Lambacher Schweizer. Arbeitsfassung. Lösungen. Mathematik für Gymnasien. Bundesland. Baden-Württemberg

Transkript

1 Arbeitsfassung Kapitel, Stand: Oktober 08 Die Verkaufsauflage erscheint unter der ISBN Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien 9 Lösungen Bundesland Baden-Württemberg

2 III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen Funktionen die Schreibweise f (x) Seite 54 Einstiegsaufgabe h () = 50 Die Höhe bei x = ist gleich der Höhe bei x =, also h () = h (). Es ist h (,5) 0, h (,5) 60. Also gilt nicht h (,5) < h (,5). Seite 55 a) Der Punkt P ( ) liegt auf dem Graphen von f, also f () =. b) f () = ; f (0) = c) f (0,5) = d) f () =, f () =, also f () = f () a) f () = 8 ; f () = 8 ; f ( ) = ; f (,5) = 4,5 b) f (0,5) = 0,5 ; f ( ) = 8 c) f ( 5) = 50, also gilt nicht f ( 5) = 50 a) f () = 0,5 ; f ( ) = b) f (0,5) = 0, 5 = 0,875 ; f ( 4) = ( 4) = 7 c) f ( 6) = 7 ; f (8) = d) f ( ) = f () = e) f (x) =,5 x =,5 x =,5 x = 5; x = 5 ; x = 5 5 a) f () = ( ) = ; f ( 4) = ( 4 ) = 6 = 07 ; f (,5) = (,5 ) =,5 = 5,75 b) (x ) = 47 (x ) = 6 x = ± 4 ; x = 6, x = c) f () = < 0, also sind nicht alle Funktionswerte positiv 6 a) x 0 f (x) g (x) b) Es gilt f (x) > g (x) für alle x > 0,5, Beispiele: ;,5;. c) Man zeichnet eine Parallele zur x -Achse mit dem y -Achsenabschnitt. Man markiert die Schnittpunkte dieser Parallelen mit dem Graphen von g. Schließlich liest man die x-werte dieser Schnittpunkte ab. Es sind die Lösungen der Gleichung g (x) =. d) Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung um in positive x -Richtung hervor. Seite 56 7 A: Die Aussage ist falsch. f (0) = 70 5 B: Die Aussage ist wahr. f (5) = 5 5 = 5 5 = 0 C: Die Aussage ist falsch. Beispiel: f () = < 0 D: Die Aussage ist wahr. 7 f (4) = 7 4 = 8, f (7) = 49 = 8, also 7 f (4) = f (7) 8 a) g (x) = x + 4 x 5 = x + 4 x = 0 x = ; x = b) g (x) = h (x) x + 4 x 5 = x x x 6 x + 4 = 0 x = ; x = 9 a) Für alle x gilt g (x) > b) Für alle x gilt g (x) 0 ; oder: für kein x gilt g (x) < 0 0 a) w (5) = 0 b) Für alle t gilt w (t) > 50. c) w (8) < w () d) w (t) = 00 a) f (x) = (x + ) + = x + 4 x + 5, g (x) = (x ) = x x b) f (x) = x + 4 x + 5 = x = ; x = ; g (x) = x x = x = + ; x = c) Grafische Begründung: Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung um in positive x -Richtung und um in negative y -Richtung hervor. Also g (x) = f (x ). Rechnerische Begründung: f (x ) = (x ) + 4 (x ) + 5 = x 6 x x + 5 = x x = g (x) a) f ( x) = ( x) = x ; 4 f (x) + 9 = 4 ( x ) + 9 = x. Also f ( x) = 4 f (x) + 9 L 4 III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen

3 b) f ( x) = ( x) = 4,5 x = 9 ( x ) + 4 = 9 f (x) + 4 c) Ansatz: g (x) = x + a g ( x) = ( x) + a = 4 x + a = 4 ( x + a) 4 a + a = 4 g (x) a Für a = gilt: g ( x) = 4 g (x) Also g (x) = x + a) Seite 58 x,5 0,5 0 0,5,5 x 8,75 0,5 0 0,5,75 8 Potenzfunktionen mit natürlichen Hochzahlen Seite 57 Einstiegsaufgabe Kärtchen : f (x) = x. Dazu gehört Graph D. Begründung: Es gilt f ( ) = ( ), also kommen nur Graph A und Graph D infrage. Außerdem gilt f (0,5) = 0, 5 = 0,5. Dies ist nur für Graph D der Fall. Kärtchen : g (x) = x. Dazu gehört Graph C. Begründung: Es gilt g ( ) = ( ) =, also kommen nur Graph B und Graph C infrage. Außerdem gilt g (0,5) = 0, 5 = 0,5. Bei Graph B ist f (0,5) < 0,5. Also bleibt nur Graph C. Kärtchen : h (x) = x 4. Dazu gehört Graph A. Begründung: Es gilt h ( ) = ( ) 4 = +, also kommen nur Graph A und Graph D infrage. Außerdem gilt h (0,5) = 0,5 4 = 0,065 < 0,. Dies ist nur für Graph A der Fall. Kärtchen 4: k (x) = x 5. Dazu gehört Graph B. Begründung: Es gilt k ( ) = ( ) 5 =, also kommen nur Graph B und Graph C infrage. Außerdem gilt k (0,5) = 0, 5 5 = 0,0 5 < 0,. Bei Graph C ist f (0,5) > 0,. Also bleibt nur Graph B. b) x,5 0,5 0 0,5,5 x 4 5,065 0, ,065 5,065 III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen L 5

