Quadratische Funktionen und Gleichungen

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1 Quadratische Funktionen und Gleichungen. Das ist ein Bild der Nationalflagge von England. cm cm a cm Lösung: (a) b cm (a) Zeichne die Figur für a =, b = 6 und = 2 im Maßstab :2. (b) Zeige rechnerisch: FürdenFlächeninhaltA w desweißenanteilsdieserflaggegiltinabhängigkeit von : A w () = ( )cm 2 Für den Flächeninhalt A k des Kreuzes in dieser Flagge gilt in Abhängigkeit von : A k () = ( 2 +27)cm 2 (c) Berechne so, dass die Fläche des Kreuzes 30% der Gesamtfläche ausmacht. (d) Berechne so, dass die Inhalte von weißer Fläche und Kreuzfläche gleich sind. (b) Eine Möglichkeit der Lösung besteht darin, vom Flächeninhalt der Flagge denjenigen der beiden überlappenden Rechtecke, die das Kreuz ergeben, zu subtrahieren. Um den Flächeninhalt des Kreuzes zu erhalten, musst du jedoch am Ende den Inhalt des Quadrates im Zentrum einmal abziehen, weil das Quadrat ja beiden besagten Rechtecken angehört. Also: A w () = 6cm 2 (+6 2 )cm 2 = ( )cm 2 Wie oben schon dargelegt, ergibt sich: A k () = (+6 2 )cm 2 = ( 2 +27)cm 2 (c) Der Flächeninhalt des umlaufenden Rechtecks beträgt 76cm 2. 30% von 76cm 2 = 52,8cm 2. 52,8 = ,8 = 0 ;2 = 27± 57,8 2 = 0,5 (27+ 57,8) 24,88 ( ), wegen G =]0; [ R. 2 = 0,5 (27 57,8) 2,2 G =]0; [ R. Also: L = {3,5 0,5 57,8}.

2 (d) = = 0 mit G =]0; [ R ;2 = 54± = 3,5+0, ,2 ( ), wegen G =]0; [ R. 2 = 3,5 0, ,79 G =]0; [ R. Also: L = {3,5 0,5 377} 2. Lösung: (a) Familie Taerkot hat auf ihrem eingezäunten Grundstück einen 40m 2 großen Garten angelegt. Er wurde zusätzlich mit einem 25, 5 m langen Maschendrahtzaun abgegrenzt. (a) Berechne Länge und Breite. (b) Hätte Familie Taerkot mit 25,5m Maschendraht auf die in der Abbildung dargestellte Weise eine noch größere Gartenfläche abgrenzen können? m y m Es gilt: +y = 25,5 () y = 25,5 () y = 40 (2) () ) in (2): (25,5 ) = ,5 40 = 0 L = {7,5 ; 8}. Wegen () folgt: y = 8 y = 7,5. Das Gartengrundstück ist 7,5m lang und 8m breit (oder umgekehrt). (b) Für den Flächeninhalt A gilt: A = ym 2. Mit () folgt A() = (25,5 )m 2 A() = ( 2 +25,5)m 2. Der Etremwert muss wegen des negativen Vorzeichens von 2 ein Maimum sein. Die Berechnung erfolgt z.b. so, als ob du die Scheitelkoordinaten der zugehörigen (nach unten geöffneten) Parabel ermittelst: a = b = 25,5 und c = 0: S = 25,5 2 = 2,75 und y S = 0 25,52 = 62,5625 (Maimum). 4 Mit dem 25, 5 m langen Maschendraht hätte Familie Taerkot auf diese Weise sogar etwas mehr als 62m 2 einzäunen können. 2

3 Die Länge = 2,75m liefert mit () die Breite y = (25,5 2,75)m = 2,75m. Das bedeutet, dass der flächengrößte Garten eine quadratische Form hätte. 3. Ursula und Hans wollen die folgenden quadratischen Gleichungen lösen: 2 + 0,5 4 = 0 () = 0 (2) (a) Hans bekommt für die Gleichung () die Lösungsmenge { 4; 3,6} heraus. Überprüfe das. (b) Danach schaut sich Ursula die Gleichung (2) genauer an. Sie meint schließlich: Da brauchen wir die Lösungsformel gar nicht. Die beiden Gleichungen müssen dieselben Lösungen haben. Wie hat Ursula das erkannt? Lösung: (a) Du kannst das durch z.b. Einsetzen überprüfen: 4 in (): ( 4) 2 +0,5 ( 4) 4 = 0 ergibt eine wahre Aussage. 3,6 in (): 3,6 2 +0,5 3,6 4 = 0,76 0; d.h. 3,6 ist keine Lösung. (b) 2 +0,5 4 = = 0. Wenn du jetzt noch die Summanden und2 2 vertauschst,erhältstdudiegleichung(2). BeideGleichungen sindäquivalent. Also haben sie die gleiche Lösungsmenge. 4. y O 3

