SMART. Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX. Jahrgangsstufe 10 (Realschule)

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1 SMRT Sammlung mathematischer ufgaben als Hypertext mit TEX Jahrgangsstufe 10 (Realschule) herausgegeben vom Zentrum zur Förderung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts der Universität ayreuth 18. März 2014 ie ufgaben stehen für private und unterrichtliche Zwecke zur Verfügung. Eine kommerzielle Nutzung bedarf der vorherigen Genehmigung.

2 Inhaltsverzeichnis I. Wahlpflichtächergruppe I 3 1. Potenzfunktionen 4 2. Exponential- und Logarithmusfunktion 6 3. Trigonometrische Funktionen bbildungen im Koordinatensystem Zusammenfassende ufgaben 28 II. Wahlpflichtfächergruppe II/III Quadratische Funktionen Quadratische Funktionen und Gleichungen Trigonometrie erechnungen am Kreis Raumgeometrie 85 2

3 Teil I. Wahlpflichtächergruppe I 3

4 1. Potenzfunktionen 1. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y = 3 +2 (G =R R). x 1 (a) Geben Sie die efinitionsmenge und die Wertemenge von f sowie die Gleichung der symptoten des Graphen von f an. (b) Tabellarisieren Sie f für x {1,5;2;3;5;7}. Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in ein Koordinatensystem ein. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1cm; 4 x 9 und 5 y 9 (c) erechnen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion f 1 von f. Zeichnen Sie sodann den Graphen von f 1 in das Koordinatensystem zu (b) ein und geben Sie die Gleichung der symptoten an. (d) uf dem im I.Quadranten liegenden Teil des Graphen zu f wandern Punkte Q, auf der Geraden g mit y = 1 Punkte P. ie Punkte P und Q besitzen jeweils die gleiche bszisse x und sind Eckpunkte von reiecken OPQ mit O(0 0). Zeichnen Sie das reieck OP 0 Q 0 für x 0 = 5 in das Koordinatensystem zu (b) ein und berechnen Sie den Flächeninhalt (x) der reiecke OP Q in bhängigkeit von x. Vereinfachen Sie dabei den Flächenterm so weit wie möglich. (e) erechnen Sie den x Wert, für den die Länge der Strecke [PQ] genauso groß wie ihr bstand von der y chse ist. 2. Zwei gleiche Sektkelche sind jeweils bis auf die halbe Höhe gefüllt. er Inhalt des einen Kelches wird in den anderen gegossen. erechne die Füllhöhe! 6 cm 12 cm + = 4

5 1. Potenzfunktionen 5

6 2. Exponential- und Logarithmusfunktion 1. Gegeben sind die Funktionen f 1 : y = 0,5 log 3 (x+2) 1 und f 2 : y = 0,5 log 3 (x 1) 1 mit G =R R. (a) Geben Sie die efinitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f 2 an. (b) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph der Funktion f 1 durch orthogonale ffinität an der x-chse mit k = 1 und anschließender Verschiebung mit dem Vektor ( ) 3 v = auf den Graphen der Funktion f 2 2 abgebildet werden kann. (c) erechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von f 1 und f In einem Trockengebiet frikas wird ein Tiefbrunnen gebaut und Grundwasser gefördert. Messungen ergeben, dass die Grundwasservorräte dadurch von anfangs 0,08km 3 jedes Jahr um 2% im Vergleich zum Vorjahr sinken. (a) Erklären Sie kurz, warum für die erechnung der restlichen Grundwassermenge ykm 3 nach x Jahren folgende Gleichung gilt: y = 0,08 0,98 x (G =R + R + ) (b) Wie viele Kubikmeter Wasser wurden im ersten Jahr gefördert? (c) erechnen Sie, nach wie vielen Jahren der Grundwasservorrat auf die Hälfte der nfangsmenge gesunken ist. (d) urch einen zweiten Tiefenbrunnen verdoppelt sich die bnahme des Grundwasservorrates auf 4% jeweils im Vergleich zum Vorjahr. Ermitteln Sie rechnerisch, wie viel Prozent der ursprünglichen Grundwassermenge in diesem Fall nach 50 Jahren noch vorhanden sind. 3. 6

7 2. Exponential- und Logarithmusfunktion y 1 O 1 x g Gegeben sind die beiden Funktionen f 1 mit der Gleichung y = log 1,5 (x 1)+2 und f 2 mit der Gleichung y = log 1,5 (x+2) 1. usschnitte aus den Graphen der beiden Funktionen sind dargestellt. (a) egründe: er Graph g stellt die Funktion f 2 dar. (b) Punkte n liegen auf dem Graphen zu f 1. ie Punkte n mit dem gleichen bszissenwert x wie die Punkte n liegen auf dem Graphen zu f 2. Zeichne für x = 1,2 die Strecke [ 1 1 ] ein. (c) Zeige: Für die Streckenlängen n n gilt in bhängigkeit von x: ( ) x+2 n n (x) = log 1,5 x 1 3 LE (d) Mit Hilfe des Ergebnisses der ufgabe (c) lässt sich der bszissenwert des Schnittpunktes der beiden Graphen berechnen. Zeige, dass sich daraus die Gleichung x+2 x 1 = 3,375 ableiten lässt. erechne x. 4. 7

8 2. Exponential- und Logarithmusfunktion y 1 O 1 x Gegeben sind die Punkte ( 2 1) und (3 1) sowie die Funktion f mit der Gleichung y = 1,2 x 3 +2 auf G =RXR. Ein usschnitt des Graphen der Funktion f ist zusammen mit den Punkten und oben dargestellt. ufdemgraphenvonf wandernpunkte n (x 1,2 x 3 +2),sodassParallelogramme n n entstehen. (a) Gib die Gleichung der symptoten a des Funktionsgraphen an. (b) Zeichne für x = 1 und x = 2 die Parallelogramme 1 1 und 2 2 ein. (c) Untersuche, ob sich der Graph der Funktion f und der Trägergraph der Punkte n außerhalb des I. Quadrantens schneiden. (d) Zeige: Für denflächeninhalt der Parallelogramme n n gilt inbhängigkeit von x: (x) = (5 1,2 x 3 +2x+9) FE. (e) Unter allen Parallelogrammen n n gibt es die Raute 3 3. Konstruiere diese Raute. Konstruktionslinien müssen sichtbar bleiben. erechne den Flächeninhalt der Raute, indem du die erforderlichen Größen der Zeichnung entnimmst. estätige mit Hilfe des Ergebnisses der ufgabe (d) dein Ergebnis für die Rautenfläche. (f) Stelle in deiner Zeichnung die Menge aller elegungen von x dar, für die es Parallelogramme n n gibt. 5. ie größte Zahl die man aus drei Ziffern bilden kann, ist Wohlgemerkt: 9 99 = 9 (9 9). agegen ist nämlich (9 9 ) 9 = =

9 2. Exponential- und Logarithmusfunktion (a) erechne die letzte Ziffer des Potenzwertes. (b) erechne möglichst genau, aus wie vielen Ziffern der Wert dieser Potenz besteht. (c) Stelle dir vor, eine Klasse aus 30 Schülerinnen und Schülern bekäme den uftrag, den Wert dieser Potenz Ziffer für Ziffer aufzuschreiben, wobei jede/jeder gleich viele Ziffern übernimmt. Wie lange hätten alle zu tun, wenn pro Sekunde eine Ziffer notiert wird? 9