4 c) x,5 0,5 0 0,5,5 x 5 7, , ,0 5 7,59 75 c) Im Bereich zwischen 0 und liegt der Graph einer Potenzfunktion mit höherem Exponenten unterhalb des Graphen einer Potenzfunktion mit kleinerem Exponenten. Je höher der Exponent ist, desto mehr schmiegt sich der Graph in der Nähe von 0 an die x -Achse an. Je höher der Exponent ist, desto steiler steigt der Graph in der Nähe von an. Alle Graphen gehen durch den Punkt P ( ) und den Punkt O (0 0 ). Graphen mit ungerader Hochzahl (f (x) und g (x)) gehen durch Q ( ), bei gerader Hochzahl (h (x)) gehen sie durch R ( ). 4 a) Graph () ist der Graph von h, Graph () der Graph von g. b) Die Aussagen auf U, E, S, N, V sind richtig, die übrigen sind falsch. Lösungswort: VENUS. 5 Seite 59 a) g (,) > f (,) b) g (0,5) < f (0,5) c) g (,5) = g (,5) d) g ( ) = f ( ) e) f ( ) < g ( ) f) g ( ) < f ( ) a) Werte gerundet x,,0 0,8 0,6 0,4 0, 0 f (x) x,7,0 0,5 0, 0, 0,0 0 g (x) x 5,5,0 0, 0, 0,0 0,00 0 h (x) x 6,0,0 0, 0,05 0,004 0,00 0 x 0, 0,4 0,6 0,8,0, f (x) x 0,0 0, 0, 0,5,0,7 g (x) x 5 0,00 0,0 0, 0,,0,5 h (x) x 6 0,00 0,004 0,05 0,,0,0 b) 7 a) Der Graph von g entsteht durch eine Streckung des Graphen von f mit dem Faktor in y -Richtung. L 6 III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen

5 b) Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung um in positive y -Richtung (d. h. nach oben). c) Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung um,5 in x -Richtung (d. h. Verschiebung nach rechts). d) Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung um in x -Richtung (d. h. Verschiebung nach links). 9 a) g (x) =,5 x 5 b) g (x) = x 5 c) g (x) = (x + 4) 5 Seite 60 c) Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung um in x -Richtung (d. h. Verschiebung nach links). d) Der Graph von g entsteht durch eine Stauchung des Graphen von f mit dem Faktor in y -Richtung. 8 a) Der Graph von g entsteht durch eine Streckung des Graphen von f mit dem Faktor in y -Richtung. b) Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung um in y -Richtung (d. h. nach unten). 0 a) 5 Achsen, Gewicht t, also Die Überfahrt von ca Pkw mit dem Gewicht von Tonne schädigt die Straße so stark wie eine Überfahrt des abgebildeten Lkw. b) 8 x 5 4 = x 4 = x = ,88. Der Lkw darf höchstens ca. 0 t wiegen. a) Punktprobe mit A : f () = a = 4 Punktprobe mit B : f () = 4 n =, also n = 8, n =. Somit ist f (x) = 4 x. b) Punktprobe mit A : f () = a =,5 Punktprobe mit B : f () =,5 n = 4, also n = 6, n = 4. Somit ist f (x) =,5 x 4. c) Punktprobe mit A : f () = a = Punktprobe mit B : f () = ( ) n = 64, also ( ) n =, n = 5. Somit ist f (x) = x 5. d) Punktprobe mit A : f () = a = 8 Punktprobe mit B : f ( ) = 8 ( ) n = 8, also ( ) n = 64, n = 6. Somit ist f (x) = 8 x 6. a) Der Graph von g entsteht aus dem Graphen f durch eine Streckung mit dem Faktor in y -Richtung und eine anschließende Spiegelung an der x -Achse. Kurz: Der Graph von f wird mit dem Faktor in y -Richtung gestreckt. b) Der Graph von h entsteht aus dem Graphen f durch eine Stauchung mit dem Faktor in y -Richtung und eine anschließende Spiegelung an der x -Achse. Kurz: Der Graph von f wird mit dem Faktor in y -Richtung gestreckt. Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Streckung mit dem Faktor in y -Richtung und eine anschließende Verschiebung um + in x -Richtung. Der Graph von h entsteht aus dem Graphen von f durch eine Streckung mit dem Faktor in y -Richtung, eine Spiegelung an der x -Achse, eine Verschiebung um 5 in x-richtung und schließlich eine Verschiebung um in y-richtung. III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen L 7