4 Für die Gleichung einer Parabel p gilt a = 0,5. Die Punkte P( 4 4,5) und Q( 3) liegen auf dieser Parabel. Die Parabel p und die Geradeg mit der Gleichung y = 0,5+2 sind in Ausschnitten dargestellt. (a) Zeige durch Rechnung: Die Parabel p hat die Gleichung y = 0, ,5. (b) Berechne die Scheitelkoordinaten der Parabel. (c) Es werden nun rechtwinklige Dreiecke A n B n C n mit den folgenden Eigenschaften erzeugt: Die Punkte A n liegen auf der Geraden g. Die Punkte C n liegen auf der Parabel p. DiePunkteA n sinddiescheitel derrechten Winkel aller Dreiecke A n B n C n. Die Punkte C n haben den gleichen Abszissenwert wie die Punkte A n. Der Abszissenwert der Punkte B n ist stets um 3 kleiner als der Abszissenwert der Punkte C n. Zeichne oben für = 2 das Dreieck A B C ein. (d) Gib zwei -Werte an, für die es kein Dreieck gibt. Begründe deine Wahl. (e) Begründe: Unter allen Dreiecken A n B n C n gibt es keines, das zu einem Punkt entartet. Lösung: y B A O C (a) P( 4 4,5): -4,5 = 0,5 ( 4,5) 2 +b ( 4,5)+c Q( 3): 3 = 0,5 2 +b +c 4,5 = 8 4b+c () 3 = 0,5+b+c (2) (2) (): 7,5 = 7,5+5b 4

5 b = 3 und z.b. in (2): c = 0,5. Also gilt für p: y = 0, ,5. (b) S = 3 2 0,5 = 3 und y S = 0,5 32 = 5 S( 3 5). 4 0,5 (c) Siehe Zeichnung oben. (d) An den Schnittpunkten der Parabel mit der Geraden gilt: = 6 bzw. =. Dort liegen die betreffenden Punkte A n und C n aufeinander. Also gibt es jeweils kein Dreieck. (e) Weil die Punkte B n niemals mit den Punkten A n zur Deckung kommen, kann das betreffende Dreieck höchstens zur Strecke entarten. 5. y O Gegeben sind die Parabel p : y = 0, ,5 + 2, die Parabel p 2 : y = 2 8+ sowie die Gerade g : y = +5. Ausschnitte aus diesen Graphen sind oben dargestellt. (a) DieGerade g schneidet die Parabel p in den Punkten Aund B. Dabei liegt der Punkt B im IV. Quadranten. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes B. 5

6 (b) Die Punkte R n ( 0,5 2 +2,5+2) liegen auf der Parabel p, die Punkte Q n ( +5) liegen auf der Geraden g und die Punkte P n ( 2 8+) liegen auf der Parabel p 2. Die Punkte P n und R n haben stets den gleichen Abszissenwert. Die Punkte Q n haben jeweils eine um größere Abszisse als die Punkte P n und R n. Dadurch entstehen laufend Dreiecke P n Q n R n. Zeichne für = 2 das Dreieck P Q R ein. (c) Zeige: Für den Flächeninhalt A der Dreiecke P n Q n R n gilt: A() = ( 0, ,25 4,5) FE [ Teilergebnis:R n P n () = (,5 2 +0,5 95) LE ] Unter allen Dreiecken P n Q n R n gibt es ein flächengrößtes: das Dreeick P 0 Q 0 R 0. Berechne dieses Maimum und die zugehörigen Koordinaten des Eckpunktes P 0. (d) Im Dreieck P 3 Q 3 R 3 hat der Mittelpunkt M 3 der Strecke P 3 R 3 den y-wert. Berechne die -Koordinate von M 3. Lösung: y R A Q O P B (a) p g: 0,5 2 +2,5+2 = +5 0,5 2 +3,5 3 = 0. [ = ] 2 = 6 in g: y = 6+5 = B(6 ). (b) Siehe Zeichnung. 6