10 3. Trigonometrische Funktionen 1. Ermittle die Koordinate x des Punktes (x 1) des rechtwinkligen reiecks mit (2 2), (2 5) und γ = 90 (a) durch eine Zeichnung, (b) durch drei verschiedene Rechenwege. 2. ie Ecken n von reiecken n mit (1 1), (6 4) liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y = 5. Konstruiere die beiden möglichen rechtwinkligen reiecke 1 und 2 mit jeweils γ = 90 und berechne die x Koordinate der Eckpunkte 1 und Vom Viereck sind die Punkte ( 2 0), (4 4,5), ( 2 3), sowie a = 5LE, f = 7LE, und = 65,83 gegeben. (a) Konstruieren Sie das Viereck. Für die Zeichnung: 3 x 5 und 3 y 5 (b) erechnen Sie die Maße der Winkel α und δ, sowie die Länge der Seite b. (c) erechnen Sie den Flächeninhalt des reiecks mit drei verschiedenen Formeln. 4. Ein Segelflieger wollte von -orf über -Stadt nach -erg und wieder zurück nach -orf fliegen. us flugtechnischen Gründen tritt er jedoch am Punkt den sofortigen Rückflug an. (a) erechnen Sie die Länge der Strecke, die der Flieger zurücklegt. (b) erechne Sie, um wie viele Kilometer der geplante Flug länger gewesen wäre als die tatsächlich zurückgelegte Strecke. 5. Ein Flugzeug fliegt auf geradlinigem Kurs und in gleichbleibender Höhe von 500 m mit einer Geschwindigkeit von 150 m s genau über einen eobachter hinweg. Wie weit ist das Flugzeug nach 20s vom eobachter entfernt und unter welchem Winkel gegen die Horizontale beobachet er es dann? 10

11 3. Trigonometrische Funktionen 6. ie Plattform eines Leuchtturms befindet sich in 23, 8 m Höhe. Mit einem Fernrohr sieht man ein vor nker liegendes Schiff unter einem Winkel von 12,9. Wie weit ist das Schiff horizontal vom Fuß des Leuchtturms entfernt, wenn sich das Fernrohr 1, 60 m über der Plattform befindet? 7. aednern er Giebel eines Hauses soll mit einer symmetrischen Fachwerkkonstruktion verziert werden. lle eingezeichneten Srecken stellen alken dar. Wie viel Meter alken braucht man insgesamt, wenn die Giebelbreite = 6,40m und der Neigungswinkel α = 50 beträgt? 8. uf einem Kinderspielplatz ist an der Spitze eines Stahlgestells ein utoreifen zum Schaukeln aufgehängt. (Siehe Skizze) 6 m 4,5 m Α 34 β Β (a) erechnen Sie das Maß des Winkels β. (b) Wie hoch befindet sich die Spitze über dem Erdboden? (c) Zur Verstärkung der Konstruktion soll von aus eine Stütze s senkrecht zur Strebe [] eingebaut werden. erechnen Sie die Länge dieser Stütze s. 9. Hinweis: Gegebenenfalls sind alle Ergenbisse auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. ie Figur enthält im Zentrum ein Quadrat mit der Seitenlänge 2cm, das von vier kongruenten Trapezen umgeben ist. Es gilt = 4cm und ϕ [26,57 ;90 ]. 11

12 3. Trigonometrische Funktionen (a) Zeichnen Sie diese Figur für ϕ = 35. (b) Zeigen Sie: Nur für diejenigen Winkelmaße ϕ, für die tanϕ > 0,5 gilt, gibt es Trapeze. (c) erechnen Sie ϕ so, dass der Umriss der Figur zum Quadrat wird. (d) erechnen Sie ϕ so, dass der achteckige Umriss der Figur lauter gleich lange Seiten hat. ϕ ϕ Ist dieses chteck aus lauter gleich langen Seiten regelmäßig? egründen Sie Ihre nsicht. ϕ (e) erechnen Sie den Flächeninhalt der Figur in bhängigkeit von ( ϕ. [ Ergebnis: (ϕ) = 36 2 ) cm 2 ] tanϕ ϕ (f) Unter allen chtecken gibt es eines, in dem am Rand 2cm lange Seiten auftauchen. estimmen Sie die zugehörige elegung von ϕ. 10. as Parallelogramm besitzt die Seitenlängen = 3a und = 2a. er Winkel hat das Maß ǫ. (a) Ermitteln Sie durch Rechnung diejenigen eleguge von ǫ, für die sich Parallelogramme mit dem Flächeninhalt von 5a 2 ergeben. (b) Zeigen Sie, dass man die Länge f der iagonalen [] wie folgt in hängigkeit von a und ǫ darstellen kann: f = = 13 12cosǫ a erechnen Sie sodann, für welche elegung von ǫ die Strecke []1,5a lang ist

13 3. Trigonometrische Funktionen G H F E enin ist ein Land in frika. Seine Flagge ist oben abgebildet. lle drei Rechtecke im Inneren sind kongruent. ußerdem gilt: = 6cm. Zusätzlich ist noch ein Kreis eingezeichnet, dessen Mittelpunkt M der Mittelpunkt des Rechtecks ist. (a) egründe: Es muss = 4cm gelten. Zeichne dann die obige Figur. (b) erechne jeweils den nteil der drei Rechtecke im Inneren an der Kreisfläche in Prozent. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. 12. as ist ein ild der Nationalflagge der Tschechischen Republik. 4 cm ε E F 8 cm Es gilt: = 8cm und = 4cm. Zusätzlich ist noch das Winkelmaß ε eingezeichnet. Hinweis: lle Ergebnisse sind gegebenenfalls auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. (a) Zeichnen Sie die Figur für ε = 68. (b) Welche Werte kann ε annehmen, wenn der Punkt E auf der Mittelparallelen des Rechtecks wandert und wenn dabei das reieck E nicht verschwinden soll? (c) erechnen Sie den Flächeninhalt des reiecks E in bhängigkeit von ε. ( ) 4 [ Ergebnis: = tan ε cm 2 ] 2 13

14 3. Trigonometrische Funktionen (d) erechnen Sie ε so, dass die Inhalte aller drei Teilflächen im Inneren des Rechtecks gleich groß sind. Verwenden Sie dabei das Ergebnis der ufgabe (e) noch nicht. (e) erechnen Sie den Flächeninhalt T des Trapezes FE in bhängigkeit von ε. ( [ Ergebnis: T = 16 4 ) tan ε cm 2 ] 2 (f) estätigen Sie nun das Ergebnis der ufgabe (d) mit Hilfe der Ergebnisse der ufgaben (c) und (e). 13. H G S ε E F In der obigen Figur ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 6cm. Es gilt: E = EF = F und ESF = ε. ie Punkte G und H sind auf [] beweglich und es gilt H = G = xcm. Hinweis: Gegebenenfalls sind Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. (a) Zeichne die Figur für x = 1,2. erechne das zugehörige Winkelmaß ε. Hinweis: Zeichne vom Punkt G aus eine Hilfsline so ein, dass du die ufgabe mit Hilfe von ähnlichen reiecken lösen kannst. (b) erechne x so, dass das reieck EF S gleichseitig wird. (c) Untersuche elementargeometrisch (d.h. ohne die Verwendung trigonometrischer Funktionen), ob es unter den reiecken EF S ein gleichschenklig-rechtwinkliges reieck gibt. 14. as ist ein ild der Nationalflagge von England. Zusätzlich wurde noch der Kreis eingezeichnet, dessen Mittelpunkt im Flaggenmittelpunkt liegt. 14

15 3. Trigonometrische Funktionen x cm x cm a cm b cm Hinweis: lle Ergebnisse sind gegebenenfalls auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. (a) Zeichne die Figur für a = 8, b = 12 und x = 2. (b) Wie viel Prozent der Kreuzfläche liegen außerhalb der Kreislinie? 15. n das Quadrat ist das gleichseitige reieck E mit der Seitenlänge a angefügt worden. E a (a) Zeichne die Figur für = 4cm. (b) Zeige elementargeometrisch, also ohne Verwendung von Winkelfunktionen, dass E = 30 gilt. (c) egründe anhand der Zeichnung, dass tan75 = 2+ 3 gilt. (d) estätige das Ergebnis der ufgabe (c) mit Hilfe des folgenden dditionstheorems für die Tangens-Funktion, das in der Formelsammlung steht: tan(ψ +ζ) = tanψ +tanζ 1 tanψ tanζ Tipp: Zerlege das Winkelmaß 75 so in zwei besondere Winkelmaße, dass sich jeweils deren Tangens-Werte aus der Formelsammlung entnehmen lassen. 15