6 6 a) f ( x) = ( x) 5 = x 5 = f (x) Der Funktionswert von f wird mit dem Faktor = 5 multipliziert. b) f ( x) = ( x) 4 = 8 x 4 = 8 f (x) Der Funktionswert von f wird mit dem Faktor 8 = 4 multipliziert. 7 a) Punktprobe mit A : f () = a n 4 = 4 a = n 4 Punktprobe mit B : f (4) = n 4 n = 4 n =, also n = 8, n =, a =. Somit ist f (x) = x. b) Punktprobe mit A : f (0,5) = a 0, 5 n = 0,5 0,5 a = 0,5 n = 0,5 n = n Punktprobe mit B : f (,5) = n ( )n = n = 40,5, also n = 8, n = 4, a = 8. Somit ist f (x) = 8 x 4. c) Punktprobe mit A : f ( ) = a ( ) n = a = n Punktprobe mit B : f (0,5) = ( n ) ( 4 ) n = n =, also n =, n = 5, a =. Somit ist f (x) = x 5. 8 Man muss prüfen, ob 0,00 x 4 < 000 x gilt. Für positive x kann man dies umformen und man erhält die Ungleichung x < , also x < 000. Also gilt für x < 000, dass der Graph von g unterhalb des Graphen von f verläuft. (Für x > 000 verläuft der Graph von g oberhalb.) Seite 6 Anmerkung: Die Graphen sind hier über den in der Aufgabe geforderten Bereich hinaus abgebildet. Verlangt war nur der Bereich zwischen und. a) x,5 0,5 0 0,5,5 f (x) 0, 0,9 0, 0,577,7 5,96 9 b) x,5 0,5 0 0,5,5 f (x) 6,5,95,5,58 0,6 0,4 0,5 0,6 Exponentialfunktionen Seite 6 Einstiegsaufgabe Weiß man nur, dass die Fläche zu Beginn m und nach einer Woche m beträgt, so gibt es viele Möglichkeiten, wie sie sich weiterentwickeln könnte: sie könnte z. B. pro Woche um m wachsen oder sich auch pro Woche verdoppeln. Mit der Angabe, dass nach 9 Wochen ca. 500 m bedeckt sind, muss man davon ausgehen, dass sich die Fläche pro Woche verdoppelt. Dann würde sich die Fläche wie folgt entwickeln: Woche Fläche (in m ) Nach nur einer weiteren Woche ist also der komplette Teich mit Seerosen bedeckt. c) x,5 0,5 0 0,5,5 f (x) 0,6 0,5 0,4 0,6,58,5,95 6,5 L 8 III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen

7 d) x,5 0,5 0 0,5,5 f (x) 9 5,96,7 0,577 0, 0,9 0, b) Kärtchen Graph B, denn f () =, Kärtchen Graph A, denn f ( ) = 0, = 5 Kärtchen Graph C, denn f () =, Kärtchen 4 Graph D, denn f () = 0,75 a) 4 a) f (0,5) = 6 0,5 = 6 4 = 4 6 = ; P (0,5 ) liegt auf dem Graphen von f. b) f (0) =, ; P (0 75) liegt nicht auf dem Graphen von f. c) f () = 0, 5 = 5 5 = 5 ; P ( 5) liegt auf dem Graphen von f. 5 a) Punktprobe mit P (,05) : f () = a =,05, also f (x) =, 05 x. Da a =,05 >, nehmen die Funktionswerte mit wachsendem x zu. b) Punktprobe mit P ( 0,9) : f () = a = 0,9, also f (x) = 0, 9 x. Da a = 0,9 <, nehmen die Funktionswerte mit wachsendem x ab. c) Punktprobe mit P (,5) : f () = a =,5, somit a =,5 =,5, also f (x) =, 5 x. Da a =,5 >, nehmen die Funktionswerte mit wachsendem x zu. d) Punktprobe mit P (,) : f ( ) = a = a =,, somit a =, = 0, also f (x) = ( 0 x ). Da a = 0 <, nehmen die Funktionswerte mit wachsendem x ab. 7 Graph A: f (0) = c a 0 = c =, f () = a = a =,5, also a = 0,5. f (x) = 0, 5 x Graph B: f (0) = c a 0 = c =, f () = a = a = 4, also a =. f (x) = x Graph C: f (0) = c a 0 = c = 0,5, f () = 0,5 a = 0,5 a =, also a = 4. f (x) = 0,5 4 x 8 a) Punktprobe mit A (0,5) : f (0) = c a 0 = c =,5 Punktprobe mit B ( ) : f () =,5 a =, also a =,5 = 8. a = 8 = f (x) =,5 x b) Punktprobe mit A ( ) : f () = c a = c a =, also c = a Punktprobe mit B ( 8) : f () = a a = a = 8, also a = 4, c = f (x) = 4 x III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen L 9