7 (c) R n P n () = y Rn y Pn = [ 0,5 2 +2,5+2 ( 2 8 )] LE = (,5 2 +0,5 9) LE. A() = 0,5 (,5 2 +0,5 9) FE = ( 0, ,25 4,5) FE. A ma = 4,5 5,252 4 ( 0,75) FE 4,69 FE. = 5,25 = 3,5 liefert dieses Maimum. 2 ( 0,75) P 0 (3,5 3, ,5+) = (3,5 4,75) (d) y Mn () = (2 8+)+( 0,5 2 +2,5+2) 2 = 0,25 2 2,75+6,5 =. [ 8,37] 2 2, y O Gegeben sind die Parabel p : y = 0,25 2 0,5+3,25 sowie die Gerade g : y =, 5 + 2, 25. Ausschnitte aus diesen Graphen sind oben dargestellt. 7

8 (a) Begründe rechnerisch: Die Gerade g berührt die Parabel p. (b) DiePunkteM n (,5+2,25)aufderGeradeng sinddiediagonalenschnittpunkte von Rauten A n B n C n D n. Die Eckpunkte A n ( 0,25 2 0,5+3,25) der Rauten A n B n C n D n liegen auf der Parabel p. Die Eckpunkte C n besitzen stets den gleichen Abszissenwert wie die Punkte A n. Die Länge der Diagonalen [B n D n ] der Rauten A n B n C n D n beträgt stets 4LE. Zeichne für = 2,5 die Raute A B C D ein. (c) Zeige: Für den Flächeninhalt A der Rauten A n B n C n D n gilt: A() = ( ) FE [ Teilergebnis:A n M n () = (0, ) LE ] (d) Die Raute A 0 B 0 C 0 D 0 soll diejenige unter allen Rauten A n B n C n D n sein, die den minmalen Flächeninhalt besitzt. Berechnen Sie die zugehörige Belegung von. Es stellt sich heraus, dass der minimale Flächeninhalt 0 FE beträgt. Begründen Sie diesen Sachverhalt in Worten mit Hilfe Ihrer Zeichnung. (e) Geben Sie die Koordinaten der Rauteneckpunkte D n in Abhängigkeit von an. Lösung: 8

9 y T A O M B D (a) p g: 0,25 2 0,5+3,25 =,5+2,25 0, = 0 D = 2 4 0,25 = 0; also berührt die Gerade g die Parabel p. (b) Siehe Zeichnung. (c) A AnB nc nd n = 2 A nm n B n D n : A n M n = [ (0,25 2 0,5+3,25) (,5+2,25) ] LE A n M n () = 0, ) LE. A() = 2 2 (0,252 ++) 4 FE = ( ) FE (d) = 4 = 2. Dieser -Wert liefert das Minimum. 2 Für = 2 entartet die Raute zur Strecke, denn = 2 ist der Abszissenwert des Berührpunktes T der Geraden g mit der Parabel p (siehe Zeichnung). (e) D n (,5+2,25). C 7. 9

10 m Fliesen 6m m Eichenholz Der quadratische Boden eines Badezimmers mit einer Seitenlänge von 6 m ist einerseits gefliest, anderserseits mit Eichenbrettern L-förmig verlegt worden. Das L hat eine Breite von m. Die Fläche aus Holz ist halb so groß wie die gesamte Bodenfläche. (a) Zeige: = (b) In welchem Maßstab ist der Grundriss des Badezimmers in der obigen Figur dargestellt? Konstruiere mit Zirkel und Lineal in diesen Grundriss maßstabgerecht die Streckenlänge m = (6 3 2)m. Tipp: = 6 0, Vervollständige damit die Flächenaufteilung des Badezimmers. Lösung: (a) Wenn das L überall m dick ist, dann ist die geflieste Fläche ein Quadrat mit der Seitenlänge (6 )m. Wenn das L die Hälfte der Gesamtfläche ausmacht, dann muss die quadratische geflieste Fläche die andere Hälfte einnehmen. Als Maßzahlengleichung ergibt sich dann: (6 ) 2 = 0.5 (6 6) = 8, mit ]0, 6[ R. 6 = 8 = 9 2 = = = 3 2. = = Wegen ]0, 6[ R folgt = (b) Der Grundriss ist im Maßstab : 00 dargestellt. (m = 00cm). 0