16 3. Trigonometrische Funktionen 16. M Im rechtwinkligen reieck gilt: = 11,20cm und = 6,72cm. er Mittelpunkt der Kathete [] ist M. er Punkt ist der Mittelpunkt des Kreisbogens von nach. erechne den Flächeninhalt des reiecks M. 17. Ziegen gehen sich aus dem Weg M P uf einer kreisförmigen Weide sollen die Ziege Elsa und gleichzeitig ihr angriffslustiger Ziegenbock Lohengrin grasen. amit er dabei Elsa in Ruhe lässt, wird Lohengrin mit einer Leine an einen Pfahl P, der am Rande der Weide eingeschlagen ist, so angebunden, dass den beiden Tieren gleichgroße Flächen zum bweiden zur Verfügung stehen. (a) Zeichne die Figur für r = 4m in einem geeigneten Maßstab. (b) Wie lang ist die Leine? Tipp: Zerlege die Fläche, die Lohengrin beansprucht, in geeignete Teilflächen. 16

17 3. Trigonometrische Funktionen 18. K γ a Z α G β F H as ist das Logo einer japanischen Firma, die Speichermedien herstellt. Im Zentrum befindet sich das gleichseitige reieck G mit dem Mittelpunkt Z. uf den Seiten dieses reiecks wurden drei Quadrate errrichtet. Es gilt: = a. Zusätzlich wurde noch das reieck F HK eingezeichnet. (a) Zeichne die Figur für a = 3cm. (b) erechne α, β und γ. 19. F E M α ψ k 17

18 3. Trigonometrische Funktionen as reieck ist gleichschenklig mit der asis []. er Inkreis k mit dem Mittelpunkt M berührt die reiecksseiten in den Punkten, E und F. (a) Zeichne die Figur für = 9cm und α = 65. (b) Zeichne das Viereck MF ein. Zeige: ψ = α. (c) Zeige: Für das Verhältnis der Flächeninhalte der reiecke EF und gilt: EF = cosα(1 cosα). Welche besondere Form hätten die reiecke und EF, wenn der Flächenanteil des reiecks EF an dem des reiecks maximal sein soll? 20. Ein Viereck ist durch folgende estimmungsstücke festgelegt: = 6cm, β = = 65, = 5cm und = = 7cm. (a) Zeichne dieses Viereck. [] ziemlich weit rechts, Platzbedarf über []: 8 cm (b) egründe: Es handelt sich nicht um einen achsensymmetrischen rachen. (c) erechne die Länge der iagonalen []. (d) erechne die Länge der iagonalen []. (e) erechne den Flächeninhalt des Vierecks. 21. Ein reieck ist durch folgende estimmungsstücke festgelegt: = 10cm, α = = 50 und = 6cm. (a) Zeichne dieses reieck. Platzbedarf über []: 8cm erechne den Flächeninhalt des reiecks. (b) Man erhält neue reiecke n n dadurch, dass die Seite [] über hinaus um xcm verlängert und gleichzeitig die Seite [] von ausum 2xcm verkürzt wird. Zeichne farbig für x = 1,5 das reieck 1 1 ein. erechne den Flächeninhalt des reeicks 1 1. erechne den bstand d des Punktes 1 von der Seite []. erechne die Länge der Strecke [ 1 1 ]. (c) Notiere alle elegungen von x, für die es neue reiecke n n gibt. 18

19 3. Trigonometrische Funktionen (d) Zeige: Für den Flächeninhalt der neuen reiecke n n gilt in bhängigkeit von x (gerundet): (x) = ( 0,77x 2 0,77x+23,1)cm 2. (e) erechne diejenige elegung von x, die den Extremwert des Terms T(x) = 0,77x 2 0,77x+23,1 liefert. egründe:unterallenreiecken n n gibteskeines, dessenflächeninhalt so groß wie der Extremwert des zugehörigen Terms T(x) ist. (f) Unter allen reiecken n n gibt es das reieck 2 2, das einen Flächeninhalt von 7,7cm 2 aufweist. erechne den zugehörigen x-wert. (g) Unter allen reiecken n n gibt es das gleichschenklige reieck 3 3, mit der asis [ 3 3 ]. erechne den zugehörigen x-wert. (h) Unter allen reiecken n n gibt es das rechtwinklige reieck 4 4 mit der Hypotenuse [ 4 ]. erechne den zugehörigen x-wert. Zeichne dieses reieck ein. [Ergebnis: x 2,32] (i) Zeige: Für die Längen der Strecken [ n n ] gilt in bhängigkeit von x: n n (x) = 7,56x 2 25,44x+59,2cm 2 (gerundet). estätige mit diesem Ergebnis das Ergebnis der ufgabe (b) 4. Punkt. (j) Unter allen reiecken n n gibt es das reieck 5 5, in dem der Winkel 5 5 das Maß 62 hat. erechne den zugehörigen X-Wert. 22. P M ϕ Q er Mittelpunkt des Halbkreises ist M. Weiter gilt: = 8cm, PM = 2,5cm und ϕ = 35. (a) Zeichne die Figur. (b) erechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Strecken [P] und [P Q], sowie von dem Kreisbogen von Q nach begrenzt wird. Tipp: Zeichne eine geeignete Hilfslinie ein. 19

20 3. Trigonometrische Funktionen 23. ψ M er Mittelpunkt des Viertelkreises ist M. Weiter gilt: M = 5cm, = 3cm und ψ = 55. (a) Zeichne die Figur. (b) erechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Strecken [] und [] sowie von dem Kreisbogen von nach begrenzt wird. Tipp: Zeichne eine geeignete Hilfslinie ein. 24. T α S er Kreisbogen mit dem zunächst nicht sichtbaren Mittelpunkt M [S berührt den einen Schenkel von α im Punkt T und schneidet den anderen Schenkel von α im Punkt S. Weiter gilt: T = 5cm und α = 39. (a) Zeichne die Figur ohne den Punkt S und den Kreisbogen. (b) Konstruiere den Mittelpunkt M des Kreisbogens. Zeichne den Kreisbogen und den Punkt S ein. (c) erechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Strecken [T] und [S] sowie von dem Kreisbogen von T nach S begrenzt wird. 20

21 3. Trigonometrische Funktionen 25. T M S β er Mittelpunkt des Kreisbogens ist M. Weiter gilt: M = 6cm und β = 55. (a) Zeichne die Figur. (b) erechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Strecken [S], [] und [T] sowie von dem Kreisbogen von T nach S begrenzt wird. 26. T ϕ S er Kreisbogen berührt die Hypotenuse [] im Hypotenusenmittelpunkt T. er Mittelpunkt dieses Kreisbogens ist der noch verborgene Punkt M, der auf [] liegt. Weiter gilt: = 8cm und = 4cm. (a) Zeichne den Punkt M ein. (b) erechne den Inhalt des eingefärbten Flächenstückes. [ Teilergebnis: Radius des Kreisbogens 2,24cm ]

22 3. Trigonometrische Funktionen ϕ M er Mittelpunkt des Halbkreises ist M. Weiter gilt: = 8cm, = 2,5cm und ϕ = 49. (a) Zeichne die Figur. (b) egründe: ie eingefärbte Fläche ist kein Kreissektor. Zeichne dazu an einer geeigneten Stelle eine Hilfslinie ein. (c) erechne den Inhalt der eingefärbten Fläche. 28. G δ E F Im Rechteck gilt: = 8cm und δ = 56. er Mittelpunkt des Kreisbogens, der die iagonale [] im Punkt E berührt, ist der Punkt. (a) Zeichne die Figur. (b) erechne den Flächeninhalt des eingefärbten Kreissektors. [ Teilergebnis: Radius des Kreisbogens 3,64cm ]

23 3. Trigonometrische Funktionen R a S M Q P as Viereck PQRS ist dadurch entstanden, dass man über den vier Seiten des Quadrates mit der Seitenlänge a jeweils gleichseitige reiecke errichtet hat. (a) Zeichne die Fgur für a = 4cm. (b) egründe: as Viereck P QRS ist ein Quadrat. Hinweis: Zeige, dass z.. PS = 15 gilt. (c) Zeige auf verschiedene Weise: Für den Flächeninhalt des Vierecks P QRS gilt: PQRS = a 2 (2+ 3). (d) erechne den prozentualen Flächenanteil des Quadrates am Viereck PQRS

