Abiturvorbereitung Wachstum S. 1 von 11. Wachstum

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1 Abiturvorbereitung Wachstum S. 1 von 11 Themen: Exponentielles Wachstum Exponentielle Abnahme Beschränktes Wachstum Logistisches Wachstum Modellieren bei gegebenen Daten Übungsaufgaben Wachstum Exponentielles Wachstum Beispiel: Wachstum des Durchmessers eines Baumes Bestandsfunktion: f (x) = f (0) e kx mit k > 0 Die Bestandsfunktion f (x) ist Lösung der Differentialgleichung: f '(x) = k f (x) f '(x) repräsentiert die Änderungsrate. Verdopplungszeit bei exp. Wachstum Wenn die Variable x die Zeit beschreibt, wählt man als Variablennahmen häufig "t" statt "x". Sei t D die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt, dann gilt: f (t D ) = f (0) e kt D = 2 f (0) e kt D = 2 k t D = ln(2) t D = ln(2) k

2 Abiturvorbereitung Wachstum S. 2 von 11 Exponentielle Abnahme Beispiele exponentieller Abnahme: Radioaktiver Zerfall, Abnahme Helligkeit im Wasser Bestandsfunktion: f (x) = f (0) e kx mit k > 0 Halbwertszeit bei exponentieller Abnahme: Sei t H die Zeit, in der sich der Bestand halbiert, dann gilt: f (t H ) = f (0) e kt H = 1 2 f (0) e kt H = 1 2 ( k) t H = ln( 1 2 ) t H = ln( 1 2 ) k Beachte: Es ist t H > 0, da ln( 1 ) < 0 und k > 0 sind. 2

3 Abiturvorbereitung Wachstum S. 3 von 11 Beschränktes Wachstum Man unterscheidet die Fälle Bestand kleiner Schranke Beispiel: Wachstum Bakterienkultur in einer Petri-Schale. Bestandgrößer als Schranke Beispiel: Abkühlung einer Flüssigkeit auf Zimmertemperatur. Bestandsfunktion: f (x) = S + c e kx mit k > 0 und c = f(0) - S Bestand kleiner als Schranke Bestand größer als Schranke Die Bestandsfunktion f (x) ist Lösung der Differentialgleichung: f '(x) = k ( S f (x) ) Die Funktion M( x) = S f (x) heißt Manko-Funktion.

4 Abiturvorbereitung Wachstum S. 4 von 11 Logistisches Wachstum Beispiel: Ausbreitung einer Infektion. Differentialgleichung: f '(x) = r f (x) ( S f (x) ) d.h. die Änderungsrate ist proportional zu f(x) und (S - f(x)). Bestandsfunktion: f (x) = S 1 + a e k x mit k = r S

5 Abiturvorbereitung Wachstum S. 5 von 11 Modellierung bei gegebenen Daten Es geht hier darum, zu einer gegebenen Menge von Daten, einen Ansatz für eine geeignete Bestandsfunktion zu bestimmen. Beispiel 1 Jahr t Anzahl A(t) A(t ) A(t 1) --- 1,08 1,14 1,28 1,22 1,23 Da die Änderungsrate f '(t) = 1,2 f (t) A(t) A(t 1) relativ konstant ist, machen wir den Ansatz: Es liegt eine Differentialgleichung für exponentielles Wachstum vor mit der Lösung f (t) = f (0) e k t = 236 e k t Aus f (1) = 256 erhält man 256 = 236 e k bzw. k = ln( ) 0,081 Beispiel 2 Gegeben sie die Datenreihe entsprechend den Zeilen 1 u. 2 nachfolgender Tabelle. Jahr t Anzahl A(t) Manko M(t) M(t) M(t 1) --- 0,64 0,65 0,66 0,65 0,65 0,66 0,64 0,62 0,61 0,71 Wir prüfen, ob ein Ansatz als beschränktes Wachstum sinnvoll ist. Als obere Schranke kann S = 1000 angenommen werden. Das "Manko" M(t) sei definert als M(t) = S - A(t). Aus der letzten Zeile geht hervor, dass für die Änderungsrate von M(t) gilt: d.h. für M(t) kann exponentielle Abnahme angenommen werden: M(t) M(t 1) 0,65, M(t) = M(0) e k t ( mit k < 0 ) Für die Bestandsfunktion ergibt sich f(t) = S M(t) = S (S f (0)) e k t = S + (f (0) S) e k x = S (S f (0)) e k x = S + c e kx, also die Formel für beschränktes Wachstum.

