Exponential- und Logarithmusfunktion

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Eike Hausler
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1 Eponential- und Logarithmusfunktion. Gegeben sind die Funktionen f : y = 0,5 log 3 ( + 2) und f 2 : y = 0,5 log 3 ( ) mit G =R R. (a) Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f 2 an. (b) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph der Funktion f durch orthogonale Affinität an der -Achse mit k = und anschließender Verschiebung mit dem Vektor ( ) 3 v = auf den Graphen der Funktion f 2 2 abgebildet werden kann. (c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von f und f 2. Lösung: (a) D = ]; [ W =R (b) -.- (c) S(,30,54) 2. In einem Trockengebiet Afrikas wird ein Tiefbrunnen gebaut und Grundwasser gefördert. Messungen ergeben, dass die Grundwasservorräte dadurch von anfangs 0,08km 3 jedes Jahr um 2% im Vergleich zum Vorjahr sinken. Lösung: (a) -.- (a) Erklären Sie kurz, warum für die Berechnung der restlichen Grundwassermenge ykm 3 nach Jahren folgende Gleichung gilt: y = 0,08 0,98 (G =R + R + ) (b) Wie viele Kubikmeter Wasser wurden im ersten Jahr gefördert? (c) Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren der Grundwasservorrat auf die Hälfte der Anfangsmenge gesunken ist. (d) Durch einen zweiten Tiefenbrunnen verdoppelt sich die Abnahme des Grundwasservorrates auf 4% jeweils im Vergleich zum Vorjahr. Ermitteln Sie rechnerisch, wie viel Prozent der ursprünglichen Grundwassermenge in diesem Fall nach 50 Jahren noch vorhanden sind. (b) m 3 (c) 34,3 Jahre (d) 2% 3.

2 O g Lösung: (a) Gegeben sind die beiden Funktionen f mit der Gleichung y = log,5 ( )+2 und f 2 mit der Gleichung y = log,5 (). Ausschnitte aus den Graphen der beiden Funktionen sind dargestellt. (a) Begründe: Der Graph g stellt die Funktion f 2 dar. (b) Punkte A n liegen auf dem Graphen zu f. Die Punkte B n mit dem gleichen Abszissenwert wie die Punkte A n liegen auf dem Graphen zu f 2. Zeichne für =,2 die Strecke [A B ] ein. (c) Zeige: Für die Streckenlängen A n B n gilt in Abhängigkeit von : ( ) A n B n () = log,5 3 LE (d) Mit Hilfe des Ergebnisses der Aufgabe (c) lässt sich der Abszissenwert des Schnittpunktes der beiden Graphen berechnen. Zeige, dass sich daraus die Gleichung ableiten lässt. Berechne. = 3,375 2

3 Asymptote zu f 2 B O g A Die Asymptote der Funktion f 2 hat Die Gleichung = 2. Die Asymptote der Funktion f hat die Gleichung =. Also kann nur der Graph g die Funktion f 2 darstellen. (b) Siehe Zeichnung. (c) A n B n () = y Bn y An = log,5 () [log,5 ( )+2] A n B n () = log,5 () log,5 ( ) 2 [ ] A n B n () = log,5 3 LE (d) Am Schnittpunkt wird eine der Streckenlängen A n B n zu Null: log,5 = 3,5 =,53 = 3,375 = 2 5 2,

4 A O B Gegeben sind die Punkte A( 2 ) und B(3 ) sowie die Funktion f mit der Gleichung y =, auf G =RXR. Ein Ausschnitt des Graphen der Funktion f ist zusammen mit den Punkten A und B oben dargestellt. Auf dem Graphen von f wandern Punkte D n (, ), so dass Parallelogramme ABC n D n entstehen. (a) Gib die Gleichung der Asymptoten a des Funktionsgraphen an. (b) Zeichne für = und = 2 die Parallelogramme ABC D und ABC 2 D 2 ein. (c) Untersuche, ob sich der Graph der Funktion f und der Trägergraph der Punkte C n außerhalb des I. Quadrantens schneiden. (d) Zeige:FürdenFlächeninhaltAderParallelogrammeABC n D n giltinabhängigkeit von : A() = (5, ) FE. (e) Unter allen Parallelogrammen ABC n D n gibt es die Raute ABC 3 D 3. Konstruiere diese Raute. Konstruktionslinien müssen sichtbar bleiben. Berechne den Flächeninhalt der Raute, indem du die erforderlichen Größen der Zeichnung entnimmst. Bestätige mit Hilfe des Ergebnisses der Aufgabe (d) dein Ergebnis für die Rautenfläche. (f) Stelle in deiner Zeichnung die Menge aller Belegungen von dar, für die es Parallelogramme ABC n D n gibt. Lösung: (a) a: y = 2. (b) 4