24 3. Trigonometrische Funktionen 1 M ϕ Gegeben ist das Quadrat mit dem Mittelpunkt M und der iagonalenlänge d = 10cm. ieses Quadrat wird nun um den Mittelpunkt M mit dem Winkel ϕ gedreht, wobei ϕ ]0 ; 90 [ R gilt. adurch entstehen zum einen Quadrate n n n n und zum anderen chtecke n n n n. (a) Zeichne das Quadrat und seinen Umkreis. Zeichne für ϕ = 25 das Quadrat farbig ein. Zeichne dazu das chteck in einer anderen Farbe. (b) Zeige: Für den Flächeninhalt der chtecke n n n n gilt in nbhängigkeit von ϕ: (ϕ) = 50 (sinϕ+cosϕ)cm 2 (c) egründe rechnerisch: Es gilt ebenfalls (ϕ) = 50 cos45 (sinϕsin45 +sin45 cosϕ)cm 2 Vereinfache den in der obigen Zeile dargestellten Term für (ϕ) so weit wie möglich. er Nenner vor der Klammer soll dabei rational werden. Unter allen chtecken n n n n gibt es das chteck , dessen Flächeninhalt maximal wird. erechne dieses Maximum und die zugehörige elegung von ϕ. erechne den Umfang u des flächengrößten chtecks ohne zu runden. Zeige: u = cm

25 3. Trigonometrische Funktionen α E T M em Quadrat mit der Seitenlänge a = 6 cm ist ein Viertelkreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius a einbeschreiben worden. er Mittelpunkt der Seite [] ist M. Weiter gilt: E = 2cm. Hinweis: lle Rechenergebnisse sind auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. (a) Zeichne das Quadrat, den Viertelkreis und die Strecke [EM]. (b) Zeige durch Rechnung: EM = 5cm. egründe: ie Strecke [ME] berührt den Kreisbogen in einem Punkt T. Tipp: Wenn der Punkt T erührpunkt sein soll, dann müssen gleichzeitig die beiden Vierecke MT und ET besondere Vierecke sein. Zeichne die Strecke [T] ein. (c) erechne das Maß α des Winkels T. [Teilergebnis: α 2 26,57 ] Zeichne den iagonalenschnittpunkt F des Vierecks MT ein. erechne den Inhalt der in der Eingangsfigur getönten Fläche. [Teilergebnis: F 2,68cm] 32. ϕ P Q 25

26 3. Trigonometrische Funktionen em Quadrat ist das rechtwinklige reieck QP einbeschrieben worden. abei gilt: <) P = ϕ. Hinweis: Gegebenenfalls sind alle Ergebnissse auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. (a) Zeichne das Quadrat für = 6cm und für ϕ = 20 das reieck QP. (b) egründe: ie reiecke QP und P sind zueinander ähnlich. (c) erechne den Flächeninhalt des reiecks QP. 26

27 4. bbildungen im Koordinatensystem 1. Gegeben sind die Funktionen f 1 : y = 0,5 log 3 (x+2) 1 und f 2 : y = 0,5 log 3 (x 1) 1 mit G =R R. (a) Geben Sie die efinitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f 2 an. (b) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph der Funktion f 1 durch orthogonale ffinität an der x-chse mit k = 1 und anschließender Verschiebung mit dem Vektor ( ) 3 v = auf den Graphen der Funktion f 2 2 abgebildet werden kann. (c) erechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von f 1 und f 2. 27

28 5. Zusammenfassende ufgaben 1. uf einem Kinderspielplatz ist an der Spitze eines Stahlgestells ein utoreifen zum Schaukeln aufgehängt. (Siehe Skizze) 6 m 4,5 m Α 34 β Β (a) erechnen Sie das Maß des Winkels β. (b) Wie hoch befindet sich die Spitze über dem Erdboden? (c) Zur Verstärkung der Konstruktion soll von aus eine Stütze s senkrecht zur Strebe [] eingebaut werden. erechnen Sie die Länge dieser Stütze s. 2. us einem lechstück in Form eines symmetrischen rachenvierecks soll ein möglichst großer Kreis ausgestanzt werden. In der Zeichnung gilt: = 10cm, = 6cm und S = 3cm. r S M (a) erechnen Sie die Maße der Innenwinkel des rachenvierecks und seine Seitenlängen. [Teilergebnis: β = 111,80 ] (b) erechnen Sie den Radius des ausgestanzten Kreises. [Ergebnis: r = 2, 53 cm] (c) Wie viel Prozent der Vielecksfläche beträgt die Kreisfläche? 28

29 5. Zusammenfassende ufgaben 3. Ein Satellit S wird von der odenstation 1 mit dem Winkel α = , von der odenstation 2 mit dem Winkel β = angepeilt, als der Satellit sich gerade senkrecht über der Verbindungslinie 1 2 befindet. eide odenstationen liegen an der Küste und befinden sich in gleicher Höhe über dem Meeresspiegel. er Erdradius wird mit 6378km gerechnet und die ogenlänge b über der Strecke [ 2 1 ] beträgt 8000 km km α M µ b = 8000 km ε S 6378 km β 2 Hinweis: ie Ergebnisse sind jeweils auf 3 Stellen nach dem Komma zu runden. (a) erechnen Sie die Länge der Strecke [ 1 2 ]. Ergebnis: 1 2 = 7485,806km (b) erechnen Sie das Maß ǫ des Winkels 1 S 2. Ergebnis: ǫ = 37,550 (c) Wie weit ist der Satellit S von der odenstation 2 entfernt? (d) In welcher Höhe über dem Meeresspiegel befindet sich der Satellit S? 4. Ein halbkugelförmiges Glasgefäß mit einer Wandstärke von 5 mm hat ein Fassungsvermögen von 10l. erechne den ußendurchmesser des Gefäßes in mm. 29

30 Teil II. Wahlpflichtfächergruppe II/III 30

31 6. Quadratische Funktionen 1. (a) Gegeben sind die Parabel p 1 : y = 0,25x 2 x + 5 und die Gerade g : y = 0,5x+3 auf G = R R. ie zugehörigen Funktionsgraphen sind in usschnitten dargestellt. (b) ie Gerade g schneidet die Parabel p 1 in den Punkten und, wobei der Schnittpunkt nicht im II. Quadranten liegt. Zeichnen Sie die Schnittpunkte ein und berechnen Sie deren Koordinaten. (c) Es sind jetzt zusätzlich zwei Parabeln gegeben: p 2 : y = 0,25x 2 2x+5 und p 3 : y = 0,25x 2 +2x. egründen Sie: ie Parabel p 1 lässt sich nur auf eine der beiden Parabeln p 2 oder p 3 verschieben. erechnen Sie den zugehörigen Vektor. (d) Geben Sie die möglichst kurze Summenform der Gleichung einer weiteren Parabel p 4 an, die zur Parabel p 2 kongruent ist und die nur durch drei Quadranten des Koordinatensystems verläuft. (e) uf der Parabel p 1 wandern Punkte n und auf der Geraden g wandern Punkte n. er bszissenwert der Punkte n ist stets um 1,5 größer als der bszissenwert x der Punkte n. Zeichnen Sie für x = 3 die Strecke [ 1 1 ] ein. Es gibt unter den Strecken [ n n ] zwei Strecken [ 2 2 ] und [ 3 3 ], die ganz auf der Geraden g liegen. Zeichnen Sie diese beiden Strecken ein und ermitteln Sie die zugehörigen x-werte. 31

32 6. Quadratische Funktionen y 1 O 1 x 2. Gegeben sind die Parabel p durch die Gleichung y = 0,5x 2 3x 1 und die Gerade g durch die Gleichung y = 0,5x 4 auf G =R R. er Punkt ( 4 2) liegt auf der Geraden g. ie zugehörigen Funktionsgraphen sind in usschnitten dargestellt: 32