8 c) Punktprobe mit A ( 0,6) : f () = c a = c a = 0,6, 0,6 also c = a 0,6 Punktprobe mit B ( 75) : f ( ) = a a 0,6 = a = 75, also a 0,6 = 75 = 0,008, a = 0,6 0,008 = 0, ; c = 0, = f (x) = 0, x 9 a) Da a <, nimmt die Anzahl der Pinguine ab. b) f () = , 9 = 645. Nach Jahren leben noch ca. 600 Pinguine auf der Insel. c) f () = , 9 5 = 95,45. Abnahme: ,45 = 047,55, also 047, = 0, a) Nach 5 Jahren hat die Zahl der Pinguine um ca. 4 % abgenommen. Seite 64 Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Streckung mit dem Faktor in y -Richtung. Der Graph von h entsteht aus dem Graphen von g durch eine Spiegelung an der x -Achse. Der Graph von k entsteht aus dem Graphen von h durch eine Verschiebung um 5 in positive y -Richtung. Die Graphen von f, g und h nähern sich der Geraden y = 0 an. Der Graph von k nähert sich der Geraden y = 5 an. b) Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Streckung mit dem Faktor in y -Richtung. Der Graph von h entsteht aus dem Graphen von g durch eine Spiegelung an der x -Achse. Die Graphen von f, g und h nähern sich der Geraden y = 0 an. Der Graph von k nähert sich der Geraden y = an. Der Graph von k entsteht aus dem Graphen von h durch eine Verschiebung um in y -Richtung. f (t) = 0 7 t Zu Beginn f (0) = 0, nach 0 Minuten f ( ) = 0 7 9,. Die Angabe der Zeitung (Verdopplung nach 0 Minuten) stimmt näherungsweise. Zum Zeitpunkt t : f (t) = 0 7 t Salmonellen. Eine Stunde später: f (t + ) = 0 7 t + = 0 7 t 7 = f (t) 7 Salmonellen. Die Salmonellenzahl versiebenfacht sich jede Stunde, die Angabe der Zeitung (Verzehnfachung in jeder Stunde) stimmt nicht. Nach 7 Stunden: f (7) = , Millionen. Die Angabe der Zeitung (mehr als 0 Millionen Salmonellen nach 7 Stunden) stimmt nicht. 5 In der Tabelle ist angekreuzt, wenn die Aussage zutrifft: (A) (B) (C) (D) (E) (F) g (x) = x x x h (x) = x x x k (x) = x x x Begründungen: Aussage (A): Gegenbeispiel für g : g (0) = 0, g () = ; g () g (0) Gegenbeispiel für h : h (0) = 0 ; h () = ; h () h (0) Begründung für k : k (x + ) = x + = x = k (x) Aussage (B): Gegenbeispiel für g : g () =, g () = 6 ; g () 8 g () Begründung für h : h ( x) = ( x) = x = 8 h (x) Gegenbeispiel für k : k () =, k () = 9 ; k () 8 k () Aussage (C): Begründung für g : g ( x) = ( x) = ( x) = g (x) Gegenbeispiel für h : h () =, h () = 8 ; h () h () Gegenbeispiel für k : k () =, k () = 9 ; k () k () Aussage (D): Gegenbeispiel für g : g () =, g () = 6 ; g () g () Gegenbeispiel für h : h () =, h () = 8 ; h () h () Begründung für k : k ( x) = x = ( x ) = k (x) Aussage (E): Begründung für g : g (x + ) = (x + ) = x + = g (x) + Gegenbeispiel für h : h (0) = 0, h () = ; h () h (0) + Gegenbeispiel für k : k () =, k () = 9 ; k () k () + Aussage (F): Gegenbeispiel für g : g () = 6, g (4) = ; g (4) g () Begründung für h : h ( x ) = ( x ) = x 6 = ( x ) = h (x) Gegenbeispiel für k : k () = 7, k (9) = 9 68 ; k (9) k () L 0 III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen

9 6 a) Den Graphen von g erhält man aus dem Graphen von f durch eine Verschiebung um in x -Richtung (Verschiebung um nach links), denn g (x) = f (x + ). b) Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch eine Streckung um in y -Richtung, denn g (x) = x + = x = f (x). 4 Exponentialgleichungen Logarithmus Seite 65 Einstiegsaufgabe Kärtchen A: Lösungen x = 5 ; x = 5 5 Kärtchen B: Lösung x = =,5 Kärtchen C: Keine Lösung bisher bekannt. Da = 4 und = 8, müsste die Lösung von x = 5 eine Zahl zwischen und sein. Kärtchen D: Lösung x = 4 Kärtchen E: Lösung x = 5 Kärtchen F: Lösung x = 0 Kärtchen G: Lösung x = 5 = 0,4 Kärtchen H: Lösung x = 5 = 5 Kärtchen I: Lösung x = 4 6 =. x = 4 6 = Seite 66 a) lo g 5 (5) =, denn 5 = 5 b) lo g 4 (6) =, denn 4 = 6 c) lo g (6) = 4, denn 4 = 6 d) lo g 6 (6) =, denn 6 = 6 e) lo g 7 (49) =, denn 7 = 49 f) lo g 9 (8) =, denn 9 = 8 (*) g) lo g (7) =, denn = 7 h) lo g () = 5, denn 5 = i) log () =, denn = j) lo g 47 (47) =, denn 47 = 47 k) log (8) = 4, denn 4 = 8 l) lo g (69) =, denn = 69 * Fehler im Druck der. Auflage: Doppelung zu a); neu: lo g 9 (8) (Begründung nicht verlangt) a) log (0) = (denn 0 = 0) b) log (000) = (denn 0 = 000) c) log ( ) = 6 (denn 0 6 = ) d) log (00 000) = 5 (denn 0 5 = ) a) lo g 4 (8),0850 b) lo g (7,),5948 c) lo