6 Abiturvorbereitung Wachstum S. 6 von 11 Übungsaufgaben A1 Abnahme der Helligkeit im Wasser Bei einem See mit klarem Wasser nimmt die Helligkeit unter der Wasseroberfläche ab; in 1m Tiefe beträgt sie noch 80% des Wertes an der Oberfläche. Der Verlauf der Helligkeitsabnahme kann als exponentielle Abnahme angesehen werden. a) Bestimme eine Modellfunktion für die Helligkeit unter Wasser, wenn die Helligkeit an der Oberfläche 400 Lux beträgt. b) Wie groß ist die Helligkeit in 10m Tiefe? c) Wo beträgt die Helligkeit nur noch 50% (der Helligkeit an der Oberfläche)? d) In welcher Tiefe beträgt die Änderungsrate -7 Lux? Lösung a) Ansatz f (x)=f (0) e kx mit f(0) = 400, k > 0. f (1) = 320 = 400 e k 1 k = ln( ) = 0,22 f(x) = 400 e 0,22x Lösung b) f (10) = 400 e 0, Lösung c) Lösung mit Halbwertsformel Allgemein gilt t H = ln( 1 2 ) k, also hier: x H = ln( 1 2 ) 0,22 3,15

7 Abiturvorbereitung Wachstum S. 7 von 11 Lösung mit Herleitung Ansatz 200 = 400 e 0,22 x H x H = ln( 1 2 ) 0,22 3,15 Lösung d) Die Änderungsrate entspricht der Ableitung von f(x), also f '(x) = 400 e 0,22 x ( 0,22) = 88 e 0,22 x f '(x) = 7 88 e 0,22x = 7 x = ln( 7 88 ) 0,22 11,5 A Erwärmung einer Flüssigkeit Ein Flasche Sprudel mit der Temperatur 8 0 C wird aus dem Kühlschrank genommen und im Freien, wo die Temperatur 30 0 C beträgt, hingestellt. Nach 12 Minuten beträgt die Temperatur des Sprudels 15 0 C. Es wird davon ausgegangen, dass die Erwärmung nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums erfolgt. a) Stelle die Funktion "f(x) = Temperatur nach x Minuten" auf. b) Wie hoch ist die Temperatur nach 5 Minuten? c) Wie lange muss man warten, bis sich die Temperatur auf 20 0 C erwärmt hat? d) Wann beträgt die Erwärmung des Sprudels 0,5 0 C pro Minute? Lösung a) f (x) = S + c e kx mit c = f (0) S und k > 0 f(12) = = f (12) = 30 + (8 30) e k = e k 12 ln( ) = ( k) 12 k 0,032 Die Bestandsfunktion lautet somit f(x) = e 0,032 x.

8 Abiturvorbereitung Wachstum S. 8 von 11 Lösung b) f(5) = e 0, Lösung c) 20 = e 0,032 x ln( ) = 0,032 x ln( ) 0,032 24,6 Lösung d) Die gesuchte Erwärmung entspricht der Änderungsrate, d.h. der Ableitung der Bestandfunktion. ( 0,032 x) f '(x) = ( 22) ( 0,032) e 0,5 = ( 22) ( 0,032) e ( 0,032 x) 0,5 ( 22) ( 0,032) = e( 0,032 x) x = 0,5 ln( 22 0,032 ) 0,032 10,7

9 Abiturvorbereitung Wachstum S. 9 von 11 A3 Abkühlung einer Flüssigkeit Ein Tee wird mit kochendem Wasser aufgegossen und in einem Raum mit 20 0 C abgestellt. Nach 2 Minuten ist der Tee auf 60 0 C abgekühlt. a) Stelle die Funktion "f(x) = Temperatur nach x Minuten" auf. b) Wie hoch ist die Temperatur nach 1 Minute? c) Wie lange muss man warten, bis sich die Temperatur auf 50 0 C gesenkt hat? d) Wann beträgt die Abkühlung des Tees 0,5 0 C pro Minute? Lösung a) f (x) = S + c e kx mit c = f (0) S und k > 0 f(2) = = f (2) = 20 + (100 20) e k = e k 2 ln( 1 2 ) = ( k) 2 k 0,35 Die Gleichung für die Bestandsfunktion lautet: f(x) = e 0,35 x Lösung b) f (1) = e 0, Lösung c) Beachte: Die Formel für die (einfache) exponentielle Abnahme (ohne Schranke) kann hier nicht angewendet werden! e 0,35 x = 50 e 0,35x = x = ln( ) 0,35 2,8

10 Abiturvorbereitung Wachstum S. 10 von 11 Lösung d) f '(x) = 80 e 0,35 ( 0,35) = 28 e 0,35 x f '(x) = 0,5 28 e 0,35 x = 0,5 x = ln( 0,5 28 ) 0,35 11,5

11 Abiturvorbereitung Wachstum S. 11 von 11 A4 Lösung einer Differentialgleichung bestimmen Bestimme eine Lösung für die Differentialgleichung (*) f '(t) = 4 0,05 f (t). Lösung Durch Ausklammern erhält man f '(t) = 0,05 (80 f ( t)). Dies ist eine Differentialgleichung für beschränktes Wachstum; Lösung: f (t) = e 0,05 t. Nachweis: Es wird gezeigt, dass beide Seiten von (*) gleich sind. f '(t) = ( 80) e 0,05 t ( 0,05) = 4 e 0,05t 4 0,05 f (t) = 4 0,05 (80 80 e 0,05t ) = e 0,05t = 4 e 0,05 t