11 m 0,5 6 2m 6m m Ein Quadrat, dessen Seitenlänge 6cm beträgt, hat eine Diagonalenlänge von 6 2cm. 0,5 6 2cm ist dann gerade die halbe Diagonalenlänge dieses Quadrates. Du erhältst, wenn du mit Hilfe des Kreisbogens die Differenz aus der Seitenlänge des großen Quadrates und seiner halben Diagonalenlänge abträgst. Der Rest ist klar. 8. D Q n C R n P n A S n B In das Rechteck ABCD mit AB = 8cm und BC = 6cm werden Parallelogramme P n Q n R n S n einbeschrieben, wobei gilt: BP n = DR n = 6kcm und AS n = CQ n = 8kcm mit k ]0; [ R. (a) ZeichnedasRechteck ABCD undfürk = 0,25dasParallelogrammP Q R S. (b) Zeige: FürdasVerhältnis q der Flächeninhalte der Parallelogramme P n Q n R n S n zum Rechteck ABCD gilt in Abhängigkeit von k: q(k) = A P nq nr ns n A ABCD = 2k( k). (c) k = 0,4 erzeugt das Parallelogramm P 2 Q 2 R 2 S 2. Wie viel Prozent der Fläche des Rechtecks ABCD wird von diesem Parallelogramm eingenommen?

12 (d) UnterallenParallelogrammenP n Q n R n S n gibtesdieparallelogrammep 3 Q 3 R 3 S 3 und P 4 Q 4 R 4 S 4, die jeweils 58% der Fläche des Rechtecks ABCD einnehmen. Berechne die zugehörigen Belegungen von k. (e) Für k = 0,5 wird das Parallelogramm P 5 Q 5 R 5 S 5 erzeugt. Zeichne dieses Parallelogramm in einer anderen Farbe ein. Um welches besondere Parallelogramm handelt es sich hier? Begründe deine Antwort. Zeige: Unter allen Parallelogrammen P n Q n R n S n besitzt dieses Parallelogramm P 5 Q 5 R 5 S 5 den kleinsten Flächeninhalt. Lösung: (a) D Q 5 Q C R R 5 P 5 P A S (b) Es gilt S n BP n = Rn Q n D und P n CQ n = ASn R n. A ABCD = 48cm 2 A PnQ nr ns n = A ABCD 2 A SnBP n 2 A PnCQ n. 2 A SnBP n = 2 0,5 S n B BP n = ( k) 8cm 6kcm = 48cm 2 ( k) k. 2 A PnCQ n = 2 0,5 P n C CQ n = ( k) 6cm 8kcm = 48cm 2 ( k) k. S 5 B A PnQ nr ns n A PnQ nr ns n = 48cm cm 2 ( k) k = 48cm 2 [ 2k( k)] q(k) = A P nq nr ns n A ABCD (c) q(0,4) = 2 0,4 ( 0,4) = 0,52 = 52% (d) = 48cm2 [ 2k( k)] 48cm 2 = 2k( k). k = 0,3 und k 2 = 0,7 (e) Siehe Zeichnung. 2k( k) = 0,58 2k 2 2k + = 0,58 2k 2 2k +0,42 = 0 Es handelt sich um eine Raute. Begründung:DievierrechtwinkligenDreieckeS 5 BP 5,P 5 CQ 5,R 5 Q 5 D undas 5 R 5 2

13 sind kongruent, denn die besitzen jeweils Katheten, die jeweils 3cm bzw. 4cm lang sind. Also sind auch ihre Hypotenusen, die die Seiten des Parallelogramms P 5 Q 5 R 5 S 5 bilden, gleich lang. Also ist dieses Viereck eine Raute. q(k) = 2k( k) = 2k 2 2k+ = 2(k 2 k+0,5 2 0,25)+ = 2[(k 0,5) 2 0,25)+] = 2(k 0,5) 2 +0,5 k = 0,5 liefert den minimalen Flächenanteil von 0,5 = 50%. 3