Beispielklausur für zentrale Klausuren

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1 Seite von 5 Beispielklausur für zentrale Klausuren Aufgabenstellung Mathematik Gegeben ist die Funktion f mit f ( = 0,5 4, Die Abbildung zeigt den zu f gehörigen Graphen. Abbildung a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f in H( ) einen Hochpunkt und in T(4 -) einen Tiefpunkt besitzt. (8 Punkte) b) Die Funktion f lässt sich auch darstellen in der Form: f ( = ( ) (0,5 + ). Ermitteln Sie alle Nullstellen von f und geben Sie diese nicht als Näherungswerte, sondern eakt an. ( Punkte) c) Zeigen Sie, dass der Graph von f den Wendepunkt W( 0) besitzt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente an den Graphen von f. (7 Punkte) d) Entscheiden Sie, ob die Aussagen A bis C jeweils wahr oder falsch sind, und begründen Sie Ihre Entscheidungen. A Die Steigung der Geraden durch die Punkte T(4 -) und A(6 f (6)) beträgt 5. B Der Graph der Ableitungsfunktion f fällt für >. C Die Funktionswerte der Ableitung von f sind nie kleiner als, 5. (8 Punkte) e) Der Graph der Funktion f wird jetzt zwei einfachen Veränderungen unterzogen. Dabei entstehen jeweils die beiden Graphen der Abbildungen A und B.

2 Seite von 5 Abbildung A Abbildung B () Beschreiben Sie, wie der Graph in Abbildung A aus dem Graphen von f hervorgeht, und geben Sie an, welche Funktionsgleichung zu dem Graphen in dieser Abbildung passt, indem Sie diese aus den Möglichkeiten (A) (A) auswählen. (A) g ( = f ( ) (A) g ( = 0,5 f ( ) (A) g ( = f ( + () Beschreiben Sie, wie der Graph in Abbildung B aus dem Graphen von f hervorgeht, und geben Sie zu dem Graphen in dieser Abbildung dann entsprechend selber eine geeignete Funktionsgleichung an. (6 Punkte)

3 Seite von 5 Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Unterlagen für die Lehrkraft - Modelllösungen Nr. Punkte a f '( =,5 9 + f ''( = 9 f '() = 0 f ''() = < 0, f () = f '(4) = 0 f ''(4) = > 0, f (4) = Damit ergibt sich der Hochpunkt H ( ) und der Tiefpunkt ( 4 ) T. 8 b Nullstellen von f : f ( = 0 ( ) (0,5 + ) = 0 = 0 0,5 + = 0 = = = + Damit ergeben sich die Nullstellen =, = und =. + c f '''( = f ''() = 0 f '''() = 0, f () = 0 Damit ergibt sich der Wendepunkt ( 0) Gleichung der Wendetangente t mit m = f '() =,5 W. y = m + b : Wegen W t ergibt sich: 0 =,5 + b b = 4, 5 und damit die Gleichung der Wendetangente t : y =,5 + 4, 5. 4 der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit ent-

4 Seite 4 von 5 d e sprechender A: Die Aussage ist wahr, da für die Steigung der Geraden gilt: (6) ( ) 9 + m = f = = B: Die Aussage ist falsch, da z. B. wegen f ''(4) = > 0 der Graph von f ' an der Stelle = 4 steigt. C: Die Aussage ist wahr, da an der Wendestelle = der Graph von f am steilsten fällt und f '() =, 5 gilt. () Der Graph der Abbildung A entsteht aus dem Graphen von f durch Streckung mit dem Faktor in y-richtung. Daraus ergibt sich die passende Funktionsgleichung g ( = f ( ). () Der Graph der Abbildung B entsteht aus dem Graphen von f durch Stauchung mit dem Faktor 0,5 in y-richtung und Spiegelung an der -Achse. Daraus ergibt sich die passende Funktionsgleichung h( = 0,5 f (. 4 Summe: Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus 54-5 gut 5-48 gut minus

5 Seite 5 von 5 befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend 5-8 ausreichend minus mangelhaft plus 4 - mangelhaft 0-7 mangelhaft minus 6 - ungenügend 0-0

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