Folgen, Reihen, Grenzwerte, stetige Funktionen, Differentiation und Integration, die elementaren Funktionen u.ä. Vorlesung

7 Geometrie (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden der euklidischen Geometrie Beherrschung des Umganges mit Abbildungen und geometrischen Relationen Kennenlernen der Bedeutung eines deduktiv-axiomatischen Aufbaus einer mathematischen Theorie Grundbegriffe der euklidischen Geometrie, insbesondere der Bewegungsbegriff, Klassifizierung der euklidischen Bewegungen, axiomatischer Aufbau der Theorie u.ä. Vorlesung

8 Grundlagen der Geometrie (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis des Zusammenhanges zwischen analytischer und synthetischer Geometrie Kenntnis eines begrifflich gestuften Aufbaus der Geometrie Erwerb einer Sichtweise vom höheren Standpunkt auf die Schulgeometrie Stufenaufbau der Geometrie: Inzidenzgeometrie (affine Ebenen, Algebraisierung und Darstellung als Koordinatenebenen) - metrische Geometrie (Orthogonalitätsrelationen), Kollineationen und deren Klassifizierung (Dilatationen, achsiale Kollineationen, Achsenaffinitäten, orthogonalitätstreue Kollineationen) u.ä. Vorlesung

9 Numerik (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden Numerik Beherrschung von Techniken der Approximation und Interpolation Anwendungen numerischer Methoden in verschiedenen Gebieten der Mathematik Zahldarstellungen und Fehleranalyse, Interpolation, numerische Differentiation und Integration, Auflösung linearer Gleichungen, lineare Optimierung u.ä. Vorlesung

10 Zahlentheorie (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden der Zahlentheorie Beherrschung verschiedener sprachlicher Ebenen, um zahlentheoretische Probleme anzugehen (Kongruenzen, Gruppentheorie etc.) Kenntnis von Beispielen für Anwendungen (etwa in der Kryptographie) Teilbarkeitstheorie, Primzahlen und Primzahlprobleme, Kongruenzen und Restklassen, Restklassenringe und - körper, díophantische Gleichungen, chinesischer Restsatz, Eulersche phi-funktion, Dezimalzahldarstellung von rationalen Zahlen, quadratische Reste u.ä. Vorlesung

11 Wahrscheinlichkeitstheorie (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis der grundlegenden Probleme, Konzepte und Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie Kenntnis des Zusammenhanges zwischen den Begriffen der relativer Häufigkeit und der Wahrscheinlichkeit Beherrschung der Wahrscheinlichkeitsrechnung in verschiedenen Anwendungen Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeitsräume, Zufallsvariable (diskrete und stetige), Erwartungswert und Varianz, Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Gesetze der großen Zahlen, u.ä. Vorlesung

12 Funktionentheorie (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden der Funktionentheorie Beherrschung der Differentiation und Integration im Komplexen vergleichende Bewertung mit der reellen Analysis Anwendungen (etwa in der nicht-euklidischen Geometrie) Komplexe Zahlen, lineare und halblinearetransformationen, stetige Funktionen, Holomorphie, komplexe Integration (Cauchyscher Intergalsatz), die elementaren Funktionen, ganzrationale und ganz transzendente Funktionen, u.ä. Vorlesung

13 Mathematische Kristallographie (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden der mathematischen Kristallographie Beherrschung der dazugehörigen Techniken Anwendungen in verschiedenen Gebieten der Mathematik, Kunst und Naturwissenschaft Grundbegriffe der euklidischen Geometrie, Bewegungen der Ebene und des Raumes, gruppentheoretische Eigenschaften der Bewegungsgruppen, Klassifikation der Bandornamente und der Tapetengruppen. Einblicke in die Klassifikation dreidimensionaler Kristallstrukturen, Zusammenhänge mit Kunsthandwerk und Kristallographie u.ä. Vorlesung und Übungen

14 Elementare Topologie (Aufbaumodul I-IV) b) Üb Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden der Topologie elementare Einblicke in ein modernes Gebiet der Mathematik Sensibilität für topologische Fragestellungen. Anschauliche Einführung topologischer Objekte wie Knoten, Flächen, Körper, Sphären etc., topologischer Raum und Homöomorphie, Teilraum-, Quotienten-, Produkt-, Summentopologie, alternative Darstellungen topologischer Räume und Etablierung konkreter Homöomorphien, Klassifikation geschlossener Flachen, Fundamentalgruppe und Anwendungen auf Homöomorphiefragen u.ä. Vorlesung und Übungen

15 Klassische Kurven (Aufbaumodul I-IV) Kenntnis verschiedener klassischer Kurven, ihrer Eigenschaften und wechselseitigen Verwandtschaftsverhältnisse Anwendungen klassischer Kurven in Kinematik, Mechanik und Ingenieurwissenschaft Panoptikum klassischer Kurven und ihrer grundlegenden Eigenchaften wie etwa Kegelschnitte, Konchoiden, Kissoiden, Spiralen, Quadratrix, Zykloiden, Kaustiken, Lemniskoiden, Strophoide, Deltoide und Lösung der drei klassischen Problem etc., Anwendung euklidischer Geometrie zur Etablierung allgemeiner Verwandtschaften wie Hüllkurven, Evolute, Evolvente, Fußpunktkurve, Polhodie und Herpolhodie, Illustrationen mit Hilfe dynamischer Geometrie, Kurven aus der Kinematik und der Mechanik, wie Koppelkurven, Traktrix, Planetenbahnen u.ä. Vorlesung und Übungen