33 6. Quadratische Funktionen y 1 O 1 x (a) uf der Parabel p wandern sowohl Punkte n mit dem bszissenwert x als auch Punkte n, wobei der bszissenwert der Punkte n stets um 3 größer als der bszissenwert x der Punkte n ist. abei werden laufend reiecke n n erzeugt. Im reieck 1 1 besitzt der bszissenwert des Punktes 1 den Wert 2. Zeichne dieses reieck ein. (b) erechnediekoordinatenderpunkte n inbhängigkeitvomx-wertderpunkte n. [ Ergebnis: n (x+3 0,5x 2 6x 14,5) ] (c) Für den Flächeninhalt der reiecke n n ergibt sich in bhängigkeit vonx: (x) = (0,75x 2 +8,25x+28,5)cm 2 Unter allen reiecken n n gibt es die beiden reiecke 2 2 und 3 3, deren Punkte 2 und 3 auf der Geraden g liegen. erechne den Flächeninhalt dieser beiden reiecke. (d) Unter allen reiecken n n gibt es das reieck 4 4, dessen Seite [ 4 4 ] parallel zur x-chse liegt. erechne die zugehörige elegung von x. (e) Unter allen reiecken n n gibt es das reieck 5 5, dessen Seite [ 5 5 ] parallel zur Geraden g liegt. erechne das Maß γ des Winkels 5 5 dieses reiecks. [ Teilergebnis: x = 4 ] 33

34 6. Quadratische Funktionen 3. ie nach unten geöffnete Normalparabel p 1 besitzt den Scheitel S 1 (3 5). ie Gleichung einer weiteren Parabel p 2 hat die Form y = ax 2 x+c und sie verläuft durch die Punkte P( 0,4 1,56) und Q(0,8 2,64). Im Koordinatensystem sind usschnitte der beiden Parabeln dargestellt: y 1 O 1 x (a) Zeige: ie Parabel p 1 hat die Gleichung y = x 2 +6x 4. Zeige: ie Parabel p 2 hat die Gleichung y = 0,25x 2 x 2. (b) uf der Parabel p 1 wandern Punkte n (x x 2 +6x 4) und auf der Parabel p 2 wandern Punkte n mit jeweils dem gleichen bszissenwert wie die Punkte n. adurch werden achsensymmetrische Trapeze n n n n mit den folgenden Eigenschaften erzeugt: [ n n ] [ n n ] die Strecken [ n n ] liegen stets rechts von den Strecken [ n n ] ie Seiten [ n n ] sind jeweils 4cm lang. er bstand der beiden jeweils parallelen Trapezseiten beträgt stets 4 cm. Zeichne für x = 4 das Trapez ein. 34

35 6. Quadratische Funktionen (c) Zeige: Für den Flächeninhalt der Trapeze n n n n gilt in bhängigkeit von x: (x) = ( 2,5x 2 +14x+4)cm 2. (d) Untersuche, obesunterallentrapezen n n n n einesgibt,daseinenflächeninhalt von 24cm 2 aufweist. (e) Wie viele Quadrate gibt es als Sonderfall unter allen Trapezen n n n n? egründe deine ntwort. 4. Gegeben sind die Parabel p : y = 0,5x 2 3x 1 und die Gerade g : y = 0,5x 4 auf G =R R. ie zugehörigen Funktionsgraphen sind in usschnitten dargestellt: y 1 O 1 x ufderparabelpwandernsowohlpunkte n (x 0,5x 2 3x 1)alsauchPunkte n. abei ist der bszissenwert der Punkte n stets um 3 größer als der bszissenwert x der Punkte n. (a) erechne die Koordinaten der Schnittpunkte P und Q der Parabel p mit der Geraden g. (b) erechnediekoordinatenderpunkte n inbhängigkeitvomx-wertderpunkte n. [ Ergebnis: n (x+3 0,5x 2 6x 14,5) ] 35

36 6. Quadratische Funktionen (c) Zusammen mit dem Punkt ( 4 2) werden zwischen Gerade und Parabel reiecke n n erzeugt. Zeichne für 1 ( 5 y 1 ) das reieck 1 1 in obiges Koordinatensystem ein. (d) erechne den Flächeninhalt der reiecke n n in bhängigkeit von x. [ Ergebnis: (x) = (0,75x 2 +8,25x+28,5)cm 2 ] (e) Unter allen reiecken n n gibt es eines, das einen minimalen Flächeninhalt aufweist. erechne dieses Minimum und die zugehörige elegung von x. (f) Unter allen reiecken n n gibt es das reieck 3 3, so dass 3 P = 3 3 gilt. erechne den zugehörigen bszissenwert x. 5. Gegeben sind die Parabel p und die Gerade g durch die Gleichungen: p : y = 0,25x 2 +x+7 und g : y = 0,5x+3 auf G =R R. ie zugehörigen Funktionsgraphen sind in usschnitten dargestellt: y 1 O 1 x (a) Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte P und Q der Parabel p mit der Geraden g. er Punkt P soll dabei nicht im IV. Quadranten liegen. (b) ie Punkte n (x 0,25x 2 +x+7) auf der Parabel p und die Punkte n auf der Geraden g besitzen jeweils den gleichen bszissenwert. iepunkte n und n sindeckpunkte vongleichschenkligen reiecken n n n 36

37 6. Quadratische Funktionen mit den asen [ n n ]. ie Höhen auf diese asen sind stets 4cm lang. ie Punkte n sollen stets rechts von den asen [ n n ] liegen. Zeichne für x = 1 das reieck ein. (c) Zeichne für 2 (7,5 y 2 ) das reieck ein. erechne die Koordinaten des Punktes 2. (d) Zeige durch Rechnung: Für den Flächeninhalt dieser reiecke n n n gilt in bhängigkeit von x: (x) = ( 0,5x 2 +3x+8)cm 2 (e) Unter allen reiecken n n gibt es eines, das einen maximalen Flächeninhalt aufweist. erechne dieses Maximum und die zugehörige elegung von x. (f) Gibt es unter allen reiecken n n ein reeick 3 3 3, dessen Eckpunkt 3 auf der y-chse liegt? egründe deine ntwort. 6. ie Parabel p besitzt die Scheitelkoordinaten S(3 1) und sie verläuft durch einen Punkt mit den Koordinaten (5 3). ußerdem ist eine Gerade g durch die Gleichung y = x 2,5 gegeben. ie zugehörigen Funktionsgraphen sind in usschnitten dargestellt. uf der Geraden g liegen Punkte n (x x 2,5) und auf der Parabel p liegen Punkte n, die jeweils denselben bszissenwert wie die Punkte n besitzen. amit werden Rauten n n n n erzeugt, deren iagonalen [ n n ] stets 4cm lang sind. 37

38 6. Quadratische Funktionen y 1 O 1 x (a) Zeige: ie Parabel p besitzt die Gleichung y = 0,5x 2 3x+5,5. (b) egründe rechnerisch: ie Gerade g ist eine Tangente an die Parabel p. (c) Zeichne für x = 1 die Raute ein. Zeichne für 2 (4 y 2 ) die Raute ein. (d) Für die iagonalenlängen n n gilt in bhängigkeit von x: n n (x) = (0,5x 2 4x+8)cm. Ermittle damit alle elegungen von x, für die es solche Rauten n n n n gibt. Für den Flächeninhalt der Rauten n n n n gilt in bhängigkeit von x: (x) = (x 2 8x+16)cm 2. estätige damit das Ergebnis der vorherigen ufgabe. estätige mit dem Ergebnis der ufgabe (b) das Ergebnis der vorherigen ufgabe. 38