g 7 (0,8) 0,47 d) lo g 5 (0,0),864 e) lo g 6 (7,5), f) log (4),55 g) log (0,567) 0,464 h) lo g (0) 0,966 4 a) lo g 6 ( 6 ) = b) lo g 8 ( 8 ) = c) lo g 7 ( 4 7 ) = 4 = 0,5 d) lo g ( ) = e) lo g 9 () = f) lo g 4 ( 6 ) = 5 a) lo g 7 ( 7 ) = b) lo g () = 5 c) lo g 4 ( 4 ) = d) log (0,0) = e) lo g ( ) = f) lo g 0 () = 0 g) lo g 5 ( 5 ) = h) lo g 0,5 (0,5) = i) lo g ( 5 ) = 5 j) log ( 0 ) = k) log (0,000) = 4 l) lo g 5 ( 5 ) = 6 a) x = lo g 7 (49) = b) x = lo g ( ) = c) x = lo g 00 () = 0 d) x = lo g 8 ( 64 ) = e) x = lo g ( 5 ) = 5 f) x = lo g 4 (64) = g) x = lo g 7 (7) = h) x = lo g ( ) = i) x = log (0 000) = 4 j) x = lo g 4 () = k) x = lo g 9 () = l) x = lo g 4 ( 9 4 ) = 9 7 a) x = lo g (6),6 b) x = lo g 5 (6), c) x = lo g 8 (000), d) x = lo g 0,9 (0,4) 8,697 e) x = lo g, (,4),840 f) x = lo g,5 (0,0) 8,648 g) x = lo g 0,5 ( 7 4 ) 0,807 h) x = lo g, (0,0),6 0 a) 4000, 0 t = 5600, 0 t =,4 t = lo g,0 (,4) 6,99 Im Jahr 07 muss man mit 5600 Chamäleons rechnen. b) Im Jahr 000: 4000 Chamäleons = , 0 t = 8000, 0 t = t = lo g,0 () 5 Im Jahr 05 gibt es 4000 mehr als im Jahr 000. c) f (50) = 4000, gibt es ca Chamäleons. Seite 67 a) 40, 08 t = 50, 08 t =,5 t = lo g,08 (,5),899 Nach ca.,9 Tagen sind 50 m mit Wasserlinsen bedeckt. b) Zu Beginn sind 40 m bedeckt = 70 40, 08 t = 70, 08 t =,75 t = lo g,08 (,75) 7,7 Nach ca. 7, Tagen ist die Fläche um 0 m angewachsen , 98 t = , 98 t = 0,7 t = lo g 0,98 (0,7) 7,655 Mitte 07 gibt es Eisbären. III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen L

10 f (t) = 65 0, 996 t = 50 0, 996 t 50 0 = 65 = t = lo g 0,996 ( 0 ) 65,46 Im Jahr 080 wird es nach diesem Modell nur noch 50 ha Gletscherfläche in Deutschland geben. 4 a) x = 4 b) 0, 5 x = c) 5 x = 0,04 d) 0 x = 7 5 a) 9 x 5 = b) 4, 5 x + 8 = 7 9 x = 4, 5 x = 9 x =, 5 x 9 = 4 =, 5 x = x = x = x = 4 c) 75 x = d) 8 x + = x = 64 = 6 8 x + = 5 = x = 6 ( x + ) = x = 8 ( x + ) = 8 x = x + = x = 4 e) 7 x = 0 f) 8 4 x = 0,5 7 x + = 4 x = 6 = 4 Unlösbar, da 7 z > 0 x = für alle Zahlen z. x = g) 0, 5 x 7 = 7 h) = 0,875 + x 0, 5 x = 8 = x = 0,5 = ( x ) = x = ( x ) = x + = x = x = 6 a) lo g 4 ( ) =, denn 4 = = 4 4 = b) log ( 000 ) =, denn 0 = 0 c) lo g 7 ( 7 ) =, denn 7 = 7 d) lo g 0,5 () =, denn 0, 5 = ( ) = e) lo g 9 (7) =, denn 9 = = 7 f) log 64 (6) =, denn 64 = ( 64 ) = 4 = 6 g) log ( 0,0 ) =, denn 0 = ( 0 ) = 0,0 h) lo g 8 ( 5 ) = 9, denn = ( 8 5 ) = ( 8 ) 5 = 9 a) 7 5 x = x 5 x = 9 5 x 9 = 9 x = lo g 5 ( ) 0,85 b) x + x = 4 x x = 4 x = 4 x = c) x 5 x = 0 x x 5 x = 0 x ( x 5) = 0 x 5 = 0 x = lo g (5), d) x + 4 x = 5 9 x 4 x = 5 5 x = 5 x = x = 0 e) 8 x 7 5 x = 0 8 x = 7 5 x 8 x 5 x = 7 ( 8 5 ) x = 7 x = lo g,6 ( 7 ),80 f) 5 x 4 x + = x + x = 0 x + 4 x = 5 x = x + 4 = lo g ( 5 ) x = ( lo g ( 5 ) 4 ), a) Nach Definition des Logarithmus gilt für c = log (a) = lo g 0 (a) : 0 c = a, also a = 0 log (a). Potenziert man beide Seiten der Gleichung mit x, so folgt a x = ( 0 log (a) ) x = 0 x log (a). Logarithmiert man beide Seiten dieser Gleichung, so folgt log ( a x ) = log ( 0 x log (a) ) = x log (a). b) Es ist nach Definition für a, b > 0 : a log a (b) = b. Bildet man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Logarithmus zur Basis 0, so ergibt sich log ( a log a (b) ) = log (b). Nach Teilaufgabe a) ist mit x = lo g a (b) : log ( a log a (b) ) = log ( a x ) = x log (a) = lo g a (b) log (a). Somit ist lo g a (b) log (a) = log (b). log b Es folgt lo g a (b) = log a. Wenn das Smartphone in dem Monatszeitraum von t bis t + den Wertverlust von hat, so ist f (t + ) = f (t) oder f (t) f (t + ) =. Es ist f (t) f (t + ) = 00 0, 98 t 00 0, 98 t + = 00 0, 98 t 00 0, 98 t 0,98 = 00 0, 98 t ( 0,98) = 6 0, 98 t. Aus 6 0, 98 t = folgt t = lo g 0,98 ( ) 54,8. Im Monatszeitraum zwischen 54,4 und 55,4 Monaten