5 D 0 f D D 2 D 3 a A C C 2 C 3 O (c) Im II. Quadranten liegen alle Punkte C n unterhalb der Asymptote a und oberhalb der -Achse, weil in jedem der Parallelogramme ABC n D n der Punkt C n jeweils 2 LE unterhalb seines Punktes D n liegt. Damit hat der Trägergraph der Punkte C n die -Achse als Asymptote. Alle Punkte des Graphen der Funktion f liegen aber oberhalb der Asymptoten a. Also meiden sich die beiden Graphen außerhalb des I. Quadranten. Hinweis: Natürlich könntest du auch die Gleichung des Trägergraphen f der Punkte C n rechnerisch herleiten: ( Er ensteht ) durch Parallelverschiebung des Graphen der 5 Funktion f mit dem Vektor. Dann müsstest du die beiden Graphen rechnerisch 2 zum Schnitt bringen. Es stellt sich heraus, dass die Lösungsmenge der zugehörigen Gleichung leer ist. ( ) 5 (d) Es gilt: AB = und AD 2 n = A() = 2 5 2, ( ), FE = [5 (,2 3 +)+2 ()] FE A() = (5, ) FE = (5, ) FE. (e) Siehe Zeichnung: Alle Rauten haben vier gleich lange Seiten. Der Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AB schneidet den Graphen der Funktion f im Punkt D 3. Z.B. liefert dann die Spiegelung des Punktes A an der Diagonalen [BD 3 ] den Punkt C 3. A Raute = 0,5 AC 3 BD 3 = (0,5 0 4)FE = 20FE Dem Anschein nach hat also der Abszissenwert des Punktes D 3 den Wert 3. A(3) = (5, )FE = 20FE. (f) Der Punkt D 0 ist der Schnittpunkt der Halbgeraden [BA mit dem Graphen von f. An dieser Stelle entartet das betreffende Parallelogramm zur Strecke. Links von D 0 kehrt sich der Drehsinn der Parallelogramme ABC n D n um, was nicht erlaubt ist. Also stellt die fett markierte Halbgerade auf der -Achse, die senkrecht unter D 0 anfängt und sich beliebig weit nach rechts fortsetzt, die Menge aller zulässigen - Werte für Parallelogramme ABC n D n dar. 5 B

6 Anmerkungen: InderZeichnungscheint = 5dielinkeGrenzezusein.Genauer: = 5, Unter dem Dateinamen 0eh038.gt sind die Lösungen dynamisch nachzuvollziehen. 5. Die größte Zahl die man aus drei Ziffern bilden kann, ist Wohlgemerkt: 9 99 = 9 (99). Dagegen ist nämlich (9 9 ) 9 = = 9 8. (a) Berechne die letzte Ziffer des Potenzwertes. (b) Berechne möglichst genau, aus wie vielen Ziffern der Wert dieser Potenz besteht. (c) Stelle dir vor, eine Klasse aus 30 Schülerinnen und Schülern bekäme den Auftrag, den Wert dieser Potenz Ziffer für Ziffer aufzuschreiben, wobei jede/jeder gleich viele Ziffern übernimmt. Wie lange hätten alle zu tun, wenn pro Sekunde eine Ziffer notiert wird? Lösung: (a) Bei geradem Eponenten lautet die Endziffer stets, bei ungeradem Eponenten 9. Andere Endziffern außer oder 9 gibt es nicht = ; die letzte Ziffer des Eponenten ist 9, also ungerade. Damit endet der Wert der Potenz 9 99 auf die Ziffer 9. (b) 9 99 = 9 (9 9) = Diese Zahl gilt es nun, in eine Potenz mit der Basis 0 zu verwandeln, weil der Eponent jeder Zehnerpotenz die Stellenzahl des Potenzwertes wiedergibt: = log log 0 9 = log log Das bedeutet: Der Wert der Potenz hat etwa Stellen. (c) Für die Niederschrift von Ziffern brauchst du also s. d = 86400s s : s d 4279d. Bei 30 Schülerinnen/Schülern hätte also jede(r) 4279d : 30 42d, also ca. viereinhalb Monate pausenlos zu tun. Anmerkung: Neben den vier Grundrechenarten wurde hier das Potenzieren zur Darstellung der größten Zahl aus drei Ziffern (und nicht nur dreiziffrigen ) herangezogen. Es gibt noch ein Rechenzeichen, mit dem man den Zahlenwert bis ins Unermessliche steigern könnte: Es ist das Zeichen! (sprich: Fakultät ), das beispielsweise die folgende Bedeutung hat: 3! (sprich: Drei Fakultät ) = 2 3 = 6 oder 5! = = 20. Damit eröffnen sich enorme Möglichkeiten: (3!)! oder kurz 3!! = 6! = 720 usw. 6

7 Es wird jetzt klar, dass es unter Einbeziehung des Fakultätszeichens für die größte Zahl aus drei Ziffern nach oben keine Grenze gibt: 9!!!... 9!!!...9!!!... Das Fakultätszeichen taucht jedoch in der Regel im Stoff der Sekundarstufe I lediglich im Kapitel Daten und Zufall auf. 7

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