39 6. Quadratische Funktionen (e) Unter allen Rauten n n n n gibt es auch Quadrate. Jeweils ein Eckpunkt dieser Quadrate muss auf der Geraden g liegen. Warum? Wie viele solcher Quadrate gibt es? egründe deine ntwort. 7. Gegeben sind eine Parabel p und eine Gerade g durch die Gleichungen: P : y = 0,5x 2 4x+1 und g : y = 0,5x+3. ie zugehörigen Funktionsgraphen sind in usschnitten dargestellt: y 1 O 1 x uf der Parabel p liegen dort, wo die Parabel oberhalb der Geraden verläuft, Punkte P n (x 0,5x 2 4x+1). uf der Geraden g liegen Punkte Q n jeweils mit dem gleichen bszissenwert x wie die Punkte P n. Zudem liegen auf der Geraden g Punkte R n, deren bszissenwert jeweils um 2 größer als der bszissenwert der Punkte P n bzw. Q n ist. adurch werden reiecke P n Q n R n erzeugt. (a) Zeichne für x = 4,5 das reieck P 1 Q 1 R 1 ein. 39

40 6. Quadratische Funktionen (b) Zeige: ie Streckenlängen P n Q n lassen sich in bhängigkeit von x wie folgt darstellen: P n Q n (x) = ( 0,5x 2 4,5x 2)cm (c) egründe: ie längste unter allen Streckenlängen P n Q n erzeugt gleichzeitig das flächengrößte unter allen reiecken P n Q n R n (d) Untersuche rechnerisch, ob es unter allen reiecken P n Q n R n gleichschenklige gibt, deren asis jeweils eine der Strecken [P n Q n ] ist. (e) Zeichne für x = 7 das reieck P 2 Q 2 R 2 ein. Weise rechnerisch nach, dass dieses reieck rechtwinklig ist. erechne das Maß eines der spitzen Innenwinkel dieses reiecks. Es gibt ein weiteres reieck P 3 Q 3 R 3, das zum reieck P 2 Q 2 R 2 kongruent ist. Konstruiere den Eckpunkt P 3 dieses reiecks (die Konstruktionslinie muss deutlich sichtbar sein) und begründe deine Vorgehensweise. Zeichne dieses reieck P 3 Q 3 R 3 ein. (f) Unter allen reiecken P n Q n R n gibt es noch zwei rechtwinklige reiecke P 4 Q 4 R 4 und P 5 Q 5 R 5 mit den Hypotenusen [Q 4 R 4 ] bzw. [Q 5 R 5 ]. erechne die zugehörigen x-werte. 8. Gegeben ist Parabel p mit der Gleichung p : y = ax 2 x 3, die durch den Punkt P( 3 2,25) verläuft. ußerdem ist eine Gerade g durch die Gleichung g : y = 0,5x+1 gegeben. ie zugehörigen Funktionsgraphen sind in usschnitten dargestellt: 40

41 6. Quadratische Funktionen y 1 O 1 x (a) erechne die Scheitelkoordinaten der Parabel p. [ Teilergebnis: p : y = 0,25x 2 x 3 ] Untersuche, ob die Gerade h mit der Gleichung h : y = 0,5x 5,26 die Parabel p berührt. (b) uf der Parabel p liegen Punkte n (x 0,25x 2 x 3). uf der Geraden g liegen Punkte n (x 0,5x+1) mit dem gleichen bszissenwert x wie die Punkte n. Für x ] 2;8[ R erzeugen die Punkte n zusammen mit den Punkten n und n rechtwinklige reiecke n n n mit den Hypotenusen [ n n ]. abei sind die Katheten [ n n ] stets 4cm lang. Zeichne für x = 1 und x = 5 die beiden reiecke und ein. (c) erechne die Länge der Katheten [ n n ] in bhängigkeit von x. [ Ergebnis: n n (x) = ( 0,25x 2 +1,5x+4)cm ] (d) Unter allen reiecken n n n gibt es eines mit maximalem Flächeninhalt. berechne dieses Maximum und die zugehörige elegung von x. (e) Unter allen reiecken n n n gibt es zwei reiecke und 4 4 4, so dass der Winkel bzw das Maß 45 besitzt. erechne die zugehörigen elegungen von x. (f) Untersuche rechnerisch, ob es unter allen reiecken n n n eines gibt, deren Hypotenuse auf der Geraden g liegt. 41

42 6. Quadratische Funktionen 9. Gegeben ist die Parabel p 0 durch die Gleichung y = 0,5x 2 +2x (a) Gib die Gleichung einer Parabel p 1 an, welche die gleichen Scheitelkoordinaten wie die Parabel p 0 besitzt, die aber nicht zur Parabel p 0 kongruent ist. (b) Gib die Gleichung einer Parabel p 2 an, die zur Parabel p 0 kongruent ist und deren Scheitel gleichzeitig auf der x-chse liegt. (c) Es gibt beliebig viele Parabeln, welche die Parabel p 0 meiden und deren Scheitel im II. Quadranten liegen. Gib die Gleichung einer dieser Parabeln an und führe den Nachweis. (d) Es gibt beliebig viele Parabeln, welche mit der Parabel p 0 nur einen Punkt gemeinsam haben. Gib die Gleichung einer dieser Parabeln an und führe den Nachweis. 10. Gegeben ist eine Parabel durch die Gleichung: y = 10x 2 19x+2. Untersuche, ob die Parabel durch alle vier Quadranten verläuft. 42

43 7. Quadratische Funktionen und Gleichungen 1. as ist ein ild der Nationalflagge von England. x cm x cm a cm b cm (a) Zeichne die Figur für a = 11, b = 16 und x = 2 im Maßstab 1:2. (b) Zeige rechnerisch: FürdenFlächeninhalt w desweißennteilsdieserflaggegiltinbhängigkeit von x: w (x) = (x 2 27x+176)cm 2 Für den Flächeninhalt k des Kreuzes in dieser Flagge gilt in bhängigkeit von x: k (x) = ( x 2 +27x)cm 2 (c) erechne x so, dass die Fläche des Kreuzes 30% der Gesamtfläche ausmacht. (d) erechne x so, dass die Inhalte von weißer Fläche und Kreuzfläche gleich sind

44 7. Quadratische Funktionen und Gleichungen Familie Taerkot hat auf ihrem eingezäunten Grundstück einen 140m 2 großen Garten angelegt. Er wurde zusätzlich mit einem 25,5m langen Maschendrahtzaun abgegrenzt. (a) erechne Länge und reite. (b) Hätte Familie Taerkot mit 25, 5 m Maschendraht auf die in der bbildung dargestellte Weise eine noch größere Gartenfläche abgrenzen können? 3. Ursula und Hans wollen die folgenden quadratischen Gleichungen lösen: x 2 + 0,5x 14 = 0 (1) x + 2x 2 28 = 0 (2) (a) Hans bekommt für die Gleichung (1) die Lösungsmenge { 4; 3, 6} heraus. Überprüfe das. (b) anach schaut sich Ursula die Gleichung (2) genauer an. Sie meint schließlich: a brauchen wir die Lösungsformel gar nicht. ie beiden Gleichungen müssen dieselben Lösungen haben. Wie hat Ursula das erkannt? 4. y 1 O 1 x 44

45 7. Quadratische Funktionen und Gleichungen Für die Gleichung einer Parabel p gilt a = 0, 5. ie Punkte P( 4 4, 5) und Q(1 3) liegen auf dieser Parabel. ie Parabel p und die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x+2 sind in usschnitten dargestellt. (a) Zeige durch Rechnung: ie Parabel p hat die Gleichung y = 0,5x 2 +3x 0,5. (b) erechne die Scheitelkoordinaten der Parabel. (c) Es werden nun rechtwinklige reiecke n n n mit den folgenden Eigenschaften erzeugt: ie Punkte n liegen auf der Geraden g. ie Punkte n liegen auf der Parabel p. ie Punkte n sind die Scheitel der rechten Winkel aller reiecke n n n. ie Punkte n haben den gleichen bszissenwert wie die Punkte n. er bszissenwert der Punkte n ist stets um 3 kleiner als der bszissenwert der Punkte n. Zeichne oben für x = 2 das reieck ein. (d) Gib zwei x-werte an, für die es kein reieck gibt. egründe deine Wahl. (e) egründe: Unter allen reiecken n n n gibt es keines, das zu einem Punkt entartet