nimmt der Wert des Smartphones um ab. 5 Exponentielles Wachstum Seite 68 Einstiegsaufgabe Auf der Insel B nimmt die Schildkrötenanzahl ab, da die Basis der Potenz 0, 98 t kleiner als ist. Der Bestand auf Insel A wächst jährlich um den Faktor,0, er nimmt also um % zu. Der Bestand auf Insel B schrumpft jährlich um den Faktor 0,98, er nimmt also um % ab. Seite 69 a) Anfangswert: ; Wachstumsfaktor:, ; prozentuale Änderung pro Zeitschritt: + 0 %; Zunahme b) Anfangswert: 0 ; Wachstumsfaktor:,0 ; prozentuale Änderung pro Zeitschritt: + %; Zunahme c) Anfangswert: 00 ; Wachstumsfaktor: 0,8 ; prozentuale Änderung pro Zeitschritt: 0 %; Abnahme d) Anfangswert: 0 ; Wachstumsfaktor: = 0,98 ; prozentuale Änderung pro Zeitschritt: %; Abnahme L III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen

11 a) B (t) = 500, 08 t ( t in Wochen) b) B (t) = 4000, t ( t in Monaten) c) B (t) = 0 0, 95 t ( t in Tagen) a) f (t) = 400 0, 99 t b) f (0) 95,88. Im Jahr 00 rechnet man mit ca. 96 Nashörnern. c) f (t) = 400 0, 99 t = 50 0, 99 t 50 = 400 t = lo g 0,99 ( ) 46,76. Im Jahr 046 rechnet man mit 50 Breitmaulnashörnern in dem Park. 4 a) K 5 = 00, 05 5,9. Das Endkapital beträgt,9. 78,5 b) K 0 = 700. Es wurden 700 angelegt., 04 8 c) q = 7 69,96 600,0 ; p = q = 0,0 =, %. Der Zinssatz ist, %. d) n = lo g,05 ( ) 6,0. Nach 6 Jahren sind es 580. Seite 70 7 a) f (t) = 5000 a t ; f () = 5000 a = 5400 ; 5400 a = 5000 =,08 ; f (t) = 5000, 08 t b) f (t) = 5000 a t ; f () = 5000 a = 4608 ; a = = 0,96 = 0,96 ; f (t) = , 96 t c) f (t) = 5000 a t ; f (7) = 5000 a 7 = 450 ; a = ,98 ; f (t) = , 98 t d) f (t) = 5000 a t ; f (5) = 5000 a 5 = 5657,04 ; a = , ,05 ; f (t) = 5000, 05 t 8 f (t) = 8000 a t ; f () = 8000 a = 96 ; a = =,05 Die Funktion f (t) = 8000, 05 t (t in Monaten nach Beobachtungsbeginn) beschreibt die Anzahl der Aale. f (t) = 8000, 05 t 000 = 000 ; t = lo g,05 ( 8000 ) 9,95. Nach ca. 0 Monaten sind es 000 Aale. 9 Der Wachstumsfaktor für eine Woche ist,05 Der Wachstumsfaktor für einen Tag ist, 05 7, denn Tag = 7 Woche. Somit wächst die Schnakenanzahl in 4 Tagen um, ,08. In 4 Tagen wächst der Bestand um ca.,8 %. 0 f (t) = 570 a t beschreibt die Fläche des Regenwalds (t in Jahren seit 995). f (6) = 570 a 6 = 74 ; a = ,98 ; f (t) = 570 0, 98 t f ( 5) = 570 0, Die Waldfläche betrug 980 ca km. Beispiel: 5000 werden für 7 Jahre fest angelegt. Durch die Anlage wächst die Geldmenge jährlich um %. Das zusätzliche Geld wird nicht abgehoben, sondern erhöht die angelegte Geldmenge. Die angelegte Geldmenge nach n Jahren beträgt K n = K 0 q n = 5000, 0 n. Das Anfangskapital ist K 0 = Das Endkapital nach 7 Jahren ist K 7 = 5000, 0 7 = 574,4. Es wird am Ende ausgezahlt. Die Zinsen sind die Beträge, die jährlich dem Kapital zugeschlagen werden. Sie betragen im ersten Jahr 0, = 00. Nach dem ersten Jahr ist das Kapital daher K = 500. Im zweiten Jahr betragen die Zinsen 0,0 500 = 0, im dritten Jahr 0,0 50 = 04,04 usw. Die Zinseszinsen sind die Zinsen, die durch die Zinsen entstehen. Im ersten Jahr gibt es noch keine Zinseszinsen, da nur das Anfangskapital von 5000 angelegt ist. Im zweiten Jahr hat sich das Anfangskapital um die Zinsen von 00 erhöht. Die Zinseszinsen im zweiten Jahr sind also 0,0 00 =. Durch die Zinseszinsen wachsen die jährlichen Zinsen, sie betragen im zweiten Jahr 0. Im dritten Jahr ist das Anfangskapital durch die Zinsen um 0 angewachsen, die Zinseszinsen betragen also 0,0 0 = 4,04 usw. Der Zinssatz in dem Beispiel beträgt %, die Laufzeit 7 Jahre. a) Bodo erhält jährlich 0,0 000 = 60 Zinsen ausgezahlt. Nach 6 Jahren hat er insgesamt die Zinsen 6 60 = 60 bekommen. Zusätzlich erhält er das Anfangskapital von 000 zurück. Insgesamt erhält er also 60. Udo bekommt nach 6 Jahren K 6 = K 0 q 6 = 000, 0 6 = 88,0 ausgezahlt, also 8,0 mehr als Bodo. b) Wenn Udos Kapital auf 65,50 0,0 8, angewachsen ist, so erhält er im Folgejahr 65,50 Zinsen. Aus 000, 0 n = 8, ergibt sich n = lo g,0 ( 8, 000 ),97. Nach Jahren erhält Udo im Folgejahr 65,50 Zinsen. 