16 Differentialgleichungen (Aufbaumodul I-IV) b) Üb Wissen um die zentrale Rolle von Differentialgleichungen für die Anwendung von Mathematik Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Methoden für die Behandlung von Differentialgleichungen und Beherrschung der dazugehörigen Techniken. Einführung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen durch Anwendungen in Physik, Biologie, Chemie, Logistik, etc., Illustration durch didaktische DGL-Software, Lösbarkeit und elementare Lösungsmethoden, Vektorfelder, numerische Lösungsverfahren wie das Euler-Verfahren, Zusammenhänge mit linearer Algebra, diskrete dynamische Systeme, Anwendungen in der klassischen Mechanik, wie etwa Resonanz, Keplersche Gesetze, Drehimpulserhaltung, Euler-Lagrange Gleichung in der Variationsrechung u.ä. Vorlesung

17 Musterstudienplan für den Studienbereich Mathematik im Bachelorstudiengang mit dem Studienprofil Lehramt an Haupt-, Real- und Gesamtschulen Sem. HR-M-B1 HR-M-B2 HR-M-B3 HR-M-B4 HR-M-B5 HR-M-B6 Σ LP 1 Vorlesung mit Übungen ( LP) Tutorium (3 LP) 2 Vorlesung mit Übungen ( LP) 3 Vorlesung mit Übungen (6 LP) Vorlesung mit Übungen (6LP) Medienpraktikum (3 LP) Vorlesung mit Übungen ( LP) 12 5 Vorlesung mit Übungen (10 LP) 10 6 Seminar (4 LP) 4

18 Modulhandbuch für das Fach Mathematik im Studiengang Master of Education für das Studienprofile Lehramt an Haupt-, Real und Gesamtschulen Titel des Moduls: Vertiefungsmodul Didaktik der Mathematik HR-M-M1 a) Vorlesung mit Übung aus dem Pool b) Medienpraktikum X. Sem. Blockveranstaltung 30 h jedes 120 h 60 h 1. Zur Vorlesung: Vertiefte Kenntnisse von grundlegenden Problemen und Resultaten der Didaktik der Mathematik zum Lehren und Lernen von Mathematik, von verschiedenen Arten mathematikdidaktischer Argumentationen und Begründungen; Verfügen über eine reflexiv-kritische Distanz zum Mathematikunterricht (z. B. auf Grundlage der Kenntnis der historisch-kulturellen Dimension der Mathematik) Zum Praktikum: Kenntnisse im Umgang mit digitalen Medien und ihrer Verwendungsmöglichkeiten und Begrenzungen für das Erlernen von Mathematik Zur Vorlesung: Vertiefte Kenntnisse von Problemen und Charakteristika der Entwicklung von Mathematik (sowohl von Schülern beim Lernen von Mathematik als auch in der Geschichte der Mathematik - etwa bzgl. der Auffassung und dem Bewusstsein von Mathematik, der Entwicklung von Begriffen und der Begründung von Aussagen), zu Charakteristika von Unterrichtsformen, zu Kriterien für die Beurteilung von Unterrichtskonzeptionen und -vorschlägen und von Chancen und Risiken des Einsatzes neuer Medien, u.ä. Zum Praktikum: Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht (z. B. Dynamische Geometriesoftware, Tabellenkalkulation, Computeralgebrasystem und ihre spezifischen Möglichkeiten z. B. in Prüfungen. Vorlesung mit Übungen und Blockveranstaltung Formal: Inhaltlich: (1) zur Vorlesung - Die Zulassung zur erfordert die erfolgreiche Bearbeitung der wöchentlichen Übungsaufgaben (2) Bearbeitung der Aufgaben im Medienpraktikum, erfolgreiche Bearbeitung der Aufgaben zum Praktikum und angemessener Vortrag im Seminar

19 - 50%

20 Titel des Moduls: Vertiefungsmodul Mathematik HR-M-M2 30 h a) Vorlesung aus dem Pool b) Seminar 13 6 SWS / 0 h 3., 4. Sem. WiSem und SoSem Seminar 0 h Zur Vorlesung: vgl. die Beschreibung der entsprechenden Vorlesung aus dem Pool. 2 X Studierende Zum Seminar: Selbständiges Einarbeiten anhand von Literatur in ein fachwissenschaftliches Thema und angemessene Präsentation in einem Vortrag Zur Vorlesung: vgl. die Beschreibung der entsprechenden Vorlesung aus dem Pool. Zum Seminar: Thema, das auf die Vorlesung aufbaut Vorlesung und Seminarvorträge Formal und inhaltlich: für das Seminar die erfolgreich besuchte Vorlesung (1) zur Vorlesung - Die Zulassung zur erfordert die erfolgreiche Bearbeitung der wöchentlichen Übungsaufgaben (2) Seminar: angemessener Vortrag, erfolgreiche Bearbeitung der Aufgaben zum Praktikum und angemessener Vortrag im Seminar - 50%

21 Musterstudienplan für den Studienbereich Mathematik im Masterstudiengang mit dem Studienprofil Lehramt an Haupt-, Real- und Gesamtschulen Sem. HR-M-M1 HR-M-M2 Σ LP 1 Vorlesung mit Übungen (6 LP) 6 2 Praxissemester 3 Medienpraktikum (3 LP) Vorlesung mit Übungen ( LP) 12 4 Seminar (4 LP) 4

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