46 7. Quadratische Funktionen und Gleichungen y 1 O 1 x Gegeben sind die Parabel p 1 : y = 0,5x 2 + 2,5x + 2, die Parabel p 2 : y = x 2 8x+11 sowie die Gerade g : y = x+5. usschnitte aus diesen Graphen sind oben dargestellt. (a) ie Gerade g schneidet die Parabel p 1 in den Punkten und. abei liegt der Punkt im IV. Quadranten. erechne die Koordinaten des Schnittpunktes. (b) ie Punkte R n (x 0,5x 2 + 2,5x + 2) liegen auf der Parabel p 1, die Punkte Q n (x x+5) liegen auf der Geraden g und die Punkte P n (x x 2 8x+11) liegen auf der Parabel p 2. ie Punkte P n und R n haben stets den gleichen bszissenwert x. ie Punkte Q n haben jeweils eine um 1 größere bszisse als die Punkte P n und R n. adurch entstehen laufend reiecke P n Q n R n. Zeichne für x = 2 das reieck P 1 Q 1 R 1 ein. (c) Zeige: Für den Flächeninhalt der reiecke P n Q n R n gilt: (x) = ( 0,75x 2 +5,25x 4,5) FE [ Teilergebnis:R n P n (x) = ( 1,5x 2 +10,5x 95) LE ] Unter allen reiecken P n Q n R n gibt es ein flächengrößtes: das reeick P 0 Q 0 R 0. erechne dieses Maximum und die zugehörigen Koordinaten des Eckpunktes 46

47 7. Quadratische Funktionen und Gleichungen P 0. (d) Im reieck P 3 Q 3 R 3 hat der Mittelpunkt M 3 der Strecke P 3 R 3 den y-wert 1. erechne die x-koordinate von M y 1 O 1 x Gegeben sind die Parabel p 1 : y = 0,25x 2 0,5x + 3,25 sowie die Gerade g : y = 1, 5x + 2, 25. usschnitte aus diesen Graphen sind oben dargestellt. (a) egründe rechnerisch: ie Gerade g berührt die Parabel p. (b) ie Punkte M n (x 1,5x+2,25)auf der Geraden g sind die iagonalenschnittpunkte von Rauten n n n n. ie Eckpunkte n (x 0,25x 2 0,5x+3,25) der Rauten n n n n liegen auf der Parabel p. ie Eckpunkte n besitzen 47

48 7. Quadratische Funktionen und Gleichungen stets den gleichen bszissenwert x wie die Punkte n. ie Länge der iagonalen [ n n ] der Rauten n n n n beträgt stets 4LE. Zeichne für x = 2,5 die Raute ein. (c) Zeige: Für den Flächeninhalt der Rauten n n n n gilt: (x) = (x 2 +4x+4) FE [ Teilergebnis: n M n (x) = (0,25x 2 +x+1) LE ] (d) ie Raute soll diejenige unter allen Rauten n n n n sein, die den minmalen Flächeninhalt besitzt. erechnen Sie die zugehörige elegung von x. Es stellt sich heraus, dass der minimale Flächeninhalt 0 FE beträgt. egründen Sie diesen Sachverhalt in Worten mit Hilfe Ihrer Zeichnung. (e) Geben Sie die Koordinaten der Rauteneckpunkte n in bhängigkeit von x an. 7. xm Fliesen 6m x m Eichenholz er quadratische oden eines adezimmers mit einer Seitenlänge von 6 m ist einerseits gefliest, anderserseits mit Eichenbrettern L-förmig verlegt worden. as L hat eine reite von xm. ie Fläche aus Holz ist halb so groß wie die gesamte odenfläche. (a) Zeige: x = (b) 48

49 7. Quadratische Funktionen und Gleichungen In welchem Maßstab ist der Grundriss des adezimmers in der obigen Figur dargestellt? Konstruiere mit Zirkel und Lineal in diesen Grundriss maßstabgerecht die Streckenlänge xm = (6 3 2)m. Tipp: = 6 0, Vervollständige damit die Flächenaufteilung des adezimmers. 8. Q n R n P n S n In das Rechteck mit = 8cm und = 6cm werden Parallelogramme P n Q n R n S n einbeschrieben, wobei gilt: P n = R n = 6kcm und S n = Q n = 8kcm mit k ]0; 1[ R. (a) Zeichne das Rechteck und für k = 0,25 das Parallelogramm P 1 Q 1 R 1 S 1. (b) Zeige: Für das Verhältnis q der Flächeninhalte der Parallelogramme P n Q n R n S n zum Rechteck gilt in bhängigkeit von k: q(k) = P nq nr ns n = 1 2k(1 k). (c) k = 0,4 erzeugt das Parallelogramm P 2 Q 2 R 2 S 2. Wie viel Prozent der Fläche des Rechtecks wird von diesem Parallelogramm eingenommen? (d) UnterallenParallelogrammenP n Q n R n S n gibtesdieparallelogrammep 3 Q 3 R 3 S 3 und P 4 Q 4 R 4 S 4, die jeweils 58% der Fläche des Rechtecks einnehmen. erechne die zugehörigen elegungen von k. (e) Für k = 0,5 wird das Parallelogramm P 5 Q 5 R 5 S 5 erzeugt. Zeichne dieses Parallelogramm in einer anderen Farbe ein. Um welches besondere Parallelogramm handelt es sich hier? egründe deine ntwort. Zeige: Unter allen Parallelogrammen P n Q n R n S n besitzt dieses Parallelogramm P 5 Q 5 R 5 S 5 den kleinsten Flächeninhalt. 49

50 8. Trigonometrie 1. Ein Segelflieger wollte von -orf über -Stadt nach -erg und wieder zurück nach -orf fliegen. us flugtechnischen Gründen tritt er jedoch am Punkt den sofortigen Rückflug an. (a) erechnen Sie die Länge der Strecke, die der Flieger zurücklegt. (b) erechne Sie, um wie viele Kilometer der geplante Flug länger gewesen wäre als die tatsächlich zurückgelegte Strecke. 2. Ein Flugzeug fliegt auf geradlinigem Kurs und in gleichbleibender Höhe von 500 m mit einer Geschwindigkeit von 150 m s genau über einen eobachter hinweg. Wie weit ist das Flugzeug nach 20s vom eobachter entfernt und unter welchem Winkel gegen die Horizontale beobachet er es dann? 3. ie Plattform eines Leuchtturms befindet sich in 23, 8 m Höhe. Mit einem Fernrohr sieht man ein vor nker liegendes Schiff unter einem Winkel von 12,9. Wie weit ist das Schiff horizontal vom Fuß des Leuchtturms entfernt, wenn sich das Fernrohr 1, 60 m über der Plattform befindet? 4. uf einem Kinderspielplatz ist an der Spitze eines Stahlgestells ein utoreifen zum Schaukeln aufgehängt. (Siehe Skizze) 6 m 4,5 m Α 34 β Β (a) erechnen Sie das Maß des Winkels β. (b) Wie hoch befindet sich die Spitze über dem Erdboden? (c) Zur Verstärkung der Konstruktion soll von aus eine Stütze s senkrecht zur Strebe [] eingebaut werden. erechnen Sie die Länge dieser Stütze s. 50

51 8. Trigonometrie 5. H G S ε E F In der obigen Figur ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 6cm. Es gilt: E = EF = F und ESF = ε. ie Punkte G und H sind auf [] beweglich und es gilt H = G = xcm. Hinweis: Gegebenenfalls sind Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. (a) Zeichne die Figur für x = 1,2. erechne das zugehörige Winkelmaß ε. Hinweis: Zeichne vom Punkt G aus eine Hilfsline so ein, dass du die ufgabe mit Hilfe von ähnlichen reiecken lösen kannst. (b) erechne x so, dass das reieck EF S gleichseitig wird. (c) Untersuche elementargeometrisch (d.h. ohne die Verwendung trigonometrischer Funktionen), ob es unter den reiecken EF S ein gleichschenklig-rechtwinkliges reieck gibt. 6. Ermittle die Koordinate x des Punktes (x 1) des rechtwinkligen reiecks mit (2 2), (2 5) und γ = 90 (a) durch eine Zeichnung, (b) durch drei verschiedene Rechenwege. 7. ie Ecken n von reiecken n mit (1 1), (6 4) liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y = 5. Konstruiere die beiden möglichen rechtwinkligen reiecke 1 und 2 mit jeweils γ = 90 und berechne die x Koordinate der Eckpunkte 1 und 2. 51