4 Chris denkt, dass pro Zentimeter Wand die Intensität um % der Intensität der ursprünglichen Strahlung, die auf die Wand trifft, abnimmt. Er rechnet % 50 = 00 %. Also glaubt er, dass die Intensität insgesamt um 00 % abnimmt, d. h. die Wand kann keine Strahlung durchdringen. Die Strahlung pro Zentimeter nimmt aber um % der noch vor diesem Zentimeter vorhandenen Strahlung ab, 98 % können diesen Zentimeter durchdringen. Ist I 0 die Intensität der ursprünglichen Strahlung, bevor sie auf die Wand trifft, so ist die Intensität nach x cm: I (x) = I 0 0, 98 x. Somit gilt für eine Wand mit einer Dicke von 50 cm: I (50) = I 0 0, I 0 0,64. Die Intensität der Strahlung ist auf 6,4 % der ursprünglichen Intensität gesunken. III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen L

12 6 Halbwertszeit Verdopplungszeit Seite 7 Einstiegsaufgabe Eine Erhöhung um 0 db wird als Verdopplung der Lautstärke empfunden. Gegenüber einem Gespräch mit 60 db gibt die Tabelle die Faktoren der Vervielfachung der empfundenen Lautstärke an: Schallpegel 60 db 70 db 80 db 90 db 00 db 0 db 0 db Faktor Das Rockkonzert wird also 64-mal so laut empfunden. Bei 0 db entstehen Gehörschäden auch bei kurzfristiger Einwirkung. Seite 7 a) T V = lo g 4 () =. Die Verdopplungszeit beträgt 0 Sekunden. b) T H = lo g 0,7 ( ),94. Die Halbwertszeit beträgt ca.,94 Minuten oder 6,6 Sekunden. c) T V = lo g,5 (),7. Die Verdopplungszeit beträgt ca.,7 Minuten oder 0,6 Sekunden. d) T H = lo g 0,7 ( ) 0,697. Die Halbwertszeit beträgt ca. 0,7 Minuten oder 4,8 Sekunden. a) Wachstumsfaktor a =, ; T V = lo g, (),8 Nach ca.,8 Jahren ( Jahre und 9,6 Monaten) hat sich die Nutzeranzahl des Internetportals verdoppelt. b) Wachstumsfaktor a = 0,95 ; T H = lo g 0,95 ( ),5 Nach ca.,5 Jahren hat sich die Abonnentenanzahl halbiert. c) Wachstumsfaktor a = 0,99 ; T H = lo g 0,99 ( ) 98,7 Die Emission hat sich nach ca. 98,7 Jahren halbiert. a) Wachstumsfaktor a =,08 ; T V = lo g,08 () 9 Die Verdopplungszeit beträgt ca. 9 Jahre. b) Wachstumsfaktor a = 0,96; T H = lo g 0,96 ( ) 7 Die Halbwertszeit beträgt ca. 7 Jahre. c) Wachstumsfaktor a =,487; T V = lo g,487 () 5 Die Verdopplungszeit beträgt ca. 5 Jahre. d) Wachstumsfaktor a = 0, ; T H = lo g 0, ( ) 5 Die Halbwertszeit beträgt ca. 5 Jahre. 6 a) 5 h (S) b) 0 h (A) c) 0 h (L) d) 5 h (B) e) 5 h (E) f) 0 h (I) Lösungswort: SALBEI Seite 7 7 a) f (4) = 5000 a 4 = a = 4,9 ; f (t) = 5000, 9 t b) a = 8 0,97 ; f (t) = , 97 t c) a = 4 0,957; f (t) = , 957 t d) a = 50,04 ; f (t) = 5000, 04 t 8 a) Nach 64 h ist der Bestand 50. b) a,5 = a =,5 = 0,4 ; f (0,5) = 000 0,4 0,5 = 000 4, 55 8 Nach 0,5 Jahren beträgt der Bestand ca a), Milliarden = 704 Millionen = T H,U5 Nach Halbwertszeiten ist noch ein Achtel der Ausgangsmenge, also 5 g, übrig. b) Nach einer Halbwertszeit von 8 Tagen sind 50 % des I zerfallen. Erik vermutet, dass nach weiteren 8 Tagen die zweite Hälfte zerfallen ist. Das wäre bei einer linearen Abnahme, bei der die Stoffmenge in gleichen Zeiträumen um die gleiche Menge abnimmt, auch der Fall. Es liegt jedoch beim radioaktiven Zerfall keine lineare Abnahme, sondern eine exponentielle Abnahme vor. Nach 6 Tagen sind noch 5 % übrig, also sind 75 % zerfallen. 0 a) T H,Rn0 = 55,6 s ; a 55,6 = a = ( ) 55,6 ; f (t) = 0 ( ) t 55,6 = t = 55,6 lo g 0,5 (0,) 96,6 Es dauert ca. 96,6 Sekunden. b) T H,Pu9 = 4 0 Jahre; 90 % zerfallen bedeutet: 0 % oder 0, der Ausgangsmenge sind noch übrig. a 4 0 = a = ( ) 4 0 ; ( ) t 4 0 = 0, t = 4 0 lo g 0,5 (0,) Nach ca Jahren sind 90 % des Pu 9 zerfallen. a) T H,Cs 7 = 0,7 Jahre. Am sind genau 4 Jahre vergangen. a 0,7 = a = ( ) 0,7 0,977 ; ( ) 4 0,7 0,458 Am ist noch ca. 45,8 % des Cs 7 übrig. b) ( ) t 0,7 = 0,0 t = 0,7 lo g 0,5 (0,0) 00,45. Nach ca. 00 Jahren, also 86, ist noch % des Cs 7 vom Tschernobyl-Unglück übrig. L 4 III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen

13 p Für t 0 = lo g a ( + 00 ) gilt a t 0 = + p 00. Wenn ein Zeitintervall der Länge t 0 beim Zeitpunkt t beginnt, so endet es beim Zeitpunkt t + t 0. Zu Beginn des Zeitintervalls ist der Bestand f (t) = c a t. Am Ende des Zeitintervalls ist der Bestand f (t + t 0 ) = c a t + t 0 = c a t a t 0 = f (t) a t 0 p = f (t) ( + 00 ) = f (t) + p % f (t). Der Bestand hat also im Zeitintervall der Länge t 0 zwischen t und t + t 0 um p % zugenommen. Da diese Rechnung ganz unabhängig vom Zeitpunkt t ist, an dem das Zeitintervall beginnt, nimmt der Bestand also in jedem Zeitintervall der Länge t 0 um p % zu. 4 a) 87,5 % sind zerfallen, wenn,5 % oder 8 des ursprünglichen Bestands noch nicht zerfallen sind. Das ist nach Halbwertszeiten der Fall: nach einer Halbwertszeit ist die Hälfte, nach zwei Halbwertszeiten ein Viertel, nach drei Halbwertszeiten ein Achtel der ursprünglichen Menge noch nicht zerfallen. b) Zu Beginn sei die Stoffmenge m des radioaktiven Stoffes vorhanden. Nach der halben Halbwertszeit ist ein bestimmter Anteil b der ursprünglichen Stoffmenge m noch nicht zerfallen, es ist also noch die Stoffmenge b m des ursprünglichen radioaktiven Stoffes übrig. Nach der zweiten halben Halbwertszeit ist wieder der Anteil b der Stoffmenge b m übrig, die zu Beginn dieser zweiten halben Halbwertszeit noch vorhanden war. Nach der zweiten halben Halbwertszeit ist die Menge des radioaktiven Stoffes also auf b m gesunken. Zwei halbe Halbwertszeiten sind eine ganze Halbwertszeit. Nach einer Halbwertszeit ist die Hälfte des radioaktiven Stoffes noch nicht zerfallen, die Menge des radioaktiven Stoffes beträgt also noch m. Somit gilt b m = m oder b =. Es folgt b = 0,707. Somit sind nach einer halben Halbwertszeit ca. 70,7 % der ursprünglichen Stoffmenge des radioaktiven Stoffes noch nicht zerfallen. GFS-Thema: Altersbestimmung mit der C 4-Methode Seite 75 Nach zwei Halbwertszeiten ist der C 4-Anteil auf ein Viertel gesunken. Der Organismus ist also ca. T H = 460 Jahre tot. Anteil A (t) A 0 = 0,045 ; t = 570 lo g 0,5 (0,045) Das Mammut ist ca Jahre alt. siehe Tabelle unten 4 a) Jesus wurde ca. 0 Jahre alt. 988 war er also ca. 958 Jahre tot. Der C 4-Anteil A (958) beträgt also ca. A (958) = A 0 ( ) Der Anteil am ursprünglichen Gehalt ist A (958) A 0 = ( ) ,789. Der Anteil des C 4-Gehalts am ursprünglichen C 4-Gehalt sollte ca. 78,9 % betragen. b) Bei einem C 4-Anteil von 9 % erhält man das Alter 570 lo g 0,5 (0,9) 690 Jahre. Bei einem C 4-Anteil von 9 % erhält man das Alter 570 lo g 0,5 (0,9) 780 Jahre. Das Grabtuch stammt also aus den Jahren zwischen 08 und 98, also aus dem. Jahrhundert. c) Nach den Messungen hat das Grabtuch im Jahr 5 bereits existiert. Es wäre also möglich, dass es 5 bemalt wurde. 5 t = 570 lo g 0,5 (0,06) 850 Die Malereien sind ca. 000 Jahre alt. 6 Sei C die Menge an C und C. Sie bleibt mit der Zeit M (t) annähernd gleich. Es ist A (t) = C und A 0 = M 0 C. M (t) C A (t) Somit ist A = 0 M 0 C t M (t) = M = ( ), also A (t) = A 0 ( ) t 570. Tabelle zu Seite 75, Aufgabe Venusfigur C 4-Anteil maximal Alter mindestens C 4-Anteil minimal Alter höchstens Lespugue 5,5 % 570 lo g 0,5 (0,055) Jahre 4, % 570 lo g 0,5 (0,04) Jahre Gönnersdorf 4,9 % 570 lo g 0,5 (0,49) 500 Jahre 6, % 570 lo g 0,5 (0,6) Jahre Hohle Fels,5 % 570 lo g 0,5 (0,05) 000 Jahre,45 % 570 lo g 0,5 (0,045) Jahre III Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen L 5