52 8. Trigonometrie 8. Vom Viereck sind die Punkte ( 2 0), (4 4,5), ( 2 3), sowie a = 5LE, f = 7LE, und = 65,83 gegeben. (a) Konstruieren Sie das Viereck. Für die Zeichnung: 3 x 5 und 3 y 5 (b) erechnen Sie die Maße der Winkel α und δ, sowie die Länge der Seite b. (c) erechnen Sie den Flächeninhalt des reiecks mit drei verschiedenen Formeln. 9. asrechtwinklige reieck mit γ = 90, = 8cm, = 6cmist Grundfläche eines geraden Prismas mit der Höhe 5cm. Verkürzt man die Seite [] um xcm und verlängert man die Höhe des Prismas um 2xcm, so ergeben sich neue Prismen mit der Grundfläche n. (Siehe Schrägbild) Fn F E n 2x cm E n 5cm 8cm n x cm (a) erechne das Volumen der Prismen n n E n F n in bhängigkeit von x. [Ergebnis: V(x) = ( 8x 2 +28x+120)cm 3 ] (b) erechne das maximal mögliche Volumen und gib den zugehörigen x Wert an. (c) erechne die x Werte, bei denen Prismen das Volumen V = 130cm 3 besitzen. 10. (a) Zeichne ein gleichseitiges reieck mit der Seitenlänge a = 6 cm. (b) In dieses reieck wird ein reieck P QR mit den folgenden Eigenschaften einbeschrieben: er Punkt P ist der Mittelpunkt der Seite []. R [] R = 2cm Q [] [PQ] [] Zeichne dieses reieck PQR in das reieck ein. (c) egründe auf verschiedene Weise: Q = 1, 5 cm. 52

53 8. Trigonometrie (d) erechne den Flächeninhalt des reiecks P QR. 11. G H F E Herr Lieche hat zu seinem rechteckigen Grundstück mit = 80m und = 50m noch einen Teil E des Nachbargrundstückes mit E = 50m hinzugekauft (siehe bbildung oben). (a) er Kreisbogen GF besitzt den Mittelpunkt und einen Radius von 40 m. Zeichne die Figur im Maßstab 1 : (b) uf der Strecke [E] sollen üsche im bstand von 1m gepflanzt werden. Wie viele üsche kann Herr Lieche höchstens darauf unterbringen? (c) Vom Punkt H aus soll ein möglichst kurzer 1m breiter Weg zur Grundstücksgrenze [E] angelegt werden. uf dem geplanten Weg wird zunächst das Erdreich bis zu einer Tiefe von 0,4m ausgehoben und wegtransportiert. Wie viele m 3 Erdreich sind das ungefähr? (d) ie grau gefärbte Fläche soll mit eng aneinander liegenden Granitplatten belegt werden. Wie viele muss Herr Lieche mindestens dafür ausgeben, wenn der Quadratmeterpreis 22 beträgt? [ Teilergebnis: H 19,2m ] 12. M 53

54 8. Trigonometrie Im rechtwinkligen reieck gilt: = 11,20cm und = 6,72cm. er Mittelpunkt der Kathete [] ist M. er Punkt ist der Mittelpunkt des Kreisbogens von nach. erechne den Flächeninhalt des reiecks M. 13. K γ a Z α G β F H as ist das Logo einer japanischen Firma, die Speichermedien herstellt. Im Zentrum befindet sich das gleichseitige reieck G mit dem Mittelpunkt Z. uf den Seiten dieses reiecks wurden drei Quadrate errrichtet. Es gilt: = a. Zusätzlich wurde noch das reieck F HK eingezeichnet. (a) Zeichne die Figur für a = 3cm. (b) erechne α, β und γ

55 8. Trigonometrie F E M α ψ k as reieck ist gleichschenklig mit der asis []. er Inkreis k mit dem Mittelpunkt M berührt die reiecksseiten in den Punkten, E und F. (a) Zeichne die Figur für = 9cm und α = 65. (b) Zeichne das Viereck MF ein. Zeige: ψ = α. (c) Zeige: Für das Verhältnis der Flächeninhalte der reiecke EF und gilt: EF = cosα(1 cosα). Welche besondere Form hätten die reiecke und EF, wenn der Flächenanteil des reiecks EF an dem des reiecks maximal sein soll? 15. Ein Viereck ist durch folgende estimmungsstücke festgelegt: = 6cm, β = = 65, = 5cm und = = 7cm. (a) Zeichne dieses Viereck. [] ziemlich weit rechts, Platzbedarf über []: 8 cm (b) egründe: Es handelt sich nicht um einen achsensymmetrischen rachen. (c) erechne die Länge der iagonalen []. (d) erechne die Länge der iagonalen []. (e) erechne den Flächeninhalt des Vierecks. 16. Ein reieck ist durch folgende estimmungsstücke festgelegt: = 10cm, α = = 50 und = 6cm. (a) Zeichne dieses reieck. Platzbedarf über []: 8cm 55

56 8. Trigonometrie erechne den Flächeninhalt des reiecks. (b) Man erhält neue reiecke n n dadurch, dass die Seite [] über hinaus um xcm verlängert und gleichzeitig die Seite [] von ausum 2xcm verkürzt wird. Zeichne farbig für x = 1,5 das reieck 1 1 ein. erechne den Flächeninhalt des reeicks 1 1. erechne den bstand d des Punktes 1 von der Seite []. erechne die Länge der Strecke [ 1 1 ]. (c) Notiere alle elegungen von x, für die es neue reiecke n n gibt. (d) Zeige: Für den Flächeninhalt der neuen reiecke n n gilt in bhängigkeit von x (gerundet): (x) = ( 0,77x 2 0,77x+23,1)cm 2. (e) erechne diejenige elegung von x, die den Extremwert des Terms T(x) = 0,77x 2 0,77x+23,1 liefert. egründe:unterallenreiecken n n gibteskeines, dessenflächeninhalt so groß wie der Extremwert des zugehörigen Terms T(x) ist. (f) Unter allen reiecken n n gibt es das reieck 2 2, das einen Flächeninhalt von 7,7cm 2 aufweist. erechne den zugehörigen x-wert. (g) Unter allen reiecken n n gibt es das gleichschenklige reieck 3 3, mit der asis [ 3 3 ]. erechne den zugehörigen x-wert. (h) Unter allen reiecken n n gibt es das rechtwinklige reieck 4 4 mit der Hypotenuse [ 4 ]. erechne den zugehörigen x-wert. Zeichne dieses reieck ein. [Ergebnis: x 2,32] (i) Zeige: Für die Längen der Strecken [ n n ] gilt in bhängigkeit von x: n n (x) = 7,56x 2 25,44x+59,2cm 2 (gerundet). estätige mit diesem Ergebnis das Ergebnis der ufgabe (b) 4. Punkt. (j) Unter allen reiecken n n gibt es das reieck 5 5, in dem der Winkel 5 5 das Maß 62 hat. erechne den zugehörigen X-Wert

57 8. Trigonometrie P M ϕ Q er Mittelpunkt des Halbkreises ist M. Weiter gilt: = 8cm, PM = 2,5cm und ϕ = 35. (a) Zeichne die Figur. (b) erechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Strecken [P] und [P Q], sowie von dem Kreisbogen von Q nach begrenzt wird. Tipp: Zeichne eine geeignete Hilfslinie ein. 18. ψ M er Mittelpunkt des Viertelkreises ist M. Weiter gilt: M = 5cm, = 3cm und ψ = 55. (a) Zeichne die Figur. (b) erechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Strecken [] und [] sowie von dem Kreisbogen von nach begrenzt wird. Tipp: Zeichne eine geeignete Hilfslinie ein